Generic hyperbolicity for the equilibria of the one dimensional parabolic equation
A. L. Pereira
本文证明了，对于一般在f中的扩散系数，具有齐次Neumann边界条件的反应扩散方程ut =（a（x）u_x）_x + f（u）的所有平衡点都是双曲的.
We show, for some classes of diffusion coefficients that, generically in f, all equilibria of the reaction-diffusion equation u_t = (a(x)u_x)_x + f(u) with homogeneous Neumann boundary conditions are hyperbolic.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Stability and hyperbolicity of equilibria for a scalar nonlocal one-dimensional quasilinear parabolic problem
在这项工作中，我们提出的结果的稳定性和双曲平衡的标量非局部一维拟线性抛物问题。我们发现，这个非本地版本的著名的Chafee-Infante方程裸露的本地版本的一些相似之处。然而，它的非局部特征要求对相关的线性算子的谱进行精细的分析，这比局部情况要精细得多。平衡点的鞍点属性被证明为这个准线性模型。
Generic hyperbolicity of equilibria and periodic orbits of the parabolic equation on the circle
本文证明了对于圆S1上的标量反应扩散方程，所有平衡点和周期轨道的双曲性对于非线性是一般的.换句话说，我们证明了，在一个适当的非线性项的方程的功能空间，功能的集合，所有的平衡点和周期轨道是双曲，是一个可数的开放的稠密集的交集。证明的主要工具是圈数的性质和Sard-Smale定理。
Bifurcation and hyperbolicity for a nonlocal quasilinear parabolic problem
在这篇文章中，我们研究了一维非局部拟线性问题的形式$u_t=a(\Vert u_x\Vert^2)u_{xx}+νf(u)$，Dirichlet边界条件的区间$[0,π]$，其中$0<m\leq a(s)\leq M$对所有$s\in \mathbb{R}^+$和$f$满足适当的条件。我们给出了一个完整的特征的分歧和相应的平衡的双曲性。关于分支，我们扩展了现有的结果时，功能$a(\cdot)$是非减的一般光滑的非局部扩散函数的情况下，表明分支可能是干草叉或鞍节点，亚临界或超临界。我们还给出了双曲性的一个完整的刻画，给出了双曲性存在或不存在的充要条件。我们还探讨了一些例子，以展示可能发生的各种可能性，这取决于函数$a$，因为参数$ν$变化。
Invariant foliations near normally hyperbolic equilibria for quasilinear parabolic problems
考虑拟线性抛物型发展方程的平衡点集形成一个有限维的C^1-流形，该流形通常是双曲的。证明了稳定流形和非稳定流形的叶理的存在性，只要假定基本方程是C^1-正则的。
Dynamics near manifolds of equilibria of codimension one and bifurcation without parameters
我们研究了流的平衡流形的正常双曲性的崩溃。与经典的分歧理论不同，我们假设在平衡流形的横向奇点处没有任何流不变的叶理。我们称之为无参数设置分岔。在本文中，我们提供了一个描述的一般系统的平衡余维一作为第一步的分类没有参数的分叉的歧管。这是通过将问题与映射的奇点理论联系起来来实现的。
Limit cycles for a class of $\mathbb{Z}_{2n}-$equivariant systems without infinite equilibria
研究了平面上一类$\mathbb{Z}_{2n}$ -等变微分方程的动力学问题，该方程依赖于4个实参数。这项研究是推广到$\mathbb{Z}_{2n}$以前的作品与$\mathbb{Z}_4$和$\mathbb{Z}_6$对称性。我们减少的问题，找到极限环的阿贝尔方程，并提供标准证明在某些情况下的唯一性和双曲性的极限环，围绕1，$2n+1$或$4n+1$平衡，原点总是这些点之一。
Hyperbolicity for large automorphism groups of projective surfaces
本文研究紧复曲面上非初等自同构群作用的双曲性，证明含抛物元素时 Zariski 扩散不变测度具有非零 Lyapunov 指数，并给出全曲面一致扩张判据及其动力学推论。
Sturm attractors for fully nonlinear parabolic equations
我们明确地构造了完全非线性抛物型方程的整体吸引子。吸引子被分解为平衡点（与时间无关的解）和异宿轨道（在时间上向后和向前收敛到不同平衡点的解）。特别是，我们的状态充要条件的双曲平衡，这是伴随着一种方法，计算这样的条件之间的异宿发生。
On normal stability for nonlinear parabolic equations
我们证明了拟线性和完全非线性抛物型发展方程的平衡点的解的收敛性，在这种情况下，平衡点集是非离散的，但形成了一个有限维的$C^1$ -流形，通常是稳定的。
The effect of a small bounded noise on the hyperbolicity for autonomous semilinear differential equations
本文研究了非自治随机/随机扰动下自治微分方程双曲性的持久性。对于线性情形，我们研究了非自治随机动力系统的鲁棒性和指数二分性。其次，我们建立了非线性微分方程双曲平衡点持久性的一个结果。我们证明了对于具有双曲平衡点的自治半线性问题的每个非自治随机扰动，其相应的非线性非自治随机动力系统存在有界\textit{random hyperbolic solution}.此外，我们证明了这些随机双曲型解收敛到自治平衡点。作为应用，我们考虑了一个带有小的非自治乘性白噪声的半线性微分方程，作为例子，我们将抽象结果应用于一个强阻尼波动方程。
Sturm attractors for quasilinear parabolic equations
本文的目标是明确地构造拟线性抛物型方程的整体吸引子，正如Brunovskeln和Fiedler（1986）对半线性情形所做的那样，并由Fiedler和Rocha（1996）推广。特别是，我们构造异宿双曲平衡之间的连接，说明异宿发生的充要条件。这样的条件可以通过平衡的排列来计算。最后，一个例子计算产生著名的Chafee-Infante吸引子。
Global linearization of asymptotically stable systems without hyperbolicity
本文推广Hartman-Grobman定理至非双曲渐近稳定平衡点，证明全局线性化共轭的完整性与光滑性，并揭示5维情形与4维庞加莱猜想的等价性。
Eternal solutions and heteroclinic orbits of a semilinear parabolic equation
本文研究了一类半线性抛物型方程的异宿轨空间，主要讨论了非线性项为二次变系数多项式的情形。同时给出了解的存在唯一性的一个新的初等证明。异宿轨道的特点是一个特定的功能是有限的。一种新的渐近数值匹配方案被用来揭示微妙的分歧行为的平衡。这种分叉行为的确切性质导致了一个证明，即平衡是退化的临界点的意义上的莫尔斯。最后，证明了异宿轨道空间具有一个胞腔复形结构，当平衡点个数有限时，该结构是有限维的。
On admissibility for parabolic equations in R^n
考虑相空间$H^1$中的抛物型方程$$u_t-Δu=F(x,u),\quad (t,x)\in\R_+\times\R^n\tag{P}$$和相应的半流$π$.我们给出了非线性$F(x,u)$的条件，保证了$H^1$的所有有界集在Rybakowski意义下是$π$ -可容许的.如果$F(x,u)$是渐近线性的，在适当的非共振条件下，我们使用Conley指数理论证明了（P）的非平凡平衡点和连接这些平衡点的异宿轨线的存在性。本文所得结果推广了Rybakowski关于$\R^n$的{ \it有界}开子集上的抛物型方程的早期结果.
Sturm attractors for quasilinear parabolic equations with singular coefficients
本文的目标是明确地构造边界上具有奇异扩散系数的抛物型方程的全局吸引子，正如Brunovsk 'y和Fiedler（1986）在半线性情况下没有奇异项所做的那样，Fiedler和Rocha（1996）推广了它，后来作者（2017）推广了拟线性方程。特别是，我们构造异宿双曲平衡之间的连接，说明异宿发生的充要条件。这样的条件可以通过平衡的排列来计算。最后，一个例子计算产生著名的Chafee-Infante吸引子。
Non-uniform hyperbolicity in polynomial skew products
设$f:\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^2$是多项式斜积，其保持吸引垂直线$ L $不变。此外，假设限制为$L$的$f$是非一致双曲线的，在限制为$L$的$f$满足以下条件之一的意义上：$f|_L$满足拓扑Collet-Eckmann条件和弱正则性条件。2.在$f|_L$的Julia集内的每个临界值点处，李雅普诺夫指数都存在且为正，且不存在抛物环.在上述条件之一下，我们证明了$L$盆中的Fatou集与吸引圈盆的并集重合，$L$盆中的Julia集有勒贝格测度为零.因此，在$L$盆地中不存在游荡的Fatou分量。
Generic transversality of heteroclinic and homoclinic orbits for scalar parabolic equations
本文考虑一类$C^2$的有界区域$Ω\subset\mathbb{R}^d$上的标量反应扩散方程$\partial_t u=Δu + f(x,u,\nabla u)$.我们证明了连接双曲平衡点和双曲周期轨道的异宿和同宿轨道是横截的，一般关于f。证明的主要内容之一是对线性抛物型方程解的奇异节点集的精确研究。我们的主要结果是证明Kupka-Smale性质的通有性的第一步，周期轨道的通有双曲性尚未证明。
Equilibria with a nontrivial nodal set and the dynamics of parabolic equations on symmetric domains
考虑有界区域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上的Dirichlet问题u_t &= Δu + f（x，u，\nabla u）+ h（x，t），& \qquad &（x，t）\in Ω \times（0，\infty），u &= 0，& \qquad &（x，t）\in \partial Ω \times（0，\infty）.假设区域和非线性$f$在关于$x_1$ -轴的反射下是不变的，并且函数$h$考虑非对称衰减扰动：$h(\cdot, t)\to 0$为$t\to\infty$。在我们的一个主要定理中，我们证明了每一个有界正解$u$的渐近对称性。这个结果的新颖之处在于，渐近对称性的建立，即使是解决方案，并不假定一致积极的。特别是，一些平衡的极限时间自治问题（问题与$h\equiv 0$）与非平凡的节点集可能会出现在$ω$ -极限集的$u$和这防止一个应用常见的技术的基础上的方法移动超平面。我们的第二个主要定理的目的是分类的时间自治问题的正整体解。我们证明，如果$U$是一个正的整体解决方案，那么以下之一适用：（i）对于每个$t\in \mathbb{R}$，$U(\cdot,t)$在$x_1$中是偶数并且在$x_1>0$中是递减的，（ii）$U$是平衡，（iii）$U$是从具有非平凡节点集的平衡到由在$x_1$中是偶数并且在$x_1>0$中是递减的函数组成的集合的连接…
A Lyapunov function for fully nonlinear parabolic equations in one spatial variable
李雅普诺夫函数被用来证明平衡点的稳定性，或表示一个动力系统的梯度结构。Zelenyak（1968）和Matano（1988）构造了拟线性抛物型方程的李雅普诺夫函数。本文对Matano方法进行了改进，构造了完全非线性抛物型方程在Dirichlet和Robin型混合非线性边界条件下的李雅普诺夫函数.
Generic Morse-Smale property for the parabolic equation on the circle
本文证明了对于圆$S^1$上的标量反应扩散方程$u_t=u_{xx}+f(x,u,u_x)$，Morse-Smale性质对于非线性$f$是一般的.在\cite{CR}中，Czaja和Rocha证明了任何连接两个双曲周期轨道的连接轨道都是横截的，并且不存在任何连接双曲周期轨道的同宿轨道。在\cite{JR}中，我们证明了，一般而言，关于非线性$f$，所有的平衡和周期轨道是双曲的。在这里，我们完成这些结果表明，任何连接轨道之间的两个双曲平衡与不同的莫尔斯指数或双曲平衡和双曲周期轨道之间的自动横截。我们还表明，一般就$f$，不存在任何连接之间的平衡具有相同的莫尔斯指数。上述性质，连同一个紧凑的整体吸引子的存在性和庞加莱-Bendixson性质，允许我们推断，一般关于$f$，非徘徊集包括在有限数量的双曲平衡和周期轨道。证明的主要工具包括圈数性质、指数二分性和Sard-Smale定理。证明还需要仔细分析的线性化方程的解沿连接轨道的渐近行为。
A non-autonomous scalar one-dimensional dissipative parabolic problem: The description of the dynamics
本文的目的是给出当参数$λ> 0$变化时问题$u_t= u_{xx} + λu - β(t)u^3$的非自治吸引子结构的一个特征.此外，我们回答了在[11]中提出的一个问题，关于当$1<λ<4$和更一般地，对于$λ\neq N^2$，$2 \leq N \in \mathbb{N}$时问题的拉回吸引子的结构的完整描述。我们构造了整体有界解、“非自治平衡点”以及这些“非自治平衡点”的平凡解之间的联系，刻画了整体有界解的$α$ -极限和$ω$ -极限集.因此，我们证明了相关的斜积流的全局吸引子具有梯度结构。由此导出了相关的拉回和一致吸引子的结构。
A cell complex structure for the space of heteroclines for a semilinear parabolic equation
众所周知，对于许多半线性抛物型方程，存在一个整体吸引子，它具有有限维胞腔的胞腔复形结构。此外，许多半线性抛物型方程的平衡点都具有有限维非稳定流形。本文将这些结果统一起来，证明了对于无界区域上的特定抛物型方程，异宿轨道空间具有有限维胞腔的胞腔复形结构.结果取决于空间维数的选择和抛物型方程的非线性程度，因此需要一些精细的处理。
An energy formula for fully nonlinear degenerate parabolic equations in one spatial dimension
本文修改 Matano 的方法，为一维空间中完全非线性退化抛物型方程构造能量公式，并提供多个示例，特别是针对多孔介质方程提出新的能量候选。
Valiron and Abel equations for holomorphic self-maps of the polydisc
本文对多圆盘的全纯自映射$f: Δ^N \to Δ^N$引入了双曲性和抛物性的概念，其中多圆盘的全纯自映射$Δ^N$不允许有不动点.我们将两个经典的单变量结果推广到多圆盘：我们求解了双曲$f$的Valiron方程和抛物非零步$f$的Abel方程.这是通过研究规范小林双曲半模型的$f$，并通过获得规范形式的自同构的polydisc。在Valiron方程的情况下，我们也描述了所有解的空间。
Local bifurcations in differential equations with state-dependent delay
在分析动力系统时，一个常见的任务是确定平衡点局部分叉附近的规范形。由于大多数这些规范形式已被分类和分析，找到哪一类特定的规范形式，在数值分岔研究中遇到的指导后续计算。本文基于最近在DDE-Biftool中开发和实现的常时滞微分方程平衡点的规范形算法。我们展示了如何将这些方法扩展到具有状态依赖延迟的延迟微分方程（sd-DDE）。由于更高程度的正则性的本地中心流形仍然开放的sd-DDE，我们给一个独立的（仍然只是部分）参数，从截断正常的现象必须坚持在全sd-DDE。特别是，我们表明，所有不变流形具有足够程度的正常双曲预测的规范形式也存在于充分的sd-DDE。
The generic gradient-like structure of certain asymptotically autonomous semilinear parabolic equations
考虑渐近自治半线性抛物型方程u_t + Au = f（t，u）.设$f(t,.)\to f^\pm$为$t\to\pm\infty$，其中由\label{eq:140602-1511} u_t + Au = f^ \pm（u）\tag{*}诱导的半流是类梯度流.在一定的假设下，证明了一般地关于扰动$g$与$g(t)\to 0$为$|t|\to\infty$，u_t + Au = f（t，u）+ g（t）的每一个解都是\eqref{eq:140602-1511}的平衡点$e^\pm$与$m(e^-)\geq m(e^+)$的平衡点$e^\pm$之间的联系.此外，如果Morse指数满足$m(e^-) = m(e^+)$，则通过线性化来隔离$u$。
Quasilinear parabolic reaction-diffusion systems: user's guide to well-posedness, spectra and stability of travelling waves
本文研究了扩张区域上的拟线性抛物型反应扩散平流方程组。在希尔伯特空间和连续函数空间中的适定性的框架，基于已知的结果使用最大正则性。它示出，谱线上的行波有意义地给出了熟悉的工具，半线性方程，如色散关系，并考虑基本连接的谱的稳定性和不稳定性。特别地，证明了平衡流形的线性化轨道不稳定性原理。我们的目标是为申请人提供轻松访问这些严格的方面。作为一个指导性的例子，格雷斯科特-克劳斯迈尔模型的植被-水的相互作用被认为是详细的。
Unbounded Sturm attractors for quasilinear equations
该研究针对解可能无限时间爆破的拟线性抛物方程，分析其无界全局吸引子的渐近动力学，揭示无穷远梯度动力学结构、扩散与反应的维度竞争作用，证明双曲平衡点间异宿轨的存在，且这类吸引子可描述特定黑洞事件视界的容许初值空间。
An intrinsic approach in the curved n-body problem: the negative curvature case
研究了具有负常高斯曲率的二维双曲球上正质量的n个点粒子在引力作用下的运动。利用球极平面投影，我们导出了Poincaré圆盘中的曲n体问题的运动方程，并研究了椭圆相对平衡点。为了分析双曲型和抛物型的相对平衡，我们得到了Poincaré上半平面中的运动方程。利用黎曼几何的技巧，我们刻画了上述每一类周期轨道。对于n=2和n=3，我们恢复一些以前已知的结果，并找到新的定性结果的相对平衡，不明显的外在设置。
Real eternal PDE solutions are not complex entire: a quadratic parabolic example
本文研究二次抛物型 PDE 的实永恒异宿解，证明其复时间延拓并非复整解，并通过等价的复值二次 Schrödinger 方程有限时刻爆破加以阐明。
Approximating travelling waves by equilibria of non local equations
通过变量变换将行波问题转化为零传播速度的非局部演化方程，研究其平衡态解与行波的关系，并证明在有界区间上存在唯一渐近稳定的平衡态解，随区间增大收敛到行波，从而避免移动网格同时计算波形和波速。
A rigorous integrator and global existence for higher-dimensional semilinear parabolic PDEs via semigroup theory
该研究提出结合半群理论与计算机辅助证明的构造性方法，通过切比雪夫级数展开与压缩不动点定理实现半线性抛物PDE解的严格验证，还应用于Swift-Hohenberg等方程证明全局存在性。
Asymptotics for a free-boundary model in price formation
本文研究了具有非标准测度值右端的一维抛物型发展方程解的大时间渐近性，其中包含解在自由边界点处的导数.该问题是一个特殊的情况下，平均场自由边界模型提出的Lasry-Lions的价格形成和动态均衡。证明的主要步骤是基于线性化问题中自由边界消失的事实，从而可以通过半群理论作为扰动来处理。这需要对函数空间进行精细的选择，因为在自由边界附近需要更高的正则性。我们证明了全局解的存在性，初始数据在任何平衡点的一个小的邻域，并指数衰减到一个平稳的状态。此外，该方程的平衡族是稳定的，如下从中心流形理论。
Validation of Symmetry Induced Bifurcation Points in Nonlinear Diffusion Problems
本文提出一个计算机辅助证明的理论框架，用于验证非线性扩散问题中由对称性诱导的跨临界和音叉分岔点，通过扩展非线性系统的求零问题实现，并适用于一维和二维域上的抛物型系统和高阶方程。
Classification of global attractors for $\mathbb{S}^1$-equivariant parabolic equations: a survey
本文综述了一维圆环上具有 SO(2) 等变性的半线性抛物型方程全局吸引子的分类方法，通过连接图刻画 Sturm 吸引子结构，并枚举了至多七个顶点的全部 21 种连接图。
Equilibrium Validation in Models for Pattern Formation Based on Sobolev Embeddings
在研究偏微分方程的平衡解时，有许多平衡点，人们不可能希望找到它们全部。因此，人们通常集中精力寻找平衡解的各个分支。一方面，对这些分支的严格的理论理解是理想的，但通常不容易处理。另一方面，数值分叉搜索是有用的，但不能保证给出准确的结构，因为它们可能会错过分支的一部分或找到不存在的虚假分支。在最近的一系列论文中，我们提出了第三种选择。也就是说，我们已经开发了一种计算机辅助证明的方法来证明平衡解的分支的存在性和隔离性。在目前的文件中，我们扩展这些技术的大田-川崎模型的动力学的二嵌段共聚物的尺寸一，二，三，通过给出一个详细的描述的分析基础的方法。虽然本文集中应用的方法Ohta-Kawasaki模型，功能分析的方法和技术可以推广到其他抛物型偏微分方程。
Geometric structure of stationary problem for spatial 1D self-diffusion equation with logistic growth
本文利用 Poincaré-Lyapunov 紧化分析含 Logistic 增长的一维非线性自扩散方程稳态 ODE，揭示自扩散系数作为分岔参数如何导致同宿到异宿轨道转变并改变稳态结构。
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