On $m$-point homogeneous polyhedra in $3$-dimensional Euclidean space
Sobolev Institute of Mathematics of the SB RAS（俄罗斯科学院西伯利亚分院索博列夫数学研究所）；Southern Mathematical Institute of VSC RAS（北高加索联邦科研中心南方数学研究所）
本文研究了三维欧几里得空间中多面体顶点集的m点均匀性，重点给出了2点和3点均匀多面体的分类结果。
2025-12-09 math.MG
Isometric Embeddings of Polyhedra into Euclidean Space
本文考虑欧氏多面体到欧几里得空间的分段线性等距嵌入。欧氏多面体就是度量空间$\mathcal{P}$，它允许一个三角剖分$\mathcal{T}$，使得$\mathcal{T}$的每个$n$维单形与$\mathbb{E}^n$中的一个单形仿射等距.证明了从$n$维欧氏多面体$\mathcal{P}$到$\mathbb{E}^{3n}$的1-Lipschitz映射是$ε$ -接近于任何$ε> 0$的pl等距嵌入.如果我们去掉映射是pl的条件，那么任何到$\mathbb{E}^{2n + 1}$的1-Lipschitz映射都可以用一个（连续）等距嵌入来近似。利用Nash-Kuiper $C^1$等距嵌入定理，将这些结果推广到球面和双曲多面体在欧几里得空间中的等距嵌入定理.最后，我们讨论了这些结果如何扩展到各种其他类型的多面体。
2013-11-30 math.MG
Generalization of Sabitov's Theorem to Polyhedra of Arbitrary Dimensions
本文将Sabitov定理推广至任意维度$n\ge 3$，证明具有三角形2面的多面体体积满足特定多项式关系，并由此在任意维度证明了Bellows猜想及多面体连续变形体积不变性。
2012-10-19 math.AG math.CO math.MG
Extensions of isometric embeddings of Pseudo-Euclidean metric polyhedra
我们推广了B. Minemyer通过显示任何不定度量多面体（无论是紧凑或不）的顶点度有界从上面承认等距单纯嵌入到Minkowski空间的最低可能的尺寸。我们提供了一个简单的算法来构造这样的嵌入。我们还证明了在一般位置上，这种空间的每一个部分单纯等距嵌入都可扩展为整个空间的单纯等距嵌入。
2015-10-16 math.MG
Chiral polyhedra in ordinary space, II
手征多面体具有几何对称群，其在旗上具有两个轨道，使得相邻的旗处于不同的轨道中。本文的第一部分描述了具有有限斜面和有限斜顶点图形的欧氏三维空间中的离散手征多面体，它们出现在无限族中，类型为{4，6}，{6，4}和{6，6}。第二部分完成了三维空间中所有离散手征多面体的计数。存在几个具有无限螺旋面的手征多面体家族。特别地，除了第一部分中描述的那些之外，没有具有有限面的离散手征多面体。
2005-01-04 math.CO math.MG
Regular Polyhedra of Index Two, II
欧氏空间中的一个多面体称为指标为2的正多面体，如果它是组合正则的，并且它的几何对称群在它的组合自同构群中的指标为2，那么它的自同构群是旗传递的，但它的对称群有两个旗轨道。本文完成了三维空间中指数为2的有限正多面体的分类。特别地，本文列举了对称群下顶点在一条轨道上的指数为2的正多面体。有十个这样的多面体。
2010-11-12 math.CO math.MG
From spaces of polygons to spaces of polyhedra following Bavard, Ghys and Thurston
在W的工作之后。P. Thurston，C. Bavard和Bavard。吉斯从欧氏多边形的变形空间中构造了特殊的双曲多面体。我们提出这种结构作为一个简单的混合体积理论的结果。这些多面体的胶合可以等距嵌入到由Thurston从欧氏多面体的变形空间构造的复双曲锥流形中。这样就有可能推导出P. Deligne和G. D.莫斯托
2009-09-07 math.MG
Sabitov polynomials for volumes of polyhedra in four dimensions
1996年，I.Kh. Sabitov证明，体积的单纯多面体在一个3维欧几里得空间是根某些多项式的系数取决于组合类型和棱的长度多面体只。此外，该多项式的系数是多面体边长的多项式。这一结果意味着，具有固定组合类型和边长的单纯多面体的体积只能取100多个值。特别地，这产生了三维欧几里得空间中柔性多面体的体积是常数。到目前为止，还不知道这些结果是否可以在大于3的维度中获得。本文证明了所有这些结果对四维欧几里得空间中的多面体都成立。
2011-10-22 math.AG math.CO math.MG
Flexible suspensions with a hexagonal equator
本文在欧氏空间中构造了一个六角赤道的柔性（非浸没）悬挂，并研究了它与强波纹猜想有关的性质：如果欧氏空间中的一个浸没多面体$\Cal P$是由另一个浸没多面体$\Cal Q$通过连续挠曲得到的，那么$\Cal P$和$\Cal Q$是剪同余的.
2009-05-22 math.AG math.MG
Regular Polyhedra of Index Two, I
欧氏空间中的一个多面体称为指数为2的正多面体，如果它是组合正则的，但“几何正则性差2倍”;它的组合自同构群是旗传递的，但它的几何对称群有两个旗轨道。本文及其第一作者的后继者，描述了三维空间中指数为2的正多面体的一个完整分类。特别地，本文列举了对称群下顶点在两个轨道上的指数为2的正多面体。随后的论文将列举在对称群下顶点在一个轨道上的指数为2的正多面体。
2010-05-26 math.CO math.MG
Rigid ball-polyhedra in Euclidean 3-space
球多面体是欧氏三维空间中许多（闭）单位球与非空内部的交。我们可以将球多面体的边界表示为以相当自然的方式定义的顶点、边和面的并集。一个球多面体称为简单球多面体，如果在每个顶点正好有三条边相交。此外，球多面体被称为标准球多面体，如果它的顶点-边-面结构是一个格子（相对于包容）。我们可以给球多面体的每条边指定一个内二面角，如果球多面体的顶点-边-面结构和它的内二面角决定了球多面体的局部全等性，那么我们就说这个球多面体相对于它的内二面角是局部刚性的。本文的主要结果是球多面体的柯西型刚性定理，它指出任何简单的标准球多面体关于其内二面角是局部刚性的。
2012-10-21 math.MG
From the Kneser-Poulsen conjecture to ball-polyhedra
Kneser（1955）和Poulsen（1954）独立地提出了一个关于有限球系的非常基本的几何问题。根据他们著名的猜想，如果在欧几里得空间中的一有限集的球被重新定位，使得每对球的中心之间的距离减小，则并集的体积（分别为，球的交叉点）减少（相应地，增加）。本文的前半部分综述了Kneser-Poulsen猜想在欧氏空间、球面空间和双曲空间中的研究现状，重点讨论了欧氏空间的Kneser-Poulsen猜想。因此，在欧几里得空间中，用离散几何的观点研究多个全等球的交的几何就显得十分自然和重要。我们称这些集合为球多面体。在本文的后半部分，我们回顾了球多面体已知的一系列基本结果。除了这篇论文明显的调查性质之外，我们想强调我们明确的意图，提出相当多的开放性问题，以激励进一步的研究。
2009-03-27 math.MG
Shortest Paths and Convex Hulls in 2D Complexes with Non-Positive Curvature
全局非正弯曲（CAT（0））多面体复合体出现在许多应用中，包括进化生物学和机器人学。这些空间具有唯一的最短路径，并且由欧氏多面体组成，但是欧氏空间中的最短路径和凸包的许多算法和性质都不能传递。本文给出了一个用线性规划计算二维单顶点CAT（0）多面体复形中点集的凸包的算法。我们探索使用最短路径映射来回答二维CAT（0）多面体复合体中的单源最短路径查询，并统一了2流形和矩形情况下的有效解决方案。
2019-07-17 cs.CG math.CO math.MG
Higher dimensional flexible polyhedra
在以前的版本的文件中，它被宣布，“球同胚灵活多面体（与自我交叉）确实存在于n维欧几里德，罗巴切夫斯基和球面空间的每个$n\geq 3$。现在这篇论文已经被作者撤回了，因为在主要定理的证明中有一个关键的错误。
1999-09-02 math.MG
Rigidity of Circle Polyhedra in the 2-Sphere and of Hyperideal Polyhedra in Hyperbolic 3-Space
本文将Cauchy关于欧氏$3$ -空间$\mathbb{E}^{3}$中凸多面体整体刚性的著名定理推广到$2$ -球面$\mathbb{S}^{2}$中的圆多面体.证明了任意两个具有一致定向的Möbius全等面的凸的和真的非酉的c-多面体都是Möbius全等的。我们的结果包含了黎曼球面中凸反距离圆填充的整体刚性以及$\mathbb{H}^{3}$中某些超理想双曲多面体的整体刚性。
2017-06-01 math.MG
The set of flexible nondegenerate polyhedra of a prescribed combinatorial structure is not always algebraic
我们在欧氏空间中构造了一个闭的非退化非柔性多面体$P$的例子，它是一个非退化柔性多面体序列的极限，每个非退化柔性多面体组合等价于$P$ .这意味着组合等价于$P$的柔性非退化多面体的集合不是代数的。
2015-08-17 math.MG
Geometric realization of toroidal quadrangulations without hidden symmetries
它表明，每个四边形的2-环面的两个周期的笛卡儿积可以几何实现在（欧几里德）4-空间没有隐藏的对称性-也就是说，使每个组合细胞自同构的四边形扩展到一个几何对称的欧几里德实现。这样的实现结果是新的正则环面几何2-多面体，它们内接于4-空间中的Clifford 2-环面，正如5个正则球面2-多面体内接于3-空间中的2-球面。以下是两个公开问题：在四维空间中几何地实现（1）无隐对称的2-环面的正则三角剖分和（2）正则六角化。
2013-07-03 math.CO math.MG
Polyhedral Voronoi Cells
欧氏空间中离散集合的Voronoi胞称为广义多面体。我们通过一个方向锥来识别一个离散集的多面体细胞。对于任意的集合，我们利用球面上的反演和半无限线性规划定理来区分多面体和非多面体细胞。
2010-03-22 math-ph math.MG math.MP
Isoptic surfaces of polyhedra
等光曲线的理论在欧几里德平面$\bE^2$中被广泛研究（参见\cite{CMM91}和\cite{Wi}以及那里给出的参考文献）。作者在双曲$\bH^2$和椭圆$\cE^2$平面上研究了类似的问题（见\cite{CsSz1}，\cite{CsSz2}，\cite{CsSz5}），但在高维空间中只有少数结果。在\cite{CsSz4}中，我们把等光曲线的概念自然地推广到$n$维欧氏空间$\bE^n$ $(n\ge 3)$，称之为等光超曲面.现在我们发展了一个算法来确定$3$维多面体$\mathcal{P}$的等视面$\mathcal{H}_{\cP}$.我们将确定柏拉图固体和一些半正则阿基米德多面体的等光曲面，并使用Wolfram Mathematica将其可视化。
2015-10-26 math.MG
Vertex-Transitive Polyhedra of Higher Genus, I
自从Gruenbaum和Shephard在1984年研究了具有正亏格和顶点传递对称性的无自交多面体以来，欧氏空间中这类物体的完全分类问题一直是开放的。根据Gevay、Schulte和Wills最近的一篇文章，我们现在知道亏格范围g>=2只能容纳有限数量的顶点传递多面体，它们都具有旋转柏拉图对称性。在这篇文章中，我们证明了对称群也必须在顶点上作用简单传递。此外，旋转四面体对称的情况完全解决了-唯一的例子是已知的。
2015-02-26 math.MG
Statics and kinematics of frameworks in Euclidean and non-Euclidean geometry
这是一篇关于欧几里得、双曲和球面几何中框架的无穷小刚性的综述文章。我们讨论的等价性的静态和运动学配方的无穷小刚度，静力学的投影解释（代表力作为bivectors），和无穷小Pogorelov地图，建立对应关系的无穷小运动的框架和它的测地线图像。此外，我们描述的麦克斯韦-克雷莫纳之间的对应平衡负载和多面体升降机，无论是欧几里德和非欧几里德框架。
2017-07-07 math.MG
Random ball-polyhedra and inequalities for intrinsic volumes
我们证明了一个随机版本的广义Urysohn不等式的平均宽度的其他内在卷。为了做到这一点，我们引入了一个随机逼近过程，将每个凸体K看作是大半径欧氏球相交的极限，并以随机选择的点为中心。证明依赖于一个新的等周不等式的内禀体积的这种交叉。如果中心是独立的。并且按照有界连续分布采样，则极值测度在欧氏球上是一致的。如果另外假设中心具有i.i.d.坐标，那么立方体上的均匀测度就是极端化器。我们还讨论了连接到一个随机版本的扩展等周不等式和对称化技术。
2016-06-29 math.MG
Zero-sum cycles in flexible polyhedra
我们证明了，如果三维仿射空间中的一个具有三角形面的多面体是柔性的，即，可以连续变形，保持其面的形状，则存在一个边的循环，一旦适当地加权1和-1，其长度总和为零。我们这样做是通过初等组合的考虑，使一个众所周知的紧化的三维仿射空间作为一个二次在四维射影空间。紧化与欧几里德度量有关，并允许我们使用简单的退化技术，将问题简化为一维模拟，这是微不足道的解决。
2022-03-18 math.AG math.CO math.MG
Intrinsic isometries in Euclidean space
我考虑紧致度量空间，它允许欧氏d-空间的内在等距。主要结果大致说明这些空间的类与欧氏d-多面体的逆极限类一致。
2019-01-06 math.DG math.MG
From spherical to Euclidean illumination
本文介绍球面空间中凸体的照明问题，并对一个大的凸体子族进行了求解。我们从中得到一个组合版本的经典照明问题的凸体在欧几里得空间以及一个解决方案，为一个大的子族的凸体，这在三维导致特殊的Koebe多面体。
2019-10-31 math.MG
The Eisenlohr-Farris Algorithm for fully transitive polyhedra
本文提出了一种基于对称群和 $\mathbb{E}^3$ 中晶体学群共轭类对三维多面体进行分类的构造性方法，能无重复生成所有完全传递多面体，并通过生成新多面体展示了其应用。
2023-09-13 math.MG
Algebra versus analysis in the theory of flexible polyhedra
用完全不同的方法证明了柔性多面体理论的两个基本定理：R。亚历山大使用分析，即斯托克斯定理，以证明总中曲率保持不变，在弯曲，而I. Kh。Sabitov使用代数，即理论的resultants，以证明定向体积保持不变，在弯曲。我们表明，没有这些方法可以用来证明这两个定理。作为一个副产品，我们证明了总中曲率的任何多面体在欧几里德3-空间是不是一个代数函数的边长。
2010-07-06 math.MG
The rigidity of infinite graphs
给出了R^d中可数无限单图关于l^p范数的欧几里德和非欧几里德配置的刚性理论，其中d>1且1<p< \infty .推广得到的Laman和Henneberg组合特征的一般无穷小刚性有限图在欧氏平面。此外，Tay的多图表征的刚性一般有限体杆框架在d维欧几里得空间推广到非欧lp范数和可数无限图。对所有维数和范数，证明了一般刚性可数单图是有限图的包含塔的直接极限，其中包含满足相对刚性性质.对于d>2，对于R^d中的一般位置是刚性的可数图可能会失去序列刚性的更强性质，而对于d=2，与序列刚性的等价性是从广义的拉曼特征得到的。应用程序给出的灵活性的非欧几里德凸多面体和无穷小和连续刚性紧凑的无限小面单纯多面体。
2013-10-07 math.CO math.MG
Heat kernels on Euclidean complexes
在这篇论文中，我们描述了一类称为欧氏多面体复形的度量空间。我们定义一个狄利克雷形式，这是用来给一个相应的热核。我们提供了一个统一的小时间庞加莱不等式的复杂的有界几何，并使用此来确定统一的小时间热核边界通过斯特姆定理。然后，我们考虑这样的复合物与一个潜在的有限生成群结构。我们使用Saloff-Coste和Pittet的技术来证明复体上的热核和群上的热核的大时间渐近等价性。
2008-01-21 math.MG
On the volume of spherical Lambert cube
三维欧氏空间、球面空间和双曲空间中多面体体积的计算是一个古老而又困难的问题。特别地，关于非欧单形体积的一个初等公式仍然未知。最简单的多面体之一是朗伯立方体Q（α，β，γ）。根据定义，Q（α，β，γ）是一个组合立方体，其中二面角α、β和γ分配给三个互不共面的边，而直角分配给其余边。朗伯立方体的双曲体积由Ruth Kellerhals（1989）根据罗巴切夫斯基函数Λ（x）发现。本文用函数δ（α，θ）定义Q（α，β，γ）的球体积，δ（α，θ）可以看作是Lobachevsky函数Δ（α，θ）=Λ（α+ θ）- Λ（α- θ）的球模拟
2002-12-21 math.MG
Quasi-symmetric nets: A constructive approach to the equimodular elliptic type of Kokotsakis polyhedra
KAUST Computational Sciences Group（阿卜杜拉国王科技大学计算科学组）
本文提出拟对称网（QS-nets）来构造四边底等模椭圆型柔性Kokotsakis多面体，给出显式代数刻画和闭式变形参数化，并开发数值管道验证实例。
2026-09-15 cs.CG math.MG
On $m$-point homogeneous polytopes in Euclidean spaces
本文研究有限度量空间的 $m$-点齐次性，重点分析欧几里得空间中正多面体及其推广的顶点集，并分类等边长且2点齐次的多面体，同时发展相关研究工具。
2022-12-26 math.MG
Ramification conjecture and Hirzebruch's property of line arrangements
定义多面体空间的分歧为它的正则轨迹的泛覆盖的度量完备化。我们主要考虑多面体空间的两个起源：欧几里得空间的等距和多面体度量的离散组上的复杂的射影平面上的奇异性在一个复杂的线的集合。在前一种情况下，我们猜想商空间总是有一个CAT[0]分支，并在几种情况下证明了这一点。在后一种情况下，我们证明了如果度量是非负弯曲的，则分支是CAT[0]。本文证明了Hirzebruch研究的复射影平面上的复直线排列具有非球面补。
2016-10-23 math.GT math.MG
Volumes of polytopes in spaces of constant curvature
本文综述了欧氏空间、球面空间和双曲空间中多面体的体积计算。证明了$H^3$和$S^3$中任意四面体体积的Sforza公式.我们也给出了一些结果，这些结果为非欧四面体体积上的Seidel问题提供了一种解决方法。最后，考虑内接于圆、单圆或等距曲线的一条分支的凸双曲四边形。这是一个自然的双曲模拟循环四边形在欧几里德平面。我们发现几个版本的婆罗摩笈多公式的面积这样的四边形。我们还提出了一个公式的面积双曲梯形。
2013-02-27 math.MG
An Algebraic Invariant for Substitution Tiling Systems
我们考虑欧几里得空间的多边形或多面体的镶嵌，特别是，镶嵌由替代过程，如彭罗斯镶嵌的平面。我们定义了一个同构不变量相关的一个子群的旋转和计算它的各种例子。我们还将我们的分析扩展到更一般的动力系统。
1997-12-24 math.CO math.DS math.MG
Decorated discrete conformal equivalence in non-Euclidean geometries
本文引入带装饰的分片双曲与球面曲面，研究其离散共形等价，证明单值化定理并揭示不同背景几何间存在统一的离散共形等价主理论。
2023-10-26 math.GT math.MG
Elimination of parasitic solutions in theory of flexible polyhedra
旋转群$SO(3)$对$3$维欧氏空间$\mathbf{R}^3$中$n$点系的作用自然地导出$SO(3)$对$\mathbf{R}^{3n}$的作用.本文考虑如下问题：是否存在$\mathbf{R}^{3n}$上的$3$多项式函数$f_1$，$f_2$，$f_3$，使得$f_1$，$f_2$，$f_3$的公共零点集与$R^{3n}$上的$SO(3)$的每个轨道的交非空且有限？当人们对给定的一组PDMATHAMN点的相对运动感兴趣时，就会出现这种问题，即，当人们想排除作为刚体的点系的局部运动时。一个例子是决定一个给定的多面体是否是非平凡柔性的问题。我们证明了这样的函数是存在的。为了得到一个必要的方程组$f_1=0$，$f_2=0$，$f_3=0$，我们展示了如何开始选择一个超曲面在$\mathbf{CP}^{n-1}$不包含二次曲线，没有线，没有真正的点，可以找到这样一个系统。
2020-02-10 math.AG math.MG
Tight fans and their canonical scalings
介绍了欧几里得空间中一类新的满扇--紧扇。这样的风扇被定义为使用一个瓷砖的面中的局部对称性的属性。紧扇与欧几里得空间中的平行体理论有关。本文证明了一个定理：在平行六面体镶嵌的给定面上相交的胞扇是紧扇。给出了Delone关于5种组合类型的平行体在余维为3的公共面上相交的一个定理的新证明。欧几里得空间镶嵌的标准尺度是定义在镶嵌超面上的特殊函数。已知对于给定的镶嵌，这样的函数的存在性与镶嵌的生成元的存在性有关。母线是一个多面体表面与正交投影符合一个给定的瓷砖。证明了扇有典范标度当且仅当它是多点的。
2016-03-06 math.MG
Selected topics from the theory of intersections of balls
University of Calgary（卡尔加里大学）；Department of Mathematics and Statistics, University of Calgary（卡尔加里大学数学与统计系）；Department of Mathematics, University of Pannonia（佩奇大学数学系）；Bolyai Institute, University of Szeged（塞格德大学博莱伊研究所）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Loránd Eötvös University（罗兰·厄特沃什大学）
本文讨论了球体交集理论中的Kneser-Poulsen猜想、Blaschke-Santaló型不等式以及球多面体的体积性质。
2025-06-30 math.MG
Flexible cross-polytopes in spaces of constant curvature
本文在常曲率空间中构造了自相交的灵活交叉正多胞体，给出了5维及以上空间中灵活多面体的首批实例，完成了所有类型的分类，并利用有理或椭圆函数提供了形变的显式参数化。
2014-05-18 math.AG math.MG
