Perfect state transfer in Grover walks on association schemes and distance-regular graphs
本文研究Grover游走中的完美态转移，建立结合方案上完美态转移的充要条件，完整刻画Hamming、Johnson方案及直径2、3和整距离正则图上的完美态转移。
2025-06-18 math.CO quant-ph
Symmetric Perfect $2$-colorings on $J(10,3)$
本研究针对与第三大特征值及对称商矩阵相关的Johnson图J(n,3)完美2-着色，梳理n=6的已知构造，给出n=10时两种已知完美2-着色的新构造并证明其唯一性。
2024-03-06 math.CO
Reconstructing Extended Perfect Binary One-Error-Correcting Codes from Their Minimum Distance Graphs
当两个码字之间的汉明距离等于码的最小距离时，码的最小距离图将码字作为顶点和边。本文给出了一个构造性的证明，证明了一个扩展的完美二进制一-纠错码从其最小距离图的可重构性。因此，不等价的这样的代码有非同构的最小距离图。此外，还证明了最小距离图的自同构群与相应码的自同构群是同构的。
2009-02-12 cs.IT math.CO math.IT
Combinatorial designs, difference sets and bent functions as perfect colorings of graphs and multigraphs
本文建立独立集、超图横截集与完美着色的等价关系，并证明组合设计、$q$-设计、差集、Hadamard 矩阵及 bent 函数可表示为特定图或多重图的完美着色。
2024-03-05 math.CO
Efficient encoding and decoding algorithm for a class of perfect single-deletion-correcting permutation codes
针对删除信道中的完美单删除校正置换码，本文提出不依赖Varshamov-Tenengolts码的独立直接证明，并据此设计了可校正一次删除的高效编码与解码算法。
2024-11-13 cs.IT math.CO math.IT
Embedding in $q$-ary $1$-perfect codes and partitions
证明了有限域上的所有$1$ -纠错码都可以嵌入到更长的$1$ -完美码中.在这种情况下，嵌入意味着原始代码是所得到的$1$ -完美代码的子代码，并且可以通过重复缩短从其获得。进一步，我们推广的结果分区：每一个分区的汉明空间的$1$ -纠错码可以嵌入到一个分区的空间的一些更大的维度到$1$ -完美的代码。对于分区，嵌入长度接近理论界的一般情况下，最佳的二元情况。关键词：纠错码，$1$ -完美码，$1$ -完美划分，嵌入
2014-12-15 cs.DM cs.IT math.CO
Perfect 1-factorisations of $K_{16}$
我们报告的结果，发现有3155完美1-因子分解（P1 Fs）的完全图$K_{16}$的计算机计数。其中，89个有非平凡的自同构群（修正了Meszka和Rosa早先提出的88个）。我们还（i）描述了一个新的不变量，区分P1 Fs的$K_{16}$，（ii）观察到，新的P1 Fs产生没有原子拉丁方的顺序为15和（iii）记录P1 Fs的一些大订单，超过素数的权力。
2019-05-18 math.CO
Embedding in a perfect code
一个二进制1-纠错码总是可以嵌入到一个1-完美码的一些更大的长度
2016-04-30 cs.IT math.CO math.IT
Perfect Codes for Uniform Chains Poset Metrics
偏序集度量的类非常大，并且包含一些有趣的度量族。一个家庭的度量，偏序集的基础上形成的不相交的链具有相同的大小，检查。证明了这种偏序集度量存在完美单纠错码的一个充要条件。
2011-11-11 cs.IT math.CO math.IT
Diameter Perfect Lee Codes
Lee码已经被深入研究了40多年。Golomb-Welch猜想关于完美纠错Lee码的存在性引起了人们对这些码的兴趣。本文讨论了直径完全Lee码的存在性和计数问题。作为主要结果，我们确定了所有$q$，对它存在$Z_{q},$上的字长为$n$的线性直径为4的完美Lee码，并证明了对于每个$n\geq 3$，存在可数个$Z.$上的字长为$n$的直径为4的完美Lee码。这与$Z\,$上的字长为$n$的完美纠错Lee码形成了严格的对比。因为对于$n=3,$存在唯一的这样的代码，并且必须说明的是，当$2n+1$是素数时总是这种情况。我们通过一个基于群同态的代数构造产生直径完美Lee码。这将使我们能够设计一个有效的算法，他们的解码。我们希望，这一解释的作用将远远超出本文件的范围。
2012-04-13 cs.IT math.CO math.IT
On extended perfect codes
该研究刻画了汉明图中扩展1-完全码存在的正整数n、r与素数p的全部情形，同时给出汉明图和约翰逊图中2-完全码存在性的新必要条件，推进了完全码存在性问题的研究。
2025-03-20 cs.IT math.CO math.IT
On Nearly-Perfect Covering Codes Beyond Radius One
McMaster University（麦克马斯特大学）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
本文研究二元近完备覆盖码，修正原Van Wee界以纳入最小距离，确定R=2、3的此类码等价于构造的码，且R≥3时此类码数量有限。
2026-08-14 cs.IT math.CO math.IT
Optimal codes in deletion and insertion metric
我们改进了Levenshtein的上限的基数的代码长度为4能够纠正单删除一个字母的大小均匀。我们还说明了新的上界是尖锐的。此外，我们将构建一个最佳的完美的代码能够纠正单一的删除相同的参数。
2010-03-22 cs.DM cs.IT math.CO
On Tilings of Asymmetric Limited-Magnitude Balls
我们研究一个不对称的有限大小的球是否可以瓷砖$\mathbb{Z}^n$。这个球概括了以前研究的形状：十字架，半十字架和准十字架。这样的平铺在信道中充当完美的纠错码，其通过有限幅度的误差改变有界数目的条目中的发送的整数向量。给出了一种基于汉明度量下的完美码的格分块的构造方法。几个不存在的结果被证明，无论是一般tilings，和格tilings。证明了两种情况下格拼接的完全分类。
2021-01-15 cs.IT math.CO math.IT
Rational Delsarte designs and Galois fusions of association schemes
University of Canterbury（坎特伯雷大学）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）
本文研究了具有无理特征值的关联方案中的Delsarte设计，并探讨了Galois群轨道对T-设计与T'-设计关系的影响。
2024-06-11 math.CO math.GR
Perfect Sphere Packing In The Boolean Space
Yerevan State University（埃里温国立大学）
针对汉明度量在完美球体堆积中的维度限制，提出一种新的距离度量，使得任意维布尔空间可被划分为不相交的完美球体，并验证其代数性质与结构特征。
2026-09-24 cs.DM cs.IT math.CO
Perfect codes as exact minimizers of quadratic discrepancy in q-ary Hamming spaces
MIGAL–Galilee Research Institute（MIGAL-加利利研究所）；Tel-Hai University of Kiryat Shmona and the Galilee（基里亚特谢莫纳和加利利泰尔海大学）
该研究证明q元汉明空间中，当固定长度和基数存在完备码时，完备码是二次偏差的精确极小化元，其存在性等价于显式变分目标的达成。
2026-09-29 cs.IT math.CO math.IT
Tilings with $n$-Dimensional Chairs and their Applications to Asymmetric Codes
$n$维椅子由一个$n$维盒子组成，从该盒子中移除一个较小的$n$维盒子。$n$维椅子的平铺在一次写入存储器的编码中有两个很好的应用。第一个是在设计的代码，纠正非对称错误与有限的幅度。第二部分是$n$单元$q$元一次写入存储器代码的设计。我们展示了一个瓷砖的设计与整数格和瓷砖的设计从分裂（或西顿序列）的推广之间的等价性。$n$维椅子的平铺可以定义用于校正具有有限幅度的非对称误差的完美代码。我们目前的建设，这样的平铺和证明的情况下，完美的代码，这些类型的错误不存在。
2012-10-21 cs.IT math.CO math.IT
Bounds on the Maximal Minimum Distance of Linear Locally Repairable Codes
局部可修复码（LRC）是用于分布式数据存储的纠错码。除了全局级别外，它们还可以在本地纠正错误，从而减少存储节点之间的通信需求。几乎仿射LRC和拟阵理论之间有着密切的联系，拟阵理论可以用来构造好的LRC，并推导出它们的性能上界。[N]给出了带参数$(n,k,d,r,δ)$的线性LRC的广义Singleton界。Prakash等人，“具有局部纠错特性的最优线性码”，IEEE国际研讨会。信息理论]。在本文中，达到这个界限的LRC被称为完美的。[W.]中给出了线性完美$(n,k,d,r,δ)$ -LRC存在和不存在的结果。Song等人，“最优局部可修复代码”，IEEE J. Sel. Areas Comm.]。利用拟阵理论，这些存在性和不存在性结果后来在[T. Westerbeck等人，“On the Combinatorics of Locally Repairable Codes”，Arxiv：1501.00153]，其还提供了具有参数$(n,k,r,δ)$的线性LRC可以具有的最大可实现最小距离$d_{\rm{max}}(n,k,r,δ)$的一般下界。本文扩展了存在完美线性LRC的参数类$(n,k,d,r,δ)$，并改进了$d_{\rm{max}}(n,k,r,δ)$的下界.此外，这个界被证明是最佳的拟阵类，用于推导线性LRC的存在界。
2016-05-23 cs.IT math.CO math.IT
Improved List-Decodability of Reed--Solomon Codes via Tree Packings
本文通过树打包定理，构造了在指数大有限域上几乎达到列表解码容量的Reed-Solomon码，并推广到列表恢复，同时提出超图树打包猜想以追求最优非渐近列表可解码性。
2023-12-26 cs.IT math.CO math.IT
Optimal Reconstruction Codes with Given Reads in Multiple Burst-Substitutions Channels
本文研究多突发替换信道的最优重构码，建立纠错能力、读取次数与列表大小的权衡，并给出错误球界、改进的 Gilbert-Varshamov 界、最小冗余度及高效列表重构算法。
2025-06-15 cs.IT math.CO math.IT
