算术Kleinian反射群的有限性
Finiteness of arithmetic Kleinian reflection groups
摘要:
我们证明了算术Kleinian极大反射群的个数只有1000个。
英文摘要:
We prove that there are only finitely many arithmetic Kleinian maximal reflection groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Finiteness of arithmetic Kleinian reflection groups
Ian Agol
我们证明了算术Kleinian极大反射群的个数只有1000个。
We prove that there are only finitely many arithmetic Kleinian maximal reflection groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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Geometric finiteness and uniqueness for Kleinian groups with circle packing limit sets
本文假设$G$是一个无挠生成的非初等Kleinian群,且$Ω(G)$非空.我们证明了$G$的最大可夹元素数恰好是同构于$G$的任何群所包含的最大秩1抛物子群数。一个具有最多秩为1的极大抛物子群的群称为{ \it极大抛物}。我们发现这样的群体存在。我们在这里简明地陈述我们的主要定理。定理I极大抛物群的极限集是一个圆填充,即它的正则集的每个分支都是一个圆盘。定理II.一个极大抛物群是几何有限的。定理III.在$PSL(2,{\bf C})$中,通过其抽象同构类和抛物元确定了一个直至共轭的极大抛物Pinch函数群.
Quaternionic Kleinian modular groups and arithmetic hyperbolic orbifolds over the quaternions
利用四元数除代数$\mathbb{H}$中的Lipschitz和Hurwitz整数环$\mathbb{H}(\mathbb{Z})$和$\mathbb{H}ur(\mathbb{Z})$,定义了$PSL(2,\mathbb{H})$的几个Kleinian离散子群
On fields of definition of arithmetic Kleinian reflection groups
我们证明了算术Kleinian反射群定义的实域的度有界为35。
Surface subgroups of Kleinian groups with torsion
我们证明了每一个包含有限非循环子群的生成Kleinian群要么是有限的,要么是虚拟自由的,要么包含一个曲面子群。因此,每个算术克莱因群都包含一个曲面子群。
On Superintegral Kleinian Sphere Packings, Bugs, and Arithmetic Groups
我们发展了Kleinian球面填充的概念,这是Kontorovich-Nakamura [KN 19]定义的“晶体学”(阿波罗式)球面填充的推广。与晶体学填充不同,克莱因填充存在于所有维度中,就像“超积分”一样。我们将算术性定理推广到Kleinian填充上,即超整填充来自最简单类型的Q-算术格。对于我们称之为克莱因虫的更一般的物体,情况也是如此。在克莱因虫中,球面不需要不相交,但可以以二面角π/m相交,而m为100。本文解决了文献[KN 19]中的两个问题:(i)算术性定理在数域上一般不成立,(ii)整填充只产生于非一致格。
Arithmetic Kleinian groups generated by elements of finite order
我们发现,直到可压缩性,只有100多个由旋转生成的余紧算术Kleinian群。这意味着,特别是,只存在许多共轭类的余紧两个生成的算术克莱因群。主要结果的证明是基于一个推广的Gromov-Guth不等式和双曲和管体积的商orbifolds的界限。
The Geometry and Arithmetic of Kleinian Groups
在这篇文章中,我们调查和描述克莱因群的几何和算术的各个方面-双曲$3$ -空间的等距的离散非初等群。特别是,我们做了详细的研究,两个发电机组和讨论的算术广义三角形群(及其近亲)的分类。这项工作主要基于我在过去二十年中与Fred Gehring和Colin Maclachlan的合作,他们都在2012年去世。还有许多其他人也参与其中。在过去的几十年中,克莱因群理论因其与低维拓扑和几何的密切联系而蓬勃发展。我们给很少的一般理论及其与$3$ -流形理论在这里的连接,但集中在两个主要问题:西格尔的问题,确定最小covolume双曲格和马古利斯常数问题。这些都是“普遍约束”的克莱因集团-一个特点离散等距群在负曲率和包括结果,如Jørgensen的不平等,高维版本的赫维茨的$84g-84$定理和其他一些东西。我们将看到,获得这些结果所需的大部分工作是对两生成元克莱因群的各种解析空间进行具体描述,这有点类似于莱利切片。
Geometrical finiteness for automorphism groups via cone conjecture
本文通过锥猜想研究K3、恩里ques、Coble表面及不可约辛流形的自同构群在超球面上的等距作用的几何有限性,证明此类群非正曲率特性,并揭示K3表面的Kleinian晶格与(-2)曲线关系。
On fields of definition of arithmetic Kleinian reflection groups II
根据Nikulin和Agol、Belolipetsky、Storm和Whyte以前的工作,已知只有1000个(全实)数域可以作为算术双曲反射群的定义域。我们证明了一个新的界限的程度$n_k$的这些领域在3维:$n_k$不超过9。结合Maclachlan和Nikulin以前的结果,这导致了一个新的绑定$n_k \le 25$,这是有效的所有维度。我们还得到了这些域的判别式的上界,并给出了一些启发式结果,这些结果可能对算术双曲反射群的分类有用。
Kleinian sphere packings, reflection groups, and arithmeticity
本文研究Kleinian球填充等相关问题,解决了高维晶体球填充存在性难题,提出几何加倍构造方法并探究真整填充,技术依托洛伦兹二次型等相关计算。
Jørgensen Number and Arithmeticity
约根森群(英语:Jørgensen group)是一个非初等的克莱因群,它可以由两个元素生成,并且在约根森不等式中等式成立。本文证明了唯一无挠的Jørgensen群是8字形纽结群,并给出了所有非余紧算术Jørgensen群的定义,建立了余紧算术Jørgensen群的一个刻划.本文还定义并计算了几个非余紧克莱因群(包括一些二桥纽结群和链环群)的Jørgensen数。
A new proof of finiteness of maximal arithmetic reflection groups
给出了极大算术反射群有限性的一个新证明。我们的证明是新颖的,因为它没有使用迹公式或其他工具,从理论的自守形式,而是依赖于算术马古利斯引理Fraczyk,Hurtado和Raimbault。
Covering spaces of arithmetic 3-orbifolds
设G是算术Kleinian群,O是相应的双曲3-orbifold或3-流形.本文证明了在许多情况下,G是大的,这意味着某个有限指数子群允许一个满同态到一个非交换的自由群上。这有许多结果,包括O有无限的虚拟第一贝蒂数和G有超指数子群增长。我们的第一个结果,这形成了整个文件的基础上,是G是可折叠的格包含克莱因群的顺序4。我们的第二个结果是:如果G有第一个贝蒂数至少为4的有限指数子群,则G是大的.已知这对许多算术格成立。特别地,我们证明了当G包含A_4,S_4或A_5时总是如此.我们的第三个主要结果是,Lubotzky-Sarnak猜想和几何化猜想一起意味着任何算术Kleinian群G是大的。我们还给出了算术Kleinian群不具有同余子群性质的一个新的“初等”证明,避免了Golod-Shafarevich不等式的使用.
Finiteness of arithmetic hyperbolic reflection groups
我们证明了算术极大双曲反射群的共轭类只有100多个。
Finiteness Properties of S-Arithmetic Groups - a Survey
对可解S-算术群的有限性进行了综述。数字字段和函数字段的情况都包括在内。主要结果是:若B是Chevalley群的博雷尔子群,R是S-算术环,则群B(R)在函数域情况下具有有限长|S| -1,在数域情况下具有无限长.
Finiteness properties of arithmetic groups over function fields
通过比较实半单李群中格的大尺度几何,我们确定了定义在整体函数域上的约化群的算术子群何时为FP_ \infty型.
Higher finiteness properties of reductive arithmetic groups in positive characteristic: the rank theorem
证明了整体函数域上的非交换迷向绝对几乎单群$G$中的$S$ -算术子群$Γ$的有限长度小于$G$在$S$中的局部秩之和.这决定了迷向约化群中算术子群的有限性,从而证实了这类群的有限性。我们的主要工具是贝尔-哈德约化理论,我们根据欧几里得建筑的度量结构重新构建了该理论。
Higher finiteness properties of arithmetic approximate lattices: The Rank Theorem for number fields
通过粗糙几何的方法,我们引入了可数近似群的几何和同调有限性,并研究了S-算术约化近似群的有限性。对于没有无穷位置的S-算术近似群,我们证明了有限长度是有限的,并明确地计算了这个有限长度。在简单的情况下,它比局部秩之和小小于1。这扩展了Bux,Köhl和第二作者的秩定理从正特征到零特征。我们的证明是基于他们的证明的几何版本,但除了一些输入从约化理论,它是特征免费的。这表明,算术群在有限性性质的特征零和正特征方面的明显差异完全是由于无限位置的存在。
Finiteness of the number of arithmetic groups generated by reflections in Lobachevsky spaces
在作者(1980,1981)和Vinberg(1981)的结果之后,Lobachevsky空间中极大算术反射群的个数的有限性仅在$2\le n\le 9$维中是未知的。最近(2005年),Long,Maclachlan和Reid在2维中证明了有限性,Agol在3维中证明了有限性。在这里,我们使用这些结果在2和3维证明有限的所有剩余的尺寸$4\le n\le 9$。作者(1980,1981)的方法足够强大,可以通过简单的考虑在几行中完成这一点。
Finiteness properties of soluble arithmetic groups over global function fields
设G是Chevalley群概型,B<=G是博雷尔子群概型,均定义在Z上.设K是整体函数域,S是K上的有限非空集,O_S是相应的S-算术环.则S-算术群B(O_S)是F_{|S|-1}型的,但不是FP_{|S|}型的。此外,我们可以推导出几何不变量B ^m(B(O_S))的上下界上界。如果G的秩为1,则它们是尖锐的。对于较高的秩,估计意味着B(O_S)的具有交换子群的正规子群一般满足强有限性条件。
Finiteness of closed arithmetic hyperbolic surface bundles
本文证明了对每个亏格 g≥2,闭纤维化算术双曲 3-流形仅有有限多个循环可公度类,并给出有效上界,证实了 Bowditch-Maclachlan-Reid 猜想。
Arithmetic group symmetry and finiteness properties of Torelli groups
我们研究群体的共振品种,特征品种和西格玛不变量有一个自然的算术群对称性,我们探讨各种有限性的子群的影响。计算了Torelli群的共振簇、特征簇和Alexander多项式,证明了当亏格至少为4时,所有包含Johnson核的子群都有有限的第一贝蒂数.我们还证明了,在这个范围内,$I$-进完成的亚历山大不变量是有限维的,和Kahler财产的Torelli群意味着有限代的约翰逊内核。
On the geometry of global function fields, the Riemann-Roch theorem, and finiteness properties of S-arithmetic groups
Harder的约化理论提供了欧氏建筑物的滤除,使人们能够推导出全局函数域上S-算术群的上同调和同调性质。在这次调查中,我将素描的要点,哈德的约化理论开始从韦伊的数的几何和黎曼-罗奇定理,描述了一个过滤,这是特别有用的推导有限性质的S-算术群,并说明秩猜想及其部分验证,不限制基数的基本领域的常数。作为进一步研究的动机,我还陈述了关于整体域(数域或函数域)上S-算术群的等周性质的一个更一般的猜想。
Finiteness theorems for congruence reflection groups
本文件是我们与I. Agol,P. Storm和K. Whyte“算术双曲反射群的线性性”。主要目的是调查有效的一面的方法开发有其可能的应用问题的分类算术双曲反射群。
Dirichlet-Ford Domains and Arithmetic Reflection Groups
本文证明了作用在$\mathbb{H}^2$上半平面模型上的富克斯群对某个中心有一个Ford域,该域也是Dirichlet域,当且仅当它是反射群的指数为2的子群.这是用来展示一个例子,极大算术双曲反射群是不同余。在Kleinian群的情况下给出了类似的结果和反例。
Finiteness of totally geodesic hypersurfaces
本文研究闭负曲率解析黎曼流形中全测地超曲面的数量问题,证明其有限性,除非流形为常曲率(此时等距于算术双曲流形),揭示了全测地超曲面数量与流形曲率性质的深刻关联。
Finiteness of Maximal Geodesic Submanifolds in Hyperbolic Hybrids
该研究证明大类非算术双曲n-流形(含Gromov等的混合流形)的有限体积浸入全测地超曲面有限,且高余维下维数≥2的极大测地子流形有限,证明结合算术群结构、动力系统与负曲率几何。
A finiteness theorem for hyperbolic 3-manifolds
我们证明了只有100多个闭双曲3-流形的内射性半径和Laplacian的第一特征值在其下有界,其基本群可以由给定数目的元素生成。算术流形的应用也给出了。
Polynomial Trace Identities in $SL(2,{\bf C})$, Quaternion Algebras, and Two-generator Kleinian Groups
研究了群$SL(2,\IC)$中的某些多项式迹恒等式及其在离散群理论中的应用。我们在§4中得到了两个生成元群的规范表示,然后在§5中给出了好词的Gehring和Martin多项式迹恒等式的新证明,并将该结果推广到一个更大的类,该类在半群运算诱导多项式复合下也是封闭的。这种新的方法是通过使用四元数代数不定和相关的一组单位。我们得到了这些四元数代数的结构定理,这些定理在§8中似乎是独立的。利用这些四元数代数和它们的单位,我们考虑它们与$SL(2,\IC)$的离散子群的关系,给出了离散性的充分必要条件和算术性的充分必要条件§9。然后,我们表明,为集团$\IZ_p*\IZ_2$,完善的封闭根的好字多项式正是模空间的几何有限离散和忠实的表示,结果,我们显示持有更大的一般性在\S 12。
Relatively Anosov groups: finiteness, measure of maximal entropy, and reparameterization
本文针对相对Anosov子群,通过Groves-Manning空间测地流重参数化流空间,证明了Bowen-Margulis-Sullivan测度有限、唯一且强混合,推广了Kleinian群经典结果至高秩。
Effective virtual and residual properties of some arithmetic hyperbolic 3-manifolds
对于由二次型构造得到的算术双曲3-流形群,我们给出了嵌入固定6维直角反射群的子群的最小指数的一个有效上界,从而稳定了全测地子空间.特别地,对于任何固定的可积类中的流形群,我们证明了这样的子群的指数渐近小于流形的体积的任何分数幂。我们还给出了全测地浸入非紧直角反射轨道的闭双曲流形的测地剩余有限增长的有效界,推广了第三作者在紧情形下的工作.第一个结果给出了第二个适用的例子,并为这些我们给出明确的界限测地线剩余有限性增长。
The limit set of subgroups of arithmetic groups in $PSL(2,C)^q \times PSL(2,R)^r$
虽然半单李群中的格被研究得很好,但对无限余体积的离散子群却知之甚少。主要的例子是肖特基群。在这里,我们研究一些新的例子。考虑了具有$q+r>1$的$PSL(2,C)^q \times PSL(2,R)^r$中算术群的子群$Γ$及其极限集.我们证明了一个非初等生成的$Γ$的投射极限集只包含一个点当且仅当$Γ$到$PSL(2,C)^q \times PSL(2,R)^r$的单因子的投影是算术Fuchsian群或Kleinian群的子群.进一步研究了$Γ$的整个极限集的拓扑.特别地,我们给出了极限集同胚于圆的一个充要条件。
Connectivity Properties of Horospheres in Euclidean Buildings and Applications to Finiteness Properties of Discrete Groups
设G(O_S)是整体函数域K上连通的绝对几乎单线性代数群G的S-算术子群。证明了当G的K秩为1时,G的局部秩和决定了G(O_S)的同调有限性。这表明,在这种情况下,本文所建立的G(O_S)的有限长的一般上界是尖锐的.几何分析的基础上,我们的结果确定了密集的欧氏建筑物的horosphere的conectivity属性。
Dimension rigidity in conformal structures
令$Λ$是共形动力系统的极限集,即作用于有限维或无限维实希尔伯特空间的克莱因群、共形迭代函数系统或有理函数。对于以下二分法,我们给出了一个易于表达的充分条件,要求极限集不大于径向极限集太多:$Λ$是实解析流形或Mandelbrot意义下的分形(即它的豪斯多夫维数严格大于它的拓扑维数).我们的主要重点是在无限维的情况下。我们的证明策略的一个重要组成部分来自Mayer和Urbaidski('03)的可求正性技术,他们获得了共形迭代函数系统(包括具有无限字母表的系统)的维数刚性结果。为了处理无限维的情况下,无论是克莱因群和迭代函数系统,我们引入的概念pseudorectifiability,一个变种的可求正性,并制定了一个理论,围绕这个概念类似的理论的可求正集。我们的方法也扩展了现有的结果在有限维的情况下,在那里它统一的领域的Kleinian群,共形迭代函数系统,和有理函数。对于Kleinian群,我们改进了Kapovich('09)的刚性结果,大大削弱了其几何有限性假设。此外,我们的证明,基于可求正性,是完全不同的Kapovich,这取决于同调代数。我们的方法的另一个优点是,它允许我们使用Štan $'$ ko('69)的“维数”作为拓扑维数的替代。例如,我们证明了任何动态定义版本的安托万的项链必须有豪斯多夫维数严格大于1(即安托万的项链的尺寸)。
Some finiteness results for groups of automorphisms of manifolds
证明了在维数不等于4,5或7的情况下,固定边界的圆盘的双同态的拓扑群的分类空间的同调群和同伦群在每个度上都是双生成的.证明中使用了同调稳定性、嵌入演算和映射类群的算术性。由此我们推出类似的结果,同胚的$R^n$和各种类型的自同构的2-连通流形。
Subgroups of hyperbolic groups, finiteness properties and complex hyperbolic lattices
本文证明最简单类型余紧复双曲算术格的足够深有限指数子群存在到整数群的大量同态,其核具有类型F_{m-1}而非F_m,从而构造出双曲群的许多有限展示非双曲子群,回答了Brady的长期问题,并给出非球面Kähler流形Singer猜想的一个特殊情形证明。
Quantitative finiteness of hyperplanes in hybrid manifolds
本研究针对由Gromov与Piatetski-Shapiro粘合构造生成的n≥3维非算术双曲流形,证明其全测地超平面的定量有限性,拓展了三维相关研究,核心依赖SO(n-1,1)周期轨道的有效密度定理,运用了Margulis函数等多项技术。
Concrete one complex dimensional moduli spaces of hyperbolic manifolds and orbifolds
本文介绍了Riley slice及其背景,并将Keen和Series的工作扩展到同构于$\mathbb{Z}_p*\mathbb{Z}_q$的Kleinian群的单复维模空间。
On ground fields of arithmetic hyperbolic reflection groups
利用作者1980,1981年的方法,定义了算术双曲反射群的包含基域的数域的显式有限集,并得到了它们的次数的好界.例如,任何算术双曲反射群的基域在维度至少为6的情况下的度数以56为界。这些结果可能对进一步分类具有重要意义。对算术双曲反射群个数的有限性给出了一个镜像对称猜想,该猜想是最近才建立的。
Finiteness properties of automorphism spaces of manifolds with finite fundamental group
给定一个具有有限基本群的偶数维闭光滑流形$2n\ge6$,证明了$M$的同胚群的分类空间${\rm BDiff}(M)$是有限型的,并且在每一次上都有同胚生成的同伦群.我们还证明了这个结果的一个变种的流形的边界和推导出的空间的光滑嵌入的一个紧凑的子流形$N\subset M$的任意余维到$M$已连续生成更高的同伦群的基础上的包含,提供的基本群的补充是有限的。作为中间结果,我们证明了有限CW复形的简单同伦自等价的同伦类群与有限基本群的有限核可分解为一个算术群。
Nondivergence on homogeneous spaces and rigid totally geodesics
设$G/Γ$是半单李群与算术格的商.我们证明了对于$G$的约化子群$H$,如果$H$足够大,则$H$在$G/Γ$上的轨道与固定紧集非平凡相交.作为结果,我们得到了不允许非平凡变形且具有有界体积的对称空间的算术导数的全测地子流形的有限性结果。我们的工作概括了Tomanov-Weiss和Oh关于这个主题的以前的工作。
Residual finiteness of some automorphism groups of high dimensional manifolds
本文证明了维数 $d \geq 6$ 的2-连通闭流形的拓扑映射类群是剩余有限的,并利用嵌入微积分及Weiss纤维序列等工具推导出其为算术群。
Asymptotic mapping class groups of Cantor manifolds and their finiteness properties
该研究证明了特定曲面渐近映射类群的$F_\infty$型有限性,提出更一般的Cantor流形渐近映射类群$F_\infty$型判定定理,给出多类重要示例并验证了部分流形下其同调与稳定同调的一致性。
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