Algebra generators and information theory
T. Kopf, R. Otahalova
提出了范畴论中的一个一般简单性问题。一个特殊的例子，最简单的选择生成元的代数指定和说明的一个例子。
A general simplicity problem in category theory is proposed. A particular example, the simplest choice of generators of an algebra is specified and illustrated by an example.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Description of bi-quadratic algebras on 3 generators with PBW basis
给出了3生成元上的双二次代数的PBW基的一个显式刻画。
Free limits of free algebras
考虑代数系统的图$\cdots \to F_3 \to F_2\to F_1$，其中$F_n$表示$n$生成元上的自由对象，连接映射将额外的生成元发送到某个特殊的平凡元素。证明了：（a）若$F_i$是固定域上的自由结合代数，则分次代数范畴中的极限在齐次生成元集上也是自由的;（b）另一方面，结合类别的限制（ungraded）代数是齐次元素集合上的自由形式幂级数代数，（c）若$F_i$是自由李代数，则分次李代数范畴中的极限也是自由的.
Generators of projective MV-algebras
在过去的十年里，对投射MV-代数的兴趣大大增长，参见[1]，[5] e [6]。本文建立了自由n-生成元MV-代数的n个元素生成投射MV-代数的一个充要条件。这推广了文[7]中证明的n个自由生成元的特征。在此基础上，给出了生成MV-代数的几类投射生成元。特别地，给出了用初等方法确定投射MV-代数生成元的一些有效步骤。
The exceptional Lie algebra $\mathfrak{g}_2$ generated by three generators subject to quadruple relations
本文展示了例外李代数 $\mathfrak{g}_2$ 可由满足简单四重关系的 3 个生成元构成的自由李代数来描述。
Generators of the homological Goldman Lie algebra
确定了由曲面的第一个同调群的元素组成的曲面的同调Goldman李代数的生成元的最小个数。
Artin-Schelter regular algebras of dimension five with two generators
通过Hilbert驱动的Gröbner基计算，研究了在额外的$\mathbb Z^2$ -分次下具有两个生成元的5维Artin-Schelter正则代数的分类问题.我们得到的所有代数都是强Noether代数、Auslander正则代数和Cohen-Macaulay代数。其中一个结果提供了一个答案的背景下，$\mathbb Z^2$ -分级Fløystad-Vatne的问题。我们的结果也实现了林登词和Artin-Schelter正则代数之间的连接。
On the product by generators of characteristically nilpotent Lie S-algebras
引入了复幂零李代数的生成元积，它是由李代数的直和的中心扩张得到的交换积。证明了当乘代数是$S$ -代数时，乘积也保持特征零。特别地，这表明存在非分裂特征幂零李代数$\frak{h}$，使得商$\frac{\dim \frak{h}-\dim Z(\frak{h})}{\dim Z(\frak{h})} $尽可能小。
Free generators and Hoffman's isomorphism for the two-parameter shuffle algebra
本文利用自由Lyndon生成元、$\mathbf{B}_\infty$-代数思想和双参数Hoffman指数，构造了双参数洗牌代数与拟洗牌代数之间的三类同构，并建立了与扩展字母表上经典洗牌代数的Hopf代数联系。
On nilpotent generators of the symplectic Lie algebra
设$\mathfrak{sp}_{2n}(\mathbb {K})$是特征为零的代数闭域上的辛李代数.证明了对任意非零幂零元$X \in \mathfrak{sp}_{2n}(\mathbb {K})$，存在一个幂零元$Y \in \mathfrak{sp}_{2n}(\mathbb {K})$使得$X$和$Y$生成$\mathfrak{sp}_{2n}(\mathbb {K})$ .
Regular algebras of dimension 4 with 3 generators
研究了具有三个一次生成元的整体维数为4的Artin-Schelter正则代数。我们分类那些域，并有一个额外的Z × Z-分级，并证明了所有这些例子也是强诺特，Auslander定期，和科恩-麦考利。
On nilpotent generators of the special linear Lie algebra
考虑特征不同于$2$的无限域上的特殊线性李代数$\mathfrak{sl}_n(\mathbb {K})$.证明了对任意非零幂零$X$，存在一个幂零$Y$使得矩阵$X$和$Y$生成李代数$\mathfrak{sl}_n(\mathbb {K})$ .
On GK Dimension and Generator Bounds for a Class of Graded Algebras
本文引入单调代数概念，证明其GK维数以上整体维数为上界、最小生成元数有类似界，并证Artin-Schelter正则代数的整体维数与GK维数差为偶数。
Minimal Generators of Annihilators of Neat Even Elements in The Exterior Algebra
本文给出了当基场为正特征时，向量空间外代数的偶纯元的零化子的极小生成元集，从而证明了文[3]中的猜想。为了做到这一点，我们大量使用[1]和[2]中得到的结果。这也使我们能够展示一个向量空间的基础上考虑的零化子。
Comment on "Generators of matrix algebras in dimension 2 and 3"
文[线性代数应用]中的定理7，430，1-6，（2009）]陈述了确定一对是否在特征为零的代数闭域上生成3 × 3矩阵的代数的充分条件。在这种情况下，提供了一个明确的基础，全代数，这是由这样的对小长度的字。然而，我们表明，这个定理是错误的，因为它是基于一个身份的有效性，这是不真实的一般。
On the number of generators of an algebra
Forster的一个经典定理证明了克鲁尔维数为$d$的诺特环上秩为$\leq n$的有限模$M$可以由$n + d$元生成.我们证明了这个结果的推广，与“模块”替换为“代数”。在这里，我们允许任意有限代数，不一定是酉的，交换的或结合的。福斯特定理可以作为一个特殊情况恢复，只要把模看作一个代数，其中任意两个元素的乘积是$0$。
On signed generators of groups and algebras
作用于离散随机混沌的算子产生符号乘法系统，扩展了自旋矩阵和四元数的概念。我们通过相关的符号矩阵研究符号群，重点是生成元及其替换。特别感兴趣的是反交换发电机导致一个完整的分类所产生的群体。并给出了混合交换有限群的分类。
Ubiquitous Lie polynomials in a two-generator universal enveloping algebra
二维非交换李代数$L$的泛包络代数$\mathscr{U}$是一个以交换子为李括号的李代数。存在$\mathscr{U}$的一种表示，它具有生成元$x,y$和关系$xy-yx=x$，使得由$x,y$生成的$\mathscr{U}$的李子代数同构于$L$，它只是无限维$\mathscr{U}$的一个二维向量子空间.那么，$\mathscr{U}$的大部分李结构是普遍存在的，但当标量场的特征为零时却没有得到检验。在这种情况下，我们证明了在$\mathscr{U}$中存在一个$L$的线性补，它包含一个$\mathscr{U}$的无限维李子代数，我们给出了生成元和关系的表示.我们将这个李子代数推广成$\mathscr{U}$的一个滤子.
Two Generator Subalgebras of Lie Algebras
J. G. Thompson证明了一个有限群G是可解的当且仅当每一个二生成子群是可解的.最近，Grunevald，Kunyavskii，Nikolova和Plotkin证明了类似的方法适用于特征大于5的无限域上的有限维李代数。这是一个自然的问题，问在何种程度上的两个生成的子代数决定的结构的代数。本文正是针对这一问题展开论述的。在这里，我们考虑强可解和超可解李代数的类，以及可三角化的性质。
Bi-quadratic algebras on 3 generators with PBW: class II.1
本文研究3个生成元上具有PBW基的双二次代数中的类II.1，包含十二个子类，显式描述了其中心、素理想、自同构群和正规元素，并计算了多种维数及其张量积。
Generators of the Hecke algebra of $(S_{2n},B_n)$
给出了Gel'fand对$(S_{2n},B_n)$的Hecke代数的一组环生成元，其中$B_n$是对称群$S_{2n}$的超八面体子群.给出了各种推论。证明了Sho Matsumoto的一个猜想。
Potential algebras with few generators
在基域代数闭且特征不同于2或3的条件下，给出了3生成元上的二次势和扭势代数以及2生成元上的三次势和扭势代数直至分次代数代数同构的完整刻画.证明了有限维两生成势代数的必要条件是势包含三次项，从而回答了AgataSmoktunowicz和第一作者在[AN]中提出的一个问题.我们澄清的情况下，任意数量的发电机以及。
Generators of maximal orders
设R是数域K中的代数整数环，L是半单K-代数B中的一个极大序模.在我们以前工作的基础上，我们计算了L作为R-代数的最小代数生成元数。这证明并大大扩展了P.A.B.的结果。Pleasants，他考虑了B是数域的情况。为了达到这一目的，我们得到了几个关于具有n个元素的代数的生成元计数的结果。这些结果应该是独立的利益。
Generators of simple Lie algebras in arbitrary characteristics
本文研究了特征为0或p > 3的单李代数的生成元的最小个数。我们证明了任何这样的代数都可以由2个元素生成。我们还研究了“一个半代”的属性，即当每个非零元素可以完成一个生成对。我们证明了经典的单代数具有这一性质，并且证明了具有这一性质的W型单Cartan型代数只有Zassenhaus代数。
Minimal generators of Hall algebras of 1-cyclic perfect complexes
设$A$是有限域上Dynkin模的路代数，$C_1(\mathscr{P})$是投射$A$ -模的1-循环复形范畴.本文给出了$C_1(\mathscr{P})$的Hall代数$\H(C_1(\mathscr{P}))$的PBW-基和极小生成元集.利用这个PBW-基，我们首先证明了$C_1(\mathscr{P})$的退化Hall代数是所有不可分解对象所张成的李代数的泛包络代数.其次，我们计算了$\H(C_1(\mathscr{P}))$中生成元之间的关系，得到了某个扭曲版本的$\H(C_1(\mathscr{P}))$的商中的量子Serre关系.此外，还建立了$A$的退化Hall代数、扭曲Hall代数与$C_1(\mathscr{P})$的退化Hall代数、扭曲Hall代数之间的关系.
On the number of generators of a separable algebra over a finite field
设$F$是一个域，$E$是$F$上的一个代数，即有限可分域扩张$E = F_1 \times \dots \times F_r$的有限积。经典的本原元定理断言，如果$r = 1$，则$E$由一个元素生成为$F$ -代数。对于任何$r \geqslant 1$都是如此，只要$F$是无限的。然而，如果$F$是一个有限域和$r \geqslant 2$，本原元定理一般失败。本文给出了当$F$有限时$E$的最小生成元个数的一个公式。我们还得到了有限域上（不一定是交换的）可分代数的生成元个数的上下界。
Free nilpotent and nilpotent quadratic Lie algebras
本文引入了具有d个生成元的t-幂零二次李代数范畴与具有d个生成元的t-幂零自由李代数上的对称不变双线性型范畴之间的等价性。考虑到这个等价性，我们对具有d个生成元的t-幂零二次李代数进行了分类（直到等距同构，并且在特征为零的域上），在下列情况下：d=2和t<6，d=3和t<4.
Corrigendum to "Generators of the Hecke algebra of (S_{2n},B_n)"
在\cite{AC12}中，我们观察到Gel'fand对$(S_{2n},B_n)$的Hecke代数的结构常数在$n$中是多项式。奥马尔·图特（Omar Tout）提请注意，其证明中缺少一个论点。在这里，我们通过进一步分析超八面体群的各种作用来提供缺失论证的细节。
Some formulas for the smallest number of generators for finite direct sums of matrix algebras
得到了元素在有限域中的矩阵代数的有限直和的最小生成元个数的一个渐近上界。这产生了一个上界的类似数量的整数矩阵环。我们还得到了元素在有限域中的2 × 2矩阵代数的有限直和的最小生成元个数的精确公式，并由此得到了2 × 2整数矩阵环的有限直和的类似数量的公式。我们注意到环$\bigoplus_{i=1}^k M_{n_i}(\mathbb{Z})^{n_i}$的生成集可以用作任何矩阵代数$\bigoplus_{i=1}^k M_{n_i}(R)^{n_i}$的生成集，其中$R$是双边为1的结合环。
Realizing orders in rational sphere product algebras with three generators
研究有理外代数中序的可实现性，给出序可实现的充要条件，证明在单连通情形下，若外代数生成元为奇度则任意序可实现。
Bounding the minimal number of generators of an Azumaya algebra
美国的一份文件。First & Z. Reichstein证明，如果$R$是一个交换环的尺寸$d$，那么任何Azumaya代数$A$在$R$可以产生作为一个代数的$d+2$元素，通过建设这样一个生成集，但他们没有证明，这个数量的发电机是必要的，甚至是一个任意大的$r$，存在一个Azumaya代数需要$r$发电机。在本文中，对于任何给定的固定$n\ge 2$，我们产生的例子，一个基环$R$的尺寸$d$和Azumaya代数的程度$n$ $R$需要$r(d,n) = \lfloor \frac{d}{2n-2} \rfloor + 2$发电机。虽然$r(d,n) < d+2$在一般情况下，我们至少表明，没有统一的上限所需的生成元的数量Azumaya代数。证明的方法是考虑某些品种$B^r_n$的度$n$ Azumaya代数配备了一组$r$生成元的泛品种，特别是我们表明，一个自然的映射Chow群$CH^{(r-1)(n-1)}_{PGL_n} \to CH^{(r-1)(n-1)}(B^r_n)$未能是内射的，这就是说，该地图未能在第一个维度，它可能失败的内射。这意味着，对于一个足够一般的秩- $n$ Azumaya代数，有一个特征类的障碍，生成$r$元素。
The effect of assuming the identity as a generator on the length of the matrix algebra
设$M_n(\mathbb{F})$是$n \times n$矩阵的代数，$\mathcal S$是$M_n(\mathbb{F})$作为$\mathbb{F}$ -代数的生成集. $M_n(\mathbb{F})$的有限生成集$\mathcal S$的长度是使得长度不大于$k$的字生成$M_n(\mathbb{F})$作为向量空间的最小数$k$。传统上，单位矩阵被假定为自动地包括在所有生成集$\mathcal S$中，并且被计为长度为$0$的字。在本文中，我们将讨论如何改变的问题，如果这个假设被删除。
Algebras with ternary law of composition combining Z_2 and Z_3 gradings
本文研究了将通常的Grassmann代数与它们的三元Z_3-分次对应代数相结合的可能性，从而构造出一个更一般的具有二次和三次本构关系的代数。我们回顾了三次代数和三次代数在S_3置换群作用下根据三次乘积的对称性进行的分类。而不是只有两种二元代数，对称或反对称，在这里我们得到四个不同的推广这两种情况。然后研究了Grassmann代数的生成元和Grassmann代数的三元模拟生成元这两类变量分别满足二次关系和三次关系生成的代数的特殊情况，即Grassmann代数的生成元是反交换的，Grassmann代数的一个三元模拟的任意三个生成元的三重积等于该积中生成元的轮换乘以一个本原单位单位根的第三个根。引入并研究了广义代数的不变性群。
Generators of supersymmetric polynomials in positive characteristic
坎特和Trishin描述了代数的多项式不变量的伴随表示李超代数$gl(m|n)$和相关的代数$A_s$他们所谓的伪对称多项式超过代数闭域$K$的特征零。代数$A_s$是由Stembridge研究的，他称$A_s$的元素为超对称多项式，并确定了$A_s$的生成元。最近La Scala和Zubkov研究了正特征$p$的情况。他们分别给出了一般线性超群$GL(m|n)$和$A_s$的伴随作用的多项式不变量的生成元。在本文中，我们证明了这两个命题。
Generators and defining relations for the ring of differential operators on a smooth affine algebraic variety
对于特征为零的域上的光滑仿射代数簇$X$上的微分算子环，明确地找到了有限的代数生成元集和有限的定义关系集.作为结果，一个有限的一组生成元和有限的一组定义关系的模块$\Der_K(\OO (X))$的导子代数$\OO (X)$上的正则函数的各种$X$。对于不一定光滑的簇$X$，引入了代数$\OO (X)$的自然导子集${\rm der}_K(\OO (X))$和$\OO (X)$上的自然微分算子环$\gD (\OO (X))$.代数$\gD (\OO (X))$是一个具有Gelfand-Kirillov维数$2\dim (X)$的诺特代数。当$X$平滑时，则为${\rm der}_K(\OO (X))=\Der_K(\OO (X))$和$\gD (\OO (X))=\CD (\OO (X))$。当$X$不可约时（$X$光滑当且仅当$\gD (\OO (X))$是单代数当且仅当$\OO (X)$是单$\gD (\OO (X))$ -模），给出了$X$光滑的一个判别准则.对于本质有限型的正则代数，也有同样的结果。对于奇异不可约仿射代数簇$X$，一般情况下，微分算子$\CD (\OO (X))$的代数不需要是逆生成的，也不需要是（左或右）Noether的，证明了阶滤子$\CD (\OO (X))=\cup_{i\geq 0}\CD (\OO (X))_i$的每一项$\CD (\OO (X)…
Generators of the quantum finite W-algebras in type A
本文证明了[DSKV 16]中提出的一个猜想，该猜想描述了gl_N的量子有限W-代数的Lax型算子L（z）.在这样做的时候，我们将这个结果推广到g[1/2]的任意良分次和任意迷向子空间。
On the smallest number of generators and the probability of generating an algebra
本文研究数域上阶代数生成元集的代数性质和渐近性质。设$A$是代数数域中阶$R$上的结合代数.我们假设$A$是有限秩的自由$R$ -模.我们开发了一种技术来计算生成器的最小数量的$A$。例如，我们证明了环$M_3(\mathbb{Z})^{k}$允许两个生成元当且仅当$k\leq 768$。对于一个给定的正整数$m$，我们定义生成它的$A$的所有有序$m$ -元组的集合的密度为一个$R$ -代数.我们将这个密度表示为$R$的极大理想上的某个无穷乘积，并从概率的角度解释所得公式。例如，我们证明了2个随机$3\times 3$矩阵生成环$M_3(\mathbb{Z})$的概率等于$(ζ(2)^2 ζ(3))^{-1}$，其中$ζ$是黎曼zeta函数。
On some embedding of recursively presented Lie algebras
本文证明了域上的每个递归李代数都可以嵌入到由生成元的（非结合）字与a+b=c的等式关系定义的递归李代数中，其中a，b，c是生成元.
Quadratic automaton algebras and intermediate growth
我们给出了一个由三个生成元和三个关系给出的二次代数的例子，它是自动机（正规词的集合形成正则语言），并且它的关系的理想对于任何生成元的选择和任何与乘法相容的单项式的良序的选择都不具有有限的Gröbner基。这回答了Ufnarovski的问题。另一个结果是一个简单的例子（4个生成元和7个关系）的二次代数的中间增长。
Search problems in algebraic complexity, GCT, and hardness of generator for invariant rings
我们考虑的问题，计算简洁的编码列表的发电机不变的环群行动。Mulmuley指出，对于$\SL_n(\C)$ -表示的不变环，总是有多项式大小的这样的编码。我们提供了简单的例子来反驳这个猜想（在标准的复杂性假设下）。我们开发了一个通用的框架，表示\emph{algebraic circuit search problems}，它捕获了许多重要的问题，代数复杂性和计算不变理论。这个框架包含了证明复杂性的各种证明系统和几何复杂性理论（GCT）程序所暴露的不变理论中的一些中心问题，包括上述计算不变环生成器的简洁编码的问题。
Classification of quadratic and cubic PBW algebras on three generators
本文给出了二次代数A的一个完全分类，它具有Hilbert级数$H_A=(1-t)^{-3}$，即三元交换多项式的Hilbert级数。确定了Koszul代数以及其中具有二次Gröbner基的代数。我们还给出了具有Hilbert级数$H_A=(1+t)^{-1}(1-t)^{-3}$的三次代数A的完全分类.这两类代数包含所有整体维数为3的Artin-Schelter正则代数。就后者而言，我们的结果扩展了著名的Artin和Schelter的结果，提供了一个分类的代数同构。
On the Structure and Generators of the $n$th-order Chromatic Algebra
本文研究了Fendley和Krushkal引入的色代数的结构与生成元，证明了n阶色代数的维数为第2n个Riordan数，找到了大小为$\inom{n}{2}$的生成集，并补充了该代数作为非交叉平面划分的表示等基本事实的证明。
On differential smoothness of certain Artin-Schelter regular algebras of dimension 5
本文研究了五维Artin-Schelter正则代数的微分光滑性，发现部分代数无法接受微分学，而五生成格雷格 Clifford 代数则为正例。
Free pre-Lie algebras are free as Lie algebras
我们证明了自由准李代数，当被看作李代数时，是自由的。在S-模范畴中，我们定义了生成元空间上的自然滤子。我们还将生成元上的对称群作用与反循环PreLie运算的结构联系起来。
Generators and defining relations for ring of invariants of commuting locally nilpotent derivations or automorphisms
Let $A$ be an algebra over a field $K$ of characteristic zero, let $\d_1, >..., \d_s\in \Der_K(A)$ be { \em commuting locally nilpotent} $K$ -derivations such that $\d_i(x_j)=\d_{ij}$ , the Kronecker delta , for some elements $x_1,..., x_s\in A$ . A set of algebra generators for the algebra $A^\d:= \cap_{i=1}^s\ker (\d_i)$ is found { \em explicitly} and a set of { \em defining relations} for the algebra $A^\d$ is described. Similarly, given a set $\s_1, ..., \s_s\in \Aut_K(A)$ of { \em commuting} $K$ -automorphisms of the algebra $A$ such that the maps $\s_i-{\rm id_A}$ are { \em locally nilpo…
An analogue of the Magnus problem for associative algebras
证明了任意域上无单位的结合代数的Magnus定理的一个类似定理。也就是说，如果一个代数由n+k个生成元和k个关系给出，并且有一个n元生成元系，那么这个代数是秩为n的自由代数。
Quantum affine $\frak{gl}_n$ via Hecke algebras
利用仿射对称群的Hecke代数及其相关的Schur代数，通过一个基、一组生成元和基元乘生成元的显式乘法公式构造了一个新的代数.证明了该代数同构于$\mathfrak {gl}_n$的圈代数的量子包络代数。虽然这种建设的动机是工作\cite{BLM}贝林森-Lusztig-麦克弗森量子$\frak{gl}_n$，我们的方法是纯粹的代数和组合，独立的几何方法，似乎只适用于量子$\mathfrak{gl}_n$和量子仿射$\mathfrak{sl}_n$。作为应用，我们发现了一个表示的Ringel-Hall代数的循环的一个半单生成元和它们的乘法的定义基元素。
Quantum enveloping algebras with von Neumann regular Cartan-like generators and the Pierce decomposition
引入并研究了由Uq（sl 2）导出的包含幂等元和vonNeumann正则Cartan生成元的量子双代数。在这些双代数上构造了各种类型的对极（可逆的和vonNeumann正则的），分别得到了一个霍普夫代数结构和一个vonNeumann-霍普夫代数结构.对于它们，给出了一些特殊的R-矩阵（可逆矩阵和von Neumann正则矩阵）的显式形式，后者考虑了Pierce分解。
Twisted Yangians and finite W-algebras
在Jordan块大小相同的辛或正交李代数中，构造了与幂零矩阵相关的有限W-代数的生成元的显式集合.我们利用这些生成元证明了这样的有限W-代数是扭Yangians的代数。
Small generators for S-unit groups of division algebras
设$k$是数域，设$B$是$k$上的中心单除代数，并选取$B$的任意最大阶$\mathcal{D}$.本文的目的是表明，集团$\mathcal{D}_S^*$的$S$-单位的$B$是由元素的小高度一旦$S$包含一个明确的有限集的地方$k$。这推广了H. W.小伦斯特拉，他在$B = k$.我们的高度界是一个显式的函数的数域和判别式的最大阶$B$用于定义其$S$-单位。
On the number of generators of an algebra over a commutative ring
O.福斯特说，如果$R$是一个诺特环的Krull维$d$，那么任何投射$R$ -模的秩$n$可以产生的$d+n$元素。S. Chase和R.斯旺随后证明了这个界限是尖锐的：存在不能由少于$d+n$元素生成的例子。我们把投射$R$ -模看作是无单位的$R$ -代数的$R$ -形式，其中任意两个元素的乘积是$0$ .前两个作者将福斯特定理推广到其他代数的形式（不一定是交换的，结合的或酉的）; Shukla和第三作者然后表明，这种广义福斯特界是最佳的étale代数。本文证明了$k$ -代数的$R$ -形式的生成元个数的新的上、下界，其中$k$是一个无限域，$R$在$k$上有有限超越度$d$.特别是，我们表明，与预期相反，对于大多数类型的代数，广义福斯特界是远离最优。我们的结果是特别详细的Azumaya代数的情况下。我们的证明是基于重新解释的问题，作为一个问题近似的分类堆栈$BG$，其中$G$是自同构群的代数问题，由一定形式的代数空间。
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