关于有限域上可分代数的生成元个数
On the number of generators of a separable algebra over a finite field
摘要：
设$F$是一个域，$E$是$F$上的一个代数，即有限可分域扩张$E = F_1 \times \dots \times F_r$的有限积。经典的本原元定理断言，如果$r = 1$，则$E$由一个元素生成为$F$ -代数。对于任何$r \geqslant 1$都是如此，只要$F$是无限的。然而，如果$F$是一个有限域和$r \geqslant 2$，本原元定理一般失败。本文给出了当$F$有限时$E$的最小生成元个数的一个公式。我们还得到了有限域上（不一定是交换的）可分代数的生成元个数的上下界。
英文摘要：
Let $F$ be a field and let $E$ be an étale algebra over $F$, that is, a finite product of finite separable field extensions $E = F_1 \times \dots \times F_r$. The classical primitive element theorem asserts that if $r = 1$, then $E$ is generated by one element as an $F$-algebra. The same is true for any $r \geqslant 1$, provided that $F$ is infinite. However, if $F$ is a finite field and $r \geqslant 2$, the primitive element theorem fails in general. In this paper we give a formula for the minimal number of generators of $E$ when $F$ is finite. We also obtain upper and lower bounds on the number of generators of a (not necessarily commutative) separable algebra over a finite field.
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