A Four-parametric Rational Solution to Painleve' VI
Gert Almkvist
从Painleve' VI的一个有理解出发，利用Okamoto理论，得到了一个四参数有理解。
Starting with a rational solution to Painleve' VI, coming from a Riccati equation, using Okamoto's theory a four-parametric rational solution is obtained.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Some Rational Solutions to Painleve' VI
从一个用超几何函数求解的Riccati方程出发，得到了Painleve' VI的有理解序列.
Rational solutions of the fourth and fifth Painlevé hierarchies
我们将考虑四个层次的高阶类似物的第四（P4）和第五（P5）Painleve方程。给出了具有合理解的充要条件。此外，我们考虑（P4）的两个层次。我们很好地证明了这两个方程都承认解的形式为$1/x$。最后的结果表明，所有考虑的P4-层次有一个共同的性质：他们假设的解决方案$1/x$作为原来的P4。
Parametric Stokes phenomenon for the second Painlevé equation with a large parameter
利用精确WKB分析方法对第二类大参数Painlevé方程（$P_{II}$）进行了分析.研究了（$P_{II}$）的$P$ -Stokes几何的退化问题，它涉及到（$P_{II}$）的渐近（形式）解的一类Stokes现象.我们称这种斯托克斯现象为“参量斯托克斯现象“。我们给出了这种斯托克斯现象的联系公式，并从两个方面加以证实：第一是通过计算（$P_{II}$）的“Voros系数”，第二是利用等单点形变理论。我们的主要主张是，由这两种完全不同的方法导出的连接公式是一致的。
R. Fuchs' problem of the Painleve equations from the first to the fifth
我们将把把汇合型超几何方程变为Painleve型线性方程的所有有理变换从第一到第五类进行分类。我们表明，这种合理的转换对应于几乎所有的代数解的Painleve方程从第一至第五的Backlund变换。
Rational Solutions of the Painleve' VI Equation
本文对Painlevé VI方程的参数$α$，$β$，$γ$和$δ$的所有值进行分类，使得存在有理解.我们给出了一个公式，他们的双有理正则变换和对称的Painlevé VI方程。
Polynomial Solutions to Difference Equations Connected to Painleve' II-VI
与Painleve方程的有理解有关的多项式满足一定的差分方程。条件acertain所有的解决方案真的是多项式。
Computation of RS-pullback transformations for algebraic Painleve VI solutions
第六个Painleve方程的代数解可以使用超几何方程关于特殊分歧的有理覆盖的拉回变换来计算。特别是，正如第二作者和多兰所注意到的，一些代数解可以单独从有理覆盖中构造出来，而不需要计算拉回的Fuchsian方程。但是，相同的覆盖可以用来拉回不同的超几何方程，导致不同的代数Painleve VI解决方案。本文介绍了计算的显式RS-拉回变换，并推导出代数Painleve VI的解决方案。
Large-degree asymptotics of rational Painleve-II functions. II
本文是我们在arXiv：1310.2276中开始的关于非齐次Painleve-II方程的有理解和齐次耦合Painleve-II系统在大次极限下的相关有理解的分析的继续。在本文中，我们建立了渐近公式附近的某个曲线三角形在复平面，以前被证明是分开两种不同类型的渐近行为。我们的结果既显示三角退化的合理Painleve-II功能，也退化的tritronquee解决方案的Painleve-I方程。我们严格的分析是基于最速下降的方法适用于Riemann-Hilbert表示的理性Painleve-II功能，并提供领先的顺序公式以及误差估计。
Large-degree asymptotics of rational Painleve-II functions. I
非齐次Painleve-II方程和相关耦合Painleve-II系统的有理解最近出现在流体涡旋和sine-Gordon方程的研究中。对于正弦戈登应用程序，特别是它是感兴趣的理解大程度的渐近行为的理性Painleve-II功能。我们显式计算这两个家庭的有理函数有效的在整个复杂的平面，除了一个特定的分段光滑的封闭曲线的邻域的领导阶大的程度渐近。利用Deift-Zhou非线性最速下降法求解Riemann-Hilbert问题，得到了严格的误差界.
Rational Solutions of the Painlevé-II Equation Revisited
Painlevé-II方程的有理解出现在几个应用中，并且已知具有许多显着的代数和分析性质。它们也有几种不同的表示，以不同的方式用于建立这些属性。特别是，Riemann-Hilbert表示已被证明是有用的，用于提取大次数极限（相当于大参数极限）的有理解的渐近行为。我们回顾了有理Painlevé-II函数的基本性质，然后描述了文献中出现的三种不同的Riemann-Hilbert表示：通过Flaschka-Newell拉克斯对的等单值理论的表示，通过Jimbo-Miwa拉克斯对的等单值理论的第二表示，以及由Bertola和Bothner发现的与伪正交多项式有关的第三种表示。我们证明了有理Painlevé-II函数的Flaschka-Newell和Bertola-Bothner Riemann-Hilbert表示是显式相互连接的。最后，我们回顾了最近的结果描述的理性Painlevé-II功能从这些Riemann-Hilbert表示通过最速下降法获得的渐近行为。
Remarks Towards the Classification of $RS_4^2(3)$-Transformations and Algebraic Solutions of the Sixth Painlevé Equation
我们引入了有理函数的除数型的概念，并通过$RS$ -变换的方法证明了它可以有效地用于与第六类Painlevé方程的代数解的构造有关的Dessins d 'enfants变形的分类.
Rational Solutions of the Painlevé-III Equation
所有的六个Painlevé方程，除了第一个有家庭的合理解决方案，这是经常重要的应用。第三个一般形式的Painlevé方程依赖于两个参数$m$和$n$，当且仅当至少一个参数是整数时，它有有理解。我们使用已知的代数表示的解决方案，研究数值的极点和零点的分布如何表现为$n\in\mathbb{Z}$增加，以及如何与$m\in\mathbb{C}$的图案变化。研究表明，在大$n\in\mathbb{Z}$极限下，以$m\in\mathbb{C}$为辅助参数考虑有理解是合理的.为了分析在这个极限的合理的解决方案，代数技术需要补充的分析，本文的主要新贡献是开发一个Riemann-Hilbert表示的合理的解决方案的Painlevé-III，是服从渐近分析。进一步假设$m$是一个半整数，我们从Riemann-Hilbert表示导出了一个有限维Hankel系统的有理解，其中$n\in\mathbb{Z}$作为一个显式参数出现.
Large-degree asymptotics of rational Painleve-IV functions associated to generalized Hermite polynomials
Painleve-IV方程有三族由广义Hermite多项式生成的有理解。每个族都由两个正整数m和n索引。这些函数可应用于非线性波方程、随机矩阵、流体动力学和量子力学。数值研究表明，零点和极点形成一个变形的n × m矩形网格。适当地缩放，零点和极点似乎密集地填充某些曲线矩形，因为m和n趋于无穷大，r=m/n固定。推广Bertola和Bothner研究有理Painleve-II函数的方法，将广义Hermite有理Painleve-IV函数表示为单位圆上的正交多项式.利用Deift-Zhou非线性最速下降法，当n趋于无穷大，m=r*n，r固定时，在极限下渐近分析了相应的Riemann-Hilbert问题.我们得到了边界曲线的一个明确的特征，并确定了无极点区域的函数的领先阶渐近展开。
Poles of Painlevé IV Rationals and their Distribution
我们研究的Painlevé IV方程的合理的解决方案的奇点（极点和零点）的分布通过isomonodromic变形方法。奇异性用广义Hermite $H_{m,n}$和广义Okamoto $Q_{m,n}$多项式的根表示。我们发现，广义厄米和冈本多项式的根所描述的反monodromy问题的非谐振子的程度2。因此，他们原来是分类的单值表示一类亚纯函数与有限数量的奇异性介绍Nevanlinna。当$m$较大且$n$固定时，我们计算了广义Hermite多项式在渐近区域根的渐近分布.
Discrete equations from Bäcklund transformations of the fifth Painlevé equation
本文从第五Painlevé方程的Bäcklund变换导出离散方程，包括一个具有三元对称性的新离散方程，并利用广义Laguerre多项式和广义Umemura多项式推导出离散方程的有理解层次，同时利用非唯一有理解对得到满足同一离散方程的不同有理解层次。
A Constructive Proof for the Umemura Polynomials of the Third Painlevé Equation
本文扩展Taneda方法，为第三类Painlevé方程的Umemura多项式提供构造性代数证明，证实非线性递推生成的有理函数实为多项式，并揭示其根的信息。
Factorizations of Rational Matrix Functions with Application to Discrete Isomonodromic Transformations and Difference Painlevé Equations
研究了黎曼球面上具有单极点的有理矩阵函数的分解问题。对于二次的情况下（两个极点），我们表明，使用乘法表示这样的矩阵函数，一个很好的坐标系在这个空间是由混合的剩余特征向量的矩阵和它的逆。我们的方法是由离散的isomonodromic变换的理论和它们与差分潘勒韦方程的关系。特别是，在这些坐标系中，基本的isomonodromic变换采用离散欧拉-拉格朗日方程的形式。其次，我们表明，dPV方程，以前得到的D。Arinkin和A. Borodin，可以理解为这种矩阵的剩余和它们的逆之间的简单关系。
Large-degree asymptotics of rational Painleve-IV solutions by the isomonodromy method
Painleve-IV方程有两族分别由广义Hermite多项式和广义Okamoto多项式生成的有理解。我们应用isomonodromy方法来表示所有这些合理的解决方案，通过两个相关的黎曼-希尔伯特问题，其中每个问题都涉及到两个整数值的参数相关的两个参数的Painleve-IV方程。然后，我们使用最速下降法来分析的合理的解决方案的限制，至少有一个参数是大的。我们的分析提供了严格的理由正式的渐近参数，表明在一般的解决方案Painleve-IV与大参数的行为作为一个代数函数或椭圆函数。此外，结果表明，椭圆近似在曲线矩形的并上成立，在广义Okamoto有理解的情况下，四个曲线三角形的每一个都与矩形共享一条边;代数近似在互补无界区域是有效的.我们比较理论预测的极点和零点的位置与数值图的实际极点和零点从生成多项式，并找到很好的协议。
Lectures on exceptional orthogonal polynomials and rational solutions to Painlevé equations
这些是2018年10月5日至12日在杜阿拉（喀麦隆）举行的\textit{AIMS-Volkswagen Stiftung Workshop on Introduction to Orthogonal Polynomials and Applications}教授的特殊多项式课程的讲义。他们总结的基本结果和建设的特殊多项式，在过去的十年中发展。此外，还给出了潘勒韦方程PIV及其高阶推广的有理解的构造的一些新结果，这些高阶推广属于$A_{2n}^{(1)}$ -Painlevé族.该构造基于薛定谔算子的缀饰链，其势是谐振子的有理扩展。这里介绍的一些材料（Sturm-Liouville算子，经典正交多项式，Darboux-Crum变换等）。是经典的，可以在许多教科书中找到，而一些结果（属，交错和循环玛雅图）是新的，并首次在这套讲义。
Painleve I, Coverings of the Sphere and Belyi Functions
Painleve-I的解的极点理论等价于Nevanlinna问题，即构造一个在五个点上分歧的亚纯函数--计算多重性--并且没有临界点。我们构造了这样的亚纯函数作为有理函数的极限。在tritronquee解决方案的情况下，这些合理的功能是Belyi功能。
Rational Solutions of the Fifth Painlevé Equation. Generalised Laguerre Polynomials
本文研究第五潘勒韦方程的有理解，用广义拉盖尔多项式表示解，确定其性质、微分-差分方程、根结构与判别式，并给出朗斯基拉盖尔多项式系数的显式表达式。
Irrationality of the Roots of the Yablonskii-Vorob'ev Polynomials and Relations between Them
研究了第二类Painlevé方程的有理解的特殊多项式--Yablonskiii-Vorob 'ev多项式。这些多项式的系数的整除性质，涉及4的权力，我们得到的Yablonskiii-Vorob 'ev多项式的非零根是无理的。进一步，通过对第二类Painlevé方程的有理解进行幂级数展开，得到了这些多项式的连续次数根之间的关系.
Voros coefficients of the third Painelv'e equation and parametric Stokes phenomena
计算了第三类D6型Painleve方程（在[OKSO]意义下）的所有Voros系数，并讨论了形式跨级数解的参数Stokes现象.我们推导出连接公式的参数斯托克斯现象的假设下transseries解决方案的Borel求和。此外，我们还计算了附录D中D7型退化第三类Painleve方程的Voros系数。
Relations between different Hamiltonian forms of the third Painlevé equation
本文研究了与一般第三类潘勒韦方程相关的多项式和有理Hamilton系统，并给出了与它们相关的显式双有理变换.
Non-integrability of the Painlevé IV equation in the Liouville-Arnold sense and Stokes phenomena
本文研究第四类潘勒韦方程的Hamilton系统的可积性。我们证明了这个哈密顿系统的一个两参数族在Liouville-Arnold定理意义下是不可积的。通过对第二类变分方程的Stokes矩阵和形式不变量的显式计算，证明了相应的Galois群的单位元的连通分支不是阿贝尔的。因此，Morales-Ramis-Simó理论导致不可积的结果。此外，将新结果与我们以前的结果相结合，我们建立了：对于$P_{IV}$方程有特殊有理解的所有参数值，相应的Hamilton系统不能被在$t$中有理的亚纯第一积分积.
Rational Solutions of the Painlevé-III Equation: Large Parameter Asymptotics
当$n\in\mathbb{Z}$满足时，具有参数$Θ_0=n+m$和$Θ_\infty=m-n+1$的Painlevé-III方程有唯一的有理解$u(x)=u_n(x;m)$和$u_n(\infty;m)=1$.利用\cite{BothnerMS18}中提出的Riemann-Hilbert表示，研究了当$m\in\mathbb{C}$保持不变时，$u_n(x;m)$在极限$n\to+\infty$中的渐近行为.我们在$y=n^{-1}x$平面上孤立出一个眼形域$E$，它渐近地限制了第二参数$m$的所有值的$u_n(x;m)$的极点和零点.然后，我们表明，除非$m$是一个半整数，$E$的内部充满了一个局部均匀的晶格的极点和零点，和密度的极点和零点是小的边界附近的$E$，但炸毁附近的原点，这是唯一的固定奇点的Painlevé-III方程。在内部和外部域，我们提供了精确的渐近公式为$u_n(x;m)$，我们比较$u_n(x;m)$本身的$n$有限值，以说明其准确性。我们还考虑了$m$是半整数的例外情况，表明$u_n(x;m)$的极点和零点现在仅沿着两个“眉毛”中的一个或另一个积累，即，$E$的外边界弧。
On the algebraic solutions of the Painleve-III (D7) equation
Painleve-III方程的D 7退化具有对于某些参数值为$x^{1/3}$的有理函数的解。我们应用isomonodromy方法，以获得这些解决方案的Riemann-Hilbert表示。我们证明了这种表示的效用，通过严格分析的大参数限制的解决方案的行为。
Global Asymptotics of the Second Painlevé Equation in Okamoto's Space
我们研究了第二类潘勒韦方程在冈本首先构造的初始条件空间中的解，在自变量x趋于无穷大的极限中.同时，我们研究的相关方程的解决方案被称为第三十四潘勒韦方程。通过考虑退化的情况下，自治流，我们恢复已知的特殊解决方案，这是有理函数或艾里函数的表达。我们证明了在无穷远处不为零的解具有无穷多个极点。我们建筑的一个基本要素是证明特殊线条的结合是冈本空间动态的排斥剂。此外，我们还证明了解的极限集的存在性，并且是紧的和连通的。
Picard and Chazy solutions to the Painleve' VI equation
我研究了一个特殊的家庭的Painlevé VI方程的参数$β=γ=0, δ=1/2$和$2α=(2μ-1)^2$的解决方案，为$2μ\in\interi$。我表明，半整数$μ$的情况下是可积的，解决方案有两种类型：所谓的皮卡德解决方案和所谓的Chazy解决方案。给出了它们的显式公式，并完全确定了它们在奇点$0,1,\infty$附近的渐近行为和它们的非线性单值性。本文研究PVI $μ$方程解的解析延拓的结构，对于任何$μ$使得$2μ\in\interi$。作为一个应用，我对所有的代数解进行了分类。对于$μ$半整数，证明了它们与平面上的正多边形或星形多边形一一对应。对于$μ$整数，证明了所有的代数解都属于一个单参数有理解族。
Painlevé-III Monodromy Maps Under the $D_6\to D_8$ Confluence and Applications to the Large-Parameter Asymptotics of Rational Solutions
该研究通过Bäcklund变换生成Painlevé-III($D_6$)的解族，结合级数分析与Riemann-Hilbert方法证明其在大参数标度下收敛于Painlevé-III($D_8$)的解，并推导了相关有理解、Umemura多项式的渐近性质。
On real and imaginary roots of generalised Okamoto polynomials
本文推导了广义Okamoto多项式实根与虚根个数的精确公式，并据此给出Sasa-Satsuma方程的部分怪波列表及第四Painlevé方程在实轴或虚轴上无极点的有理解族，同时提出一种基于Bäcklund变换的奇点分布算法化程序。
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