对几类非线性系统的Atiyah-Sutcliffe猜想的验证和加强

根系与Atiyah-Sutcliffe问题

Root Systems and the Atiyah-Sutcliffe Problem

在这篇短文中，我们证明了与酉群$U(2m)$有关的$n = 2m$的Atiyah-Sutcliffe结构，蕴涵了作者与辛群$Sp(m)$有关的类似结构。证明是基于一个简单的事实，即$U(2m)$的根系优于$Sp(m)$。

关于共面双曲点的Atiyah-Sutcliffe拓扑

Towards the Atiyah-Sutcliffe conjectures for coplanar hyperbolic points

Atiyah-Sutcliffe正规化行列式函数$D$是$C_n(H^3)$上的光滑复值函数，其中$C_n(H^3)$表示双曲$3$ -空间$H^3$中$n$相异点的位形空间。Atiyah-Sutcliffe猜想$1$的双曲版本（AS猜想$1$）指出，$D$无处消失。AS猜想$2$（双曲线版本）是对任何$\mathbf{x} \in C_n(H^3)$的$|D(\mathbf{x})| \geq 1$的更强的陈述。本文证明了双曲凸共面四边形的AS猜想$2$，即对于$H^2$中的$4$点的构形，该构形中的任何点都不位于其它三个点的凸包中.我们也得到了Y。Zhang和J. Ma的结果，即$H^2$中非凸四边形的AS猜想$1$.最后，我们找到了一个明确的下限为$|D|$依赖于$n$只为自然的“星为基础的”变体的AS问题，凸共面双曲配置。后一结果适用于任何$n \geq 2$。$n=4$的证明利用了Python的符号库。一般结果的证明可以从行列式的一般公式得出。在所有这些情况下，$D$可以扩展为具有正系数的非负有理函数的线性组合。

A Direct Proof of the 2nd Atiyah-Sutcliffe Conjecture for Convex Quadrilaterals

We present a direct proof of the second conjecture made by M. Atiyah and P. Sutcliffe for the case of convex quadrilaterals. Unlike previous work on this conjecture, our proof does not require any computer aided computations. The new proof relies on a new geometric inequality proved recently by the author.

Atiyah-Sutcliffe行列式

The Atiyah-Sutcliffe Determinant

我们提出了一个通用公式的Atiyah-Sutcliffe行列式函数，它适用于任何整数$n \geq 2$，作为一个全球性的因素倍的总和的条款，与每个条款类似的一个更高的程度的交比。这个公式对我们来说是新的。我们还推测，Atiyah-Sutcliffe行列式是一个合理的线性组合的产品的因素只有两个简单的类型，其中每一个显然是$SO(3)$不变的。这使我们能够得到一个纯粹的角度公式的行列式为$n=4$，作为一个说明，我们的猜想可以应用。

论阿蒂亚和萨克利夫的著作

On the conjectures of Atiyah and Sutcliffe

出于某些问题的物理，阿提亚定义了一个决定性的功能，任何一组$n$不同的点$x_1,..., x_n$在$\mathbb R^3$分配一个复数$D(x_1,..., x_n)$。在一项联合工作中，他和萨克利夫提出了三个关于这个行列式的有趣的命题。他们提供了令人信服的数字证据和行列式的有趣的物理解释。第一个猜想断言行列式永远不会为零，第二个猜想指出它的绝对值至少为1，第三个猜想说$|D(x_1,..., x_n)|^{n-2}\geq \prod_{i=1}^n |D(x_1,..., x_{i-1},x_{i+1},..., x_n)|$。尽管它们的公式很简单，但这些公式似乎是出了名的困难。令$D_n$表示在正则$n-$边形的顶点处求值的Atiyah行列式。我们证明了$\lim_{n\to \infty} \frac{\ln D_n}{n^2}= \frac{7ζ(3)}{2π^2}-\frac{\ln 2}{2}=0.07970479...$，并在这种情况下建立了第二个猜想.进一步证明了凸四边形顶点的第二个猜想和内接四边形顶点的第三个猜想。

关于四点Atiyah行列式的猜想

On the Conjectures Regarding the 4-Point Atiyah Determinant

对于欧几里得空间中4点的情形，给出了Atiyah和Sutcliffe关于Atiyah行列式的猜想II和III的计算机辅助证明，并给出了Atiyah行列式的虚部的平方的一个优美因式分解.