Gradient Bounds for Kolmogorov Type Diffusions
Fabrice Baudoin, Maria Gordina, Phanuel Mariano
研究了Kolmogorov型算子生成的扩散半群的梯度界和其它泛函不等式。重点是两种不同的方法：耦合技术和广义$Γ$演算技术。这些方法的优点和缺点进行了讨论。
We study gradient bounds and other functional inequalities for the diffusion semigroup generated by Kolmogorov type operators. The focus is on two different methods: coupling techniques and generalized $Γ$-calculus techniques. The advantages and drawbacks of each of these methods are discussed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Estimates for the distances between solutions to Kolmogorov equations with diffusion matrices of low regularity
本文研究了Kolmogorov方程在低正则性扩散矩阵下的解间距离估计，提出了一种不依赖Sobolev导数的新方法。
Kolmogorov Equations and Weak Order Analysis for SPDES with Nonlinear Diffusion Coefficient
我们提供了新的规律性的结果与非线性扩散系数和Burgers型非线性SPDE的Kolmogorov方程的解决方案。这推广了以前的结果，在更简单的情况下，添加剂或仿射噪声。的基本工具是一个离散版本的双边随机积分，允许一个新的制定这些解决方案的衍生物。我们证明了这可以用来推广[16]中的弱序分析。我们开发的工具是非常通用的，可以用来研究许多其他应用程序的例子。
An application of the Gaussian correlation inequality to the small deviations for a Kolmogorov diffusion
我们考虑一个迭代Kolmogorov扩散$X_{t}$的步骤$n$。利用高斯相关不等式解决了$X_{t}$的小球问题。我们还证明了钟的法律重对数$X_{t}$在时间零和无穷大。
Functional Itō calculus in Hilbert spaces and application to path-dependent Kolmogorov equations
最近，函数伊藤演算已被引入和发展在有限维连续半鞅的泛函。利用不同的技巧，我们发展了一个泛函伊藤演算的泛函Hilbert空间评价扩散。在这方面，我们首先证明了一个路径依赖伊藤公式，然后我们展示了应用程序的经典解的路径依赖Kolmogorov方程在希尔伯特空间，并推出一个Clark-Ocone型公式。最后，我们明确地验证，所有的理论开发可以应用到一类由偏微分方程驱动的扩散与路径相关的漂移（适当定期）和恒定的扩散系数。
Quasi-invariance for infinite-dimensional Kolmogorov diffusions
证明了无限维Kolmogorov及相关扩散的热核测度的Cameron-Martin型拟不变性结果。我们首先研究了这些扩散的适当的有限维近似的定量函数不等式，我们证明了这些不等式与维数无关的系数。应用Baudoin，Driver，Gordina和Melcher以前开发的方法，这些统一的界限，然后可以用来证明，某些这些无限维扩散的热核测度是准不变的初态的变化下。
Nonlinear Fokker--Planck--Kolmogorov equations as gradient flows on the space of probability measures
本文提出一种不依赖度量结构的微分几何方法，将非线性Fokker--Planck--Kolmogorov方程识别为概率测度空间上的梯度流，明确熵函数与能量泛函，证明唯一性及梯度场逼近，涵盖经典与广义多孔介质方程。
Asymptotic behaviour for a time-inhomogeneous Kolmogorov type diffusion
研究了一类具有非线性时均拖曳力和布朗型随机力的动力学随机模型。更确切地说，Kolmogorov型扩散$(V,X)$被认为是：这里$X$是粒子的位置和$V$是它的速度，是由一维布朗运动驱动的随机微分方程的解决方案，与形式$t^{-β}F(v)$的漂移。函数$F$满足一定的齐性条件，且$β$为正.利用随机分析工具证明了过程$(V,X)$在大时间内的行为。
On the fundamental solution and a variational formulation of a degenerate diffusion of Kolmogorov type
本文构造了一类Kolmogorov型退化扩散方程的基本解，并对其伴随方程发展了一个时间离散变分格式。所谓的均方导数费用函数在基本解和变分方案中都起着至关重要的作用。后者是通过最小化自由能功能相对于Kantorovich最优输运成本功能与均方导数成本。我们建立了该计划的伴随方程的解决方案的收敛性推广以前已知的结果为福克-普朗克方程和Kramers方程。
Sub-diffusion processes in Hilbert space and their associated stochastic differential equations and Fokker-Planck-Kolmogorov equations
本文研究了时变Q-Wiener过程，这是一个希尔伯特空间值次扩散过程.它是关于适当滤子的鞅，因此关于它的随机积分可定义。对于所得积分，导出了两个变量变换公式。利用积分对偶定理，讨论了时变Q-Wiener过程驱动的随机微分方程解的存在唯一性定理.相关的分数阶Fokker-Planck-Kolmogorov方程是使用时变的伊藤公式或对偶性导出的。建立了由Q-Wiener过程、圆柱Wiener过程和鞅测度的时变版本驱动的三个积分之间的联系。
Second order McKean-Vlasov SDEs and kinetic Fokker-Planck-Kolmogorov equations
本文研究了系数可测且依赖于密度分布的二阶随机微分方程。通过建立具有分布值非齐次项的动力学Fokker-Planck-Kolmogorov方程的最大值原理，在较弱的假设下证明了该方程弱解的存在性.此外，利用最近在\cite{GIMV19}中得到的Hölder正则性估计，我们还证明了当扩散系数仅依赖于位置变量（不一定连续）时广义鞅问题的适定性.即使在非密度分布依赖的情况下，这似乎是第一个关于可测扩散系数的微分方程的适定性的结果。
Coupling the Kolmogorov Diffusion: maximality and efficiency considerations
这是一个案例研究概率耦合的幂零扩散发生率。我们专注于最简单的情况下Kolmogorov扩散（布朗运动连同其时间积分，或者，稍微更一般地说，连同有限数量的迭代时间积分）。在这种情况下，不可能有马尔可夫最大耦合。实际上，马尔可夫耦合甚至不能是有效的（扩展Burdzy和Kendall的术语，Efficient Markovian coupling：examples and counterexamples; Annals of Applied Probability，2000）。最后，至少在单时间积分的经典情况下，不可能选择一个马尔可夫耦合，这是最佳的意义上，同时最小化失败的概率耦合的时间t为所有积极的t。为了补偿所有这些负面的结果，我们表现出一个简单有效的非马尔可夫耦合。
Optimally coupling the Kolmogorov diffusion, and related optimal control problems
讨论了Kolmogorov扩散在指数时间之前的最优马氏耦合，以及一类相关的随机控制问题，其目标是在指数时间之前到达原点.我们提供了一个尺度参数的最优控制在准域和使用合理的WKB近似获得的最优控制在远场，并比较这些分析结果与数值实验。在一些这些最优控制问题，其中的平流速度场是有界的，我们证明了成功的概率场完全同意其领先的顺序渐近近似在某些地区的平面，一个待定的乘法常数。我们猜想一个充要条件，这是强有力的数值实验支持这种行为。
Heavy-tailed fractional Pearson diffusions
我们定义了重尾分数倒数伽玛和Fisher-Snedecor扩散的非马尔可夫时变相应的皮尔逊扩散。皮尔逊扩散是由具有空间变化多项式系数的后向Kolmogorov方程控制的，并且在应用中被广泛使用。相应的分数倒数伽玛和Fisher-Snedecor扩散由分数向后Kolmogorov方程控制，并在稳态下具有重尾边缘分布。我们得到了分数阶倒向Kolmogorov方程的分数阶倒数伽玛扩散和Fisher-Snedecor扩散的转移密度的显式表达式以及相应的Cauchy问题的强解.
Intrinsic Hardy inequality for fractional Kolmogorov operator
本文研究了当漂移项对原点的吸引力强度取临界值时，非局部扩散算子的Hardy不等式。
Remarks on parabolic Kolmogorov operator
本文研究含奇异漂移的抛物型 Kolmogorov 方程，通过建立解的梯度估计构造 Feller 演化族，进而得到对应随机微分方程的唯一弱解。
Fokker--Planck and Kolmogorov Backward Equations for Continuous Time Random Walk scaling limits
证明了连续时间随机游动的标度极限分布解扩散过程的类似于Fokker-Planck方程的积分微分方程。与以前的结果相反，它不假设基本过程具有绝对连续的规律。推导了后向变量的控制方程。反常扩散过程的三个例子说明了理论。
Regularity of solutions to Kolmogorov equations with perturbed drifts
证明了Ornstein-Uhlenbeck算子$L$的一阶扰动$v$生成的定常Kolmogorov方程的概率解关于满足非扰动方程的高斯测度具有高可积密度，只要$v$是充分可积的.在曲率条件$CD(θ,\infty)$下，证明了与马尔可夫半群生成元有关的不等式解的类似估计。对于$L^p$的扰动，得到了Log-Sobolev不等式的一个类似形式.它也证明了在高斯的情况下，密度的梯度是可积的所有权力。我们得到的密度和它的梯度，这也涵盖了无限维的情况下，无量纲的界限。
Generalized gradient structures for measure-valued population dynamics and their large-population limit
我们考虑了前向Kolmogorov方程对应的测度值过程源于一类相互作用粒子系统的人口动力学，包括变化的Bolker-Pacala-Dieckmann-Law模型。在详细平衡的假设下，我们提供了一个严格的广义梯度结构，其中包含了粒子生与死产生的通量。此外，在大人口的限制，我们显示的前向Kolmogorov方程的Liouville方程，这是一个传输方程与平均场极限的基本过程的收敛。此外，我们还证明了相应梯度结构在能量耗散原理意义下的收敛性，并由此建立了粒子系统的混沌传播结果，导出了平均场极限下的广义梯度流公式.
Degenerate Diffusion Operators Arising in Population Biology
我们分析了一类偏微分方程，出现“向后Kolmogorov算子”在无穷总体限制的赖特-费舍尔模型在人口遗传学和数学金融。这些是定义在有角流形上的退化椭圆算子。经典的例子是Kimura扩散算子，它作用于定义在R^n中的单形上的函数。引入各向异性的Holder空间，证明了由这类算子所定义的热解方程和预解方程的存在性、唯一性和正则性.这足以证明C^0-图闭包生成强连续半群，并且相关的鞅问题有唯一解。我们给出了前向Kolmogorov算子的零空间的详细描述。
Weighted derivative estimates for Kolmogorov equations
针对系数满足特定条件的扩散过程，本文结合李雅普诺夫函数等理论，建立了柯西问题解的空间导数及SDE关于初值导数的显式估计，为相关研究提供了关键的定量结果。
Log-Sobolev-type inequalities for solutions to stationary Fokker-Planck-Kolmogorov equations
我们证明了由Ornstein-Uhlenbeck算子的漂移项$-x$的$μ$ -可积扰动$v$得到的满足定态Fokker-Planck-Kolmogorov方程的每个概率测度$μ$关于相应的高斯测度$γ$是绝对连续的，并且对于密度$f=dμ/dγ$，对于所有$α<1/4$，通过$\|v\|_{L^1(μ)}$估计$f |\log (f+1)|^α$对$γ$的积分，这是对数Sobolev不等式的弱化的$L^1$ -模拟。这意味着其漂移是$-x$的可积扰动的扩散的平稳测度关于高斯测度是绝对连续的。
Calculus via regularizations in Banach spaces and Kolmogorov-type path-dependent equations
本文介绍了巴拿赫空间中正则化随机分析的基本思想及其在研究扩散过程的“窗口”与路径相关的Kolmogorov方程严格解中的应用。一个使之间的联系的巴拿赫空间的方法和所谓的功能随机分析。当没有严格的解决方案是一个描述的概念强黏性解替代（在无限维）的经典概念的黏性解。
Convergence rate of the Smoluchowski-Kramers approximation for diffusions with jumps
该研究针对带跳扩散过程的Smoluchowski-Kramers近似问题，利用Kolmogorov距离结合Malliavin分析方法，推导得出了该近似的收敛速率。
A proof that deep artificial neural networks overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of Kolmogorov partial differential equations with constant diffusion and nonlinear drift coefficients
近年来，深度人工神经网络（DNN）已经成功地用于大量计算问题的数值模拟，包括例如对象和面部识别、自然语言处理、欺诈检测、计算广告以及偏微分方程（PDE）的数值逼近。这些数值模拟表明，DNN似乎具有基本的灵活性，以克服维数灾难的意义上说，用于描述DNN的实参数的数量最多多项式增长在规定的近似精度$ \varepsilon > 0 $的倒数和DNN的目的是近似在这样的计算问题的功能的尺寸$ d \in \mathbb{N}$。科学文献中也有大量关于人工神经网络的严格数学近似结果，但只有少数特殊情况下，文献中的结果可以严格证明DNN在高维函数近似中的成功。本文的主要贡献是揭示了DNN确实克服了具有常数扩散和非线性漂移系数的Kolmogorov偏微分方程的数值逼近中的维数灾难。我们证明了用于描述所采用的DNN的参数的数量在PDE维度$ d \in \mathbb{N}$和规定的近似精度$ \varepsilon > 0 $的倒数中最多多项式地增长。我们证明中的一个关键因素是，用于近似PDE解的人工神经网络确实是一个具有大量隐藏层的深度人工神经网络。
Diffusive limit of random walks on tessellations via generalized gradient flows
我们通过变分方法研究了镶嵌上可逆随机游动的渐近极限，该方法依赖于相应的前向Kolmogorov方程的特定广义梯度流公式。我们建立了一个充分条件下的序列的镶嵌和跳跃强度的序列下，一个序列的随机游动收敛到一个扩散过程与一个可能的空间依赖的扩散张量。
Stability of densities for perturbed degenerate Diffusions
研究了一类Kolmogorov型退化扩散过程的密度对非退化分量系数扰动的敏感性。在适当的（相当尖锐的）假设下，我们量化了微扰对密度的影响。这些结果的自然应用出现在从数学金融到动力学模型的各个领域。
Gradient estimates for porous medium and fast diffusion equations by martingale method
本文建立了多孔介质方程和快速扩散方程正解的局部和整体梯度估计。我们的证明是概率的，并使用鞅技术。
Small-time fluctuations for the bridge in a model class of hypoelliptic diffusions of weak Hörmander type
我们研究了亚椭圆扩散过程的小时间渐近条件下，其初始和最终的位置，在一个模型类的扩散满足弱Hörmander条件，其中扩散率是常数和漂移是线性的。我们表明，虽然扩散桥可以表现出爆破行为在小的时间限制，我们仍然可以使适当的重新缩放的波动收敛弱的意义。我们明确地描述了与无条件扩散相关的数量的极限波动过程。在例子的讨论中，我们还找到了一个表达式的桥梁从0到0的时间1的迭代Kolmogorov扩散。
Nonlinear diffusion equations with nonlinear gradient noise
证明了具有非线性保守梯度噪声的非线性扩散方程熵解的存在唯一性。作为具体的应用，我们的结果包括随机多孔介质方程，以及一维随机中曲率流的图形形式。
Multidimensional SDE with distributional drift and Lévy noise
本研究突破Young区域正则性限制，基于仿控分布分析低正则下的Kolmogorov倒向方程，结合奇异鞅问题求解带分布漂移与对称α-稳定Lévy噪声的多维SDE，并构造了带Lévy噪声的布罗克斯扩散。
Time changed spherical Brownian motions with longitudinal drifts
本文研究带纵向漂移的二维球面扩散过程的时间变换，通过谱分解法求解时间非局部Kolmogorov方程强解，构造复合过程得到解的随机表示与谱分解，给出低正则初始数据下的极弱解，并证明该过程为反常扩散，改进了已有结果。
Essential m-dissipativity and hypocoercivity of Langevin dynamics with multiplicative noise
我们提供了一个完整的阐述$L^2$ -希尔伯特空间hypovivity定理的退化Langevin动力学与乘性噪声，研究的长期行为的强连续压缩半群解决抽象柯西问题的相关向后Kolmogorov算子。Dolbeault，Mouhot和Schmeiser在相应的Fokker-Planck框架下证明了具有常数扩散矩阵的Langevin动力学的假设性，Grothaus和Stilgenbauer在Kolmogorov向后设置下证明了该假设性。我们将这些结果推广到弱可微的扩散系数矩阵，在相应的随机微分方程中引入乘性噪声。收敛的收敛速率是根据这些系数的选择和给出外力的势显式计算的。为了得到抽象Cauchy问题的解，我们首先利用Bogachev，Krylov和Röckner的椭圆正则性结果和技巧证明了希尔伯特空间上非退化椭圆Dirichlet算子的本质自伴性.利用算子扰动理论得到了Kolmogorov算子的本质m-耗散性，推广了Conrad和Grothaus的m-耗散性结果.我们强调，选择Kolmogorov方法是自然的，广义Dirichlet形式的理论意味着随机表示的Langevin半群的过渡内核的扩散过程提供了一个鞅解的Langevin方程乘性噪声。此外，我们证明了即使是一个弱解是获得这种方式。
Dynamical properties and characterization of gradient drift diffusions
研究了以$σ{\rm Id}$为扩散系数矩阵，以$b=\nabla U$为漂移向量的布朗扩散的动力学性质.我们通过等式$D^2_+=D^2_-$来刻画这个类，其中$D_{+}$（分别为）$D_-$）表示前向（或向后）Nelson型随机导数。我们的证明是基于一个显着的身份为$D_+^2-D_-^2$和使用的鞅问题。我们也给出了一个新的提法著名定理Kolmogorov可逆扩散。最后，我们将我们的表征的一些问题的复杂的随机嵌入的牛顿方程，最初的动机，这项工作。
Gradient Estimates for Nonlinear Diffusion Semigroups by Coupling Methods
我们的目的是利用耦合方法得到某些非线性偏微分方程的梯度估计。首先，我们基于Wang（2011）提出的耦合方法和后向偏微分方程理论，得到了一类半线性偏微分方程的一致梯度估计。然后将Wang的耦合推广到$G$ -期望空间，得到了非线性扩散半群的梯度估计，它对应于一类完全非线性偏微分方程的解.
Stein's method for steady-state diffusion approximations: an introduction through the Erlang-A and Erlang-C models
本文介绍了Stein方法框架的背景下，稳态扩散近似。该框架由三个部分组成：泊松方程和梯度界限，发电机耦合，和力矩界限。在Erlang-A和Erlang-C模型的设置下工作，我们证明了Wasserstein和Kolmogorov距离之间的平稳分布的归一化的客户计数过程，并适当定义的扩散过程以$1/\sqrt{R}$的速率减少，其中$R$是提供的负载。此外，这些误差界是\emph{universal}，在从轻负载到重负载的任何负载条件下都有效。
Hypocoercivity for non-linear infinite-dimensional degenerate stochastic differential equations
本文研究非线性无穷维退化随机微分方程，用预解式方法构造无穷维Langevin动力学弱解，结合亚耗散性方法与算子本质m-耗散性结果，证明L²指数遍历性，并应用于显式退化扩散方程。
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