Minimum Degree up to Local Complementation: Bounds, Parameterized Complexity, and Exact Algorithms
图的局部最小度是通过局部补可达到的最小度。对于任何n，存在n阶图，其局部最小度至少为0.189 n，或者当仅限于二部图时至少为0.110 n。关于上界，我们证明了对于任意n阶图，其局部最小度至多为3 n/8+o（n），对于二部图，局部最小度至多为n/4+o（n），改进了已知的n/2上界.我们还证明了局部最小度小于顶点覆盖数的一半（直到对数项）。局部最小度问题是一个NP完全问题，很难近似。我们证明了这个问题，即使仅限于二部图，是在W[2]和FPT等价的EvenSet问题，其中W[1]-硬度是一个长期存在的开放问题。最后，我们证明了局部最小度的计算是O*（1.938^n）-算法，而二部图的计算是O*（1.466^n）-算法。
2016-08-17 cs.DM math.CO quant-ph
Exclusivity structures and graph representatives of local complementation orbits
我们描述了一个构造，它将任意三个或更多顶点上的连通图G映射到一个更大的图H（G），其独立数严格小于其Lovász数，该Lovász数等于其分数填充数。H（G）的顶点表示与G相关联的图状态的稳定器组一致的所有可能事件，并且互斥事件是相邻的。在数学上，图H（G）对应于G在局部补下的轨道。从物理上讲，这种构造将图态与被量子力学最大程度违反的贝尔不等式之间的联系转化为图论术语。在零错误信息理论的背景下，该结构提出了一种协议，该协议实现了每个H（G）的纠缠辅助容量的最大速率，这是香农容量的量子力学模拟。贝尔不等式的违反表示为该容量的单次版本严格大于独立数。最后，给定图和排他性结构之间的对应关系，我们能够计算的独立数与量子非局部性的使用某些无限族的图，因此突出了应用量子理论在证明一个纯粹的组合语句。
2013-07-18 math.CO quant-ph
Locally self-avoiding eulerian tours
Häggkvist在1989年和Kriesell在2011年分别独立地证明了：给定一个正整数$\ell$，每一个最小度高的简单欧拉图（依赖于$\ell$）都有一个欧拉环，使得该环中长度至多为$\ell$的每一段都是路.在这个证明的基础上，我们在这里证明了猜想的完整陈述。这意味着一个变种的路径的情况下Barát-Eulassen猜想，任何简单的欧拉图具有高的最小度可以分解成路径的固定长度和可能的一个额外的较短的路径。
2017-01-15 math.CO
Subdividing the cd-index of Eulerian Posets
本文旨在对偏序集的cd-指标作一个介绍和综述，并建立一些新的结果。我们给出了一个组合的证明Escherborg和Karu的CD-指数细分分解Gorenstein* 复形，并将其扩展到更广泛的一类细分。在这样做的时候，我们定义了一个局部cd-索引，它的行为类似于研究得很好的局部h-向量。我们检查已知的cd-索引和h-向量的边界，然后使用局部cd-索引来绑定一个特定类别的多面体与堆叠多面体的cd-索引。最后，我们对偏序集的h-向量和局部h-向量进行了全面的研究，并利用Bayer和Ehrborg提出的代数态射证明了cd-指数细分分解和局部h-向量细分分解之间的结构联系。III
2016-04-25 math.CO
Tiered trees, weights, and q-Eulerian numbers
最大最小树是一种标记树，它的每个顶点要么是局部极大值，要么是局部极小值。这种树最初是由Postnikov引入的，他给出了一个计算它们的公式，并对它们的数量给出了不同的组合解释。在本文中，我们推广这种结构，并定义分层树，允许两个以上的顶点类。当计算某些箭图的绝对不可分解的表示时，以及当计算某些齐次簇上的环面轨道时，分层树自然出现。我们定义了一个概念的重量分层树和证明双射之间的各种重量0分层树和其他组合对象，特别是为了n重量0最大最小树自然双射与排列n-1个字母。最后，我们使用我们的权函数定义一个新的q-模拟的欧拉数。
2019-02-04 math.CO
Enumerating the Classes of Local Equivalency in Graphs
图$G$的标号$(g_{ij})$来自有限域，图$G$上存在局部算子.如果域是二进制的，换句话说，如果图是普通的，则操作只是局部补。也就是说，选择一个顶点并补它的邻居所诱导的子图。但是，在一般情况下，有两种不同类型的运算符。第一种类型如下。设$v$是图的一个顶点，$a\in \mathbf{F}_q$是$q$元素的有限域。该操作符用于获得带有标签$g'_{ij}=g_{ij}+ag_{vi}g_{vj}$的图。对于第二类算子，设$0\neq b\in \mathbf{F}_q$，结果图是带有标签$g''_{vi}=bg_{vi}$和$g''_{ij}=g_{ij}$的图，其中$i,j$不等于$v$。局部互补算子（二元情形）出现在组合理论中，其性质已有文献研究。近年来，人们发现图上的局部算子与量子稳定子码之间存在着深刻的联系，而识别这些算子下的等价类已成为一个自然的问题。本文证明了与给定图局部等价的图的个数至多为$q^{2n+1}$，从而证明了局部等价类的个数为$q^{\frac{n^2}{2}-o(n)}$ .
2007-07-04 math.CO
Vertices with the Second Neighborhood Property in Eulerian Digraphs
第二邻域猜想指出，每个简单有向图都有一个顶点，其第二外邻域至少与其第一外邻域一样大，即具有第二邻域性质。偶图的圈交图是一个新的图，其顶点是原图的圈分解中的圈，其边表示圈的顶点交。通过使用这个概念的一个有向图的变体，我们证明了允许一个简单圈交图的欧拉有向图不仅符合第二邻域猜想，而且局部简单性在某些情况下也意味着原有向图中存在一个Seymour顶点.
2019-10-04 math.CO
Eulerian Spaces
我们开发了一个统一的理论欧拉空间相结合的组合理论的无限，局部有限欧拉图介绍了迪斯特尔和库恩与拓扑理论的欧拉连续定义为不可约图像的圆，提出了由布拉，Nikiel和Tymchatyn。首先，我们澄清了欧拉空间的概念，并建立了文献中所有竞争的定义实际上是等价的。接下来，响应于Treybig和Ward从1981年未解决的问题，我们制定了一个组合猜想的欧拉空间的特征，自然扩展的方式，有限欧拉图的特征。最后，我们提出了意义深远的结果，支持我们的猜想，一起suberiment和扩展所有已知的结果的Eulerianity的无限图和连续的日期。特别是，我们将所有一维欧拉空间。
2021-12-10 math.CO math.GN
Graph-Like Compacta: Characterizations and Eulerian Loops
紧致类图空间是三元$(X,V,E)$，其中$X$是紧致的可度量空间，$V \subseteq X$是封闭的零维子集，$E$是索引集，使得$X \setminus V \cong E \times (0,1)$。给出了紧图样空间的新特征，将它们与某些连续统类以及局部有限图的Freudenthal紧化的标准子空间联系起来。这些都适用于表征欧拉图样的矩阵。
2016-09-04 math.CO math.GN
Chip-firing game and partial Tutte polynomial for Eulerian digraphs
芯片发射游戏是一个离散的动力系统在一个图上玩，其中芯片沿着边缘移动根据一个简单的本地规则。底层图的性质当然有助于理解游戏，但自从比格斯的猜想被Merino López证明以来，我们也知道对Chip-firing游戏的研究可以提供对图的见解。特别是，部分Tutte多项式$T_G(1,y)$和一个芯片发射游戏（具有一个独特的汇点）的递归配置的集合之间的强关系已经建立了无向图。一个直接的结果是，一组经常性的配置的生成函数是独立的选择水槽的游戏，因为它的特点是潜在的图形本身。在本文中，我们证明了这一性质也适用于欧拉有向图（有向图），一类的方式从无向图一般有向图。从这个性质可以看出，欧拉有向图的递归构形集的生成函数是将部分Tutte多项式$T_G(1,y)$推广到这类的一个自然而令人信服的候选者。我们的工作也给出了一些有希望的方向寻找推广的Tutte多项式一般有向图。
2013-09-25 math.CO
Vertex-minor universality of a random graph
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究了随机图的顶点 minors universality，证明了在特定条件下，随机图可以包含任意子图作为顶点 minors，且验证了相关猜想。
2026-03-20 math.CO
Derangements, Ehrhart Theory, and Local h-polynomials
欧拉多项式和乱序多项式是两个在组合学、代数学和几何学中经常出现的生成函数。当一个出现时，另一个也经常出现，它们相应的概括也是类似的。在单纯复形的细分理论中就是这种情况，其中欧拉多项式是$h$ -多项式，而乱序多项式是它的局部$h$ -多项式。另外，在Ehrhart理论中，欧拉多项式由$s$ -演讲厅单形的$h^\ast$ -多项式推广。在这里，我们表明，乱序多项式类似地推广的盒多项式，或本地$h^\ast$ -多项式，的$s$ -讲堂单纯形，这些多项式都是实根。然后，我们连接这两个理论表明，当地的$h$ -多项式的共同细分代数和拓扑实现为本地$h^\ast$ -多项式的$s$-讲堂单纯形。我们使用这种连接来解决一些悬而未决的问题，真正的根源和单峰的生成多项式，一些从每一个方面的故事。
2020-04-13 math.AC math.CO
Pivots, Determinants, and Perfect Matchings of Graphs
通过将图的主元操作序列与邻接矩阵的行列式联系起来，给出了图的主元操作序列的作用的一个特征。这使得我们可以推导出两个主元运算序列是等价的当且仅当它们包含相同的顶点集S（模2）。此外，给定一组顶点S，我们刻画是否存在这样一个序列，正是使用S的顶点。我们还涉及枢轴完美匹配，以获得图论表征。最后，我们考虑图与自循环进行的结果，包含枢轴和本地互补操作的序列。
2008-11-21 math.CO
Eulerian edge refinements, geodesics, billiards and sphere coloring
一个有限简单图称为2-图，如果它的所有单位球面S（x）都是长度为4或更大的循环图。一个2-图G是欧拉图，如果G的所有顶点度都是偶数。图的边细化将边（a，b）分裂为两条边（a，c），（c，b），并将新添加的顶点c连接到S（a）与S（b）的交集。定理I保证了每一个2-图都可以通过连续的边加细而成为欧拉图。使用测地线切割的构造是显式的。精化后，我们有一个欧拉2-图，携带一个自然测地线流。我们构造一些遍历的。有界2-图是有限的简单图，它的每个单位球面要么是长度n大于1的路图，要么是长度大于3的循环图。2-球是一类特殊的2-图，它们是以圆边界单连通的。定理II告诉我们，每个2-球都可以使用内部边进行边细化，成为欧拉，当且仅当它的边界长度可被3整除。如果所有内部顶点的度数都是偶数，则台球映射已经被定义。我们将在2-球中构造一些遍历台球，其中测地线在边界对称地反弹，并且访问每个内部边缘一次。定理II的一个推论是，一个遍历的欧拉台球必须有一个边界长度能被3整除。我们还构造了其他2-图，如环面遍历测地线流。这与连续统中的经验相冲突，在连续统中，环面具有使路径的同调类中的长度最小化的周期点。遍历欧拉2-图或台球是令人兴奋的，因为它们满足Hopf-Rynov结果：任何两个顶点之间存在测地线连接。我们得到了与任何遍历欧拉图相关联的唯一的标准度量。它是非局部的，在这个意义上，两个相邻的顶点可以有很大的距离。
2018-08-22 cs.DM math.CO
Efficient k-mer Dataset Compression Using Eulerian Covers of de Bruijn Graphs and BWT
提出MCTR算法，通过计算de Bruijn图的欧拉覆盖获得最小文本表示，再经BWT压缩，实现k-mer多重集的无损压缩，具有线性复杂度并保证完整重建。
2025-10-25 math.CO
Edge-local equivalence of graphs
一个单图G在它的一个顶点i处的局部补图G*i是通过补由i的邻域导出的子图而使图的其余部分保持不变而得到的。若e={i，j}是G的一条边，则G*e=（（G*i）*j）*i称为G沿边e的边局部补.我们称两个图是边局部等价的，如果它们由一个边局部补序列相关联。本文的主要结果是用邻接矩阵的线性分式变换给出图的边局部等价的代数描述。这个结果的应用包括（i）判别两个图是否边局部等价的多项式算法，（ii）计算一类边局部等价图的个数的公式，（iii）关于交错多项式系数的结果，其中我们证明了对于一类图，这些系数都是偶数;这个类包含所有具有参数（n，k，a，c）的强正则图作为子集，其中k是奇数，a和c是偶数。
2005-10-12 math.CO quant-ph
