函数域中未知元取自乘法群的线性方程
Linear equations with unknowns from a multiplicative group in a function field
AI总结：
本文研究函数域中未知元取自有限秩乘法子群的线性方程，通过陪集方法证明其非退化解的数量可由涉及二项式系数的显式上界控制。
摘要：
设 k 是特征为 0 的代数闭域，K/k 是任意超越次数的超越扩张，G 是 (K^*)^n 的乘法子群，使得 (k^*)^n 包含于 G，且 G/(k^*)^n 具有有限秩 r。我们考虑线性方程 a1x1+...+anxn=1 (*)，其中系数 a1,...,an 是 K 中固定的非零元素，未知元 (x1,...,xn) 取自群 G。如果存在 a1x1,...,anxn 的一个子集，其和等于 0，则称这样的解为退化解。两个解 (x1,...,xn) 与 (y1,...,yn) 被称为属于同一个 (k^*)^n-陪集，如果存在 c1,...,cn 属于 k^*，使得 y1=c1*x1,...,yn=cn*xn。我们证明 (*) 的非退化解位于至多 1+C(3,2)^r+C(4,2)^r+...+C(n+1,2)^r 个 (k^*)^n-陪集中，其中 C(a,b) 表示二项式系数 a 选 b。
英文摘要：
Let k be an algebraically closed field of characteristic 0, let K/k be a transcendental extension of arbitrary transcendence degree and let G be a multiplicative subgroup of (K^*)^n such that (k^*)^n is contained in G, and G/(k^*)^n has finite rank r. We consider linear equations a1x1+...+anxn=1 (*) with fixed non-zero coefficients a1,...,an from K, and with unknowns (x1,...,xn) from the group G. Such a solution is called degenerate if there is a subset of a1x1,...,anxn whose sum equals 0. Two solutions (x1,...,xn), (y1,...,yn) are said to belong to the same (k^*)^n-coset if there are c1,...,cn in k^* such that y1=c1*x1,...,yn=cn*xn. We show that the non-degenerate solutions of (*) lie in at most 1+C(3,2)^r+C(4,2)^r+...+C(n+1,2)^r (k^*)^n-cosets, where C(a,b) denotes the binomial coefficient a choose b.
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