The Group Structure of Pivot and Loop Complementation on Graphs and Set Systems
我们研究了图的主枢轴变换（枢轴）和循环补之间的相互作用。这是通过将循环互补（除了枢轴）推广到集合系统来实现的。我们证明了，当这些运算仅限于单顶点时，它们一起构成置换群S_3。这导致，例如，图上的枢轴序列和回路补的范式。的结果有后果的操作简单图的局部互补和边缘互补：一个经典的结果，涉及局部和边缘互补的替代证明，并获得了简单图的局部互补序列的效果的特点。
2011-04-18 cs.DM math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. VII. Gyárfás' complementation conjecture
一类图是$χ$ -有界的，如果存在函数$f$，使得对于该类图的每个导出子图$G$，$χ(G)\le f(ω(G))$是有界的，其中$χ,ω$分别表示$G$的色数和团数. 1987年，Gyárfás证明了对每个$c$，如果$\mathcal{C}$是一个图类，使得对于该类中的每个图的每个导出子图$G$都有$χ(G)\le ω(G)+c$，则$\mathcal{C}$的成员的补类是$χ$ -有界的.我们证明了这个猜想。实际上，更一般地说，一类图是$χ$ -有界的，如果它具有这样的性质，即在该类中没有图具有$c+1$奇洞，两两不相交并且它们之间没有边。主要工具是一个引理，如果$C$是图中最短的奇洞，而$X$是$V(C)$中至少有五个邻居的顶点集，则存在一个支配$X$的三顶点集。
2019-03-14 math.CO
Complementation in t-perfect graphs
受完美图在组合优化中应用的启发，Chvátal在20世纪70年代定义了t-完美图。刻画t-完美图的长期努力立即开始，但令人遗憾的是，即使是一个工作猜想，它仍然失踪了近50年。与完美图不同，t-完美图在替换或补下不是封闭的。Benchetrit在他的博士论文中得到了关于替换的t-完全性的充分刻画。论文通过目前的工作，我们试图了解t-完善方面的补充。特别是，我们证明了只有五对图，使图和他们的补充是最小的t-不完美。
2021-04-30 cs.DM math.CO
The Minimum Subgraph Complementation Problem
Universidad de Ingeniería y Tecnología (UTEC)（秘鲁工程技术大学）；Bennett University（贝内特大学）
研究最小子图补全问题，给出在二分图、余二分图、分裂图等非平凡情况下的多项式时间算法，还针对输入图是森林、关于连通性等情况进行研究，证明多种情况下该问题可在多项式时间内解决。
2026-07-20 cs.DS math.CO
On Graphs and Codes Preserved by Edge Local Complementation
图的局部补（LC）和边局部补（ELC）下的轨道已经在几个不同的背景下进行了研究。例如，图的轨道和纠错码之间存在联系。我们定义了一个新的图类，ELC-保持图，包括所有的图，有一个ELC轨道的大小为1。通过穷举搜索，我们找到了阶数为12的所有保ELC图和阶数为16的所有保ELC二部图。我们提供了一般的递归结构的无限家庭的ELC-保持图，并表明，所有已知的ELC-保持图产生于这些建设或可以从汉明码。我们还证明了某些ELC-保持图对是LC等价的。我们定义了ELC保持码为对应于二部ELC保持图的二元线性码，并研究了这类码的参数。
2013-08-08 cs.IT math.CO math.IT
Exclusivity structures and graph representatives of local complementation orbits
我们描述了一个构造，它将任意三个或更多顶点上的连通图G映射到一个更大的图H（G），其独立数严格小于其Lovász数，该Lovász数等于其分数填充数。H（G）的顶点表示与G相关联的图状态的稳定器组一致的所有可能事件，并且互斥事件是相邻的。在数学上，图H（G）对应于G在局部补下的轨道。从物理上讲，这种构造将图态与被量子力学最大程度违反的贝尔不等式之间的联系转化为图论术语。在零错误信息理论的背景下，该结构提出了一种协议，该协议实现了每个H（G）的纠缠辅助容量的最大速率，这是香农容量的量子力学模拟。贝尔不等式的违反表示为该容量的单次版本严格大于独立数。最后，给定图和排他性结构之间的对应关系，我们能够计算的独立数与量子非局部性的使用某些无限族的图，因此突出了应用量子理论在证明一个纯粹的组合语句。
2013-07-18 math.CO quant-ph
Edge Local Complementation and Equivalence of Binary Linear Codes
定义了图在边局部补运算下的轨道。证明了二部图的ELC轨道对应于二元线性码的等价类。从相应的ELC轨道可以导出信息集和码的最小距离。通过扩展早期的结果局部互补（LC）轨道，我们分类的ELC轨道的所有图上的12个顶点。我们还给出了一个新的方法分类的二进制线性码，与运行时间相媲美的最知名的算法。
2009-08-24 cs.IT math.CO math.IT
Clique-Width for Graph Classes Closed under Complementation
由于它的算法和结构特性，簇宽度是一个重要的图参数。一个图类是遗传的，如果它可以用一个（不一定是有限的）禁止导出子图的集合${\cal H}$来刻画。本文系统地研究了补闭遗传图类的边宽度的有界性。首先，我们扩展了已知的分类的$|{\cal H}|=1$的情况下，分类的有界性的每一个集${\cal H}$的自补图的cron-width。然后我们彻底解决了$|{\cal H}|=2$的案子。特别是，我们确定了一类新的$(H,\overline{H})$ -自由图的有界的cumber-width（作为一个副作用，这只留下六类$(H_1,H_2)$ -自由图，这是不知道他们的cumber-width是否有界）。在得到了$|{\cal H}|=2$情形的分类后，我们研究了禁止自补图对图宽有界性的影响。令人惊讶的是，我们证明了对于一个至少有五个顶点的自补图集合${\cal F}$，$(\{H,\overline{H}\}\cup {\cal F})$ -free图的宽度有界性的分类与$|{\cal H}|=2$的情况一致当且仅当${\cal F}$不包含公牛（在少于五个顶点上的唯一非空自补图是$P_1$和$P_4$，而无$P_4$的图最多具有$2$的宽度）。最后，我们讨论了我们的结果的着色问题的后果。
2017-06-08 cs.DM math.CO
Minimum Degree up to Local Complementation: Bounds, Parameterized Complexity, and Exact Algorithms
图的局部最小度是通过局部补可达到的最小度。对于任何n，存在n阶图，其局部最小度至少为0.189 n，或者当仅限于二部图时至少为0.110 n。关于上界，我们证明了对于任意n阶图，其局部最小度至多为3 n/8+o（n），对于二部图，局部最小度至多为n/4+o（n），改进了已知的n/2上界.我们还证明了局部最小度小于顶点覆盖数的一半（直到对数项）。局部最小度问题是一个NP完全问题，很难近似。我们证明了这个问题，即使仅限于二部图，是在W[2]和FPT等价的EvenSet问题，其中W[1]-硬度是一个长期存在的开放问题。最后，我们证明了局部最小度的计算是O*（1.938^n）-算法，而二部图的计算是O*（1.466^n）-算法。
2016-08-17 cs.DM math.CO quant-ph
Subgraph complementation and minimum rank
任何有限简单图$G = (V,E)$都可以用$V$的子集的集合$\mathscr{C}$表示，使得$uv\in E$当且仅当$u$和$v$一起出现在$\mathscr{C}$中的奇数个集合中。让$c_2(G)$表示这样的集合的最小基数。这个不变量等价于在$\mathbb{F}_2$上的$G$的忠实正交表示的最小维数，并且与$G$的最小秩密切相关。当$\operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)$是奇数时，或者当$G$是一个森林时，我们证明了$c_2(G) = \operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)$.否则，为$\operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)\leq c_2(G)\leq \operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)+1$。此外，我们证明了以下是等价的任何图$G$至少有一个边缘：i。$c_2(G)=\operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)+1$ ; ii. $G$的邻接矩阵是秩为$\operatorname{mr}(G,\mathbb{F}_2)$的唯一矩阵，其拟合$G$超过$\mathbb{F}_2$ ; iii.存在如所述的最小集合$\mathscr{C}$，其中每个顶点出现偶数次;以及iv.对于$G$的每个组分$G'$，$c_2(G') = \o…
2022-12-06 math.CO
Vertex-minor universality of a random graph
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究了随机图的顶点 minors universality，证明了在特定条件下，随机图可以包含任意子图作为顶点 minors，且验证了相关猜想。
2026-03-20 math.CO
Pivots, Determinants, and Perfect Matchings of Graphs
通过将图的主元操作序列与邻接矩阵的行列式联系起来，给出了图的主元操作序列的作用的一个特征。这使得我们可以推导出两个主元运算序列是等价的当且仅当它们包含相同的顶点集S（模2）。此外，给定一组顶点S，我们刻画是否存在这样一个序列，正是使用S的顶点。我们还涉及枢轴完美匹配，以获得图论表征。最后，我们考虑图与自循环进行的结果，包含枢轴和本地互补操作的序列。
2008-11-21 math.CO
On the automorphism group of a Johnson graph
Johnson图$J(n,i)$是指其顶点集是$\{1,\ldots,n\}$的所有$i$ -元素子集的集合，且两个顶点的交集的基数等于$i-1$时，两个顶点相连的图.在Ramras和Donovan [ \emph{SIAM J. Discrete Math}，25（1）：267-270，2011]中，证明了如果$n=2i$，则Johnson图$J(n,i)$的自同构群是$S_n \times \langle T \rangle$，其中$T$是互补映射$A \mapsto \{1,\ldots,n\} \setminus A$。我们以肯定的方式解决这个猜想。证明只使用初等群理论，是基于对图的团结构的分析。
2014-12-09 math.CO
Countable ultrahomogeneous graphs on two imprimitive color classes
本研究对颜色类非本原的可数超齐次2顶点着色图进行分类，提出分段超齐次性概念，证明两类特定图决定该性质，以此完成分类，推广了前人关于超齐次$n$-图的成果。
2023-06-15 math.CO
Strong cocomparability graphs and Slash-free orderings of matrices
我们引入了强协可比图类，作为自反图类，其邻接矩阵可以通过同时行和列置换来重新排列，以避免行为01，10的子矩阵，我们称之为Slash。我们提供了一个排序特征，禁止结构特征，和多项式时间识别算法，类。这些结果完成了一幅图，其中除了Slash矩阵之外或代替Slash矩阵，禁止Gamma矩阵（其具有行11，10）。众所周知，在这两种情况下，分别得到区间图类和强弦图类。通过补的方法，得到了一类强可比图，它的邻接矩阵可以通过行和列的同时置换来重排，从而避免了二乘二的单位子矩阵。因此，我们的结果给出了这类非自反图的特征和算法。换句话说，我们的结果可以解释为解决以下问题：给定一个对称的0，1-矩阵的0-对角线，可以同时置换的行和列，以避免2 × 2单位子矩阵？
2022-10-30 math.CO
The Erdős-Hajnal conjecture for caterpillars and their complements
著名的Erdens-Hajnal猜想指出，对于每个真遗传图类$\mathcal{G}$，存在一个常数$\varepsilon = \varepsilon(\mathcal{G}) > 0$，使得每个图$G \in \mathcal{G}$包含一个团或一个大小为$|V(G)|^\varepsilon$的独立集。最近，人们对这个猜想的对称化变体越来越感兴趣，其中还需要$\mathcal{G}$在互补作用下闭合。我们表明，任何遗传图类，是封闭的补充下，并排除一个固定的毛毛虫作为一个诱导子图满足Erdens-Hajnal猜想。这里，毛虫是其度至少为三的顶点位于单个路径上的树（即，我们的毛毛虫可能有任意长的腿）。事实上，我们证明了一个更强的性质，这样的图类，在文献中称为强Erdens-Hajnal属性：对于每个这样的图类$\mathcal{G}$，存在一个常数$δ= δ(\mathcal{G}) > 0$，使每个图$G \in \mathcal{G}$包含两个不相交的集$A,B \subseteq V(G)$的大小至少$δ|V(G)|$，使要么所有的边缘之间的$A$和$B$都存在于$G$，或没有。这个结果显著地扩展了我们知道强Erdens-Hajnal性质成立的图类家族;对于不包括图$H$及其补图的图类，它以前只知道路径[Bousquet，Lagoutte，JCTB 2015]和钩子（即，在…
2017-10-24 cs.DM math.CO
Most switching classes with primitive automorphism groups contain graphs with trivial groups
相对于顶点集的子集$X$切换图$Γ$的操作在$X$和它的补图之间交换边和非边，使图的其余部分不变。这是给定顶点集上的图的集合上的一个等价关系，因此我们可以讨论一个图的切换类的自同构群。可以认为，具有许多自同构的切换类将具有所有它们的图也具有许多自同构的性质。然而，本文的主要定理给出了一个不同的图景：除了许多例外，如果一个非平凡的切换类$\mathcal{S}$有本原自同构群，那么它包含一个自同构群是平凡的图.我们还发现了所有例外的转换类;直到互补，只有六个。
2015-02-18 math.CO math.GR
Regular $K_3$-Irregular Graphs of Every Regularity at Least Nine
School of International Trade and Economics, Central University of Finance and Economics（中央财经大学国际经济贸易学院）
本文证明对每个正则度 $r\ge 9$ 存在正则 $K_3$-不规则图，通过构造 $2k$-正则图（$k\ge 15$）及补图得到 $(2k+1)$-正则图，利用阈值块和矩阵切换解决三角形度冲突，结合符号与有限验证，彻底回答了 Chartrand 等人的问题。
2026-10-07 math.CO
Edge-local equivalence of graphs
一个单图G在它的一个顶点i处的局部补图G*i是通过补由i的邻域导出的子图而使图的其余部分保持不变而得到的。若e={i，j}是G的一条边，则G*e=（（G*i）*j）*i称为G沿边e的边局部补.我们称两个图是边局部等价的，如果它们由一个边局部补序列相关联。本文的主要结果是用邻接矩阵的线性分式变换给出图的边局部等价的代数描述。这个结果的应用包括（i）判别两个图是否边局部等价的多项式算法，（ii）计算一类边局部等价图的个数的公式，（iii）关于交错多项式系数的结果，其中我们证明了对于一类图，这些系数都是偶数;这个类包含所有具有参数（n，k，a，c）的强正则图作为子集，其中k是奇数，a和c是偶数。
2005-10-12 math.CO quant-ph
Automorphisms of Token Graphs That Send $4$-Cycles Generated by Two Edges to Cycles Generated by a $4$-Cycle and Two Tokens
CINVESTAV（墨西哥国立理工学院计算与系统研究进展中心）；UNAM（墨西哥国立自治大学）
本文研究令牌图的自同构，证明若同构将两条边生成的4-环映射到4-环生成的环，则对应图存在孪生割，且扭转可通过孪生割翻转消除。
2026-09-23 math.CO
Separability Properties of Monadically Dependent Graph Classes
该研究提出翻转可分性概念，证明其可精确刻画单值依赖图类，同时引入鲁棒工具集用于处理这类图的局部分离问题，为图论中单值依赖类的结构分析提供了新的刻画方法与工具支撑。
2025-05-16 cs.DM cs.LO math.CO
Graph classes and forbidden patterns on three vertices
本文研究了图类的特征化和识别问题。一个流行的方法来描述一个图类是列出一个最小的禁止诱导子图的集合。不幸的是，这种策略通常不会导致有效的识别算法。另一方面，许多图类可以有效地识别技术的基础上，一些有趣的排序的节点，如遍历。我们专门研究图类，有一个有序的避免一些有序结构。更确切地说，我们考虑我们所谓的三个节点上的模式，以及相关类的识别复杂性。在这个领域，有两个关键的前期工作。Damashke开始研究由禁止模式定义的类，一组包含区间，弦和二分图等。在算法方面，Hell，Mohar和Rafiey证明了任何由一组禁止模式定义的类都可以在多项式时间内识别。我们改进这两项工作，通过系统地描述所有类别定义的禁止模式集（在三个节点上），并证明在我们发现的23个不同类别（直到互补）中，21个实际上可以在线性时间内识别。除了这个结果，我们认为这种类型的特征是非常有用的，导致了丰富的类结构，并产生了很多值得研究的开放性问题。
2020-07-20 cs.DM cs.DS math.CO
Flip-packability: uniform characterisations of tame graph classes
University of Oxford（牛津大学）
本文提出翻转可打包性概念，证明其分别等价于图类的一元稳定性和一元依赖性（$m=2$时），并统一了八个稀疏/稠密图类的刻画，其中参数$m$区分深度与宽度类概念。
2026-09-30 cs.DM cs.LO math.CO
