We discuss the optimal Markovian coupling before an exponential time of the Kolmogorov diffusion, and a class of related stochastic control problems in which the aim is to hit the origin before an exponential time. We provide a scaling argument for the optimal control in the near field and use rational WKB approximation to obtain the optimal control in the far field, and compare these analytical results with numerical experiments.
In some of these optimal control problems, in which the advection velocity field is bounded, we show that the probability of success field agrees exactly with its leading-order asymptotic approximation in some areas of the plane, up to an undetermined multiplicative constant. We conjecture a necessary and sufficient condition for this behaviour, which is strongly supported by numerical experiments.
Coupling the Kolmogorov Diffusion: maximality and efficiency considerations
这是一个案例研究概率耦合的幂零扩散发生率。我们专注于最简单的情况下Kolmogorov扩散（布朗运动连同其时间积分，或者，稍微更一般地说，连同有限数量的迭代时间积分）。在这种情况下，不可能有马尔可夫最大耦合。实际上，马尔可夫耦合甚至不能是有效的（扩展Burdzy和Kendall的术语，Efficient Markovian coupling：examples and counterexamples; Annals of Applied Probability，2000）。最后，至少在单时间积分的经典情况下，不可能选择一个马尔可夫耦合，这是最佳的意义上，同时最小化失败的概率耦合的时间t为所有积极的t。为了补偿所有这些负面的结果，我们表现出一个简单有效的非马尔可夫耦合。
A selection procedure for extracting the unique Feller weak solution of degenerate diffusions
本文证明了对于一类具有连续漂移和扩散系数的退化扩散的鞅问题，非退化逼近的小噪声极限导致唯一的Feller极限.该证明使用了应用于相关向后Kolmogorov方程的黏性解理论。在适当的漂移系数和扩散系数条件下，我们建立了鞅问题的Feller解与Kolmogorov方程的连续黏性解之间的比较原理和一一对应关系.这项工作可以被认为是对V.S. Borkar和K. S. Kumar（2010年）。
A proof that deep artificial neural networks overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of Kolmogorov partial differential equations with constant diffusion and nonlinear drift coefficients
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
近年来，深度人工神经网络（DNN）已经成功地用于大量计算问题的数值模拟，包括例如对象和面部识别、自然语言处理、欺诈检测、计算广告以及偏微分方程（PDE）的数值逼近。这些数值模拟表明，DNN似乎具有基本的灵活性，以克服维数灾难的意义上说，用于描述DNN的实参数的数量最多多项式增长在规定的近似精度$ \varepsilon > 0 $的倒数和DNN的目的是近似在这样的计算问题的功能的尺寸$ d \in \mathbb{N}$。科学文献中也有大量关于人工神经网络的严格数学近似结果，但只有少数特殊情况下，文献中的结果可以严格证明DNN在高维函数近似中的成功。本文的主要贡献是揭示了DNN确实克服了具有常数扩散和非线性漂移系数的Kolmogorov偏微分方程的数值逼近中的维数灾难。我们证明了用于描述所采用的DNN的参数的数量在PDE维度$ d \in \mathbb{N}$和规定的近似精度$ \varepsilon > 0 $的倒数中最多多项式地增长。我们证明中的一个关键因素是，用于近似PDE解的人工神经网络确实是一个具有大量隐藏层的深度人工神经网络。
Forward and Backward Governing EQuations for Anomalous Diffusion Models Based on the Continuous Time Random Walk
连续时间随机游动（Continuous Time Random Walks，CTRW）是一种跳跃过程，跳跃之间具有随机的等待时间.我们研究了CTRW的缩放限制，其中跳跃和等待时间的分布是耦合的，并在空间和时间上变化。这样的过程模拟例如空间和时间依赖的势中的异常扩散过程。给出了CTRW过程收敛的条件，并用四个系数描述了极限。导出了含非局部时间算子的Kolmogorov向前和向后方程，并给出了三种反常扩散模型：i）含时势的次扩散，ii）含空间变化等待时间的次扩散和iii）含空间和时间漂移的Lévy行走.
Approximation properties of Residual Neural Networks for Kolmogorov PDEs
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
近年来，由[He，K.，张，X.，Ren，S.，和Sun，J.，Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition（2016），770-778]在大量应用中变得非常流行，包括图像分类和分割。它们为训练非常深的神经网络提供了一个新的视角，而不会遇到消失梯度问题。在这篇文章中，我们证明了ResNets能够近似具有常数扩散和可能的非线性漂移系数的Kolmogorov偏微分方程（PDE）的解，而不会遭受维数灾难，也就是说近似ResNets的参数数量最多以近似精度$\varepsilon > 0$和所考虑PDE $d\in\mathbb{N}$的维数的倒数多项式增长。我们在[Jentzen，A.，Salimova，D.，和Welti，T.，Commun.数学科学19，5（2021），1167-1205] -他对前馈神经网络（FNN）显示了类似的结果-ResNets。与FNN相比，ResNets的Euler-Maruyama近似结构大大简化了近似ResNets的构造。此外，与上述工作相反，在我们使用ResNets的证明中，不需要存在表示身份映射的FNN（或ResNet），这扩大了适用的激活函数集。
