The Arithmetic of Curves Defined by Iteration
我们展示了二次多项式$f(x)$的迭代的伽罗瓦群的大小可以通过曲线$C_n:y^2=f^n(x)$和它们的二次扭曲上的某些有理点来参数化。为此，我们研究了全局域和有限域上的这类曲线的算法，将多项式迭代算法中的关键问题转化到几何框架中。这个观点有几个动态的应用。例如，我们建立了一个极大值定理的伽罗瓦群的第四代二次多项式$x^2+c$，使用的技巧，理论的有理点的曲线。此外，我们证明了椭圆曲线上整点的Hall-Lang猜想对于这些动力伽罗瓦群蕴含Serre型有限指标结果，并且我们使用Mordell曲线的几何界来预测当$f(x)=x^2+3$ .最后，我们提供的证据表明，这些曲线定义的迭代具有几何意义，因为我们构建了一个家庭的曲线，有理点，我们完全确定和几何简单的雅可比矩阵有复乘和正秩。
2014-05-03 math.NT
Galois actions on fundamental groups of curves and the cycle $C-C^-$
设C是定义在数域K上亏格g > 2的光滑、射影、几何连通曲线。设x是C的一个K-有理点.用p（C，x）表示相应复解析曲线的基本群的幂单完备化（在Q_ell上）的李代数。这是由G_K（伽罗瓦群K）和伽玛，映射类群的点复曲线。本文证明了C的雅可比矩阵中的代数圈C_x-C_x^-控制G_K在Aut p（C，x）中的象的大小。更确切地说，我们利用这个圈所确定的两个Galois上同调类，给出了G_K在Aut p（C，x）中的象的Zapriki闭包包含映射类群的象的充要条件.我们还证明了一个等价版本的亲ell基本群，一个unpointed版本，和伽罗瓦模拟的哈里斯-普尔特定理。
2003-06-02 math.AG math.NT
Splitting of Polynomial Families via Galois Theory
利用经典伽罗瓦理论和Chebotarev密度定理，研究有限域上参数化多项式族的分裂行为，推广Slavov关于平方值独立性的结果到n次幂剩余，并解释为Kummer扩张的线性无关条件。
2026-06-12 math.AG math.NT
Galois groups of simple abelian varieties over finite fields and exceptional Tate classes
本文利用 Frobenius 极小多项式 Galois 群与 Newton 多边形作用的组合判据，研究有限域上几何单 Abel 簇的例外 Tate 类，证明非最大角秩等新情形，并给出 CM 域实现与角秩结果。
2025-05-14 math.AG math.NT
Galois Symbols for a Jacobian and Multiplicative Groups
Kyushu Institute of Technology（九州工业大学）；Japan Women’s University（日本女子大学）
本文针对特定域上的曲线雅可比簇，证明了含乘法群的伽罗瓦符号映射的单射性，其证明运用了相关高 Chow 群刻画与 Beilinson--Lichtenbaum 定理，$r=1$时可导出 Spiess 的定理。
2026-08-20 math.NT
Galois representation of the product of two Drinfeld modules of generic characteristic
ShanghaiTech University（上海科技大学）；Capital Normal University（首都师范大学）
本文研究了Drinfeld模乘积的Galois表示，证明了对于任意有限素数集，对应乘积表示的像足够大，即与由自然行列条件定义的子群可公约。方法结合了Pink的局部域上线性群紧子群最小模型理论和全局函数域的显式互反律。
2026-11-03 math.NT
Intrinsic Subgroups and the $\ell$-adic Galois image
本文研究域k上光滑射影曲线Picard群扭子群上的双加性对称配对，定义内在子群，并对椭圆曲线给出其扭子群内在子群的纯代数分类，推广Yamazaki等人的解析方法至任意域k⊂ℂ，并给出k=ℚ时的显式计算算法。
2026-06-01 math.AG math.NT
Constructing abelian varieties from rank 2 Galois representations
本文证明满足分圆行列式、整延拓及坏无限约化等条件的秩2局部系统，可实现为仿射曲线上阿贝尔簇族上同调的直和项，并推广Snowden-Tsimerman的椭圆曲线结果。
2023-10-05 math.AG math.NT
Geometrically simple counterexamples to a local-global principle for quadratic twists
针对二次扭局部-整体原理的反例非几何单的问题，研究者利用伽罗瓦上同调与类域论，构造出满足$p\equiv13\pmod{24}$的素数$p$对应的维数为$p-1$的$\mathbb{Q}$上几何单阿贝尔簇反例对。
2025-09-10 math.AG math.NT
Monodromy of subrepresentations and irreducibility of low degree automorphic Galois representations
本文研究了数域上代数簇的étale基本群表示系统，证明了在温和局部条件下A型不可约子表示的剩余不可约性，并证明了全实或CM域上次数不超过6的正则代数极化尖点自守表示对应的Galois表示的不可约性与剩余不可约性。
2023-08-03 math.AG math.GR math.NT
Cohomology of varieties over the maximal Kummer extension of a number field
Università degli studi di Pisa（比萨大学）
本文研究了数域上最大Kummer扩张中概形的上同调性质，证明了其有限不变类及阿贝尔簇 torsion 的有限性，同时指出非阿贝尔可解扩张的torsion有限性不受伽罗瓦群控制。
2026-08-19 math.AG math.NT
Constructing abelian varieties from rank 3 Galois representations with real trace field
本文证明了在数域上的光滑仿射曲线上，具有全实迹域的秩3不可约局部系统在缩小定义域后可被实现为某个阿贝尔概形上同调的直和项，核心方法涉及平方根构造、迹域限制及权-单值定理。
2024-03-26 math.AG math.NT
Solvable points on genus one curves over local fields
设$F$是关于离散赋值完备的域，其剩余域是特征$p>0$的完备域。证明了定义在$F$上的亏格为1的光滑的、射影的、几何不可约的曲线在$F$上有一个可解点.我们还表明，有一个域$F$完全关于一个离散的估值，其剩余领域是完美的，有一个有限的伽罗瓦扩展$K|F$，使没有可解的扩展$L|F$，使扩展$KL|K$是unramified，其中$KL$是复合的$K$和$L$。作为应用，我们推导出存在如上所述的域$F$，并且存在$F$上的光滑、射影、几何不可约曲线，该曲线在$F$的任何可解扩张上都不会获得半稳定约化。
2012-02-12 math.AG math.NT
Quartic points on the Fermat quintic
本文研究了方程$x^5+y^5+z^5=0$的Fermat曲线$F_5/\mathbb{Q}$上$4$在$\mathbb{Q}$上的次数代数点. 1997年，Klassen和Tzerlaut给出了这些点的几何描述。利用他们的结果，以及Bruin的工作，丢番图方程的签名$(5,5,2)$，我们在这里给出了一个代数描述这些点。特别是，我们证明了只有一个伽罗瓦扩展的$\mathbb{Q}$的程度$4$产生的领域的定义的一个非平凡点的$F_5$。
2017-06-12 math.NT
Arithmetics of homogeneous spaces over $p$-adic function fields
本文研究 $\mathbb{Q}_p$ 有限扩域上曲线函数域 $K$ 中 $\textrm{SL}_{n,K}$ 齐次空间的局部-全局与弱逼近问题，利用 Galois 上同调对偶定理证明任何有限阿贝尔群均为 $K$ 上的 Galois 群。
2023-10-14 math.AG math.NT
Specialization of monodromy group and l-independence
设$E$是定义在$k$上的几何连通簇$X$上的阿贝尔概型，是$\mathbb{Q}$上的一个非线性生成域。设$η$为$X$的类属点，$x\in X$为闭点。如果$\mathfrak{g}_l$和$(\mathfrak{g}_l)_x$是交换簇$E_η$和$E_x$的$l$-adic伽罗瓦表示的李代数，则$(\mathfrak{g}_l)_x$通过特殊化嵌入到$\mathfrak{g}_l$中.证明了集合$\{x\in X$闭点$| (\mathfrak{g}_l)_x\subsetneq \mathfrak{g}_l\}$与$l$无关，并证实了[2]中的猜想5.5.
2011-11-13 math.NT
Rational points on solvable curves over $\mathbb{Q}$ via non-abelian Chabauty
研究了$\mathbb{Q}$上定义的亏格至少为2的光滑射影曲线的Selmer簇，这些曲线在CM Jacobian下几何占优.我们推广了Coates和Kim的一个结果，证明了Kim的非阿贝尔Chabauty方法适用于这样的曲线。结合Bogomolov-Tschinkel和Poonen关于非分歧对应的结果，我们推导出$\mathbf{P}^1$上任何具有可解伽罗瓦群的覆盖，特别是$\mathbb{Q}$上的任何超椭圆曲线，在$\mathbb{Q}$上只有1000个有理点.
2022-08-14 math.AG math.NT
$\hat{G}$-local systems on smooth projective curves are potentially automorphic
设$X$是有限域$\mathbb{F}_q$上的一条光滑的、射影的、几何连通的曲线，$G$是有限域$\mathbb{F}_q$上的一个分裂半单代数群.它的对偶群$\hat{G}$是$\mathbb{Z}$上的分裂还原群。猜想上，$X$上的任何$l$ -adic $\hat{G}$ -局部系统（等价地，任何连续同态的共轭类$π_1(X) \to \hat{G}(\bar{\mathbb{Q}}_l)$）应该与群$G$的处处非分歧自守表示相关联.我们证明了对于任意的同态$π_1(X) \to \hat{G}(\bar{\mathbb{Q}}_l)$的Zagliki稠密图像，存在一个有限的Galois覆盖$Y \to X$上的相关的局部系统成为自守。
2019-08-29 math.NT
On the birational anabelian section conjecture
假设数域上的椭圆曲线的Shafarevich-Tate群是有限的，我们对双有理Grotendieck反阿贝尔集猜想作了一些观察.证明了数域上曲线的双有理集猜想可归结为椭圆曲线的情形。在这种情况下，我们证明，作为一个结果的斯托尔，一节的确切序列的绝对伽罗瓦群的椭圆曲线在数域上产生从一个合理的点当且仅当诱导部分相应的（几何abelianised）算术基本群的椭圆曲线产生从一个有理点。我们还证明了给定数域上的任何曲线，存在这条曲线的双重覆盖，双有理集猜想成立。
2012-11-29 math.AG math.NT
The Galois module structure of holomorphic poly-differentials and Riemann-Roch spaces
本文证明了正特征曲线上全纯多微分及Riemann-Roch空间的Galois模结构可由除子类与分歧数据唯一确定，并应用于形变理论和素水平尖形式同余。
2023-03-19 math.AG math.NT
Rational points on algebraic curves in infinite towers of number fields
研究了$>1$亏格的代数曲线的Iwasawa理论中的一个自然问题.固定一个素数$p$。设$X$是定义在亏格为$g>1$的数域$K$上的光滑的、射影的、几何不可约的曲线，使得$X$的Jacobian在$p$以上的素数处具有良好的普通约化.固定一个奇素数$p$，对于任何整数$n>1$，令$K_n^{(p)}$表示包含在$K(μ_{p^{\infty}})$中的$K$的次数- $p^n$扩展。我们证明了$\#X(K_n^{(p)})$作为$n\rightarrow \infty$增长的明确结果。当$X$的Jacobian秩为零且对应的广义Galois表示有大像时，证明了对所有的$n$都有$X(K_{n}^{(p)})=X(K)$的显式条件.通过实例说明了这一条件。我们还证明了一个推广的Imai的定理，适用于交换品种在任意亲$p$扩展。
2022-03-26 math.AG math.NT
Clusters, toric ranks, and 2-ranks of hyperelliptic curves in the wild case
The University of Milan（米兰大学）；Wesleyan University（卫斯理安大学）
本文研究超椭圆曲线在特征为2的残差域下的聚类、托里克秩和2-秩性质，通过定义相对稳定模型并分析其特殊纤维的图结构，给出计算方法及阈值判定。
2026-05-12 math.AG math.NT
