Symmetrizer and Antisymmetrizer of the Birman-Wenzl-Murakami Algebras
给出了Birman-Wenzl-Murakami代数BWM（r，q）_n的对称化子和反对称化子的显式公式.
2000-02-21 math.QA math.RT
An Ariki-Koike like extension of the Birman-Murakami-Wenzl Algebra
我们引入了Birman-Murakami-Wenzl代数的Ariki-Koike扩张，并证明了它是半单的。这个代数支持一个忠实的马尔可夫跟踪，产生的链接不变量的封闭Coxeter B型辫子。
1997-12-11 math.QA q-alg
Cellularity of Cyclotomic Birman--Wenzl--Murakami algebras
我们证明了分圆Birman-Wenzl-Murakami代数是胞腔的，通过产生仿射缠结图的胞腔基。
2008-05-28 math.QA math.RA math.RT
Cyclotomic Birman--Wenzl--Murakami algebras, I: Freeness and realization as tangle algebras
分圆Birman-Wenzl-Murakami代数是仿射BMW代数的等价代数，其中仿射生成元满足多项式关系。我们证明了分圆BMW代数是任意（容许的，整数的）基环上的自由模，并且它们同构于Kauffman tangle代数的分圆版本
2008-05-28 math.QA math.RT
Trigonometric R Matrices related to `Dilute' Birman--Wenzl--Murakami Algebra
显式表达式的三个系列的$R$矩阵有关的“稀释”推广的Birman-文茨尔-村上。其中，一个系列是相当于量子$R$矩阵的$D^{(2)}_{n+1}$广义户田系统，而其余两个系列似乎是新的。
1994-02-16 hep-th math.QA
Dilute Birman--Wenzl--Murakami Algebra and $D^{(2)}_{n+1}$ models
一个“稀释”的推广的Birman-Wenzl-村上代数被认为是。它可以被“分解”为杨-巴克斯特代数的一个解。$D^{(2)}_{n+1}$顶点模型是相应的可解晶格模型的示例，并且可以被视为$B^{(1)}_{n}$顶点模型的稀释版本。
1994-02-14 hep-th math.QA
Comparison of Admissibility Conditions for Cyclotomic Birman--Wenzl--Murakami Algebras
证明了Wilcox和Yu以及Rui和Xu提出的关于分圆BMW代数参数的容许条件的等价性。
2010-01-22 math.QA math.RT
The reduced Birman-Wenzl algebra of Coxeter type B
引入了一个与Coxeter B型辫子群相关联的Birman-Murakami-Wenzl代数的约化形式，并研究了它的半单性、Bratteli图和Markov迹.在纽结理论和物理学的应用进行了概述。
1997-09-11 math.QA q-alg
A basis for the Birman-Wenzl algebra
在J. Birman和H. Wenzl使用生成元和关系，和考夫曼代数，构造几何H。R. Morton和P. Traczyk在缠结方面。同构是通过在Birman-Wenzl代数中构造一个明确的基来获得的，类似于以前使用“Brauer连接子”为考夫曼代数构造的基。Kauffman代数的几何合痕参数被系统地替换为使用Birman-Wenzl关系的代数版本。
2010-12-14 math.QA math.RT
Gram determinants and semisimplity criteria for Birman-Wenzl algebras
本文计算了Birman-Wenzl代数的每个胞腔模的格拉姆行列式。作为副产品，我们给出了任意域上半单Birman-Wenzl代数的充要条件。
2008-02-18 math.QA math.RT
Cyclotomic Birman--Wenzl--Murakami algebras, II: Admissibility Relations and Freeness
分圆Birman-Wenzl-Murakami代数是仿射BMW代数的等价代数，其中仿射生成元满足多项式关系。研究了这类代数在基环上的容许条件，证明了定义在容许整基环$S$上的代数是自由$S$-模，并且同构于分圆Kauffman tangle代数.我们还确定了一般半单情形下的表示论，得到了Markov迹权的递推公式，并给出了半单的一个充分条件.
2008-05-28 math.QA math.RT
Symmetries of spin systems and Birman-Wenzl-Murakami algebra
本文考虑与量子仿射代数U_q（o（3））和U_q（A_2^{（2）}）有关的可积开自旋链。我们讨论了这类链的对称代数与Birman-Wenzl-Murakami代数相关的局部C^3空间。对称代数和Birman-Wenzl-Murakami代数在表示空间中相互集中，这定义了自旋系统谱的结构。从而得到了相应的多重态结构。
2010-03-02 hep-th math.QA nlin.SI
Inductive basis on Birman-Murakami-Wenzl algebras and (transverse) Markov traces
我们构造了Birman-Murakami-Wenzl代数的一个新的归纳基。利用它，我们提供了一个新的证明存在的马尔可夫迹的宝马代数提供两个变量的考夫曼多项式。我们还证明了BMW代数上的所有横向Markov迹都是由自环绕数、HOMFLY-PT多项式和二元Kauffman多项式决定的。
2017-11-23 math.GT math.QA math.RT
Incompressible representations of the Birman-Wenzl-Murakami algebra
本文构造了作用在n元多项式空间上的Birman-Wenzl-Murakami代数在三点重合时为零的表示。这些多项式与量子霍尔效应的普法夫态以及O（n）交叉回路模型的传输矩阵本征向量的分量密切相关。
2005-07-18 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
Birman-Murakami-Wenzl type algebras for arbitrary Coxeter systems
本文首先给出了秩为2的Coxeter系（对应于二面体群）的Birman-Murakami-Wenzl型代数。我们证明了它们对于一般参数是半单的，并且具有自然的胞状结构。并分类它们的不可约表示。其中有一个作为一个推广的劳伦斯-克拉默表示相当整齐的形状和“正确”的尺寸。我们猜想它们同构于I.Marin定义的某些KZ联络的广义Lawrence-Krammer表示。我们证明了这些表示是不可约的一般参数，并找到一个相当整洁的不变双线性型。基于上述秩为2的构造，我们引入了任意Coxeter系统的Birman-Murakami-Wenzl型代数.对于每个Coxeter系统，引入的代数是Artin群（与该Coxeter系统相关）的群代数的商，具有相应的Hecke代数作为商。Artin群的单生成元在这个代数中有3次零化多项式。
2017-08-16 math.QA math.RA math.RT
The Birman-Wenzl-Murakami algebra, Hecke algebra and representations of U_{q}(osp(1|2n))
A representation of the Birman-Wenzl-Murakami algebra BW_{t} (-q^{2n},q) exists in the centraliser algebra End_{U_q(osp(1|2n))} (V^{ \otimes t}), where V is the fundamental (2n+1)-dimensional irreducible U_{q} (osp(1|2n))-module. This representation is defined using permuted R-matrices acting on V^{ \otimes t}. A complete set of projections onto and intertwiners between irreducible U_{q} (osp(1|2n))-summands of V^{ \otimes t} exists via this representation, proving that End_{U_q(osp(1|2n))} V^{ \otimes t}) is generated by the set of permuting R-matrices acting on V^{ \otimes t}. We also show t…
2006-07-03 math.QA math.RT
Temperley-Lieb, Birman-Murakami-Wenzl and Askey-Wilson algebras and other centralizers of $U_q(\mathfrak{sl}_2)$
本文用Schur-Weyl对偶的思想研究了$U_q(\mathfrak{sl}_2)$对角嵌入三个不可约表示的张量积的象的中心化子.其目的是提供一个描述的发电机和关系。在这方面提出了一个猜想，中心化子表示为Askey-Wilson代数的商。支持猜想提供了一个检查的陈述的considerents。该猜想也被证明是真实的，在一些情况下，从而表现出特别是Temperley-Lieb，Birman-Murakami-Wenzl和一个边界Temperley-Lieb代数的Askey-Wilson代数的继承者。
2020-08-10 math-ph math.MP math.QA
The Cyclotomic Birman-Murakami-Wenzl Algebras
- 请参阅pdf文件的实际摘要和重要的评论，这不能放在这里由于arXiv长度限制。本文研究了由Haring-Oldenburg引入的割圆BMW（Birman-Murakami-Wenzl）代数，它是与G（k，1，n）型割圆Hecke代数（也称为Ariki-Koike代数）和涉及仿射/圆柱缠结的B型纽结理论相关联的BMW代数的推广。它们被证明是无秩k^n（2n-1）的！！并有一个拓扑实现作为一个特定的圆柱模拟的考夫曼缠结代数。进一步证明了分圆BMW代数是Graham和Lehrer意义下的胞腔代数。这个博士论文，在悉尼大学完成，于2007年9月提交，并于2007年12月通过。
2008-10-01 math.QA math.RT
Affine Birman-Wenzl-Murakami Algebras and Tangles in the Solid Torus
普通的（或经典的）Birman-Wenzl-Murakami代数最初被认为是Kauffman链不变量的代数框架。他们也出现作为中心化代数表示量子泛包络代数的正交或辛类型。Morton和Wassermann证明了BMW代数同构于（圆盘$\times$区间）中的缠结代数，模Kauffman skein关系。这种同构允许人们非常清楚地看到宝马代数的某些性质-例如马尔可夫迹和条件期望的存在性和一个良好的基础。本文建立了仿射BMW代数的相应结果，证明了它们同构于（环$\times$区间）上的缠结代数，模Kauffman skein关系.同样，这为研究这些代数提供了一个重要的基础，因为马尔可夫迹和条件期望的存在是同构的结果。此外，我们还得到了仿射BMW代数的一个基，它类似于仿射Hecke代数的一个基。
2005-12-21 math.GT math.QA math.RT
Markov traces on the Birman-Wenzl-Murakami algebras
我们通过Birman-Wenzl-Murakami（BMW）代数对Markov迹进行了分类。为此目的，我们定义了一个共同的“覆盖”的两个变化的宝马代数起源于量子正交/辛对偶，这是负责所谓的“杜布罗夫尼克”变化的考夫曼多项式。对于BMW代数的定义参数的一般值，这个覆盖同构于BMW代数本身，并且这个事实在一般情况下为它提供了一个更短的定义关系。然而，对于特定的1维特殊值族，它是BMW-代数的非平凡中心扩张，它诱导Temperley-Lieb代数的中心扩张。在这个一维族中，正好有两个值提供了可能的额外Q值马尔可夫迹。我们描述了这两个潜在的痕迹（扩展）Temperley-Lieb子代数。虽然我们只猜想其中之一的存在，我们证明了存在的其他通过引入一个中心扩展的Iwahori-Hecke代数在q=-1的任意Coxeter系统，并通过证明，这个扩展确实承认一个异国情调的马尔可夫迹。这些结构提供了几个自然的非零Hochschild上同调类这些经典代数。
2014-07-20 math.GT math.QA math.RT
The representation theory of cyclotomic BMW algebras
本文继续了徐瑞在\cite{RX}中关于分圆Birman-Wenzl代数$\W_{r, n}$的工作。特别地，我们利用\cite{GL}中胞腔代数的表示论对所有正整数的不可约$\W_{r, n}$ -模$r$和$n$进行了分类.通过对$\W_{r, n}$的所有胞元模块构造胞元滤子，计算出与$\W_{r, n} $的所有胞元模块相关的判别式.通过这样的判别式，结合第5节中给出的归纳函子和限制函子，我们明确地确定了域上$\W_{r, n}$半单的条件.这推广了我们以前在\cite{RS1}中关于Birman-Wenzl代数的结果.
2008-07-25 math.QA math.RT
An algebra-level version of a link-polynomial identity of Lickorish
我们建立了Birman-Murakami-Wenzl代数的某些特殊化与Temperley-Lieb代数的对称平方之间的同构。这些同构意味着一个链接多项式单位元由于W。B. R.利科里什作为应用，我们计算了这些特殊的BMW代数上的不可约辫群表示因式分解的闭象。
2006-05-16 math.QA
Bubbles in the affine Brauer and Kauffman categories
University of Ottawa（渥太华大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；Perimeter Institute for Theoretical Physics（理论物理前沿研究所）
本文提出了一种生成函数方法，用于研究仿射Brauer和Kauffman范畴，通过该方法高效恢复重要关系并推导范畴作用的限制，同时恢复了循环BMW代数及其退化版本的可接受结果。
2025-08-28 math.QA math.RT
Quantum doubles of Fock type and bosonization
我们引入类似物的创建和湮灭运营商，有关对合和Hecke对称R，并执行玻色子和费米子实现的修改反射方程代数在所谓的量子双Fock型。此外，我们还引入了Fock型量子偶，它与来自正交或单量子群的Birman-Murakami-Wenzl对称性有关，并给出了通过相应的玻色化（费米子化）得到的代数。此外，我们将此方案应用到当前的辫子所产生的Hecke对称R通过的简化程序。
2022-12-24 math.QA
Orthogonal and Symplectic Quantum Matrix Algebras and Cayley-Hamilton Theorem for them
对于正交型和辛型量子矩阵（QM-）代数族，我们导出了相应的Cayley-Hamilton定理。对于更广泛的Birman-Murakami-Wenzl型QM-代数，我们研究了它的特征子代数（特征多项式的系数取值的子代数）的结构.定义了特征子代数的3组生成元，并导出了它们之间的递归Newton关系和Wronski关系。对于正交型QM-代数族，得到了特征子代数的生成元的附加互反关系。
2005-11-25 math.QA
Recoupling theory for quantum spinors
本文推广了Birman-Wenzl范畴，引入了一个旋量表示，发展了Cvitanovic的再耦合理论。特别地，这给出了自旋网络的色估计的q-模拟。的再耦合理论的发展到评估的Q-类似物的Fierz系数。
2010-07-15 math.QA math.RT
The cyclotomic BMW algebra associated with the two string type B braid group
R. Haring-Oldenburg是Ariki-Koike的分圆Hecke代数的扩张，就像BMW代数是A型Hecke代数的扩张一样。本文主要研究n=2的情形，给出了B_2^k的一个基，并构造了它的左正则表示.
2010-10-07 math.QA math.RT
A Temperley-Lieb analogue for the BMW algebra
Temperley-Lieb代数可以被认为是A型Hecke代数的商，作用在张量空间上，作为量子sl（2）在二维不可约模的n次张量幂幂上的通常作用的交换子。我们定义并研究了Birman-Wenzl-Murakami代数的商，它对量子sl（2）的三维表示起着类似的作用。在讨论的过程中，我们证明了一些关于胞腔代数的根的一般性结果，这些结果可能是独立有趣的。
2008-06-04 math.QA math.RT
Symmetrizers and antisymmetrizers for the BMW algebra
设$n\in\mathds{N}$和$B_n(r,q)$是关于不定式$r$和$q$的一般Birman-Murakami-Wenzl代数.已知$B_n(r,q)$具有由$B_n(r,q)$的被称为$B_n(r,q)$的对称化子和反对称化子的两个中心元素生成的两个不同的线性表示。这些结果为$n\geq 3$生成了$B_n(r,q)$的唯一一维双边理想，并推广了$A$型Hecke代数的相应概念.本文的主要结果明确地确定了这些元素的系数相对于$B_n(r,q)$的图形基础。
2012-07-18 math.QA math.RT
BMW algebra, quantized coordinate algebra and type C Schur--Weyl duality
我们证明了特殊的Birman-Murakami-Wenzl代数$B_n(-q^{2m+1},q)$和与辛李代数sp_{2m}相关的量子代数之间的Schur-Weyl对偶的一个完整版本。特别地，我们推导出这种Schur-Weyl对偶在任意（交换）基环上成立，这回答了Lehrer和Zhang [Strongly multiplicity自由模for李代数and量子群，J. Algebra（1）306（2006），138- 174]在辛情形下的一个问题。作为一个副产品，我们表明，作为$Z[q,q^{-1}]$ -代数，量化坐标代数定义的Kashiwara是同构的量化坐标代数所产生的广义Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan的建设。
2009-11-17 math.QA math.RT
Dubrovnik Skein Theory and Power Sum Elements
在这项工作中，我们从考夫曼括号和HOMFLYPT绞理论推广到考夫曼（杜布罗夫尼克）绞理论的一些结果。给出了环域$\mathcal{D}(A)$的Dubrovnik绞代数中“幂和”型元素$\widetilde{P}_k$的定义.这些元素推广了在研究Kauffman括号串代数时经常使用的切比雪夫多项式。线程的$\widetilde{P}_k$被用作发电机在介绍杜布罗夫尼克绞代数的环面$\mathcal{D}(T^2)$，在那里他们被证明是满足简单的关系。这种对$\mathcal{D}(T^2)$的描述是用来描述这个代数在实心环面的绞链模上的自然作用的。证明了正交和辛李群的泛特征环对应于绞代数$\mathcal{D}(A)$，使得B、C或D型Schur函数对应于Birman-Murakami-Wenzl代数$BMW_n$的极小幂等元的环闭包$\widetilde{Q}_λ$.我们还记录了一些杂项应用的$\widetilde{P}_k$，如宝马对称化器$\widetilde{Q}_{(n)}$和Jucys-Murphy元素的$BMW_n$的中心元素的表达式的环形封闭的交换关系。
2021-06-22 math.QA
Hecke algebras, modular categories and 3-manifolds quantum invariants
我们从Hecke代数在单位根上构造模范畴。对于框架参数的特殊选择，我们恢复了由Reshetikhin-Turaev和Turaev-Wenzl的量子群U_q sl（N）和Yokota的skein理论构造的闭三维流形的Reshetikhin-Turaev不变量.然后我们讨论框架参数的选择。对于任意秩N和水平K，这导致一个模范畴\tilde H^{N，K}和一个约化不变量\tilde τ_{N，K}。如果N和K互质，那么这个不变量与已知的PSU（N）不变量在水平K上一致。若gcd（N，K）=d>1，则证明了约化不变量允许自旋加细或上同调加细，并给出了一个很好的分解公式，推广了H.村上
1998-03-24 math.GT math.QA
Affine and degenerate affine BMW algebras: Actions on tensor space
仿射和退化仿射Birman-Murakami-Wenzl（BMW）代数分别在正交和辛量子群和李代数的Schur-Weyl对偶的背景下自然产生。分圆BMW代数、仿射Hecke代数和分圆Hecke代数以及它们的退化形式都是等价的。本文通过定义张量空间上的仿射辫群和退化仿射辫子代数的作用，并证明在重要的情况下，这些作用诱导仿射和退化仿射BMW代数的作用，解释了仿射和退化仿射BMW代数是tantalizers（张量幂中心化代数）.然后，我们利用连接到量子群和李代数，以确定通用参数的仿射和退化仿射宝马代数。最后，我们证明了泛参数是正交和辛包络代数和量子群的中心元--高阶Casimir元。
2012-05-09 math.QA math.RA math.RT
On the $U_{q}(osp(1|2n))$ and $U_{-q}(so(2n+1))$ Uncoloured Quantum Link Invariants
设$L$是一个链，$Φ^{A}_{L}(q)$是它的链不变量，它与量子（超）代数$U_{q}(A)$的向量表示有关.令$F_{L}(r,s)$是与Birman-Wenzl-Murakami代数$BWM_{f}(r,s)$相关联的$L$的Kauffman链接不变量，其中$r$和$s$是复参数，并且$f$是足够大的秩。对于一个任意的链接$L$，我们表明，$Φ^{osp(1|2n)}_{L}(q) = F_{L}(-q^{2n},q)$和$Φ^{so(2n+1)}_{L}(-q) = F_{L}(q^{2n},-q)$为每个正整数$n$和所有足够大的$f$，和$Φ^{osp(1|2n)}_{L}(q)$和$Φ^{so(2n+1)}_{L}(-q)$是相同的变量替换。对于至少一类链路，$F_{L}(-r,-s) = F_{L}(r,s)$意味着这些链路的$Φ^{osp(1|2n)}_{L}(q) = Φ^{so(2n+1)}_{L}(-q)$。
2009-01-21 math.GT math.QA
Algebraic approach to q-deformed supersymmetric variants of the Hubbard model with pair hoppings
我们构造了两个量子自旋链哈密顿量，|1）不变性。这些自旋链定义了哈伯德模型的变体，并描述了具有对跳跃的电子模型。一个三次代数，它允许Birman-Wenzl-Murakami代数作为一个商，允许周期链的精确可解。分别用U_q（sl（2））的区别基和费米子基构造了两个哈密顿量|（1）不同之处仅在于边界条件。它们实际上是等价的，但这种等价是非局部的。通过求解反射方程，得到了具有非平凡边界条件的开链上的精确可解性。得到了sl（2）的量子包络代数的中心和Scasimirs| 1）出现作为工具的建设完全可解的哈密顿量。
1998-01-16 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Tutte chromatic identities from the Temperley-Lieb algebra
本文在量子拓扑学及其代数的背景下，提出了一个分析可平面图的色多项式χ（Q）之间关系的概念框架.利用它，我们给出了新的证明，并大大推广了有关色多项式的组合数学的一些经典结果。特别是，我们表明，Tutte的黄金身份是一个后果的水平秩对偶的SO（N）拓扑量子场论和Birman-Murakami-Wenzl代数。这个恒等式是色多项式的一个显著特征，它将球面的任意三角剖分的χ（{χ +2}）与同一图的（χ（{χ +1}））^2联系起来，其中χ表示黄金分割率。本文提出的新观点解释了Tutte恒等式对于参数Q的这些值是特殊的。分析色多项式的这些性质的自然背景由{ \em色代数}提供，其马尔可夫迹是关联图的色多项式。我们用它来说明Tutte的另一个身份的色多项式在Q= 10 + 1来自一个Jones-Wenzl投影在Temperley-Lieb代数。我们将这个恒等式推广到每个值Q= 2+2 \cos（2πj/（n+1）），其中j< n正整数。当j=1时，这些Q是Beraha数，Tutte证明了这种恒等式的存在性。我们提出了这个序列的色多项式关系的递归公式。
2008-07-19 cond-mat.stat-mech math.CO math.GT
Quantum Matrix Algebras of BMW type: Structure of the Characteristic Subalgebra
量子矩阵（QM-）代数的概念推广和统一了量子群理论中两类著名的代数：RTT-代数和反射方程（RE-）代数。由“量子”矩阵$M$的分量生成的这些代数具有某些类似于普通矩阵理论的结构定理的性质。事实证明，这样的结构结果是自然地在一个更一般的框架的QM-代数。本文考虑一类Birman-Murakami-Wenzl（BMW）型QM-代数。这些代数是用BMW代数的R-矩阵表示定义的。这类代数的特定系列包括正交和辛类型RTT-和RE-代数，以及它们的超伙伴。对于一类BMW型QM-代数，我们研究了其特征子代数的结构，即特征多项式系数取值的子代数。我们定义了特征子代数的三组生成元，并导出了它们之间的递归牛顿关系和Wronski关系。我们还定义了QM-代数的生成元矩阵$M$的结合$\star$ -积，它是经典矩阵乘法的适当推广。本文确定了量子矩阵$M$的所有“后代”矩阵的集合，并证明了该集合在BMW型下的$\star$ -交换性.
2019-10-18 math-ph math.MP math.QA
Deformations of quadratic algebras and the corresponding quantum semigroups
设$V$是一个有限维向量空间。给定分解$V\otimes V=\oplus_i^n I_i$，定义$n$二次代数$(V, J_m)$，其中$J_m=\oplus_{i\neq m} I_i$。这个分解也定义了作用在所有这些二次代数上的量子半群$M(V;I_1,...,I_n)$。通过分解，我们关联了一族结合代数$A_k=A_k(I_1,...I_n)$，$k\geq 2$ .在经典情形下，当$V\otimes V$分解为对称张量和反对称张量时，$A_k$与对称群$S_k$的群代数一致。令$I_{ih}$是子空间$I_i$的变形。本文给出了二次代数$(V[[h]],J_{ih}$和量子半群$M(V[[h]];I_{1h},...,I_{nh})$的相应变形的平坦性的一个判据。它说，如果代数$A_k(I_1,...,I_n)$是半单的，并且在变形下它们的维数不变，则变形将是平坦的。通常，分解成$I_i$由$V\otimes V$上的给定杨-巴克斯特算子$S$定义，其中$I_i$是其特征子空间，并且变形$I_{ih}$由$S$的变形$S_h$定义。我们考虑$S_h$是Hecke或Birman-Wenzl对称的变形的情况，以及$S_h$是由Drinfeld-Jimbo量子群的表示出现的Yang-Baxter算子的情况。应用平坦性准则，我们证明了在所有这些情况下，我们得到了二次代数和相应的量…
1995-05-16 math.QA q-alg
Lectures on Quantum Groups and Yang-Baxter Equations
本文从物理对称性形变的视角回顾量子群理论，以R-matrix方法为基础介绍经典Lie群与超群的量子化，详细探讨Hecke与BMW代数的R-matrices、Yang-Baxter方程的各类解及表示理论，并简述其在理论物理中的应用。
2023-08-01 hep-th math-ph math.MP
