Non-formal compact manifolds with small Betti numbers
Marisa Fernandez, Vicente Muñoz
证明了对任何$k\geq 1$，存在具有$k$ -th贝蒂数$b_k=b\geq 0$的非形式紧可定向$(k-1)$ -连通$n$ -流形当且仅当$n\geq \max \{4k-1, 4k+3-2b\}$ .
We show that, for any $k\geq 1$, there exist non-formal compact orientable $(k-1)$-connected $n$-manifolds with $k$-th Betti number $b_k=b\geq 0$ if and only if $n\geq \max \{4k-1, 4k+3-2b\}$.
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We show the minimal total Betti number of a closed almost complex manifold of dimension $2n\ge 8$ is four, thus confirming a conjecture of Sullivan except for dimension $6$. Along the way, we prove the only simply connected closed complex manifold having total Betti number three is the complex projective plane.
We show that the only rational homology spheres which can admit almost complex structures occur in dimensions two and six. Moreover, we provide infinitely many examples of six-dimensional rational homology spheres which admit almost complex structures, and infinitely many which do not. We then show that if a closed almost complex manifold has sum of Betti numbers three, then its dimension must be a power of two.
Amenable covers, volume and L2-Betti numbers of aspherical manifolds
我们提供了一个证明之间的不平等的体积和L2-贝蒂数的非球面流形格罗莫夫概述了一个战略的基础上的一般思想的Connes。该策略的实现涉及到测量等价关系，R-单纯复形的Gaboriau的L2-贝蒂数理论，以及可测群论的其他主题。进一步证明了L2-贝蒂数的消灭定理，推广了Cheeger和Gromov的一个经典结果.作为推论之一，我们得到了一个间隙定理，当非球面流形的极小体积足够小时，该定理意味着非球面流形的L2-贝蒂数为零。
Topological classification of quasitoric manifolds with the second Betti number 2
一个拟度流形是一个$2n$维紧致光滑流形，其局部标准作用是一个轨道空间是一个简单多胞形的$n$维环面。本文对具有第二贝蒂数$β_2=2$的拟流形进行了拓扑分类.有趣的是，他们的区别是他们的上同调环同胚。
Geometric formality of rationally elliptic manifolds in small dimensions
本文从有理上同调结构的角度对五维单连通有理椭圆流形和具有小贝蒂数的六维单连通有理椭圆流形进行了分类。证明了第二贝蒂数为2的几何形式有理椭圆六维流形是有理上同调的$S^2\times {\mathbb C}P^2$ .考虑了第二个贝蒂数为3的六维单连通双商的无限族，证明了该族的双商都不是几何形式的.
Different moment-angle manifolds arising from two polytopes having the same bigraded Betti numbers
给出了两个具有相同双分次贝蒂数但不同构的3维单多面体。这些多面体提供了两个同伦不同的矩角流形具有相同的双阶贝蒂数。这两个简单的多面体是多面体的第一个例子，是（复曲面）上同调刚性，但不是组合刚性。
Betti numbers of random manifolds
研究了平面连杆机构位形空间贝蒂数的数学期望，将连杆机构杆长视为随机变量。我们的主要结果给出了一个明确的渐近公式，这些数学期望为两个不同的概率测度描述的统计长度向量时，链接的数量趋于无穷大。在证明中，我们使用了几何和分析工具的组合。平均贝蒂数用单形与某些半空间的交点的体积表示。
For a graph $G$, a graph cubeahedron $\square_G$ and a graph associahedron $\triangle_G$ are simple convex polytopes which admit (real) toric manifolds. In this paper, we introduce a graph invariant, called the $b$-number, and we show that the $b$-numbers compute the Betti numbers of the real toric manifold $X^\mathbb{R}(\square_G)$ corresponding to a graph cubeahedron. The $b$-number is a counterpart of the notion of $a$-number, introduced by S. Choi and the second named author, which computes the Betti numbers of the real toric manifold $X^\mathbb{R}(\triangle_G)$ corresponding to a graph as…
The fundamental group and Betti numbers of toric origami manifolds
复曲面折纸流形的特征在于折纸模板，折纸模板是通过沿着小平面将多面体粘合在一起而构建的组合模型。本文研究了具有余定向折叠超曲面的可定向环面oigami流形的拓扑。我们确定了基本群。在我们以前的文章[HP]中，我们研究了单连通环面origami流形的普通和等变上同调环。本文的结论是在非单连通的情况下计算了一些贝蒂数。
Real Bott manifold structure of $n$-dimensional Klein bottle and its rational Betti numbers
本文证明 n 维克莱因瓶是实 Bott 流形并确定其 Bott 矩阵，同时确定两类平面多边形模空间的小覆盖结构，进而计算这些空间的有理 Betti 数。
Homotopy groups and periodic geodesics of closed 4-manifolds
给定一个单连通闭四流形，我们将它与一个单连通闭自旋五流形相关联。这导致了几个结果：这样一个四维流形的稳定和不稳定的同伦群由它的第二贝蒂数决定，并且同伦群的秩可以显式计算。我们证明了对于第二贝蒂数至少为3的光滑四流形上的一般度量，长度至多为l的几何上不同的周期测地线的数量作为l的函数呈指数增长。对于任何Reeb流，余切丛球化上长度至多为l的闭合Reeb轨道的数目也呈指数增长。
The co-rank of the fundamental group: the direct product, the first Betti number, and the topology of foliations
研究光滑闭连通流形$M$的基本群的余秩$b'_1(M)$.我们对流形的直积计算这个值。我们通过在任意给定的维数上用$b'_1(M)$和$b_1(M)$的任意可能组合显式地构造流形来刻画$b'_1(M)$和第一个贝蒂数$b_1(M)$的所有可能组合的集合.最后，我们将我们的结果应用到Morse型叶理的拓扑。特别地，我们构造了一个流形$M$和一个Morse形式的$ω$，它对应于$b'_1(M)$，$b_1(M)$，$m(ω)$和$c(ω)$的任意可能组合，其中$m(ω)$是极小分支的个数，$c(ω)$是$ω$的最大同调独立紧叶数.
Deformation equivalence classes of complex surfaces with the first Betti number one, and the second Betti number zero
证明了当第一个贝蒂数等于1，第二个贝蒂数等于0时，等价于光滑闭4-流形的曲面同伦的变形等价类的个数是有限的.
A spectral sequence to compute L2-Betti numbers of groups and groupoids
我们构造了离散可测群胚的L2型上同调群的谱序列。基于该谱序列，我们证明了具有多面基本群的非球面流形的Hopf-Singer猜想.在更一般的情形下，我们得到了Hopf-Singer猜想在底空间为具有多面基本群的非球面流形的纤维丛中的持久性结果.作为谱序列的进一步应用，我们得到了群和流形的L2-贝蒂数的消灭定理和显式计算，以及在度量等价关系中存在正规子关系的障碍.
Given a reducible $3$-manifold $M$ with an aspherical summand in its prime decomposition and a homeomorphism $f\colon M\to M$, we construct a map of degree one from a finite cover of $M\rtimes_f S^1$ to a mapping torus of a certain aspherical $3$-manifold. We deduce that $M\rtimes_f S^1$ has virtually infinite first Betti number, except when all aspherical summands of $M$ are virtual $T^2$-bundles. This verifies all cases of a conjecture of T.-J. Li and Y. Ni, that any mapping torus of a reducible $3$-manifold $M$ not covered by $S^2\times S^1$ has virtually infinite first Betti number, except…
Curvature, diameter and bounded Betti numbers
本文研究有界Betti数，利用Kapovitch与Wilking证明的广义Margulis引理，为闭黎曼流形有界Betti数的有界性定理提供现代支撑，并探讨相关拓扑意义。
Betti number bounds for fewnomial hypersurfaces via stratified Morse theory
利用角流形的分层莫尔斯理论，给出了R^n_>中由n+1 +1项多项式定义的超曲面的贝蒂数和的一个新的界.
Bigraded Betti numbers of some simple polytopes
单多面体P的双阶化贝蒂数b^{-i，2 j}（P）是面环k[P]的Tor群的双阶化分支的维数。数b^{-i，2 j}（P）反映了P的组合结构以及相应的矩角流形\mathcal Z_P的拓扑结构，因此它们在组合交换代数和环面拓扑中有许多应用.本文计算了结合多面体的β^{-i，2（i+1）}型双分次贝蒂数，并将截断多面体的双分次贝蒂数的计算与其矩角流形的拓扑联系起来.这两个简单多面体系列提供了所有具有固定维数和顶点数的简单多面体P中b^{-i，2 j}（P）的值的极值。
The Geography of Non-formal Manifolds
证明了存在维数为$n$且第一贝蒂数$b_1=b\geq 0$的非形式紧定向流形当且仅当$n\geq 3$和$b\geq 2$，或$n\geq (7-2b)$和$0\leq b\leq 2$ .此外，我们提出了明确的例子，这些情况下的每一个。
Homotopy groups of highly connected manifolds
本文给出了当$n^{th}$贝蒂数大于$1$时，$(n-1)$ -连通$2n$ -流形的同伦群作为球面的同伦群的直和的一个公式.证明了当$n^{th}$贝蒂数为$1$时，同伦群可能不具有这样的分解.在此计算中使用的技术也产生公式的同伦群的连接和领域的产品和CW复杂的类似类型。在本文所考虑的所有空间族中，我们建立了J.C.摩尔
Rational homotopy type of the space of immersions of a manifold in an euclidian space
设$M$是有限型单连通$m$维流形，$k$是正整数.本文证明了$M$在$\mathbb{R}^{m+k}$中的浸入空间的每个分支的有理贝蒂数都是多项式增长的。由此，我们推出，如果$M$是一个具有欧拉示性数的流形，则光滑嵌入的贝蒂数$χ\left(M\right)\leq -2$是指数增长性的，如果$k\geq m+1$ .这项工作的主要工具是沉浸空间的明确模型的建设。
Homotopic properties of Kähler orbifolds
利用Kähler流形的经典证明方法，证明了紧致Kähler轨道折叠的奇次贝蒂数的形式性和均匀性.因此，我们得到的例子辛orbifolds不承认任何凯勒orbifold结构。我们还回顾了已知的非形式单连通Sasakian流形的例子，并给出了一个具有贝蒂数$b_1=0$和$b_2\,> 1$的非形式拟正则Sasakian流形的例子。
$L^2$-Betti numbers of Dehn fillings
本文研究群论Dehn填充的$L^2$-Betti数，证明了对于一大类virtually special群，其充分深的Dehn填充保持$L^2$-Betti数不变，并应用于验证Singer猜想、建立虚拟纤维化准则及构造具有奇异子群的双曲群新例子。
We will provide bounds on both the Betti numbers and the torsion part of the homology of hyperbolic orbifolds. These bounds are linear in the volume and are a direct consequence of an efficient simplicial model of the thick part, which we will construct as well. The homology statements complement previous work of Bader, Gelander and Sauer (torsion homology of manifolds), Samet (Betti numbers of orbifolds) and a classical theorem of Gromov (Betti numbers of manifolds). For arithmetic, non-compact hyperbolic orbifolds -- i.e. in the case of arithmetic, non-uniform lattices in $\operatorname{Isom…
The Topology of Probability Distributions on Manifolds
令$P$是$R^d$中的$n$随机点的集合，由$m$维流形$M \subset R^d$上的概率测度生成。本文研究了$U(P,r)$的同调性--$d$--围绕$P$的半径为$r$的维球的并集，如$n \to \infty$和$r \to 0$ .此外，我们还研究了$d_P$的临界点--距离集合$P$的距离函数。这两个物体被认为是通过莫尔斯理论相关的。本文给出了$U(P,r)$的Betti数和$d_P$的指标$k$的临界点个数的极限定理.根据$r$随$n$增长衰减到零的速度，这两个对象表现出不同类型的限制行为。在一个特定的情况下（$n r^m > C \log n$），我们证明了$U(P,r)$的Betti数完美地恢复了原始流形$M$的Betti数，这一结果在拓扑流形学习中具有重要意义。
The rational homology of real toric manifolds
这是一个扩展的摘要，在迷你研讨会上给出的演讲“上同调环和超平面安排的基本群，精彩的紧化，和真正的环面品种”，在Oberwolfach举行，2012年9月30日至10月6日。我们描述了一个公式（在联合工作中获得与Alvise Trevisan）计算的贝蒂数的真正环面流形，基于研究的上同调系数秩一个本地系统的各种多面体产品。应用这个公式，我们恢复了Henderson对实Hessenberg簇的贝蒂数的计算.最后，我们讨论了在这种情况下的形式问题。
In this article we study algebraic properties of the specific class of groups $\mathcal{G}$ generated by direct products and wreath products. Such class of groups appears in calculation of fundamental groups of orbits of Morse functions on compact manifolds. We prove that for any group $G\in\mathcal{G}$ the ranks of the center $Z(G)$ and the quotient by commutator subgroup $G/[G,G]$ coincide. Moreover, this rank is a first Betti number of the orbit of Morse function.
Betti numbers and stability for configuration spaces via factorization homology
利用因子分解同调，我们将任意流形$M$（可能有边界）的无序位形空间的有理同调实现为由$M$的紧支撑上同调构造的李代数的同调.通过在这个李代数的Chevalley-Eilenberg复形中定位每个位形空间的同调，我们推广了Bödigheimer-Cohen-Taylor和Félix-Thomas的定理，并给出了Church和Randal-Williams的同调稳定性结果的一个新的组合证明.我们的方法适合于明确的计算，其中的例子，我们包括。
On the signatures of even 4-manifolds
本文证明了偶交形式的4-流形的签名与贝蒂数之间的若干不等式。此外，我们引入了一个新的几何群不变量，并讨论了它的一些性质。
Some closed manifolds that do not fibre over the circle
构造了在任意域上L^2-Betti数均为零但不虚纤维化于圆周的闭流形，基本群类最大，且维数可低至六。
Real toric manifolds associated with chordal nestohedra
本文研究了与弦状巢状多面体相关的实则性流形的有理贝蒼潮数，通过特定偏序集的拓扑结构证明其EL壳性，并利用交替B排列计算贝蒼潮数，为弦状图的a数计算提供方法。
Signed a-polynomials of graphs and Poincaré polynomials of real toric manifolds
最近，Choi和Park通过计算某些特定类型的实环面流形的某些拓扑不变量，引入了有限单图的一个不变量，称为符号a-数.他们还发现了路图、圈图、完全图和星图的符号a数。我们引入了一个有符号的a-多项式，它是有符号的a-数的推广，并给出了a-，b-和c-数。图$G$的带符号α-多项式与Poincaré多项式$P_{M(G)}(z)$相关，Poincaré多项式是实环面流形$M(G)$的贝蒂数的生成函数。我们不仅给出了路图、圈图、完全图和星图的符号α-多项式的生成函数，而且给出了完全二部图和完全多部图的符号α-多项式的生成函数。作为结果，我们找到了完全多部图$G$的实环面流形$M(G)$的欧拉示性数数和贝蒂数。
Combinatorial zeta functions counting triangles
本文计算了n维流形三角剖分(n-1)-骨架中计数测地路径的组合Zeta函数特殊值，利用随机游走揭示其拓扑意义，恢复了流形的Betti数与环绕数。
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