Three models for the homotopy theory of homotopy theories
给定任何模型范畴，或更一般地，任何具有弱等价的范畴，其单纯局部化是一个单纯范畴，可以正确地称为模型范畴的“同伦理论”。在单纯范畴的范畴上有一个模型范畴结构，所以取它的单纯局部化就产生了“同伦理论的同伦理论”。“在本文中，我们证明了有两种不同的单纯集图，每一种都有一个适当的弱等价定义，使得由此产生的同伦理论都等价于单纯范畴上的模型范畴结构所产生的同伦理论。因此，这三个范畴中的任何一个都可以被认为是同伦理论的同伦理论的模型。其中之一，特别是Rezk的完整Segal空间模型范畴结构的范畴单纯空间，是更方便的角度作出计算，因此获得有关信息的一个给定的同伦理论。
2007-04-12 math.AT math.CT
Algebraic models of homotopy types and the homotopy hypothesis
引入并研究了与Grothendieck凝聚子类似的柱面凝聚子的概念，它定义了更灵活的弱无穷广群胚的概念。我们表明，每个这样的圆柱coherator产生一个组合半模型范畴的弱无穷广群，其对象都是不可数的，这是在一个精确的意义上“自由生成的对象”。我们证明了所有这些半模型范畴都是Quillen等价的，并且Quillen等价于空间的模型范畴。给出了产生这种相干子的一般过程，并给出了几个明确的例子：一个是单纯的性质，并允许比较空间的模型范畴。第二个例子可以被描述为赋予“所有可以在弱类型理论中定义的操作”的球形集合的范畴。这第二个概念似乎提供了弱无穷广群胚的定义，它可以在类型论内部定义，并且在经典上等价于同伦类型。最后，一个固定的Grothendieck凝聚子的Grothendieck无穷广群范畴将是一个例子，这种形式主义下一个看似简单的猜想，其有效性表明暗示Grothendieck同伦假设。这个猜想似乎总结了需要在技术层面上证明，以确保格罗滕迪克弱无穷广群理论是良好的行为。
2016-09-15 math.AT math.CT
Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part I: basic homotopy theory
本文发展了弱omega范畴的单形理论的基础，它建立在Ross Street在1987年关于定向单形的论文中最初阐述的见解之上。由此产生的理论弱复杂集提供了一个共同的概括理论的（严格）欧米茄类别，康复合物和Joyal的准类别。我们概括了一些结果，由于目前的作者关于复杂集和严格的欧米茄类别提供了一个军械库的表现良好的技术设备，如连接和灰色张量积，这将被用来研究这些弱欧米茄-范畴论的这些结构在一系列的同伴论文。特别地，我们通过构造以弱复集为映射对象的层单纯集范畴上的Quillen模型结构，建立了它们的基本同伦理论。作为一个简单的推论，这项工作，我们提供了一个独立的建设Joyal的模型结构的单纯集的准范畴的对象。
2006-07-12 math.AT math.CT
Concurrent Process up to Homotopy (II)
证明了直到双同伦的球CW-复形范畴等价于直到弱双同伦的流范畴。这个定理推广了经典定理，即CW-复形的同伦范畴等价于拓扑空间范畴的弱同伦范畴。本文是第二篇介绍数学成果的文章。AT/0201252。
2003-02-24 math.AT math.CT
A simplicial model for proper homotopy types
空间X的奇异单纯集Sing（X）完全捕获了它的弱同伦型。引入了一个_控制集_范畴，得到了_单纯控制集_，使得可以从局部紧集X函生成一个奇异单纯控制集CSing（MaxCtl（X））.然后，我们认为这个CSing（MaxCtl（X））捕获了X的（weak）_proper_同伦类型。此外，我们的技术严格概括了经典的单纯性情况：例如，统一地得到了紧支撑下的奇异同调和局部有限支撑下的（Borel-Moore）奇异同调以及相应的上同调.
2009-03-04 math.AT math.CT
$A_{\infty}$-structures in monoidal DG categories and strong homotopy unitality
本文在任意幺半DG范畴中借助无界扭曲复形定义A∞代数、余代数、模与余模，引入强同伦幺性，构造自由-遗忘同伦伴随及导出范畴，并证明A∞代数与余代数的同伦伴随给出导出模-余模等价，应用于A∞单子与增强正合单子。
2023-11-29 math.AG math.AT math.CT
Simplicial and categorical comma categories
我们考虑四个类别：O上的小范畴的（逗号）范畴，O上的单纯集的（逗号）范畴，O上的神经上的单纯集的（逗号）范畴，O上的小范畴O上的小范畴的图范畴。弗里奇和Golasinski声称，这四个类别有等价的同伦类别，但事实上，他们的证明包含一个错误和同伦类别是不等价的弱等价，他们使用的逗号类别。本文证明了正确的弱等价是Latch定义的“弱纤维同伦等价”。我们还构造了NO上单纯集范畴的一个模型范畴结构，其中弱等价是弱纤维同伦等价。
2000-11-29 math.AT math.CT
On the homotopy theory of Grothendieck \infty-groupoids
本文对Grothendieck在《追求堆栈》中提出的弱\infty-广群的概念作了一个改进，并研究了这些\infty-广群的同伦理论.证明了Grothendieck \infty-广群胚的同伦群的明显定义不依赖于任何选择。这使得我们能够给出Grothendieck \infty-广群胚弱等价的等价刻画，推广了严格\infty-广群胚的一个著名结果.另一方面，给定一个模型范畴M，其中每个对象都是群胚，我们在Grothendieck之后构造了一个从M到Grothendieck \infty-群胚范畴的基本\infty-群胚函子_PDMATHABMM.证明了若X是M的一个对象，则M_PDMATHABMM（X）的同伦群与X的同伦群正则同构.我们推出函子\infty尊重弱等价。
2012-09-26 math.AT math.CT
Abstract homotopical methods for theoretical computer science
本文的目的是收集同伦方法用于流理论的发展，由作者的论文“同伦理论的一个模型范畴”发起。利用弱因子分解系统给出了经典的Whitehead定理的推广，从而反演了CW-复形之间的弱同伦等价。给出了利用Quillen算子和Reedy范畴计算同伦极限和同伦余极限的方法。
2007-07-10 math.AT math.CT
Higher weak (co)limits, adjoint functor theorems, and higher Brown representability
证明了弱（余）完备$n$ -范畴的一般伴随函子定理。这类$n$ -范畴包含了（共）完备$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴，所以这些$n$ -范畴一般不允许所有的小（共）极限.我们还引入了（同伦）$n$ -范畴的Brown可表示性，并证明了紧生成的$n$ -范畴的局部化的Brown可表示性定理.这类$n$ -范畴包括可表示$\infty$-范畴的同伦$n$-范畴（如果$n \geq 2$）和可表示稳定$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴（对于任何$n \geq 1$）.
2022-08-02 math.AT math.CT
Shape of compacta as extension of weak homotopy of finite spaces
我们构造了一个范畴，它将紧T2空间按其形状分类，将有限拓扑空间按其弱同伦类型分类。
2021-10-06 math.CO math.CT math.GT
Dwyer-Kan homotopy theory of enriched categories
本文在满足幺半群公理的组合闭对称幺半模范畴上的富集小范畴范畴中，建立了以 Dwyer-Kan 等价为弱等价的模型结构。
2014-03-10 math.AT math.CT
Presheaves of groupoids as models for homotopy types
本文引入广群（弱）测试范畴概念，证明其与弱测试范畴及测试范畴的等价关系，并由此得出带连接立方集、胞腔集和半单纯集等内部广群范畴可作为同伦类型的新模型。
2023-11-28 math.AT math.CT
Stable homotopy hypothesis in the Tamsamani model
我们证明了Tamsamani模型中的对称monoidal弱n-群胚提供了稳定n-型的模型。此外，我们恢复经典的说法，皮卡范畴模型稳定的1-类型。
2020-06-13 math.AT math.CT
A classification of small homotopy functors from spectra to spectra
我们证明了从谱到谱的每一个同伦函子都弱等价于一个滤除的可表示函子的余限。此外，我们提出了这种分类作为一个Quillen等价类的小函子从谱到谱配备了同伦模型结构和相反的亲范畴的严格模型结构的谱。
2015-11-03 math.AT math.CT
A modern perspective on rational homotopy theory
University of Virginia（弗吉尼亚大学）
本文通过现代方法扩展了Quillen的模型结构，将理性同调等价和理性空间的概念推广至更广泛的空间范畴。
2026-02-11 math.AT math.CT
Internal and local homotopy theory
在Grothendieck topos中有一个关于单纯对象的完善的同伦理论，民间传说说弱等价在$L_{ω_1, ω}$的几何片段中是可公理化的。我们表明，它实际上是一个理论的预层型，即分类的预层拓扑。作为推论，我们得到了一个新的证明，证明了作为局部弱同伦等价的单纯预层的局部Kan纤维化正是具有期望的局部提升性质的态射.
2014-04-30 math.AT math.CT math.LO
Detecting isomorphisms in the homotopy category
该研究通过构造大对称群反例证明非基点空间同伦范畴无共同反射同构的对象集，同时指出同伦2-范畴中球面可共同反射等价，并证伪了Heller论证所依赖的超限序列图弱余极限相关命题。
2023-08-08 math.AT math.CT
On The Homotopy Type of Higher Orbifolds and Haefliger Classifying Spaces
我们描述了各种等价的方式相关联的orbifold，或更一般的高étale可微堆栈，弱同伦类型。其中的一些方法推广到光滑流形上的任意高阶栈，并且我们证明了对于由李群胚G产生的可微栈X，X的弱同伦型与BG的弱同伦型一致。利用这种机制，我们能够找到新的介绍弱同伦型的某些分类空间。特别地，我们给出了李群G在作为范畴分类空间的光滑流形M上几乎自由作用的Borel构造的一个新的表示，该范畴的对象由光滑映射R^n到M组成，这些光滑映射横截所有G-轨道，其中n=dim M - dim G.我们还证明了Segal定理的一个推广，它把Haefliger群胚$Γ^q$的弱同伦型表示为R^q的自嵌入幺半群的分类空间，并且我们的推广给出了李群胚$Γ^{Sp}_{2q}$和$RΓ^q$的弱同伦型的类似表示，它们分别与横辛形式和横度量的叶理分类有关.我们也给出了一个简短而简单的证明西格尔的原始定理使用我们的机器。
2015-04-09 math.AT math.CT math.DG
Weak representations, representations up to homotopy, and VB-groupoids
本文引入李群胚$G$的弱表示。我还表明，有一个等价的类别之间的类别的2项表示同伦和弱表示的$G$。此外，我证明了任何VB-广群同构于一个与其核广群上的弱表示相关联的作用广群;这种关系定义了$G$的弱表示范畴与$G$上的VB-广群范畴之间的范畴等价。
2017-04-17 math.CT math.DG math.SG
The Homotopy Theory of $A_\infty$Categories
本文研究了$A_\infty$范畴的同伦理论，引入半自由范畴概念并证明非单位范畴的分解性质。
2024-08-09 math.AG math.AT math.CT
The classical homotopy category is cartesian closed
该研究证明所有拓扑空间与映射同伦类构成的经典同伦范畴是笛卡尔闭的，还指出其对应的(∞,1)-范畴局部化后也满足该性质，通过特定拓扑空间建模指数对象并以弱同伦等价验证泛性质。
2026-10-14 math.AT math.CT
Simplicial presheaves of coalgebras
在小Grothendieck点上的交换单位环的预层上的单纯R-余代数范畴被赋予了左真的、单纯的、余纤维生成的模型范畴结构，其中弱等价是基础单纯预层的局部弱等价。这个模型范畴自然地与单纯预层的R-局部同伦理论和Quillen算子的单纯R-模的同伦理论联系在一起。在R是代数闭（或完全）域的预层的特殊情况下，我们研究了与单纯预层的R-局部同伦范畴的比较。若R是代数闭域的一个预层，证明了单纯预层的R-局部同伦范畴完全忠实地嵌入单纯R-余代数的同伦范畴.
2011-03-14 math.AT math.CT
Homotopy reflectivity is equivalent to the weak Vopěnka principle
本文证明单纯集、谱及可展示 ∞-范畴中的任意映射类局部化等反射性陈述均等价于弱 Vopěnka 原理，并借助 Wilson 2020 年的相对一致性结果完成论证。
2024-10-28 math.AT math.CT math.LO
Path categories and quasi-categories
本文介绍了拟范畴的同伦理论。拟范畴之间的弱等价被刻画为在自然定义的群胚系统上诱导等价的映射。这些群胚有效地取代了拟范畴同伦理论中的高同伦群。
2019-09-18 math.AT math.CT
Towards a homotopy theory of higher dimensional transition systems
我们在以前的工作中证明了Cattani-Sassone的高维过渡系统可以被解释为弱高维过渡系统的拓扑局部可表示范畴的小正交类。本文研究了高维弱转移系统的满子范畴，它是立方体的并。证明了存在一个左真组合模型结构，使得两个对象弱等价当且仅当它们具有相同的立方体。这个模型结构是通过Bousfield局部化一个模型结构而得到的，这个模型结构是关于一类映射而不是单态映射的。证明了两个过程代数对应的高维转移系统弱等价当且仅当它们同构。我们还构造了第二个Bousfield局部化，其中两个双相似的立方过渡系统是弱等价的。附录中给出了一个关于弱因子分解系统在共反射子范畴中的小性的技术引理。本文是对高维过渡系统互模拟同伦解释的第一步。
2014-01-30 math.AT math.CT
T-homotopy and refinement of observation (V) : Strom model structure for branching and merging homologies
我们检查，存在一个模型结构的流的范畴，其弱等价是S-同伦等价。作为应用，我们证明了广义T-同伦等价保持流的分支和合并同调论。其证明方法与本系列论文第三部分完全不同。
2020-06-17 math.AT math.CT
Homotopy Languages
该研究将经典Blanc-Freyd范畴语言推广，为弱模型范畴构建了有效性在同伦与弱等价下不变的一阶公式语言，并可应用于2-范畴、Kan复形等多种结构。
2025-10-02 math.AT math.CT math.LO
Constructive Set Theory from a Weak Tarski Universe
本论文的目的是简要介绍同伦型理论，以阿采尔的建设性集合论和单纯集和同伦理论，特别是指他们的标准模型结构，显示他们的一些相互作用。本论文的原始部分包括在最后一章中，我们介绍了在类型论的背景下的定义弱塔斯基宇宙的范畴模型的动机，如一个由单纯集。削弱这一概念，虽然目前在一些不精确的形式在数学民俗没有发表之前，在我们所知的。此外，我们使用公理的功能扩展的建设性集合论的类型理论解释一般同伦型理论与弱塔斯基宇宙。
2014-11-20 math.AT math.CT math.LO
Homotopy types of strict 3-groupoids
我们看看严格$n$ -群胚，并表明，如果$\Re$是任何实现函子从严格$n$ -群胚的范畴的空间满足同伦群的兼容性的最小属性的范畴，那么没有严格$n$ -群胚$G$，使$\Re (G)$是$n$ -型的$S^2$（为$n\geq 3$）。最后，我们推测如何解决这个问题，通过引入“snucategory”的概念，严格结合$n$ -范畴只有弱单位。
1998-10-09 math.AT math.CT math.QA
On the homotopy theory of n-types
简单（预）层上的n-截断模型结构被描述为具有弱等价映射，其在某些同伦层上诱导同构仅达到n次。从一个Jardine的中间模型结构，我们通过Bousfield-Friedlander本地化构建这样一个n型模型结构，并表现出有用的生成集的平凡cofibrations。这些类别中的内射双射对象被称为n-超堆栈。因此，整个设置可以被看作是更高的超栈同伦理论的描述。更重要的是，我们构造类似的n-截断单纯广群，并证明了这些设置之间的Quillen等价。利用单纯广群胚的（n-1）-型预层，我们得到了n-型单纯预层的分类。我们的分类适用于一般的n。因此，这也可以看作是（弱）高级群胚的（预）层的同伦理论。
2006-04-24 math.AG math.AT math.CT
Homotopy theory of non-symmetric operads II: change of base category and left properness
我们证明，在温和的假设下，对称monoidal模型类别之间的Quillen等价引起他们的模型类别（非对称）操作之间的Quillen等价，也模型类别的代数操作之间。我们还显示左适当的结果模型范畴的操作和代数的操作。作为一个应用，我们证明同伦不变性（单位）结合运算。
2013-08-09 math.AT math.CT math.QA
Commutative homotopical algebra embeds into non-commutative homotopical algebra
在特征为零的域上，证明了从交换dg代数的同伦范畴到dg结合代数的同伦范畴的遗忘函子是忠实的。实际上，导出映射空间的诱导映射在所有同伦群上的任一基点上都是一个注入。我们证明了酉代数和非酉代数的类似结果，也证明了Koszul对偶的泛包络代数函子从dg李代数到dg结合代数。一个重要的组成部分是一个自然的模型，这些派生的映射空间作为Maurer-Cartan空间的完全过滤dg李代数（或弯曲李代数，在单位的情况下）。
2022-11-04 math.AT math.CT math.QA
Box complexes and homotopy theory of graphs
我们在图的范畴上引入一个模型结构，它与$\mathbb{Z}_2$ -空间范畴是Quillen等价的.弱等价是一个图同态，它在它们的盒复形之间诱导出$\mathbb{Z}_2$ -同伦等价。盒复形是一个与图相关联的$\mathbb{Z}_2$ -空间，在图着色问题的上下文中考虑。在证明中，我们讨论了Hom复形的普适性问题。
2017-07-29 math.AT math.CO math.CT
Higher homotopy categories, higher derivators, and K-theory
对于每个$\infty$ -范畴$\mathscr{C}$，都有一个同伦$n$ -范畴$\mathrm{h}_n \mathscr{C}$和一个典范函子$γ_n \colon \mathscr{C} \to \mathrm{h}_n \mathscr{C}$ .我们研究这些更高的同伦范畴，特别是在与存在和保存的（共同）限制，通过引入一个更高的范畴概念弱共极限。利用同伦$n$ -范畴，我们引入了$n$ -导子的概念，并研究了由$\infty$ -范畴产生的主要例子。根据Maltsiniotis和Garkusha的工作，我们定义了$\infty$ -导子的$K$ -理论，并证明了从$\mathscr{C}$的Waldhausen $K$ -理论到相关$n$ -导子$\mathbb{D}_{\mathscr{C}}^{(n)}$的$K$ -理论的典范比较映射是$(n+1)$ -连通的.我们还证明，这个比较映射识别导子$K$ -理论的$\infty$ -导子在一个普遍的属性。此外，利用同伦$n$ -范畴中高阶弱推出的标准结构，我们还定义了一个与$\mathrm{h}_n \mathscr{C}$相关联的$K$ -理论空间$K(\mathrm{h}_n \mathscr{C}, \mathrm{can})$.我们证明了从Waldhausen $K$ -理论的$\mathscr{C}$到$K(…
2022-06-21 math.AT math.CT math.KT
A homotopy colimit theorem for diagrams of braided monoidal categories
本文将李森的同伦上极限定理推广到双范畴上，并通过去环原理，将其推广到幺半范畴的图上.在这个版本中，我们表明，同伦类型的图也可以表示为一个真正的单纯集神经与它相关联。这表明研究同伦余极限定理，图$\b$编织幺半范畴，通过单纯集{ \em神经的图}。我们证明了它是弱同伦等价于由编织幺半范畴范畴的几何神经函子与$\b$构成的单纯集的图的同伦余限。
2011-03-23 math.CT
Generalized Brown representability in homotopy categories
证明了组合稳定模型范畴$\ck$的同伦范畴是良好生成的.这意味着对于某些基数$λ$，$\Ho(\ck)$的每个对象$K$是$λ$ -紧对象的迭代弱余极限.一个自然的问题是每个$K$是否是$λ$ -紧对象的弱余限。我们发现，这是有关的（广义）布朗表示的$\Ho(\mathcal K)$。
2009-12-03 math.CT
Morita homotopy theory of C*-categories
本文建立了C*-范畴的Morita同伦理论的基础。具体地说，我们在小单位C*-范畴的范畴C* cat 1上构造了一个共纤维生成的单纯对称monoidal Quillen模型结构M_Mor。弱等价是Morita等价，上纤维化是在对象上内射的 *-函子。作为应用，我们得到了Brown-Green-Rieffel Picard群在伴随Morita同伦范畴Ho（M_Mor）中的一个优美描述.证明了Morita同伦范畴是半可加的。通过在每一个Hom集上对诱导交换幺半群结构进行群完备，得到了一个可加范畴Ho（M_Mor）^{-1}和一个标准函子C* cat 1 { \to } Ho（M_Mor）^{-1}，它具有两个简单的性质：Morita等价的逆和有限积的保持.最后证明了经典Grothendieck群函子在Ho（M_Mor）^{-1}中由张量单位对象余表示.
2011-12-23 math.CT math.KT math.OA
A colimit decomposition for homotopy algebras in Cat
Badzioch表明，在范畴内的单纯集每个同伦代数的一个Lawvere理论是弱等价的严格代数。在寻求扩大这一结果到其他情况下罗西基观察到一个关键点是，每个同伦colimit在单纯集承认分解成同伦筛选colimit的有限余产品，并问作者是否有类似的分解持有的2类类别猫。我们的目的是在本文件是表明，这是这种情况。
2012-07-04 math.CT
The Homotopy 3-Type of Abelian C*-Algebras
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
研究阿贝尔C*-代数的同伦群，基于其底层紧致Hausdorff空间的拓扑数据，并描述其作用。
2026-03-31 math.CT math.OA math.QA
Sets in homotopy type theory
同伦类型理论可以被看作是弱$\infty$ -群胚的$\infty$ -范畴的内部语言，它特别地模拟了单价公理。Voevodsky提出了弱$\infty$ -群胚的这种语言，作为数学的一个新基础，称为单叶数学基础。它包含了具有可收缩连通分支的弱$\infty$ -广群胚的集合，因此它包含了（大部分）传统集合理论基础作为特例。因此，我们想知道这些“离散”群胚是否真的形成了一个（谓词性的）topos。更一般地说，同伦类型论被证明是“初等”$\infty$ -toposes的内部语言。证明了同伦类型论中的集合构成一个$ΠW$ -预拓扑.这类似于$\infty$ -topos的$0$ -截短是topos的事实。我们表明，一个子对象分类器和一个$0$对象分类器可用于类型理论宇宙集。然而，这两者都很大，而且，集合的$0$对象分类器是$1$类型（即群胚）之间的函数，而不是集合之间的函数。假设一个非述谓命题分类规则，我们可以使子对象分类器变小，然后我们实际上得到一个集合的拓扑。
2014-04-24 cs.LO math.CT
Homotopy weighted colimits
设V是共纤生成的闭对称monoidal模型范畴，M是模型V-范畴。我们说一个图D的加权上极限W*D是一个同伦加权上极限，如果图D是逐点相干的，并且权W在[C^op，V]上的投影模型结构中是相干的。然后，我们继续通过同伦张量和普通（锥形）同伦上极限来描述这样的同伦加权上极限。这是著名同构W*D= \int^C（W \tensor D）的同伦版本。在证明了这种同伦分解一般，我们研究了一些特殊情况下的细节。对于单纯集，张量可以用锥同伦上极限代替直到弱等价，因此加权同伦上极限没有附加值。对于模型dg-范畴，情况完全不同，其中解悬不能由圆锥同伦余极限构造。在最后一节中，我们刻画了在丰富预层范畴上诱导Quillen等价的V-函子。
2012-01-13 math.CT
A cubical model of homotopy type theory
本文在立方集上构造了一个代数弱分解系统$(L, R)$，其中由1-立方$I$诱导的规范路对象分解$A \to A^I \to A\times A$是对任何$R$ -对象$A$的$L$-$R$分解.
2016-07-21 math.CT math.LO
Generating Higher Identity Proofs in Homotopy Type Theory
本文通过把 ω-范畴胞腔操作转换为更高恒等类型操作，证明同伦类型论可作为 CaTT 的模型，并借助 CaTT 的机械化机制简化高维恒等结构证明。
2024-12-02 cs.LO math.CT
