Characters of Crossed Modules and Premodular Categories
P. Bantay
给出了一个将有限交叉模与一个预模范畴联系起来的一般过程，推广了有限群及其二重群的表示范畴，并解释了所得到的范畴不能是模的程度.
A general procedure is presented which associates to a finite crossed module a premodular category, generalizing the representation categories of a finite group and of its double, and the extent to which the resulting category fails to be modular is explained.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Rank 4 Premodular Categories
我们考虑秩为4的预模范畴的分类问题。我们给出了前模范畴的第二Frobenius-Schur指标的一个公式，并完成了秩为4的前模范畴的分类（直到Grothendieck等价）.
Classification of Rank 5 Premodular Categories
本文综述了近年来发展起来的一些分类工具，并利用它们对伪酉秩5前模范畴进行了等价分类。
Unitarizablity of premodular categories
研究了由量子群在单位根上的表示所构造的预模范畴的么正化性。我们引入\emph{Grothendieck unitarizability}作为酉化性的自然推广到任何一类具有公共Grothendieck半环的预模范畴。得到了$F_4$和$G_2$李型量子群的新结果，改进了$B$和$C$李型量子群的已知结果.
On some Frobenius type divisibility results in a premodular category
本文对预模范畴得到了一些新的Frobenius型整除性结果。特别地，我们将[Yu20]的推论3.4从超模范畴的设置推广到任意伪酉预模范畴。
Modular categories from finite crossed modules
已知有限交叉模提供预模张量范畴。这些类别实际上是可模块化的。我们构造了模化，并证明了它等价于有限Drinfeld double的模范畴。
Schopieray's Galois-modular extension conjecture
本文证明了斯科普雷亚关于预模融合范畴嵌入为模范畴的伽罗瓦-模扩展猜想，适用于伪单位范畴。
From Three Dimensional Manifolds to Modular Tensor Categories
利用物理学中的M理论，Cho，Gang和Kim（JHEP 2020，115（2020））最近概述了一个程序，该程序将三维流形的两个平行主题连接起来，即几何拓扑和量子拓扑。他们认为，经典的拓扑不变量，如$\text{SL}(2,\mathbb{C})$ -flat连接的Chern-Simons不变量和三流形的伴随Reidemeister挠率可以打包在一起，产生一个$(2+1)$ -拓扑量子场论，它本质上等价于模张量范畴。进一步证明了每一个模张量范畴都可以从一个三流形和一个半单群中得到。本文从数学上对该方案进行了研究，为该方案的可行性提供了有力的支持。该程序产生一个算法来生成潜在的模块$T$ -矩阵和候选模块数据的量子维数。模块化的$S$ -矩阵基本上遵循尝试法。我们发现模块化张量类别，实现候选模块化的数据，从塞弗特纤维空间和环面束的圆，揭示了许多微妙的程序。根据我们的计算，我们对程序进行了一些改进。我们的主要结果是一个数学结构的一个premodular范畴从每个塞弗特纤维空间与三个奇异纤维和家庭的环面丛的圆与Thurston SOL几何。来自Seifert纤维空间的预模范畴与Temperley-Lieb-Jones范畴相关，而来自圆上环面丛的预模范畴与元范畴相关。我们猜想，由此产生的前模范畴是模的当且仅当三个流形是一个$\mathbb{Z}_2$ -同调球和凝聚玻色子在前模范畴导致要…
Coherence for monoidal $G$-categories and braided $G$-crossed categories
证明了群在幺半范畴上作用的一个凝聚定理。作为一个应用，我们证明了任意编织$G$交叉范畴的相干性。
Rank-finiteness for G-crossed braided fusion categories
我们建立了$G$ -交叉编织融合范畴类的秩有限性，推广了模范畴的最新结果，并包含了编织融合范畴的重要情形.这就需要研究轻微退化的辫状融合范畴和它们的中心，它们本身就很有趣。
Sub-structure in module category of Virasoro vertex operator algebras $L(c_{p,q}, 0)$
本文研究了Virasoro顶点算子代数 $L(c_{p,q},0)$ 模 category 的子结构，确定了预模和模张量子category。
Crossed pointed categories and their equivariantizations
本文提出交叉模的拟交换第三上同调的概念，推广了Eilenberg和MacLane的交换上同调和Obern的拟交换上同调，并利用它对交叉点范畴进行了分类，对后者应用等变化过程得到了辫子融合范畴，它可以看作是有限群的扭曲Drinfeld双上模范畴的推广.作为一个结果，我们得到的所有辫子群理论范畴的描述。给出了这些范畴是模范畴的一个判别准则。我们还描述了这些范畴下的拟三角拟霍普夫代数。
The rank of $G$-crossed braided extensions of modular tensor categories
给出了模张量范畴的$G$ -交叉辫子扩张的秩的一个著名公式的简短证明。
Trivializing group actions on braided crossed tensor categories and graded braided tensor categories
对于交换群$ A $，研究了交叉辫状$ A $ -范畴与$ A $ -作用和$ A $ -分次辫状张量范畴的平凡化之间的紧密联系.此外，我们证明了一个阻碍的存在平凡化的一个范畴的群作用$T$的monoidal范畴$\mathcal{C}$是由一个元素$O(T)\in H^2(G,\operatorname{Aut}_\otimes(\operatorname{Id}_{\mathcal{C}}))$。在$O(T)=0$的情况下，障碍物的集合形成$\operatorname{Hom}(G,\operatorname{Aut}_\otimes(\operatorname{Id}_{\mathcal{C}}))$上的torsor，其中$\operatorname{Aut}_\otimes(\operatorname{Id}_{\mathcal{C}})$是恒等式的张量自然自同构的阿贝尔群。平凡化的上同调解释，以及arXiv：0909.3140中发展的（忠实分级）辫状$A$ -交叉张量范畴的同伦分类，使我们能够提供一种构造忠实$A$ -分级辫状张量范畴的方法.我们举两个例子。首先，我们计算了与点半单张量范畴相关联的辫状交叉范畴平凡化存在的障碍。在第二个例子中，我们计算显式公式的编织$\mathbb{Z}/2$交叉结构的Tambara-Yamagami融合类别，因此，在arXiv：数学/00…
Crossed actions of matched pairs of groups on tensor categories
在张量范畴上引入了$(G, Γ)$ -交叉作用的概念，其中$(G, Γ)$是有限群的匹配对.一个张量范畴被称为$(G, Γ)$ -交叉张量范畴，如果它被赋予一个$(G, Γ)$ -交叉作用.我们证明了每个$(G, Γ)$交叉的张量范畴$\mathcal C$产生一个适合于张量范畴$\operatorname{Rep G} \to \mathcal C^{(G, Γ)} \to \mathcal C$的精确序列的张量范畴$\mathcal C^{(G, Γ)}$。我们还定义了一个$(G, Γ)$ -编织的概念，在一个$(G, Γ)$ -交叉张量范畴，这是连接到一定的QYBE集理论的解决方案。这推广了Turaev提出的$G$ -交叉辫张量范畴的概念。证明了如果$\mathcal C$是一个具有$(G, Γ)$ -辫子的$(G, Γ)$ -交叉张量范畴，则张量范畴$\mathcal C^{(G, Γ)}$是一个标准形式的辫子张量范畴.
Relation between bicrossed products and crossed extensions of fusion categories
本文证明 Natale 定义的交叉扩张均可通过对偶的双交叉积恢复，并由此说明点融合范畴与融合范畴间的精确分解都能实现为双交叉积。
Yetter-Drinfeld modules for Turaev crossed structures
我们提供了一个类似的Joyal街中心建设和Kassel-Turaev范畴的量子双的背景下引入的交叉范畴的Turaev。然后，我们集中或注意的情况下，类别的代表性。特别地，我们引入了交叉群余代数H上的Yetter-Drinfeld模的概念，并证明了H上的Yetter-Drinfeld模范畴与H的表示范畴的中心以及H的量子二重的表示范畴同构为辫子交叉范畴.
Duplicial sets, crossed $G$-sets and descent categories
本文通过左 $\chi$-余代数的一般理论，展示了用于构造循环集的循环算子的一个系数上的附加结构是这一理论的实例，并指出一般情况下另一系数需配备交叉 $G$-集结构。
Near-integral fusion
本文将有限群特征标理论推广至近整融合环，刻画辫近整融合范畴，并据此简化了秩不超过6的300多个辫等价类的分类。
On the Category of Boundary Values in the Extended Crane-Yetter TQFT
Crane-Yetter状态和是闭合4-流形的不变量，根据三角测量定义，基于与量子s1 2上的表示的类别A相关联的15-j符号（在单位根单位根）。在这篇论文中，我们定义了状态和的一个“PLCW分解”，它推广了三角剖分，并推广到任意的预模范畴。我们将状态和推广到带角点的4-流形上，使其成为一个扩展的TQFT。我们还开发了一个平行的理论的基础上的绞，这基本上是A-有色图，我们表明，这两个理论是等价的。在二维部分，我们证明了绞范畴的几个性质，其中最重要的是它们满足切除。我们提供了明确的代数描述的范畴相关的一次穿刺环面和环，从而产生一个新的张量积的德林费尔德中心的premodular范畴。众所周知，当A是模时，Crane-Yetter状态和计算闭4-流形的签名，我们将Crane-Yetter理论与具有边界带边流形和偶数角的4-流形的签名联系起来。最后，我们证明了Reshetikhin-Turaev TQFT是Crane-Yetter理论的边界理论（直到归一化）。
Crossed modules of monoids II. Relative crossed modules
这是第二部分的一系列的三个强烈相关的文件中，三个等价结构进行了研究：-内部类别的类monoids;定义方面的拉回相对于一类选定的跨度-交叉模块的monoids相对于这一类的跨度-单纯monoids的所谓摩尔长度1相对于这一类的跨度。所涵盖的幺半群最重要的例子是小范畴（在跨度范畴中被视为幺半群）和对称幺半范畴中的双幺半群（在余范畴中被视为幺半群）。在第二部分中，我们定义了幺半群的相对交叉模，并证明了它们与第一部分中的相对范畴等价。
Monoidal categories graded by crossed modules and 3-dimensional HQFTs
本文引入由交叉模分级的幺半范畴与融合范畴，并利用球面χ-融合范畴通过状态和方法构造以同伦2型Bχ为目标的三维同伦量子场论。
Crossed product tensor categories
群$G$上的分次张量范畴称为交叉积张量范畴，如果每个齐次分支至少有一个乘可逆对象。我们的主要结果是描述的交叉产品张量范畴，分次monoidal函子，monoidal自然变换，编织在连贯的外部$G$ -行动张量范畴。
Crossed modules and quantum groups in braided categories II
这是本文的第二部分。本文将第一部分关于交叉模的结果应用于辫范畴中量子群的研究。在量子辫群类中建立了正确的叉积。得到了量子辫群是叉积的判别准则。
Extensions of tensor categories by finite group fusion categories
本文研究了$\Rep G \to \C \to \D$形式的有限张量范畴的正合序列，其中$\Rep G \to \C \to \D$是一个有限群。我们证明了在适当的假设下，存在一个群$Γ$和由置换$\rhd: Γ\times G \to G$和$\lhd: Γ\times G \to Γ$产生的相互作用，使得$(G, Γ)$成为一对匹配的群，并赋予它们对$\D$的自然交叉作用，使得$\C$等价于$\D$的某个关联的交叉扩张$\D^{(G, Γ)}$.对偶地，我们证明了有限张量范畴$\vect_G \to \C \to \D$的正合序列在$\C$上诱导一个$\Aut(G)$ -分次，其中性齐次分量是$\D$的一个张量子范畴的$(Z(G), Γ)$ -交叉扩张.作为应用，我们证明了$\D$的扩展$\C$是弱群论融合范畴当且仅当$\D$是弱群论融合范畴.特别地，我们得出结论，每一个半可解半单Hopf代数是弱群论的。
Center construction for group-crossed tensor categories
本文定义了Natale意义下群交叉张量范畴的交叉中心，证明其构成辫子张量范畴，并推广了分次中心与等变中心构造。
Drinfeld Centre-Crossed Braided Tensor Categories
对于具有Drinfeld中心$\mathcal{Z}(\mathcal{A})$的对称融合范畴$\mathcal{A}$，引入了$\mathcal{Z}(\mathcal{A})$ -交叉辫张量范畴的概念.这些范畴是在$\mathcal{Z}(\mathcal{A})$上富集的，并配备了对称张量，同时相对于$\mathcal{Z}(\mathcal{A})$上的通常张量积是编织的monoidal。在Tannakian情形下，当$\mathcal{A}=\mathbf{Rep}(G)$对于有限群$G$，$\mathcal{Z}(\mathcal{A})$ -交叉辫子范畴的2-范畴等价于$G$ -交叉辫子张量范畴的2-范畴.对于超Tannakian情形，当$\mathcal{A}$是有限超群的表示范畴时，也得到了类似的结果.
Crossed extensions of the corepresentation category of finite supergroup algebras
我们给出了有限维非半单霍普夫代数的余表示范畴的C_2-分次扩张的有限张量范畴的例子。
A 3-categorical perspective on G-crossed braided categories
本文从3-范畴的角度，将G-交叉辫子范畴与群G的结构联系起来，提供了一种统一的构造方法。
Weak braiding for algebras in braided monoidal categories
本文提出弱辫子张量范畴的定义，证明辫子G交叉范畴、辫子张量范畴中交换代数的模范畴均属此类，且合理假设下经扭曲函子得到的弱辫子范畴为群交叉辫子化范畴。
Crossed modules of monoids I. Relative categories
这是第一部分的一系列的三个强烈相关的文件中，三个等价的结构进行了研究：-内部类别的类monoids;定义的拉回相对于一类选定的跨度-交叉模块的monoids相对于这一类的跨度-单纯monoids的所谓摩尔长度1相对于这一类的跨度。所涵盖的幺半群最重要的例子是小范畴（在跨度范畴中被视为幺半群）和对称幺半范畴中的双幺半群（在余范畴中被视为幺半群）。在这第一部分中，相对拉回的理论是制定导致一个相对范畴的定义。
$G$-crossed braided zesting
本文提出$G$-交叉辫子zesting方法，利用可逆对象的上同调数据从已知$G$-交叉辫子融合范畴构造新范畴，并刻画其与$G$-扩张及Etingof-Nikshych-Ostrik同伦描述的关系。
Crossed-module crossed braided categories
本文为交叉模引入交叉辫子（及缎带）范畴，统一推广了多种已知结构，并利用上同调分类了分级向量空间上的此类结构，还通过扭曲局部模构造了实例。
Hopf (Bi-)Modules and Crossed Modules in Braided Monoidal Categories
研究了辫子monoidal范畴C中双代数B上的Hopf（双）模和交叉模.证明了当B是一个具有可逆对极的Hopf代数时，这两个范畴的（辫状）么半群等价。证明了C中Hopf代数上的双代数投影和Hopf双模双代数是同构范畴。作为结果的Radford-Majid准则的辫子Hopf代数是一个交叉产品的推广。本文的结果对辫状Hopf代数上的（双共变）微分演算的构造具有重要意义。
Homotopy field theory in dimension 3 and crossed group-categories
三维同伦量子场论可以描述为曲面和3-协边的TQFT，其中曲面和3-协边具有到给定空间的映射的同伦类。对于一个群$π$，我们引入了一个模块交叉$π$范畴的概念，并证明了这样一个范畴产生了一个目标空间为$K(π,1)$的三维HQFT。这包括三维$π$ -流形和二维同伦模函子的数值不变量。我们还引入并讨论了拟三角交叉Hopf $π$ -余代数的一个平行概念。
Equivariant Morita theory for graded tensor categories
我们将范畴Morita等价推广到由有限群$G$分次的有限张量范畴.我们证明了两个这样的范畴是分次Morita等价的当且仅当它们的等变Drinfeld中心等价于辫状$G$ -交叉张量范畴。
Crossed $S$-matrices and Fourier matrices for Coxeter groups with automorphism
本文研究辫子 $G$-交叉范畴中的交叉 $S$-矩阵，将其计算归约为去等化子矩阵，并通过两个范畴例子恢复带自同构二面体群及 ${}^2F_4$ 型 Ree 群幂幺特征标大族的 Fourier 矩阵。
Crossed modules and quantum groups in braided categories I
设$H$是辫子范畴$\cal C$中的一个Hopf代数. $H$上的交叉模是同时具有模结构和余模结构的对象，它们满足某种相容性条件。交叉模范畴${\cal C}^H_H$是一般范畴构造的具体实现。对于量子辫群$(H,{\cal R})$，相应的模辫范畴${\cal C}^{\cal R}_H$与${\cal C}_H^H$中的满子范畴一致.讨论了与叉积的关系。在量子辫群类中建立了正确的叉积。Radford-Majid定理给出了一般Hopf代数为叉积的等价条件.得到了量子辫群中该定理的辫变式和类似定理。
2D HQFTs and Frobenius $(\mathcal{G},\mathcal{V})$-categories
本文引入带空间靶对$(X,Y)$的新型同伦量子场论，给出其1维分类结果，并提出交叉圈Frobenius $(\u0026#x27;\mathcal{G},\mathcal{V})$-范畴概念，证明了2维$(X,Y)$-HQFT的分类定理。
Crossed modules of monoids III. Simplicial monoids of Moore length 1
这是最后一部分的一系列的三个强烈相关的文件中，三个等价的结构进行了研究：-内部类别的类monoid;定义方面的拉回相对于一类选定的跨度-交叉模块的monoid相对于这一类的跨度-单纯monoid的所谓摩尔长度1相对于这一类的跨度。所涵盖的幺半群最重要的例子是小范畴（在跨度范畴中被视为幺半群）和对称幺半范畴中的双幺半群（在余范畴中被视为幺半群）。第三部分分析了相对单纯幺半群。引入了它们的Moore长度，证明了Moore长度为1的相对单纯幺半群与第一部分中的相对幺半群范畴的等价性。这个等价性在一个方向上通过在前两个度截断单纯幺半群得到;在另一个方向上通过取相对范畴的单纯神经得到。
Module categories for permutation modular invariants
我们证明了一个辫幺半范畴C可以被赋予C上的一个右（和左）模范畴的结构\times C。事实上，有一族这样的模范畴结构，它们是同构的当且仅当C允许扭曲。对于C是预模的情形，我们计算了C的张量单位的内端点，证明了如果C是模的，则C是Azumaya代数。作为二维有理共形域论的一个应用，我们证明了模范畴描述了基于两个全同手征代数乘积的模型的置换模不变量.特别地，所有置换模不变量都是物理的。
Hopf crossed module (co)algebras
本文引入 Hopf 交叉模（余）代数，推广 Hopf 代数与 Hopf 群（余）代数，并证明其表示范畴为幺半且 χ-分级。
Torsorial actions on G-crossed braided tensor categories
本文提出了一种在$G$交叉辫状张量范畴$\mathcal{C}_G^\times$上生成$H^2_{[ρ]}(G,\mathcal{A})$和$H^3(G,\text{U}(1))$的扭转作用下的基本数据的方法，其中$\mathcal{A}$是辫状张量范畴$\mathcal{C}$中可逆简单对象的集合.当$\mathcal{C}$是模张量范畴时，$H^2_{[ρ]}(G,\mathcal{A})$和$H^3(G,\text{U}(1))$的扭转作用给出了可能的$G$交叉扩张的完整生成，因此提供了一个分类。这种扭转分类可以通过重新标记等价来（部分地）折叠，所述等价在计算$\mathcal{C}$的$G$交叉编织延伸的集合时出现。这里提出的torsor方法通过系统化由$\mathcal{A}$ -值$1$ -上链重新标记来减少这些冗余。我们还使用我们的方法来计算这些torsor函子的合成规则。
Crossed modules and quantum groups in braided categories
设$A$是辫子范畴$\cal C$中的一个Hopf代数.引入并研究了$A$上的交叉模，并将其作为模结构和余模结构都满足相容性条件的对象.交叉模范畴$\DY{\cal C}^A_A$是一个辫子，并且是monoidal范畴的二重或中心的已知一般构造的具体实现。对于一个量子辫群$(A,\overline A,{\cal R})$，相应的辫模范畴${\cal C}_{\cO{A,\overline A}}$被标识为$\DY{\cal C}_A^A$中的一个全子范畴.讨论了与叉积的关系，并在量子辫群类中构造了一个合适的叉积。Majid-Radford定理给出了一个普通的Hopf代数是这样的叉积的等价条件，并推广到辫范畴. Majid的玻色化定理也得到了推广。
Modular categories, crossed S-matrices and Shintani descent
设$\mathscr{C}$是特征为0的代数闭域$k$上的模张量范畴.然后是与模范畴相关的普遍存在的S-矩阵$S(\mathscr{C})$的概念。矩阵$S(\mathscr{C})$是对称矩阵，其元素是分圆整数，矩阵$(\dim \mathscr{C})^{-\frac{1}{2}}\cdot S(\mathscr{C})$是酉矩阵。这里$\dim \mathscr{C}\in k$表示$\mathscr{C}$的范畴维数，它是一个全正分圆整数。现在假设我们也有一个模自等价$F:\mathscr{C}\to \mathscr{C}$。本文定义并研究了与模自等价$F$相关的交叉S-矩阵的概念。我们将看到交叉S-矩阵作为某个“更大”模范畴的通常S-矩阵的子矩阵出现，因此交叉S-矩阵的元素也是分圆整数。我们将证明与任何模自等价相关的交叉S-矩阵（由因子$(\dim \mathscr{C})^{-\frac{1}{2}}$归一化）是酉矩阵。我们还将证明交叉S-矩阵本质上是与模自等价$F$相关的某个半单交换Frobenius $k$ -代数的“特征标表”。我们的大多数结果的动机来自于代数群上的特征标层理论，我们期望在不可约特征标和特征标层之间的转移阵可以作为某些交叉S-矩阵得到.在有限域上定义的代数群的特征标理论中，存在弗罗贝纽斯稳定特征标的Shintani下降的概念。我们将在模范畴的背景…
Reflection fusion categories
我们引入了$\textit{reflection fusion category}$的概念，它是由Frobenius-Perron维数$1$和$\sqrt{p}$的对象生成的一类$G$交叉范畴，其中$p$是奇素数.我们表明，这样的类别对应于正交反射群在$\mathbb{F}_p$。这允许我们使用有限域上的不可约反射群的已知分类来对不可约反射融合类别进行分类。
Crossed modular categories and the Verlinde formula for twisted conformal blocks
本文在假定“$Γ$保持Borel”的条件下，给出了一个计算具有有限群$Γ$和正整数水平$\ell$作用的单李代数的扭共形块丛秩的Verlinde公式.作为这个Verlinde公式的动机，我们证明了一个分类的Verlinde公式，计算融合系数的任何$Γ$交叉模块化融合类别定义的Turaev。为了联系这两个版本的Verlinde公式，我们制定了一个$Γ$交叉模块函子的概念，并表明它是非常密切相关的概念，一个$Γ$交叉模块融合范畴。我们计算了Atiyah代数，并证明了（在相同的假设下）与扭曲仿射李代数相关联的$Γ$ -扭曲共形块丛定义了一个$Γ$ -交叉模函子.一路上，我们证明了一个$Γ$交叉模块函子和它的拓扑模拟之间的等价性。然后，我们应用这些结果推导出扭曲的共形块的Verlinde公式。我们还明确地描述了交叉S-矩阵中出现的扭曲共形块的Verlinde公式。
The Condensed Fiber Product and Zesting
本文提出两个 G 叉积辫子融合范畴的凝聚纤维积，揭示其与 zesting 上同调构造的联系，并在相应扩张的 2-范畴上建立幺半结构。
Internal algebra classifiers as codescent objects of crossed internal categories
受Batanin和Berger最近关于操作的同伦理论的工作的启发，本文提出了一个关于结构中的结构的一般单子理论背景，并研究了构造包含指定内部结构的通用环境结构的问题。根据拉克的工作，这些泛对象必须从单子理论框架中产生的单纯对象中构造出来，作为某些2-范畴余限，称为代码对象。我们隔离的额外结构，这些单纯的对象，使他们的codescent对象进行计算。这些都是交叉内部类别的标题，并概括了交叉单纯群的Loday和Fiedorowicz。最一般的结果，这篇文章关注的是如何计算这样的codescent对象在2类内部类别，并隔离条件上的单子理论的情况下，使这些结果适用。结合作者早期的工作，其中操作被看作是多项式2-单子，我们的结果，然后应用到非对称，对称和辫子运算的理论。特别是，众所周知的建设PROP从操作符恢复，作为我们的技术的一个例子。
Twisted representations of conformal nets and crossed balanced tensor categories
本文证明，具有离散群G作用的共形网A的G-扭表示范畴Rep^G(A)典范地是G-交叉平衡W*-张量范畴，推广了Müger关于G-交叉辫张量范畴的结果。
On the classification of almost square-free modular categories
设$C$是Frobenius-Perron维数为$dq^n$的模范畴，其中$q$是素数，$d$是无平方数的整数.证明了如果$q>2$，则$C$是整数幂零的.特别地，$C$是群论的。在一般情况下，我们描述的结构$C$的群交叉编织融合范畴的equivariantizations。
The Picard crossed module of a braided tensor category
对于有限辫子张量范畴，我们引入了由可逆模范畴群和辫子张量自等价群组成的Picard交叉模.我们描述的皮卡交叉模块的编织张量范畴的Drinfeld中心的编织自等价。作为一个例子，我们计算的Picard交叉模的编织点融合范畴。
Modular $\mathbb{Z}_2$-Crossed Tambara-Yamagami-like Categories for Even Groups
本文构建了非退化braided Z₂交叉张量范畴，扩展了Tambara-Yamagami范畴，允许Γ群有偶阶且非平凡部分包含多个单对象。
An Equivalence of Categories between 3-Crossed Modules and Gray 4-Groups
本文通过引入一个4-范畴并证明其单对象版本（Gray 4-群）与3-交叉模范畴等价，精确建立了3-交叉模与高维范畴之间的联系，有望用于刻画曲面纽结和高维流形的拓扑性质。
Clifford theory for graded fusion categories
我们对分次融合范畴上的强分次环发展了Clifford理论的范畴模拟。我们描述了模块类别的融合类别分级的一组$G$诱导模块类别的融合子类别与子组的$G$。我们定义了不变的$\C_e$ -模范畴和$\C_e$ -模范畴的扩张.通过构造$\C$上的模范畴来确定$G$上子群的不变模范畴以及这些模范畴的不可分解扩张.我们将一个$G$ -交叉积融合范畴与每个$G$ -不变$\C_e$ -模范畴相关联，并给出了一个分级融合范畴是群论融合范畴的判据.给出了不可分解模范畴可扩张的充要条件。
Coring categories and Villamayor-Zelinsky sequence for symmetric finite tensor categories
在前面的文章中，我们构造了一个对称有限张量范畴的无穷正合列。它由三种类型的系数，定期重复评估的上同调群。本文解释了序列第二层的中上同调群。引入了核范畴的概念，得到了中上同调群同构于Azumaya拟核范畴群。这个结果是经典的交叉积定理的范畴推广，它将相对Brauer群和第二Galois上同调群关于Galois域扩张联系起来.构造了$vec$上Azumaya拟核范畴的相对群和Azumaya拟核范畴的完全群在对称有限张量范畴上的上极限.我们证明了后两个群是同构的。
Hopf Galois Extension in Braided Tensor Categories
建立了辫子张量范畴${\cal C}$的交叉积与$H$ -Galois扩张之间的关系，给出了${\cal C}$-Galois扩张的等价子和余等价子.也就是说，如果${\cal C}$中的任意两个态射存在一个等价子和一个余等价子，则$A = B #_σH$是一个交叉积代数当且仅当$A/B$的扩张是Galois，规范史诗$q: A\otimes A \to A\otimes_B A$是分裂的，并且$A$同构为${\cal C}$中的$B\otimes H$的左$B$ -模和右$H$ -余模.
Turaev bicategories, generalized Yetter-Drinfel`d modules in 2-categories and a Turaev 2-category for bimonads in 2-categories
引入了Turaev双范畴和Turaev伪函子。一方面，他们推广了Turaev范畴（和Turaev函子）的概念，在千年之交引入，最初被Turaev自己称为“交叉群范畴”，另一方面，推广了双范畴和伪函子的概念。对于2-范畴中的双单子，我们在以前的一篇论文中定义了它，我们引入了2-范畴中的广义Yetter-Drinfel`d模。这些推广到2-范畴设置的广义Yetter-Drinfel`d模（在一个领域）的Panaite和Staic，因此也特别是反Yetter-Drinfel`d模，介绍了Hajac-Khalkhali-Rangipour-Sommerhauser作为系数的循环上同调的霍普夫代数，定义的Connes和Moscovici。我们构造了2-范畴中双单子的Turaev 2-范畴作为双单子的2-范畴的Turaev扩张.这个Turaev 2-范畴推广了Panaite和Staic的广义Yetter-Drinfel`d模的Turaev范畴。我们还证明了在2-范畴设置他们的结果对在对合，这反过来又回到模对在对合的Connes和Moscovici。
Actions of monoidal categories and representations of Cartan type Lie algebras
本文通过交叉同态建立幺半范畴作用，统一构造Lie-Rinehart代数及Leibniz对的弱表示与容许表示，并引入交叉同态上同调理论以研究其形变，同时为广义Witt代数等提供新表示。
Computing fusion rules for spherical G-extensions of fusion categories
融合范畴$\mathcal{C}$的$G$分级扩展产生$G$对中心$Z(\mathcal C)$的分类作用.如果扩展承认一个球形结构，我们提供了一种方法来恢复其融合规则的行动。然后，我们应用此找到闭公式的融合规则的扩展的一些群论范畴和轮换交叉扩展的模范畴。
Conformal Orbifold Theories and Braided Crossed G-Categories
我们表明，一个量子场论A生活在线上，并有一组G的内部对称性产生了一个类别GLoc A的扭曲表示。这个范畴是Turaev意义下的辫交叉G-范畴。它的零度子范畴是辫状的，等价于通常的表示范畴Rep A。结合[29]，其中Rep A被证明是一个很好的有理共形模型类的模，并在[60]中构造G-流形的不变量，我们得到了以下构造链的等变版本：有理CFT ->模范畴-> 3-流形不变量。然后，我们研究了GLoc A与轨道理论A^G的辫子（通常意义上）表示范畴Rep A^G之间的关系。我们证明了等价性Rep A^G =（GLoc A）^G，这是一个严格的实现的见解，一个需要考虑扭曲表示的A，以确定Rep A^G。在相反的方向上，我们有GLoc A = Rep A^G \rtimes S，其中S \subset Rep A^G是包含在A的真空表示中的A^G的表示的满子范畴，而\rtimes是指[44，48]的张量编织范畴的伽罗瓦扩张。如果A是完全有理的，G是有限的，我们证明了A对G中的每个g都有g-扭表示。在全纯情形下（Rep A = Vect_C），这允许对可能的范畴GLoc A进行分类，并澄清扭曲量子偶D^ω（G）在此上下文中的作用，这将在续集中完成。我们的结论与非全纯orbifolds和令人惊讶的反例置换orbifolds的一些意见。
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