Atiyah关于欧氏空间四点构形猜想的证明

论阿蒂亚和萨克利夫的著作

On the conjectures of Atiyah and Sutcliffe

出于某些问题的物理，阿提亚定义了一个决定性的功能，任何一组$n$不同的点$x_1,..., x_n$在$\mathbb R^3$分配一个复数$D(x_1,..., x_n)$。在一项联合工作中，他和萨克利夫提出了三个关于这个行列式的有趣的命题。他们提供了令人信服的数字证据和行列式的有趣的物理解释。第一个猜想断言行列式永远不会为零，第二个猜想指出它的绝对值至少为1，第三个猜想说$|D(x_1,..., x_n)|^{n-2}\geq \prod_{i=1}^n |D(x_1,..., x_{i-1},x_{i+1},..., x_n)|$。尽管它们的公式很简单，但这些公式似乎是出了名的困难。令$D_n$表示在正则$n-$边形的顶点处求值的Atiyah行列式。我们证明了$\lim_{n\to \infty} \frac{\ln D_n}{n^2}= \frac{7ζ(3)}{2π^2}-\frac{\ln 2}{2}=0.07970479...$，并在这种情况下建立了第二个猜想.进一步证明了凸四边形顶点的第二个猜想和内接四边形顶点的第三个猜想。

关于共面双曲点的Atiyah-Sutcliffe拓扑

Towards the Atiyah-Sutcliffe conjectures for coplanar hyperbolic points

Atiyah-Sutcliffe正规化行列式函数$D$是$C_n(H^3)$上的光滑复值函数，其中$C_n(H^3)$表示双曲$3$ -空间$H^3$中$n$相异点的位形空间。Atiyah-Sutcliffe猜想$1$的双曲版本（AS猜想$1$）指出，$D$无处消失。AS猜想$2$（双曲线版本）是对任何$\mathbf{x} \in C_n(H^3)$的$|D(\mathbf{x})| \geq 1$的更强的陈述。本文证明了双曲凸共面四边形的AS猜想$2$，即对于$H^2$中的$4$点的构形，该构形中的任何点都不位于其它三个点的凸包中.我们也得到了Y。Zhang和J. Ma的结果，即$H^2$中非凸四边形的AS猜想$1$.最后，我们找到了一个明确的下限为$|D|$依赖于$n$只为自然的“星为基础的”变体的AS问题，凸共面双曲配置。后一结果适用于任何$n \geq 2$。$n=4$的证明利用了Python的符号库。一般结果的证明可以从行列式的一般公式得出。在所有这些情况下，$D$可以扩展为具有正系数的非负有理函数的线性组合。

关于四点双曲构形的Atiyah问题

On the Atiyah problem on hyperbolic configurations of four points

给定双曲$3$ -空间$H^3$中$n$不同点的配置$\mathbf{x}$，Michael Atiyah将变量$t \in \mathbb{C}P^1$的次数$n-1$的$n$多项式$p_1,\ldots,p_n$关联起来，并证明了它们在$\mathbb{C}$上线性无关，无论从哪种配置$\mathbf{x}$开始.我们证明了这个猜想$n=4$在两种情况下：在情况下的$4$点是不共面的，并在情况下的点之一在于双曲凸包的其他三个。

有限图与点配置

Finite graphs and configurations of points

本文通过有限图、点配置和张量推广了阿提亚关于点配置的问题，提出了G-幅度函数并恢复了阿提亚-苏特里夫猜想1和2。

阿蒂亚的闵可夫斯基空间猜想对所有n≥3均不成立

Atiyah's Minkowski Space Conjecture Fails for Every $n\ge3$

该研究证明阿蒂亚的闵可夫斯基空间线性无关猜想对所有n≥3不成立，通过n=3的显式反例及零平移构造得到所有n>3的反例，明确n=2时该猜想成立。

多边形范数的分离集与Falconer猜想

Separated sets and the Falconer conjecture for polygonal norms

Falconer猜想认为，如果E是一个平面集，其豪斯多夫维数严格大于1，则它的欧氏距离集有正的一维勒贝格测度.我们讨论了类似的问题，其中单位球是一个多边形与2K边的非欧几里德范数取代欧几里德距离。证明了对任意范数，存在一个豪斯多夫维数为K/（K-1）的集合，其距离集的勒贝格测度为0.

点集与辛Berry-Robbins问题

Configurations of Points and the Symplectic Berry-Robbins Problem

我们提出了一个新的问题的配置点，这是一个新的版本的类似问题的Atiyah和Sutcliffe，除了它是有关李群$\operatorname{Sp}(n)$，而不是李群$\operatorname{U}(n)$。用$\mathfrak{h}$表示$\operatorname{Sp}(n)$的Cartan代数，$Δ$表示$\operatorname{Sp}(n)$的根的零集与$\mathbb{R}^3$的并，每个根都是来自$\mathfrak{h} \otimes \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$的映射。我们希望构造一个映射$(\mathfrak{h} \otimes \mathbb{R}^3) \backslash Δ\to \operatorname{Sp}(n)/T^n$，它在$\operatorname{Sp}(n)$（辛Berry-Robbins问题）的Weyl群$W_n$的作用下是等变的.这里，目标空间是$\operatorname{Sp}(n)$的标志流形，而$T^n$是对角$n$ -环面。阿蒂亚和比拉夫斯基在更一般的背景下证明了这样一个地图的存在。我们提出了这样一个等变映射，这将是一个真正的地图提供了一定的线性独立猜想举行明确的光滑候选人。证明了$n=2$的线性无关性猜想。

关于Eckhoff和Dolnikov关于欧氏圆的直线横截的一个猜想

On a conjecture by Eckhoff and Dolnikov concerning line transversals to Euclidean disks

设$K$是欧氏平面$\mathbb R^2$中的凸体。我们说一个点集$X \subseteq \mathbb R^2$满足性质$T(K)$，如果平移集$\{ K + x : x \in X \}$族有一条线截线.集合$X$的较弱性质$T(K, s)$是由至多$s$元素组成的每个子集$Y \subseteq X$满足性质$T(K)$。下面的问题回到Grünbaum：给定$K$和$s$，什么是最小正数$λ= λ(K, s)$，使得$\mathbb R^2$中具有性质$T(K, s)$的每个有限点集也满足性质$T(λK)$？常数$λ_{disj}(K, s)$的定义类似，唯一的附加假设是，对于每个$x, y \in X$，$x \neq y$，转换后的$x + K$和$y + K$是不相交的。一个特别有趣的例子是$s = 3$和$K = B$，其中$B$是单位欧几里德球。也就是说，它是由埃克霍夫和独立，多尔尼科夫，$λ(B, 3) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。在本文中，我们提出了一个更强的猜想，其中，另一方面，承认在有限的字母表的代数公式。我们验证了我们的猜想数值上足够密集的网格中的参数空间，从而获得估计$λ_{disj}(B, 3) \leq λ(B, 3) \leq 1.645$。这是对先前已知的上限$λ(B, 3) \leq \frac{1 + \sqrt{…

从Kneser-Poulsen猜想到球多面体

From the Kneser-Poulsen conjecture to ball-polyhedra

Kneser（1955）和Poulsen（1954）独立地提出了一个关于有限球系的非常基本的几何问题。根据他们著名的猜想，如果在欧几里得空间中的一有限集的球被重新定位，使得每对球的中心之间的距离减小，则并集的体积（分别为，球的交叉点）减少（相应地，增加）。本文的前半部分综述了Kneser-Poulsen猜想在欧氏空间、球面空间和双曲空间中的研究现状，重点讨论了欧氏空间的Kneser-Poulsen猜想。因此，在欧几里得空间中，用离散几何的观点研究多个全等球的交的几何就显得十分自然和重要。我们称这些集合为球多面体。在本文的后半部分，我们回顾了球多面体已知的一系列基本结果。除了这篇论文明显的调查性质之外，我们想强调我们明确的意图，提出相当多的开放性问题，以激励进一步的研究。

非欧空间中小型柔性多面体的风箱猜想

The bellows conjecture for small flexible polyhedra in non-Euclidean spaces

针对非欧空间中柔性多面体体积是否恒定的问题，本文证明在维数不低于3的球面和Lobachevsky空间中，棱长足够小的柔性多面体均满足风箱猜想。

关于吻接数为12的球面填充的Fejes Toth猜想的证明

A Proof of Fejes Toth's Conjecture on Sphere Packings with Kissing Number Twelve

在1969年，Fejes Toth提出，在欧几里得三维空间中，任何一个相等的球的堆积，使得每个球都被其他12个球接触，都是由六边形层组成的。本文验证了这一猜想。

关于$\mathbb R^2$的镶嵌图猜想的解决

Solving a conjecture about tessellation graphs of $\mathbb R^2$

在论文平面性和双曲性在图中，作者提出了以下猜想：每一个镶嵌的欧几里德平面与凸瓷砖导致一个非双曲图。这是很自然地认为，这一说法成立，因为欧几里德平面是非双曲的。此外，有几个结果支持这个猜想。然而，这项工作表明，该猜想是错误的。

Voronoi平行面体扩张的Voronoi猜想

Voronoi's Conjecture for extensions of Voronoi parallelohedra

设$I$是$d$维欧几里得空间$\mathbb E^d$中的一段.令$P$和$P+I$是$\mathbb E^d$中的平行面体，其中“+”表示Minkowski和。证明了Voronoi猜想对$P+I$成立，即对$\mathbb E^d$中的某个欧氏度量，$P+I$是Voronoi平行面体，如果Voronoi猜想对$P$成立.

Viterbo's conjecture for Lagrangian products in $\mathbb{R}^4$ and symplectomorphisms to the Euclidean ball

We use the generalized Minkowski billiard characterization of the EHZ-capacity of Lagrangian products in order to reprove that the $4$-dimensional Viterbo conjecture holds for the Lagrangian products (any triangle/parallelogram in $\mathbb{R}^2$)$\times$(any convex body in $\mathbb{R}^2$) and extend this fact to the Lagrangian products (any trapezoid in $\mathbb{R}^2$)$\times$(any convex body in $\mathbb{R}^2$). Based on this analysis, we classify equality cases of this version of Viterbo's conjecture and prove that most of them can be proven to be symplectomorphic to Euclidean balls. As a by-…

优化噪声稳定性的欧几里得划分

Euclidean Partitions Optimizing Noise Stability

Isaksson和Mossel的标准单纯形猜想要求将$\mathbb{R}^{n}$的$\{A_{i}\}_{i=1}^{k}$划分为$k\leq n+1$片的最佳噪声稳定性的相等高斯测度。也就是说，对于$ρ>0$，我们最大化$$ \sum_{i=1}^{k}\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{A_{i}}(x)1_{A_{i}}(xρ+y\sqrt{1-ρ^{2}}) e^{-(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})/2}e^{-(y_{1}^{2}+\cdots+y_{n}^{2})/2}dxdy. $$ Isaksson和Mossel猜测这个问题的最佳划分，并证明了他们的猜想的一些应用。例如，标准单纯形猜想意味着复数是最稳定的猜想。对于$k=3,n\geq2$和$0<ρ<ρ_{0}(k,n)$，我们证明了标准单纯形猜想。这个完整的猜想在理论计算机科学和几何多泡问题（在Isaksson和Mossel之后）上有应用。

A proof of a Dodecahedron conjecture for distance sets

A finite subset of a Euclidean space is called an $s$-distance set if there exist exactly $s$ values of the Euclidean distances between two distinct points in the set. In this paper, we prove that the maximum cardinality among all 5-distance sets in $\mathbb{R}^3$ is 20, and every $5$-distance set in $\mathbb{R}^3$ with $20$ points is similar to the vertex set of a regular dodecahedron.

The dihedral rigidity conjecture for n-prisms

We prove the following comparison theorem for metrics with nonnegative scalar curvature, also known as the dihedral rigidity conjecture by Gromov: for $n\le 7$, if an $n$-dimensional prism has nonnegative scalar curvature and weakly mean convex faces, then its dihedral angle cannot be everywhere not larger than its Euclidean model, unless it is isometric to an Euclidean prism. The proof relies on constructing certain free boundary minimal hypersurface in a Riemannian polyhedron, and extending a dimension descent idea of Schoen-Yau. Our result is a localization of the positive mass theorem.

几何、算术群与Siegel猜想的证明

Tits Geometry, Arithmetic Groups and the Proof of a Conjecture of Siegel

证明了有限体积的非紧型局部对称空间与有限单纯复形上的欧氏锥拟等距。一个详细的分析度量性质产生的证据的一个猜想西格尔。

三维欧几里得空间中极大三距离集的唯一性

Uniqueness of maximum three-distance sets in the three-dimensional Euclidean space

$d$维欧几里得空间中的子集$X$称为$k$距离集，如果在$X$中的两个不同点之间恰好存在$k$距离. Einhorn和Schoenberg证明了正二十面体的顶点是$\mathbb{R}^3$中直到同构的唯一的12点三距离集。本文证明了$\mathbb{R}^3$中12点三距离集的唯一性。

凸多面体的并发法线问题与欧氏距离度

Concurrent normals problem for convex polytopes and Euclidean distance degree

本文研究三维凸多面体的并发法线问题，证明任意凸多面体存在内部点发出8条边界法线，并对简单多面体提出10条法线猜想，且在四面体和三棱柱上予以证实。

超几何球体排列的界限：关于Cohn和Zhao猜想的探讨

Bounds on hyperbolic sphere packings: On a conjecture by Cohn and Zhao

本文证明了超几何空间中的球体排列密度界限，扩展了Cohn和Elkies的欧几里得界限，采用Bowen-Radin框架和数学准晶体理论中的类似公式。

欧几里得空间中的叶分解与向量测度的最优输运

Leaves decompositions in Euclidean spaces and optimal transport of vector measures

对于给定的$1$映射$u\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$，我们定义了一个划分，直到一个勒贝格测度零的集合，将$\mathbb{R}^n$划分为极大闭凸集，使得对$u$的限制是在这些集合上的等距.我们考虑一个对数凹测度关于这个划分的分解。我们证明了，几乎每一个集的划分的维数$m$，相关的条件措施是对数凹的。这一结果也证明了加权黎曼流形的曲率维数条件$CD(κ,N)$的上下文中。这部分证实了Klartag的一个猜想。对Klartag的另一个猜想给出了一个反例，即给定$\mathbb{R}^n$上总质量为零的向量测度，从某个$1$ -Lipschitz映射得到的关于划分的条件测度也总质量为零.我们发展了一个矢量测度的最优输运理论，并在满足一定条件的情况下用它来肯定地回答这个猜想。

The Willmore energy and the magnitude of Euclidean domains

We study the geometric significance of Leinster's notion of magnitude for a compact metric space. For a smooth, compact domain in an odd-dimensional Euclidean space, we show that the asymptotic expansion of the magnitude function at infinity determines the Willmore energy of the boundary. This disproves the Leinster-Willerton conjecture for a compact convex body in all odd dimensions.