A dimension-free comparison between expectation thresholds and fractional expectation thresholds
The Courant Institute School of Mathematics, Computing, and Data Science, New York University（纽约大学柯朗数学科学与计算研究所）
本文证明了期望阈值与分数期望阈值之间的无维数比较，并借助Li的结果，为Talagrand离散凸性猜想提供了与维数无关的界。
2026-09-15 math.CO
Further remarks on fractional vs. expectation thresholds
本文推广 DeMarco 和 Kahn 的方法，解决了 Talagrand 关于期望阈值与分数期望阈值相差常数因子猜想的另外几个特例。
2025-05-27 math.CO
Some results on fractional vs. expectation thresholds
本文综述Talagrand猜想中期望阈值与分数期望阈值的关系，并证明该猜想的若干新特例。
2023-11-14 math.CO
Thresholds vs. expectation thresholds for non-spanning graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究构造了小图，其包含阈值与分数期望阈值的顺序不同，证明了存在常数c>0，使得对于任意m≤n，存在图H满足v_H=m且p_c(H)大于q_f(H)乘以c log^{1/2}(v_H)。
2026-01-30 math.CO
Down-set thresholds
我们阐明了阈值和期望阈值之间的关系。定性地，我们的主要结果表明，存在下集与多项式的差距之间的阈值和期望阈值，特别是，对数差距预测的Kahn-Kalai和Talagrand（最近证明的公园-范和Frankston-卡恩-纳拉亚南-公园）关于up-sets不适用于下集。定量地，我们表明，任何收集$[n]$上的图$[n]$，覆盖家庭的所有三角形自由图$[n]$满足不等式$\sum_{G \in \mathcal{G}} \exp(-δe(G^c) / \sqrt{n}) < 1/2$的一些普遍的$δ> 0$，这基本上是最好的可能。
2023-02-02 math.CO math.PR
Graded Expectations: Betti numbers and anti-lecture hall compositions of random threshold graphs
本文研究了多项式环的门限图、多项式环的$2$ -线性理想的乘积的贝蒂数和反讲堂合成之间的一一对应关系。特别是，我们建立新的明确的组合映射这些类的对象之间的期望值的贝蒂数和反讲堂组成对应的随机阈值图计算。
2021-02-02 math.AC math.CO
Thresholds and expectation-thresholds of monotone properties with small minterms
设$N$是一个有限集，设$p \in (0,1)$和$N_p$表示$N$的一个随机二项子集，其中$N$的每个元素都以概率$p$独立地属于该子集。这在$N$的幂集上定义了产品度量$μ_p$，其中对于$\mathcal{A} \subseteq 2^N$ $μ_p(\mathcal{A}) := Pr[N_p \in \mathcal{A}]$。本文研究了上闭族$\mathcal{A}$，其中$\mathcal{A}$中的所有极小集的大小至多为$k$，对某个正整数$k$ .我们证明了这样一个家庭$μ_p(\mathcal{A}) / p^k $是一个递减函数，这意味着一个统一的边界上的粗糙度的阈值，这样的家庭。我们还证明了一个结构定理，使识别$\mathcal{A}$要么大量的子家庭$\mathcal{A}_0$的第一时刻的方法给出了一个很好的近似其措施，或一个子家庭，可以很好地近似家庭的所有最小集的大小严格小于$k$。最后，利用线性规划的对偶性，我们将（分数）期望阈值和概率阈值联系起来。这与Kahn和Kalai的阈值猜想有关。
2014-09-24 math.CO
Graph Decompositions at the Expectation Threshold
本文证明退化度受限的图可分解为常数块，每块包含阈值与期望阈值同阶，去除了最大度假设，并给出结构扩展和统一分解界。
2026-09-22 math.CO math.PR
Exact threshold and limiting distribution for non-linear Hamilton cycles
本文研究 Erdős–Rényi 随机超图中 Hamilton $\ell$-圈数量的极限行为，按 $\ell\geq3$ 与 $\ell=2$ 给出集中、Poisson、对数正态及混合分布，并确定非线性 Hamilton 圈的精确出现阈值。
2025-01-06 math.CO math.PR
A reformulation of the discrete Convexity Conjecture via $k$-thresholds
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；New York University（纽约大学）；French National Center for Scientific Research (CNRS)（法国国家科学研究中心）
该研究引入k-阈值概念，将Talagrand离散凸性猜想重新表述为k-阈值与期望阈值的比较关系，通过归约定理确定固定图k-阈值，证明k=2适用于部分生成图性质，还建立了低简并度目标图类的对应比较关系。
2026-08-12 math.CO math.PR
Rainbow Thresholds
该研究扩展了期望阈值与实际阈值关联的突破性结果，纳入彩虹版本，推进了阈值理论在组合学中的应用。
2023-12-21 math.CO
Concentration of the largest induced tree size of $G_{n,p}$ around the standard expectation threshold
Institute for Computer Science, Heidelberg University（海德堡大学计算机研究所）
本文研究了二项随机图$G_{n,p}$中最大诱导树大小的集中性，证明在特定$p$范围内，该大小无法围绕标准期望阈值集中。
2026-03-09 math.CO
Note on down-set thresholds
该研究针对下集阈值问题，给出无三角形图下集阈值与分数期望阈值间多项式间隙的更简洁证明，并将该结果推广至无F图的下集。
2023-10-25 math.CO math.PR
A Proof of the Kahn-Kalai Conjecture
本文证明了 Kahn-Kalai 期望阈值猜想，建立了递增性质的阈值与期望阈值之间的对数因子上界关系，解决了组合数学中的一个重要公开问题。
2023-04-13 cs.DM math.CO math.PR
Hamiltonian cycles above expectation in r-graphs and quasi-random r-graphs
设$H_r(n,p)$表示密度为$p \in (0,1)$的$n$ -顶点$r$ -图中的最大哈密顿圈数.随机$r$图模型$G_r(n,p)$中的哈密顿圈的期望数目是$E(n,p)=p^n(n-1)!/2$，而在具有$m=p\binom{n}{r}$的随机图模型$G_r(n,m)$中，它实际上略小于$E(n,p)$ .对于图，证明了$H_2(n,p)$只比$E(n,p)$大一个多项式因子，而密度为$p$的拟随机图是否能比$E(n,p)$大一个多项式因子是一个公开问题.对于超图（即$r \ge 3$），情况完全不同。对所有的$r \ge 3$，证明了$H_r(n,p)$比$E(n,p)$大一个{ \em指数}因子，并且存在密度为$p$的拟随机$r$ -图，其哈密顿圈数比$E(n,p)$大一个指数因子.
2022-01-01 math.CO
A sharp version of Talagrand's selector process conjecture, with applications to rounding fractional covers and Bernoulli Sudakov minoration
University of Chicago（芝加哥大学）；Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文证明了Talagrand选择子过程猜想的锐化版本，统一加强该猜想与Kahn-Kalai猜想，并应用于分数覆盖取整及一般正选择子过程的Sudakov下界原理。
2026-09-09 cs.DM math.CO math.PR
Expectation of the Largest bet size in Labouchere System
对于每次获胜概率为$p$的Labouchere系统，证明了当$p>\frac{1}{2}$时，在任意初始列表下的最大赌注大小的期望是有限的，当$p\le \frac{1}{2}$时，最大赌注大小的期望是无限的，从而解决了Grimmett和Stirzaker（2001）中的一个公开猜想.同样的结果适用于一般的赌博系统家族，并且证明建立在更大家族中的最优赌博系统的递归表示上。
2019-01-07 cs.DM cs.IT math.CO
On a problem of M. Talagrand
本文讨论了M的一个猜想的一个特例。Talagrand关于有限集$V$的子集的递增族$\mathcal F$的“阈值”的两个概念。完整的猜想意味着“分数期望阈值猜想”的等价性，由于Talagrand和最近证明的作者和B。Narayanan的“期望阈值猜想”以及第二作者和G.卡莱这里讨论的猜想说，存在一个固定的$L$，如果对于给定的$\mathcal F$，$p\in [0,1]$允许$λ:2^V \rightarrow \mathbb R^+$与\[ \mbox{$\sum_{S\subseteq F}λ_S\ge 1 ~~\forall F\in \mathcal F$} \]和\[ \mbox{$\sum_Sλ_Sp^{|S|} \le 1/2$} \]（a.k.a. $\mathcal F$是弱$p$ -小），则$p/L$允许这样的$λ$在$\{0,1\}$中取值（$\mathcal F$是$(p/L)$ -小）。Talagrand在单例支持$λ$时证明了这一点，并建议在双例支持$λ$时证明这一点，作为一个更具挑战性的测试案例。目前的工作提供了这样的证明。
2021-05-23 math.CO
