根中的多元次结式

Closed formulae for multiple roots of univariate polynomials through subresultants

The computation of the topology of a real algebraic plane curve is greatly simplified if there are no more than one critical point in each vertical line: the general position condition. When this condition is not satisfied, then a finite number of changes of coordinates will move the initial curve to one in general position. We will show many cases where the topology of the considered curve around a critical point is very easy to compute even if the curve is not in general position. This will be achieved by introducing a new family of formulae describing, in many cases and through subresultant…

实数域上二元系统解的渐近复杂性和实际复杂性

On the asymptotic and practical complexity of solving bivariate systems over the reals

本文研究了约束良好的二元多项式方程组的精确实解。主要问题是隔离有理矩形中的所有公共实根，并确定它们的交集重数。我们提出了三种算法，并分析其渐近位复杂度，得到一个界的$\sOB(N^{14})$的纯粹的基于投影的方法，和$\sOB(N^{12})$的两个subresultant为基础的方法：这种符号忽略多对数因子，其中$N$界的程度和多项式的位大小。以前的记录绑定为$\sOB(N^{14})$。我们的主要工具是有符号子结果序列。我们利用最近的进展单变量根隔离的复杂性，并将其扩展到两个代数数上的二元多项式的符号评估，以及扩展域上的多项式的实根计数。我们的算法适用于问题的同时不等式，他们也计算拓扑的真正的平面代数曲线$\sOB(N^{12})$，而以前的界限是$\sOB(N^{14})$。所有的算法都已经在MAPLE中实现，并结合数值滤波。我们将它们与FGB/RS、SYNAPS的系统求解器以及计算曲线拓扑的MAPLE库INSULATE和TOP进行比较。我们的软件是最健壮的软件之一，它的运行时间与C/C++库相当，或者在一个小的常数因子内。关键词：实解，多项式系统，复杂性，MAPLE软件

多项式方程的有界根泛函的扩张

Extension of bounded root functionals of a system of polynomial equations

多项式系或多项式理想的根泛函的概念是根概念的推广，特别是对于重根。根泛函是定义在多项式环上的取消多项式理想的线性泛函。一个有界根泛函是一个在理想的某些滤子中取消理想的第d个分量的泛函。本文考虑方程个数等于未知数个数的多项式方程的有界根泛函及其扩张运算。扩张运算与多元Bezoutian构造有关。

多项式方程根泛函的延拓及多项式模理想的约化

Continuation of root functionals of a system of polynomial equations and the reduction of polynomials modulo its ideal

多项式的根泛函的概念是重根的根概念的推广。根泛函是定义在多项式环上的一个线性泛函，它取消了多项式系的理想。一个有界根泛函是一个在理想的某些滤子中取消理想的第d个分量的泛函。在多项式个数等于变元个数且多项式理想为0维时，在有界根泛函扩张运算的基础上，构造了根泛函的延拓运算和多项式模理想的约化运算.扩张运算与多元Bezoutian构造有关。

多元超度量根计数

Multivariate ultrametric root counting

设$K$是一个关于离散非阿基米德赋值完备的域，$k$是剩余域。考虑$K\vars$中$n$多项式方程的系统$F$。我们的第一个结果是一个重新制定的经典亨泽尔引理的语言热带几何：我们证明了充分条件（半正则性$w$），保证第一位数映射$δ:(K^\ast)^n\to(k^\ast)^n$是一个一对一的对应关系的解决方案$F$在$(K^\ast)^n$与估值$w$和解决方案在$(k^\ast)^n$的初始形式系统${\rm in}_w(F)$。利用这一结果，我们提供了一个明确的公式的解决方案在$(K^\ast)^n$的某一类系统的多项式方程（称为定期），其特征在于有有限的热带prevariety，由有初始形式仅由二项式，并在热带prevariety中的任何一点是半正则的。最后，作为根计数公式的结果，我们得到了期望的根数在$(K^\ast)$的一元多项式与给定的支持和随机系数。

关于多元解析系统奇异零点的隔离

On isolation of singular zeros of multivariate analytic systems

针对多元解析系统满足特定算子可逆条件的孤立多重根，给出了分离界，证明了deflation过程仅需一次迭代即可终止，并提出了近似情形下隔离零点簇的数值判据及零点数量下界。

多元Hermite方法用于计数多项式系统的实数和复数解

The multivariate Hermite method for counting real and complex solutions to polynomial systems

本文提出一种用于计数多项式系统实数和复数解的多元Hermite方法，并提供在Macaulay2中的实现。

用有界根泛函的扩张运算确定多项式方程的所有根泛函空间的基及其理想的基

Determination of the basis of the space of all root functionals of a system of polynomial equations and of the basis of its ideal by the operation of the extension of bounded root functionals

在已知多项式的理想是0维的情况下，当多项式的个数等于变量的个数时，利用有界根泛函的扩张运算，给出了求理想的一个基和所有根泛函空间的一个基的算法.该算法的渐近复杂度为d^{O（n）}次运算，其中n为多项式个数和变量个数，d为多项式的最大多项式的次数。扩张运算与多元Bezoutian构造有关。

Estimates for zero loci of Bernstein-Sato ideals

We give estimates for the zero loci of Bernstein-Sato ideals. An upper bound is proved as a multivariate generalisation of the upper bound by Lichtin for the roots of Bernstein-Sato polynomials. The lower bounds generalise the fact that log-canonical thresholds, small jumping numbers of multiplier ideals, and their real versions provide roots of Bernstein-Sato polynomials.

算术多元笛卡尔法则

Arithmetic Multivariate Descartes' Rule

设L是任意数域或$\mathfrak{p}$ -adic域，并考虑F：=（f_1，.，f_k），其中f_i在L[x_1，...，x_n]\{0}，并且恰好有m个不同的指数向量出现在f_1，...，f_k。证明了F在L^n中有不超过1+（cmn（m-1）^2 log m）^n个几何孤立根，其中c是一个仅依赖于L的显式可计算常数.这给出了Khovanski关于Fewnomials的定理的一个明显更清晰的算术模拟，并给出了Hendrik W.小伦斯特拉对于单个一元多项式的情况。我们还提出了一些进一步的改进，我们的新的界限，并简要讨论了寻找孤立的有理根的复杂性。

稀疏多项式方程组解的定量等分布

Quantitative equidistribution for the solutions of systems of sparse polynomial equations

对于Laurent多项式f_1，.，f_n \in C[x_1^{ \pm 1}，.，x_n^{ \pm 1}]，其系数相对于其方向结式不是太大，我们证明了方程组f_1= \dots =f_n=0在代数n维复环面上的解在单位多圆附近近似等分布。这推广到多变量的情况下，一个经典的结果，由于鄂尔多斯和图兰的分布参数的根的一元多项式。我们应用这个结果来确定Laurent多项式系统的实根个数，并研究整系数Laurent整系数多项式系统和复系数Laurent多项式随机系统的根的渐近分布.

Chebyshev簇

Chebyshev Varieties

本文研究由Chebyshev多项式参数化的代数簇，确定其维数、次数、奇异轨迹与定义方程，并据此提出稀疏多项式的数值求根算法。

Testing hyperbolicity of real polynomials

Hyperbolic polynomials are real multivariate polynomials with only real roots along a fixed pencil of lines. Testing whether a given polynomial is hyperbolic is a difficult task in general. We examine different ways of translating hyperbolicity into nonnegativity conditions, which can then be tested via sum-of-squares relaxations.

回路上多项式系统的笛卡尔符号规则

Descartes' Rule of Signs for Polynomial Systems supported on Circuits

我们给出了一个多元版本的笛卡尔的符号规则的限制的数量的正实根的多项式方程在n个变量与n+2单项式，在与指数向量和给定的系数序列的符号变化。我们表明，我们的界限是尖锐的，是相关的电路的签名。

对系数依赖于参数的单变量多项式根的排列问题

Permuting the roots of univariate polynomials whose coefficients depend on parameters

研究单变量多项式系数依赖于参数时根的排列问题，通过计算Galois群和布雷德蒙德单束映射像来确定Galois群，应用于有理函数和枚举问题的Galois群计算。

一种使用多项式稳定性保持器建立欧拉多项式极根的渐近精确界的方法

A Method for Establishing Asymptotically Accurate Bounds for Extremal Roots of Eulerian Polynomials Using Polynomial Stability Preservers

本文开发了全局界定多元实零点多项式极根的工具，通过3次截断构造谱面松弛近似刚性凸集，并在欧拉多项式上通过增加变量数量沿对角线应用，实现了界的指数级渐近改进。