The Laplacian $S_{n,n}$ conjecture is true
Mount Allison University（蒙特艾利森大学）
本文证明了拉普拉斯 $S_{n,n}$ 猜想在所有剩余情形下成立，即不存在具有特定拉普拉斯谱的简单图，填补了此前证明的空白。
2026-09-24 math.CO
Infinite dimensional finitely forcible graphon
图子是与稠密图的收敛序列相关的分析对象。强有力的graphons，即，由许多子图密度确定的那些，由于它们与极值组合学和理论计算机科学中的各种问题有关而特别令人感兴趣。Lovasz和Szegedy证明了弱强制图子的典型顶点所构成的拓扑空间总是有限维的，这意味着它的弱eps-正则划分中的最小部分数.我们通过构造一个具有无穷维典型顶点空间的可迫图子来证明这个猜想是错误的。
2018-09-23 cs.DM math.CO
The Graph Burning Conjecture is true for trees without degree-2 vertices
本文证明图燃烧猜想对无2度顶点的树成立，即此类图的燃烧数不超过顶点数的平方根上取整。
2023-12-22 math.CO
The Pseudoforest analogue for the Strong Nine Dragon Tree Conjecture is True
证明了对任意正整数$k$和$d$，如果一个图$G$的最大平均度至多为$2k + \frac{2d}{d+k+1}$，则$G$分解为$k+1$伪森林$C_{1},\ldots,C_{k+1}$，使得存在一个$i$，使得对于$C_{i}$的每个连通分支$C$，我们有那个$e(C) \leq d$ .
2020-07-05 math.CO
Weak regularity and finitely forcible graph limits
图子是表示图的收敛序列的极限的分析对象。Lovász和Szegedy指出，每个非强制图子，即由许多图密度确定的任何图子，都有一个简单的结构。特别地，他们的一个推论意味着每一个强有力的图子都有一个弱$\varepsilon$ -正则划分，其部分数由$\varepsilon^{-1}$中的一个多项式限定。我们构造了一个$W$上的强图，使得$W$的任意弱$\varepsilon$ -正则划分中的部分数至少是$\varepsilon^{-2}/2^{5\log^*\varepsilon^{-2}}$中的指数部分数.这个界几乎与已知的图的上界相匹配，并且在某种意义上，是图子的最佳可能界。
2016-08-26 cs.DM math.CO
Finitely forcible graphons with an almost arbitrary structure
图子是表示大型图的收敛序列的分析对象。如果一个图子是由许多子图密度决定的，即，如果由这样的图子表示的图的渐近结构仅依赖于1000个密度约束。这样的图子出现在各种场景中，特别是在极值组合学中。Lovasz和Szegedy指出，所有非强制图子都具有简单的结构。库珀、克拉尔和马丁斯在很强的意义上反驳了这一点，他们证明了任何图子都是一个可迫图子的子图子。我们通过证明对于每个$\varepsilon>0$，任何图子都跨越一个可强制图子的$1-\varepsilon$比例来加强这个结果。
2020-07-28 math.CO
The Hilton--Zhao Conjecture is True for Graphs with Maximum Degree 4
一个单图$G$是\emph{overfull}，如果$|E(G)|>Δ\lfloor|V(G)|/2\rfloor$。根据鸽子洞原理，每个过满图$G$都有$χ'(G)>Δ$。图的\emph{core}，记作$G_Δ$，是由它的度点$Δ$导出的子图。Vizing的邻接引理意味着如果$χ'(G)>Δ$，则$G_Δ$包含圈。Hilton和Zhao证明，如果$G_Δ$具有最大度2和$Δ\ge 4$，则$χ'(G)>Δ$恰好在$G$过满时。我们证明了这个猜想的情况$Δ=4$。
2019-05-18 math.CO
Improving the Bounds On Murty_Simon Conjecture
如果一个图的直径是$k$，并且去掉它的任何边都会增加它的直径，那么这个图被称为直径- $k$ -临界图。Murty和Simon提出了一个美丽的猜想，即每一个$n$阶的直径为2的临界图至多有$\lfloor n^2/4\rfloor$边，并且等式只对$K_{\lceil n/2 \rceil,\lfloor n/2 \rfloor }$成立。Haynes等人证明了该猜想对$Δ\geq 0.7n$是正确的。他们还证明，对于$n>2000$，如果$Δ\geq 0.6789n$，那么猜想是正确的。我们将通过证明对每个$n$，如果$Δ\geq\ 0.676n$，该猜想成立来改进这个界。
2016-10-10 math.CO
Minimal classes of graphs of unbounded clique-width defined by finitely many forbidden induced subgraphs
我们发现了新的遗传类的图是最小的（相对于集包含）的无界的cnumber-width。新的例子包括分裂置换图和双链图。每个类的特征在于一个有限的列表的最小禁止诱导子图。这些，因此，反驳了一个猜想，由于Daligault，Rao和Rupasse从2010年声称，所有这样的最小类必须定义的无限多个禁止诱导子图。在同一篇论文中，Daligault，Rao和Rupasse提出了另一个猜想，即每一个无限宽度的遗传类都必须包含一个标号的无限反链。我们表明，我们在这里考虑的两个例子类满足这个猜想。事实上，他们每个人都包含一个典型的标记无限反链，这导致我们提出了一个更强的猜想：每一个遗传类的图是最小的无界的cuble-width包含一个典型的标记无限反链。
2018-10-04 cs.DM math.CO
Explicit Asymptotics for Signed Binomial Sums and Applications to Carnevale-Voll Conjecture
Mr. Vale和Voll证明，当$λ$ 1和$λ$ 2是两个不同的整数时，j（-1）j $λ$ 1 j $λ$ 2 j = 0。当$λ$ 2或$λ$ 1 - $λ$ 2很小时，我们检验该猜想。当r：= $λ$ 1 / $λ$ 2固定且$λ$ 2趋于无穷大时，我们研究了它们和的渐近行为.我们发现一个明确的范围r $\ge$ 5.8362上的猜想是正确的。我们证明了对于任何固定的r，该猜想几乎必然成立。对于r接近1，我们给出了几个明确的区间上的猜想也是真的。
2020-06-17 math.CO math.NT
On the Hanna Neumann Conjecture
Hanna Neumann猜想指出，如果F是一个自由群，则对所有非平凡的n-生成子群H，K <= F，rank（H intersect K）- 1 <= [rank（H）-1] [rank（K）-1]。在大多数文件迄今已考虑直接图论解释的猜想，在这里，我们考虑使用单态。我们用两个结果说明了这种方法的有效性。首先，我们证明了对任何有限生成群H，K <= F，对H，K或对H^{-}，K满足Hanna Neumann猜想--这里{-}表示使F的每个生成元成为其逆的自同构.其次，利用从F到F_2的特殊单态，我们得到：如果Hanna Neumann猜想不成立，则存在一个反例H，K < F_2，它具有附加性质：H和K的折叠中的所有分支点都是3度的，并且所有3度的点都有相同的局部结构或"类型“。
2003-02-01 math.CO math.GR
Acyclic edge coloring conjecture is true on planar graphs without intersecting triangles
图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。Fiam{\displaystyle Fiam}ik（1978）和Alon，Sudakov and Zaks（2001）提出的无圈边着色猜想指出：每个具有最大度$Δ$的简单图都是无圈边$(Δ+ 2)$ -可着色的。尽管有许多里程碑，猜想仍然开放，即使是平面图。本文肯定地证实了关于不含相交三角形的平面图的猜想。我们这样做的第一个显示，放电的方法，每一个平面图没有相交的三角形必须至少有一个指定的六个群体的局部结构，然后证明了猜想的concursoring某些边缘在每个这样的局部结构和归纳的边缘数的图形。
2020-05-13 cs.DM math.CO
On the Markov numbers: fixed numerator, denominator, and sum conjectures
马尔可夫数是丢番图方程$x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$的正整数解。早在1880年，马尔可夫表明，所有这些解决方案可以产生沿二叉树。因此，用0和1之间的有理数来索引马尔可夫数变得非常常见（也很有用），这些有理数在Stern-Brocot二叉树中位于同一位置。Frobenius猜想声称每个马尔可夫数在树中最多出现一次。特别是，如果猜想是真的，马尔可夫数的顺序将建立一个新的严格顺序的有理数。艾格纳提出了三个建议，以更好地理解这一秩序。第一个问题已经解决了几个月。我们证明了另外两个命题也成立。在此过程中，我们将马尔可夫数推广到任何一对（p，q）非负整数（不仅当它们是互素时），并推测一旦$p \leq q$，唯一性仍然成立。最后，我们证明了这三个命题实际上是真的这个超集。
2020-10-20 math.CO math.NT
Accessibility in transitive graphs
本文证明了任意传递图$G$的割空间是一个可传递生成的${\rm Aut}(G)$ -模，如果它的圈空间也是这样.这证实了一个猜想的迪斯特尔说，每一个局部有限传递图的循环空间所产生的周期有界长度是可访问的。此外，它还暗示了Dunwoody的猜想：局部有限双曲传递图是可达的。作为进一步的应用，我们得到了群的Dunwoody可达性定理的一个组合证明。
2014-11-25 math.CO math.GR
Erdős-Gyárfás conjecture on graphs without long induced paths
针对Erdős-Gyárfás猜想，在已有无P₈、P₁₀图成立的基础上，借助计算机搜索证明其对无P₁₃图成立，进一步推进该猜想的验证范围。
2025-02-11 cs.DS math.CO
Goldberg's Conjecture is true for random multigraphs
在70年代，Goldberg和Seymour独立地证明了对于任何多重图$G$，色指数$χ'(G)$满足$χ'(G)\leq \max \{Δ(G)+1, \lceilρ(G)\rceil\}$，其中$ρ(G)=\max \{\frac {e(G[S])}{\lfloor |S|/2\rfloor} \mid S\subseteq V \}$。我们表明，他们的猜想（在一个更强的形式）是真实的随机多重图。设$M(n,m)$是由所有具有$n$顶点和$m$边的无环多重图组成的概率空间，其中$[n]$中的$m$对是随机重复选择的。我们的结果表明，对于给定的$m:=m(n)$，$M\sim M(n,m)$通常满足$χ'(G)=\max\{Δ(G),\lceilρ(G)\rceil\}$。特别是，我们表明，如果$n$是甚至和$m:=m(n)$，然后$χ'(M)=Δ(M)$为一个典型的$M\sim M(n,m)$。此外，对于固定的$\varepsilon>0$，如果$n$是奇数，则典型的$M\sim M(n,m)$具有用于$m\leq (1-\varepsilon)n^3\log n$的$χ'(M)=Δ(M)$和用于$m\geq (1+\varepsilon)n^3\log n$的$χ'(M)=\lceilρ(M)\rceil$。
2019-02-06 math.CO math.PR
