Steenrod operations in Gromov--Witten theory: a computation for CP^n
Pelle Salomonsson
我无法发表这篇论文，因为审稿人认为它索然无味。几年后的今天，我也发现了（似乎是）其中的一个严重错误，然而，这条研究的主线可能仍然有些意义。
I could not get this paper published; it was considered uninteresting by the referee. And now, several years later, I also detect (what seems to be) a serious error in it. This general line of research may still, however, be of some interest.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Localization in Gromov-Witten Theory and Orbifold Gromov-Witten Theory
在这篇临时文章中，我们解释了如何使用本地化来计算光滑复曲面簇的Gromov-Witten不变量和光滑复曲面Deligne-Mumford栈的orbifold Gromov-Witten不变量。
Symmetries of Gromov-Witten invariants
群（Z/nZ）^2作用于复旗流形的Gromov-Witten不变量。我们还推出了这个结果的几个推论。
A Formula of the One-leg Orbifold Gromov-Witten Vertex and Gromov-Witten Invariants of the Local $\cB\bZ_m$ Gerbe
本文给出了框架单腿轨道Gromov-Witten顶点的一个公式，其中腿是各向同性群$\bZ_m$的gerby.然后利用这个公式计算局部$\cB\bZ_m$ gerbe的Gromov-Witten不变量。我们还将计算一次和二次$\bZ_2$ -Hodge积分的一些例子。
Vanishing of Gromov-Witten invariants of product of P1
证明了P1乘积的Gromov-Witten不变量的消失条件。
The Aspinwall-Morrison calculation and Gromov-Witten theory
通过将Aspinwall-Morrison公式的计算与Gromov-Witten理论相联系，证明了Aspinwall-Morrison公式。
Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde equation and its application to relative Gromov-Witten theory
利用Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde方程，得到了一类具有极大相切条件的相对Gromov-Witten不变量的递推公式.对于某些相对对，我们利用递推公式得到了不变量的显式公式。
Birational invariance in logarithmic Gromov-Witten theory
Gromov-Witten不变量已经被构造为变形不变量，但它们在其他变换下的行为是微妙的。在本文中，我们证明了对数Gromov-Witten不变量在适当定义的对数修改下也是不变的。
Gromov-Witten invariants of stable maps with fields
我们构造了带域的$\Pf$的稳定态射模的Gromov-Witten不变量.这是Guffin-Sharpe-Witten模型的全亏格数学理论，是$\Pf$的扭曲Gromov-Witten不变量的修正。这些不变量是使用Kiem-Li的余割局部化构造的，Kiem-Li是Landau-Ginzburg理论中Witten扰动方程的代数几何模拟。我们证明，这些不变量相吻合，签署，与五次的Gromov-Witten不变量。
Relative and orbifold Gromov-Witten invariants
证明了相对于光滑因子的光滑概形的亏格零Gromov-Witten不变量与沿该因子的适当根栈构造的亏格零轨道Gromov-Witten不变量一致。
Gromov-Witten theory under degree-4 Type II Extremal Transitions
本文研究亏格为零的Gromov-Witten不变量在4次II型极值变换下的变化。
Theta functions, broken lines and 2-marked log Gromov-Witten invariants
θ函数被定义为具有有效反正则因子的簇，并且与某些穿孔Gromov-Witten不变量相关。本文证明了在对数Calabi-Yau曲面（X，D）具有光滑的非常充分的反正则因子的情况下，我们可以绕过穿孔Gromov-Witten不变量的概念，并将θ函数及其乘法结构与某些2-标记的对数Gromov-Witten不变量联系起来。这是壁函数与1-标记对数Gromov-Witten不变量之间对应关系的自然扩张。
Hilbert schemes, integrable hierarchies, and Gromov-Witten theory
计算了仿射平面上点在Hilbert格式上的各种等变相交数，其中一些被组织成2-Toda族的τ-函数.建立了Hilbert格式上的等变交与平稳Gromov-Witten理论之间的对应关系。
Notes on axiomatic Gromov--Witten theory and applications
这是一篇关于Givental的公理化Gromov-Witten理论及其应用的简要文章.
Minimal Gromov--Witten ring
我们建立了量子极小Fano簇（一个极小自然（相对于Gromov-Witten理论）簇类）的格0的Gromov-Witten不变量的抽象理论。特别地，我们考虑“最小Gromov-Witten环”，即。e.一种交换代数，其生成元和关系的形式用在Fano簇的Gromov-Witten理论中。任何量子极小簇的Gromov-Witten理论都是这个环到$\mathbb C$的同态。我们证明了抽象重构定理，该定理描述了该环与由"素两点不变量"生成的自由交换环的特殊同构。我们还找到了DN型微分方程的解决方案，为一个Fano簇的维数N的生成系列的单点Gromov-Witten不变量。
On Orbifold Gromov-Witten Classes
讨论了Gromov-Witten目标栈类的一些问题。
Reconstruction theorems for genus 2 Gromov-Witten invariants
利用Pixton关系证明了亏格为2的Gromov-Witten不变量的一个重构定理，其形式为Kontsevich-Manin（亏格0）和Getzler（亏格1）.我们还计算了一般位置上有限个点上的$\mathbb{P}^2$的亏格2（后代）Gromov-Witten不变量。
Evidence for the Gromov-Witten/Donaldson-Thomas Correspondence
研究了曲线上$\mathbf{P}^2$ -丛的等变Gromov-Witten和Donaldson-Thomas理论.我们证明了等变GW/DT对应对于某些曲线类是一阶的
A formula for the total permutation-equivariant K-theoretic Gromov-Witten potential
利用射影流形X的上同调Gromov-Witten（GW）不变量，给出了X的置换等变K理论Gromov-Witten全势的图型求和公式。我们通过组合地描述X的稳定映射的模空间的Kawasaki层来实现这一点。
Degenerations of surface scrolls and the Gromov-Witten invariants of Grassmannians
我们描述了一种算法，用于计算某些示性数的表面涡卷使用退化。作为推论，我们得到一个方法来计算相应的Gromov-Witten不变量的格拉斯曼。
Splitting and loop theorems in logarithmic Gromov--Witten theory
该研究定义了含负接触阶的新型对数Gromov-Witten不变量理论，证明其满足对数双有理不变性及推广经典对应定理的环、分裂定理。
Three questions in Gromov-Witten theory
这篇文章伴随着我在2002年8月的ICM演讲。讨论了Gromov-Witten理论的三个方向：Gorenstein性质、BPS态和Virasoro约束。每一个都指向这个主题中尚未被理解的基本结构。
Higher genus relative Gromov--Witten theory and DR-cycles
我们将具有负接触序的相对Gromov-Witten不变量的定义推广到所有的属。然后，我们表明，相对Gromov-Witten理论形成一个部分CohFT。证明了稳定映射的模空间上的一些圈关系。
Absolute and relative Gromov-Witten invariants of very ample hypersurfaces
对于任意光滑复射影簇X和X中的光滑非常充裕超曲面Y，我们用代数几何的方法给出了Y在X中亏格为零的相对Gromov-Witten不变量的技巧.我们证明了相对稳定映射模空间的Chow群中的圈的一个等式，它将这些相对不变式与X和Y的Gromov-Witten不变量联系起来.给定X的Gromov-Witten不变量，我们证明了这些关系足以计算X诱导的Y的所有相对不变式以及所有亏格为零的Gromov-Witten不变量.
Quantum spectral curve for the Gromov-Witten theory of the complex projective line
我们构造了复射影线的Gromov-Witten理论的量子曲线。
The Gromov-Witten and Donaldson-Thomas correspondence for trivial elliptic fibrations
本文研究了文献[MNOP 1，MNOP 2]中关于平凡椭圆纤维化的Gromov-Witten和Donaldson-Thomas对应.特别地，我们证明了当三重为$E \times S$时，准素场的Gromov-Witten和Donaldson-Thomas对应，其中$E$是光滑椭圆曲线，$S$是具有数值平凡正则类的光滑曲面.
Splitting of Gromov-Witten Invariants with Toric Gluing Strata
本文证明了在粘合分层为环面簇的假设下，可由不可约分支的穿孔Gromov-Witten不变量重构简单正规交叉簇的对数Gromov-Witten不变量的分裂公式。
On gerbe duality and relative Gromov-Witten theory
我们制定和研究gerbe对偶相对Gromov-Witten理论的扩展。
Topological recursion relations and Gromov-Witten invariants in higher genus
本文提出并证明了一个拓扑递归关系，它用具有较少余切线类的不变量来表示具有至少一个余切线类的（3g-1）次幂的射影流形的任何亏格Gromov-Witten不变量.对于射影空间，我们证明了这些关系与Virasoro条件一起足以计算全Gromov-Witten势。这给出了确定射影空间的高亏格Gromov-Witten不变量的第一个计算上可行的方法。
Gromov-Witten Theory of $A_n$ type quiver varieties and Seiberg Duality
Seiberg对偶猜想断言，两个由突变相关的变种的Gromov-Witten理论（规范线性西格玛模型）通过变量变化是相等的。在这项工作中，我们证明了这一猜想的$A_n$型双簇。
The product formula for Gromov-Witten invariants
证明了两个簇的乘积的Gromov-Witten不变量系等于两个因子的Gromov-Witten不变量系的张量积。
On Gromov-Witten theory of projective bundles
给定代数GKM流形上具有相同等变Chern类的两个等变向量丛，证明了它们的投射丛的亏格零等变Gromov-Witten理论是自然同构的.
Gromov-Witten invariants and rational curves on Grassmannians
研究了齐性空间X上s-点亏格零Gromov-Witten不变量的计数意义。为此，我们给出了X上的有理曲线的解释。
The degree of the variety of rational ruled surfaces and Gromov-Witten invariants
通过将问题与Gromov-Witten不变量和量子上同调相联系，计算了射影空间中d次有理直纹曲面的簇参数化次数.
Connected Gromov-Witten invariants of [Sym^n(A_r)]
本文研究了对称积栈[Sym^n（A_r）]的连通Gromov-Witten不变量理论。我们导出了所有具有两个插入的等变不变量的封闭形式表达式，并揭示了该理论与三重A_r x P^1的相对Gromov-Witten理论之间的自然对应。当n小于或等于3时，我们确定了[Sym^n（A_1）]的三点（通常）Gromov-Witten不变量.
K-theoretic Gromov--Witten invariants in genus 0 and integrable hierarchies
我们证明了K理论Gromov-Witten理论中的亏格0不变量是由一个流体动力学型的可积族所支配的。如果K-理论量子积是半单的，那么我们也证明了这个层次的完备性。
Higher genus relative and orbifold Gromov-Witten invariants
给定一个光滑射影簇$X$和一个光滑因子$D\subset X$ .研究了$(X,D)$的相对Gromov-Witten不变量和$r$ -th根栈$X_{D,r}$的相应轨道Gromov-Witten不变量.对于足够大的$r$，我们证明了$X_{D,r}$的轨道Gromov-Witten不变量在$r$中是多项式.此外，$(X,D)$的高阶亏格相对Gromov-Witten不变量恰好是$X_{D,r}$的高阶亏格orbifold Gromov-Witten不变量的常数项.我们还提供了一个新的证明之间的平等亏格零相对和orbifold Gromov-Witten不变量，原来证明了阿布拉莫维奇Cadman明智的\cite{ACW}。当$r$足够大且$X=C$为曲线时，证明了$C$的平稳相对不变式等于所有属中的平稳轨道不变量.
Higher-genus Gromov-Witten invariants as genus 0 invariants of symmetric products
证明了一个表示投射簇X的后代亏格g Gromov-Witten不变量的公式，该公式表示投射簇X的对称积栈S^{g+1}（X）的亏格0不变量.当X为点时，后者为对称群的结构常数，从而获得了计算点的Gromov-Witten不变量的新方法。
Degeneration and gluing of Kuranishi structures in Gromov-Witten theory and the degeneration/gluing axioms for open Gromov-Witten invariants under a symplectic cut
本文研究了Gromov-Witten理论中Kuranishi结构在辛割下的退化和胶合。这导致我们的退化公理和粘合公理开放Gromov-Witten不变量。然后，它们提供了一条通过专业化构建虚拟基础链的途径。附录中给出了Li-Ruan/Li与Ionel-Parker关于封闭Gromov-Witten不变量的退化公式的等价性的评论。
A Uniqueness Theorem for Frobenius Manifolds and Gromov--Witten Theory for Orbifold Projective Lines
证明了对于至多有三个轨道点的轨道射影线，由Gromov-Witten理论构造的Frobenius结构是由具有一定自然初始条件的WDVV方程唯一确定的.
Invariance of Gromov--Witten theory under a simple flop
我们证明了Gromov-Witten不变量的母函数在扩展Kähler模空间中的解析延拓后，对于所有的属，在一个简单的触发器下是不变的。这是一个[LLL]的续集。
Gromov-Witten/Donaldson-Thomas correspondence for toric 3-folds
证明了具有准素插入的非奇环面3重X的等变Gromov-Witten理论等价于X的等变Donaldson-Thomas理论。作为推论，Agangic，Klemm，Marino和Vafa的局部Calabi-Yau复曲面3-折叠的Gromov-Witten理论的拓扑顶点计算在全3-腿设置下被证明是正确的。
Invariance of tautological equations II: Gromov--Witten theory
第二部分的目的是探讨在Gromov-Witten理论领域重言式方程的不变性技术。主要结果是利用Gromov-Witten理论的技巧证明了不变性定理（文[14]中的不变性猜想~1）。建立了重言环的一般归纳结构，为重言环的研究提供了新的工具。
Degenerations of Del Pezzo surfaces and the Gromov-Witten invariants of the Hilbert Scheme of conics
利用退化方法研究了Del Pezzo曲面的示性数。
Equivariant Gromov-Witten Theory of GKM Orbifolds
本文研究了任意GKM orbifold $X$的全亏格Gromov-Witten理论。本文将在\cite{Giv2} \cite{Giv3} \cite{Giv4}中研究的光滑情形下的Givental公式推广到轨道情形。具体地说，我们恢复了高亏格Gromov-Witten不变量的GKM orbifold $X$的亏格零数据。当$X$为环面时，$X$的亏格为零的Gromov-Witten不变量可以由\cite{CCIT}中的镜像定理显式地计算出来，我们的主要定理给出了$X$的所有亏格Gromov-Witten不变量的一个封闭公式.当$X$是复曲面Calabi-Yau 3-orbifold时，我们的公式给出了\cite{Fang-Liu-Zong3}中的重塑猜想的证明.
Comparison theorems for Gromov-Witten invariants of smooth pairs and of degenerations
我们考虑了相对Gromov-Witten理论和Gromov-Witten退化理论的四种方法：Jun Li的原始方法，Bumsig Kim的对数展开，Abramovich-Fantechi的orbifold展开，以及由于Gross-Siebert和Abramovich-Chen而没有展开的对数理论。我们展示了这些模空间的态射，并证明了他们的虚拟基本类是通过这些态射向前推进兼容。这意味着与所有四个理论相关的Gromov-Witten不变量是相同的。
A product formula for log Gromov-Witten invariants
本文的目的是证明在$V$上的对数结构是平凡的情况下，$V \times W$的对数Gromov-Witten不变量与$V$和$W$的对数Gromov-Witten不变量的乘积公式。
Gromov-Witten theory of tame Deligne-Mumford stacks in mixed characteristic
定义了戴德金整环上有限表示的光滑真驯服Deligne-Mumford栈的Gromov-Witten类和不变量.我们证明了它们是形变不变量，并验证了基本公理。对于戴德金整环上光滑的真驯服Deligne-Mumford堆叠，证明了不同特征的纤维的不变量是相同的.证明了亏格为零的Gromov-Witten不变量定义了一个满足WDVV方程的势函数，并由此导出了亏格为零的Gromov-Witten不变量在任意特征下的重构定理.
Gromov Witten invariants for maximal parabolic vector bundles over an orbifold
我们定义了轨道折叠$C$上抛物丛在各种情况下的Gromov-Witten不变量。这使我们得以改进这一概念，利用Intriligator-Varfa公式精确计算充分一般抛物丛的极大子丛的个数。
Computing Gromov-Witten invariants of some Fano varieties
对于具有一般驯服的半单量子（和小量子）（p，p）-型上同调的Fano簇，其第一Chern类是有效积分基因子的严格正组合，我们给出了一个从有限个初始不变量计算所有亏格为零的Gromov-Witten不变量的递归算法.
New recursions for genus-zero Gromov-Witten invariants
给出了复射影流形$X$的亏格为零的Gromov-Witten不变量之间的新关系.当$X$的上同调由除数类和“具有消失的一点不变量”的类生成时，这些关系根据一点不变量确定多点不变量。
On the geometry of orbifold Gromov-Witten invariants
我们考虑的问题是如何的几何结构的Deligne-Mumford栈影响其Gromov-Witten不变量。这里研究的两种几何结构是{ \em gerbes}和{ \em root constructions}。在这两种情况下，我们解释这些堆栈上的Gromov-Witten理论的结构，并调查这些结构的一些最新进展。
Virtual moduli cycles and Gromov-Witten invariants of general symplectic manifolds
我们构造了一般辛流形的Gromov-Witten不变量。
On Frobenius Manifolds from Gromov--Witten Theory of Orbifold Projective Lines with $r$ orbifold points
证明了对于至多含有$r$轨道点的轨道射影线，由Gromov-Witten理论构造的Frobenius结构由具有一定自然初始条件的WDVV方程唯一确定.
A topological view of Gromov-Witten theory
我们通过退化和局部化相互作用提供的普适关系来研究相对的Gromov-Witten理论。我们发现相对Gromov-Witten理论完全由绝对Gromov-Witten理论决定。相对和绝对理论之间的关系是由一个强有力的类比经典拓扑指导。作为一个结果，我们提出了一个数学测定的Gromov-Witten不变量（在所有属）的Calabi-Yau五次3倍的已知理论。
Gromov-Witten classes of K3 surfaces
研究了非奇异射影K3曲面的圈值约化Gromov-Witten理论。对于本原曲线类，我们证明了由约化的虚基本类诱导的对应关系尊重重言环。我们的证明使用单值的模空间的K3曲面，退化公式和虚拟本地化。作为单值性论证的结果，我们证明了Oberdieck-Pandharipande提出的原始曲线类中K3曲面的Gromov-Witten不变量的不变性。
Structures in genus-zero relative Gromov--Witten theory
本文定义了负接触阶的亏格为零的相对Gromov-Witten不变量。利用这一点，我们构造了相对量子上同调环和Givental形式. Virasoro约束的一个版本也遵循它。
Relative Gromov-Witten invariants and the enumerative meaning of mirror maps for toric Calabi-Yau orbifolds
我们提供了一个计数意义的镜像映射的环面Calabi-Yau orbifolds的环面紧化的相对Gromov-Witten不变量。因此，我们得到了相对Gromov-Witten不变量和开放Gromov-Witten不变量之间的等式。因此，可以利用相对Gromov-Witten不变量构造复曲面Calabi-Yau orbifolds的瞬子校正镜。
Gromov-Witten invariants and quantum cohomology of Grassmannians
这是我在巴拿赫中心迷你学校的五个讲座的书面版本“舒伯特品种”，在华沙，2003年5月18日至22日。
Family Gromov-Witten Invariants for Kahler Surfaces
对于具有$p_g\geq 1$的Kähler曲面，通常的Gromov-Witten不变量为零。本文用解析方法定义了Kähler曲面的Gromov-Witten族不变量。我们证明，这些是定义良好的不变量的变形类的Kähler结构。
Projected Gromov-Witten varieties in cominuscule spaces
一个投影Gromov-Witten簇是在齐性空间X = G/P中满足两个相反Schubert簇的所有固定次数有理曲线的并.当X是可余的时，我们证明了来自一个相关Gromov-Witten簇的映射是上同调平凡的.这意味着X的所有（3点亏格零）K理论Gromov-Witten不变量都由投影Gromov-Witten簇决定，这扩展了Knutson，Lam和Speyer的早期结果。我们的证明使用，任何投影Gromov-Witten簇在一个cominuscule空间也是一个投影Richardson簇。
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