雅可比簇与乘法群的伽罗瓦符号
Galois Symbols for a Jacobian and Multiplicative Groups
AI总结：
本文针对特定域上的曲线雅可比簇，证明了含乘法群的伽罗瓦符号映射的单射性，其证明运用了相关高 Chow 群刻画与 Beilinson--Lichtenbaum 定理，$r=1$时可导出 Spiess 的定理。
AI中文摘要：
设$C$是域$k$上带$k$-有理点的光滑射影几何连通曲线，$J$为$C$的雅可比簇。对整数$r\geq1$及与$k$特征互素的正整数$n$，本文证明伽罗瓦符号映射$K(k;J,\mathbb{G}_{m},\ldots,\mathbb{G}_{m})/n \to H_{\acute{\mathrm{et}}}^{r+1}\bigl(k,J[n]\otimes \mu_{n}^{\otimes r}\bigr)$是单射，其中乘法群$\mathbb{G}_{m}$出现$r$次。证明运用了Akhtar对零周环高 Chow 群的刻画及 Beilinson--Lichtenbaum 定理，当$r=1$时该结论可导出 Spiess 的一个定理。
英文摘要：
Let $C$ be a smooth projective geometrically connected curve over a field $k$ with a $k$-rational point. Let $J$ be the Jacobian variety of $C$. For an integer $r\geq 1$ and a positive integer $n$ prime to the characteristic of $k$, we prove that the Galois symbol map \[ K(k;J,\mathbb{G}_{m},\ldots,\mathbb{G}_{m})/n \to H_{\mathrm{\acute et}}^{r+1}\bigl(k,J[n]\otimes μ_n^{\otimes r}\bigr) \] is injective, where the multiplicative group $\mathbb{G}_{m}$ occurs $r$ times. The proof uses Akhtar's description of higher Chow groups of zero-cycles and the Beilinson--Lichtenbaum theorem. The case $r=1$ recovers a theorem of Spiess.
