Varieties of Sums of Powers for binary forms
E. Carlini
研究了二元型同时分解为线性型幂和的问题。对于一般形式的最小数量的线性型需要找到和空间参数化所有可能的分解进行了说明。这些结果应用于有理曲线的研究。
The problem of simultaneous decomposition of binary forms as sums of powers of linear forms is studied. For generic forms the minimal number of linear forms needed is found and the space parametrizing all the possible decompositions is described. These results are applied to the study of rational curves.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We study Minkowski sums and Hadamard products of algebraic varieties. Specifically we explore when these are varieties and examine their properties in terms of those of the original varieties.
Scorza quartics of trigonal spin curves and their varieties of power sums
我们的基本结果是建设新的子品种的各种权力和Scorza四次的任何一般对三角曲线和非有效的θ特性。这是Mukai把亏格为12的光滑素Fano三重数描述为平面四次幂和的变种的推广。在其他应用中，我们给一个肯定的答案的猜想Dolgachev和Kanev的存在的Scorza四次曲线的任何一般对曲线和非有效的θ特性。
On blow-ups of the quintic del Pezzo 3-fold and varieties of power sums of quartic hypersurfaces
我们在某些四次超曲面的幂和簇中构造了新的子簇。这提供了Mukai对亏格为12的光滑素Fano三重的描述作为平面四次线的幂和的变种的推广。事实上，在我们的第二篇论文中，我们证明了这些四次数正是与一般三角曲线对和无效theta特征相关的Scorza四次数，这使我们能够在那里证明Dolgachev和Kanev的主要猜想。
We study the geometry of some varieties of sums of powers related to the Klein quartic. This allows us to describe the birational geometry of certain moduli spaces of abelian surfaces. In particular we show that the moduli space $\mathcal{A}_2(1,7)^{-}_{sym}$ of $(1,7)$-polarized abelian surfaces with a symmetric theta structure and an odd theta characteristic is unirational by showing that it admits a dominant morphism from a unirational conic bundle.
Varieties of sums of powers
定义了n元d次齐次多项式的幂和的多样性，并在一些新老例子中进行了研究。这些变种通过非极性和合朔性来研究。给出了Sylvester（1851），Hilbert（1888），Dixon和Stuart（1906）的经典结果和Mukai（1992）的一些较新结果，以及（n，d）=（3，8），（4，2），（5，3）的新结果.在最后一种情况下，一般三次型的8次幂和的簇是指数为1、次数为660的Fano 5-倍。
We compute the Newton--Okounkov bodies of line bundles on a Bott--Samelson resolution of the complete flag variety of $GL_n$ for a geometric valuation coming from a flag of translated Schubert subvarieties. The Bott--Samelson resolution corresponds to the decomposition $(s_1)(s_2s_1)(s_3s_2s_1)(\ldots)(s_{n-1}\ldots s_1)$ of the longest element in the Weyl group, and the Schubert subvarieties correspond to the terminal subwords in this decomposition. We prove that the resulting Newton--Okounkov polytopes for semiample line bundles satisfy the additivity property with respect to the Minkowski s…
Sums of squares and varieties of minimal degree
设X是实非退化射影子簇，使得其实点集是Zebraki稠密的。证明了X上非负的实二次型都是线性型的平方和当且仅当X是极小次数簇。这大大扩展了希尔伯特著名的非负形式与平方和相等的特性。我们得到了一个完整的列表的情况下，平等的，也是一个分类的格多面体Q的每一个非负的洛朗多项式的支持包含在2Q是平方和。
Generalized varieties of sums of powers
设$X\subset\mathbb{P}^{N}$是不可约的非退化簇。$X$的广义幂和簇$VSP_H^X(h)$是点$\{x_{1},...,x_{h}\}$的轨迹参数化集合的希尔伯特方案$Hilb_{h}(X)$中的闭包，使得$(h-1)$平面$\left\langle x_{1},...,x_{h}\right\rangle$通过固定的一般点$p\in\mathbb{P}^{N}$。当$X = V_{d}^{n}$是一个Veronese品种，我们恢复的经典品种的权力总和$VSP(F,h)$参数化的齐次多项式的功率的加法分解。本文研究了$VSP_H^X(h)$的双有理行为.特别是，我们将展示一些双有理性质，如合理性，单合理性和合理的连通性，$VSP_H^X(h)$是继承自双有理几何品种$X$本身。
Canonical curves and varieties of sums of powers of cubic polynomials
本文证明了亏格至少为11的标准曲线的余维两个线性截面的非极性三次型是特殊的，它们表示为立方和。
K3-surfaces of genus 8 and varieties of sums of powers of cubic fourfolds
本文的主要结果是：6元一般三次型F的表示簇VSP（F，10）是亏格为8的K3曲面的Hilbert平方的变形所得到的光滑辛4重.发表在《纽约时报》上之后。Math.Soc.353，No.4，1455-1468（2001）中，Eyal Markman向我们指出，在定理3.17中，我们无需证明就得出结论，VSP（F，10）应该是另一个三次4-fold上的线的4-fold。我们在e-print“Addendum to K3 surfaces of genus 8 and varieties of sums of powers of cubic fourfolds”（math.AG/0611533）中纠正了这一点，在那里我们建立了一般VSP（F，10）实际上是一个新的辛4-fold，不同于三次4-fold上的线族。
Strong nonnegativity and sums of squares on real varieties
受概型理论的启发，我们引入了实簇的强非负性，它具有平方和强非负的性质。我们证明了这个代数性质等价于非奇异实簇的非负性。此外，对于奇异簇，我们将Gouveia和Netzer的障碍推广到实簇的凸体逼近实簇的凸包的θ体族的收敛性.
Jacobi sums, Fermat Jacobians, and ranks of abelian varieties over towers of function fields
本文的目的是给出函数域k（t）上的阿贝尔簇的一些例子，这些簇在扩展塔中具有有界秩，例如k（t^{1/d}），其中d是变化的。一路上，我们证明了一些新的结果，费马曲线可能是独立的利益。
Addendum to "K3-surfaces of genus 8 and varieties of sums of powers of cubic fourfolds"
本文证明了6元一般三次型F的表示簇VSP（F，10）是光滑的辛4重，它的变形等价于亏格为8的K3曲面的Hilbert平方，但不同于3次4重曲面上的线族.这提供了一种新的紧凑复辛四重的尺规作图法，不同于K3曲面的希尔伯特平方、广义库默尔四重、三次四重上的线的多样性和O 'Grady的最近例子（参见Duke Math.J.134，no.1（2006），99-137）。
Betti number bounds for varieties and exponential sums
本文利用周层性质给出仿射簇紧支撑Betti数的上界，并应用于有限域上zeta函数与指数和L函数，改进经典结果，完全交情形渐近最优。
On sums of Betti numbers of affine varieties
本文证明由次数至多d的多项式定义的仿射N空间子簇的ℓ-adic贝蒂数之和有界，并回答了Katz的问题。
Approximating amoebas and coamoebas by sums of squares
Amoebas和coamoebas分别是代数簇的对数象和代数簇在arg-map下的象。我们提出了新的技术计算问题的变形虫和coamoebas，从而建立新的连接（共）变形虫，半代数和凸代数几何和半定规划。我们的方法是基于制定的成员资格问题，阿米巴（分别coamoebas）作为一个合适的真正的代数可行性问题。使用真正的零点，这允许通过平方和技术和半定规划来解决这个问题。我们的方法产生多项式的身份作为证书的非包容性的一个点在变形虫或coamoeba。作为主要的理论结果，我们建立了多项式证书的一些度界。此外，我们提供了一些实际的计算变形虫的平方和方法的基础上。
Border apolarity and varieties of sums of powers
本文研究幂和簇的边界簇（$\underline{\mathrm{VSP}}$'s），比较其在 Hilbert 概形中的轨迹，引入边界可辨识性概念并提供判据，最后在张量和齐次多项式背景下确定若干实例的 $\underline{\mathrm{VSP}}$'s。
We continue study of some algebraic varieties (called resultantal varieties) started in a paper of A. Grishkov, D. Logachev "Resultantal varieties related to zeroes of L-functions of Carlitz modules". These varieties are related with the Sylvester matrix for the resultant of two polynomials, from one side, and with the L-functions of twisted Carlitz modules, from another side. Surprisingly, these varieties are described in terms of finite weighted rooted binary trees. We give a (conjecturally) complete description of them, we find parametrizations of their irreducible components and their inva…
Birational aspects of the Geometry of Varieties of Sum of Powers
幂和簇描述了齐次多项式到线性型的幂的加法分解。尽管它们的历史悠久，可以追溯到西尔维斯特和希尔伯特，但很少有人因特殊的次数和变量数而闻名。在本文中，我们的目的是了解一个一般的VSP双有理行为，如果有的话。为了做到这一点，我们双理性嵌入这些品种到格拉斯曼和证明的合理性，单理性或理性连通性的许多人在任意程度和数量的变量。
We bound the Pythagoras number of a real projective subvariety: the smallest positive integer $r$ such that every sum of squares of linear forms in its homogeneous coordinate ring is a sum of at most $r$ squares. Enhancing existing methods, we exhibit three distinct upper bounds involving known invariants. In contrast, our lower bound depends on a new invariant of a projective subvariety called the quadratic persistence. Defined by projecting away from points, this numerical invariant is closely related to the linear syzygies of the variety. In addition, we classify the projective subvarieties…
We study the complexity of approximating complex zero sets of certain $n$-variate exponential sums. We show that the real part, $R$, of such a zero set can be approximated by the $(n-1)$-dimensional skeleton, $T$, of a polyhedral subdivision of $\mathbb{R}^n$. In particular, we give an explicit upper bound on the Hausdorff distance: $Δ(R,T) =O\left(t^{3.5}/δ\right)$, where $t$ and $δ$ are respectively the number of terms and the minimal spacing of the frequencies of $g$. On the side of computational complexity, we show that even the $n=2$ case of the membership problem for $R$ is undecidable i…
Counting sums of two powers
本文推广了两个著名的枚举事实：Clebsch关于一般二元六次型可表示为立方与平方和的40种方式，以及Zariski和Vakil关于一般二元12次型线束包含3762个立方加平方的结论。
Monomials as sums of powers: the Real binary case
我们推广一个例子，由于西尔维斯特，并证明了任何单项的程度$d$在$\mathbb R[x_0, x_1]$，这不是一个权力的一个变量，不能被写入一个线性组合少于$d$权力的线性型。
Higher secant varieties of the minimal adjoint orbit
我们试图把经典单李代数的（类属）元素写成长根向量轨道C中尽可能少的元素之和。如果所讨论的李代数是sl_n或sp_n，则C由该李代数中的所有秩为1的矩阵组成，并且秩为k的元素是C的k个元素之和。另一方面，如果李代数是o_n，则C由所有秩为2且平方为零的矩阵组成，情况要复杂得多。在这种情况下，我们也明确地描述了C的k个元素的所有和的集合的闭包，也称为C的第（k-1）正割簇。
Binary Cumulant Varieties
二元随机变量的代数统计学关注的是2x 2x空间中高度结构化的代数簇。x2-张量我们证明了代表这样的品种在坐标系的二进制累积量的优势。我们的主要重点在于隐藏子集模型。累积量的参数化和隐式方程推导出超行列式，割线和切向品种的Segre品种，并为某些上下文特定的独立模型。扩展Rota和合作者的工作，我们探讨了累积量所满足的多项式不等式。
We give a complete description of all solutions to the equation $f_1^3 + f_2^3 = f_3^3 + f_4^3$ for quadratic forms $f_j \in \mathbb C[x,y]$ and show how Ramanujan's example can be extended to three equal sums of pairs of cubes. We also give a complete census in counting the number of ways a sextic $p \in \mathbb C[x,y]$ can be written as a sum of two cubes. The extreme example is $p(x,y) = xy(x^4-y^4)$, which has six such representations.
The cone $\mathcal{P}_{n+1,2d}$ ($n,d\in\mathbb{N}$) of all positive semidefinite (PSD) real forms in $n+1$ variables of degree $2d$ contains the subcone $Σ_{n+1,2d}$ of those that are representable as finite sums of squares (SOS) of real forms of half degree $d$. In 1888, Hilbert proved that these cones coincide exactly in the Hilbert cases $(n+1,2d)$ with $n+1=2$ or $2d=2$ or $(n+1,2d)=(3,4)$. To establish the strict inclusion $Σ_{n+1,2d}\subsetneq\mathcal{P}_{n+1,2d}$ in any non-Hilbert case, one can show that verifying the assertion in the basic non-Hilbert cases $(4,4)$ and $(3,6)$ suffic…
Exponential Sums Equations and Tropical Geometry
本文证明了 Zilber 的指数代数闭性猜想的一个情形，利用变形虫理论和热带几何求解特定指数和方程组，推广了此前需要更强假设的旧结果。
The Hankel index of a real variety $X$ is an invariant that quantifies the difference between nonnegative quadrics and sums of squares on $X$. In [5], the authors proved an intriguing bound on the Hankel index in terms of the Green-Lazarsfeld index, which measures the "linearity" of the minimal free resolution of the ideal of $X$. In all previously known cases this bound was tight. We provide the first class of examples where the bound is not tight; in fact the difference between Hankel index and Green-Lazarsfeld index can be arbitrarily large. Our examples are outer projections of rational no…
Gap vectors of real projective varieties
设$X\subseteq \mathbb{P}^m$是一个全实的、非退化的射影簇，$Γ\subseteq X(\mathbb{R})$是一般点集。设$P$是$X$上的非负二次型的锥，$Σ$是线性型的平方和的锥。我们检查的尺寸的面$P(Γ)$和$Σ(Γ)$组成的形式在$P$和$Σ$，消失在$Γ$。当集合$Γ$的基数在$1,\dots,\rm{codim}(X)$中变化时，$P(Γ)$和$Σ(Γ)$的维数之间的差异定义了$X$的数值不变量，我们称之为X的间隙向量。在这篇文章中，我们开始系统地研究它的基本性质。我们的主要结果是一个公式的间隙矢量的$X$和$X$和它的一般投影的二次亏损的组件。二次亏量是F. L.扎克二次亏和间隙向量之间的关系，使我们能够有效地计算间隙向量的具体品种，以及证明几个一般性质。我们证明了缺口向量弱增加，获得其增长率的上限，并证明这些上限最终实现所有品种。此外，我们还给出了具有最简单间隙向量的簇的一个刻划：证明了对于最小度的簇，间隙向量全同精确地为零，并刻划了间隙向量等于$(0,\dots, 0,1)$的簇.特别是，我们的结果给出了一个新的证明定理的Blekherman，史密斯和Velasco说，有非负二次型，这不是平方和的每一个品种，这是不是最小程度。最后，我们确定的间隙向量的所有Veronese嵌入的$\mathbb{P}^2$，推广工作的前三位作者。
Ideal class group annihilators
我们研究了由Hecke对应之和给出的Drinfeld模簇上的某些对应。我们提出推广的Stickelberger定理的高维。利用这个结果，我们研究了某些尖点形式的零化子。
We study real ternary forms whose real rank equals the generic complex rank, and we characterize the semialgebraic set of sums of powers representations with that rank. Complete results are obtained for quadrics and cubics. For quintics we determine the real rank boundary: it is a hypersurface of degree 168. For quartics, sextics and septics we identify some of the components of the real rank boundary. The real varieties of sums of powers are stratified by discriminants that are derived from hyperdeterminants.
A celebrated result by Hilbert says that every real nonnegative ternary quartic is a sum of three squares. We show more generally that every nonnegative quadratic form on a real projective variety $X$ of minimal degree is a sum of $\dim(X)+1$ squares of linear forms. This strengthens one direction of a recent result due to Blekherman, Smith, and Velasco. Our upper bound is the best possible, and it implies the existence of low-rank factorizations of positive semidefinite bivariate matrix polynomials and representations of biforms as sums of few squares. We determine the number of equivalence c…
Binary hidden Markov models and varieties
隐马尔可夫模型的技术应用非常多样化和成功，包括自然语言处理，手势识别，基因测序和物理测量的卡尔曼滤波。受阻是高度非线性的统计模型，并且正如线性模型服从线性代数技术一样，非线性模型服从交换代数和代数几何。本文仔细研究了所有隐藏的随机变量是二进制的HISTORY。它的主要贡献是（1）对每个这样的HMM进行双有理参数化，用显式逆来恢复根据可观测量的隐藏参数，（2）对每个这样的HMM进行半代数模型成员测试，以及（3）对4节点完全二进制模型的最小定义方程，包括21个二次曲面和29个三次曲面，其使用Sturmfels和Zwiernik的累积量坐标中的Grobner基来计算。在Sullivant、Garcia-Puente和Spielvogel的意义下，（1）中的新模型参数是合理可识别的，因此每个模型的Zerkiki闭包都是5维的有理投射簇。Grobner基础计算的模型和它的图被发现是相当快的使用这些参数。在两个隐藏状态的情况下，第（2）项取代了先前的Schonhuth算法，该算法仅被一般地定义，并且定义方程（3）产生了所有长度$\geq 4$的新的不变量。这样的不变量已经成功地用于遗传学中的模型选择问题，人们可以希望在Hacking的情况下有类似的应用。
We show that the algebraic boundaries of the regions of real binary forms with fixed typical rank are always unions of dual varieties to suitable coincident root loci.
We describe the algebraic boundaries of the regions of real binary forms with fixed typical rank and of degree at most eight, showing that they are dual varieties of suitable coincident root loci.
On Invariant Notions of Segre Varieties in Binary Projective Spaces
本文建立并研究了PG（2 ^m- 1，2）的一类Segre簇$\Segrem(2)$的不变概念，它是PG（1，2）的$m$拷贝的直积，其中$m$是任意正整数.我们首先证明了存在一个双曲二次曲面，它包含$\Segrem(2)$，并且在它的投射稳定群$\Stab{m}{2}$下不变。通过将PG（2 ^m- 1，2）嵌入\PG（2 ^m- 1，4），构造了后者的基，它在$\Stab{m}{2}$下也是不变的.这样的基可以被分成两个子集，其跨度根据$m$是偶数还是奇数是实数或复共轭子空间。在后一种情况下，这些跨度可以，此外，被视为一个$\Stab{m}{2}$不变的PG（2 ^m- 1，2）线的几何扩展的指标集。这种传播也与一个$\Stab{m}{2}$不变的非奇异厄米簇有关。案例$m=3$进行了详细检查，以说明理论。在这里，发现在$\Stab{3}{2}$下不变展度的线落入四个不同的轨道，而PG（7，2）的点形成五个轨道。
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