Algebraic methods in random matrices and enumerative geometry
回顾了近年来提出的求解矩阵模型回路方程的辛不变量方法，并将其扩展到矩阵模型之外。对于任何给定的谱曲线，我们定义了一个微分形式序列和一个复数序列Fg。我们回顾定义的不变量Fg，我们解释他们的主要性质，特别是辛不变性，可积性，模块化，.然后，我们给出几个应用的例子，特别是矩阵模型，离散表面（地图），代数几何和拓扑字符串，不相交的布朗运动，枚举。
2008-11-21 hep-th math-ph math.MP
Large n limit of Gaussian random matrices with external source, part I
本文考虑了定义在$n\times n$厄米矩阵上的具有外部源\[ \frac{1}{Z_n} e^{-n \Tr({1/2}M^2 -AM)} dM \]的随机矩阵系综，其中$A$是一个对角矩阵，它只有两个等重的特征值$\pm a$.对于$a > 1$情形，我们建立了局部特征值相关在极限$n \to \infty$中的普遍行为，这是从酉不变随机矩阵模型中已知的。因此，局部特征值相关性表示的正弦内核在散装和艾里内核在频谱的边缘。利用$3 \times 3$ -矩阵Riemann-Hilbert问题对相关的多重Hermite多项式进行了刻画，并利用Deift/Zhou最速下降法分析了$n$大极限下的Riemann-Hilbert问题.
2004-02-20 math-ph math.MP
Spinorial R operator and Algebraic Bethe Ansatz
本文提出了一种新的求具有正交辛对称性的旋量-旋量R-矩阵的方法。基于这种方法和融合方法，我们联系了量子自旋链的旋量-矢量和矢量-矢量单值矩阵。我们考虑了低秩正交代数的显旋量R矩阵和相应的RTT代数。与基本R矩阵的重合允许与旋量和向量单值矩阵的代数贝特Anchor。
2019-11-19 hep-th math-ph math.MP
Deformations of modified $r$-matrices and cohomologies of related algebraic structures
本文引入修正 $r$-矩阵的上同调理论，利用其研究代数、几何和线性形变，给出控制代数形变的微分分次李代数，证明几何形变刚性定理，并应用于对角李代数补集与相容 Poisson 结构的形变研究。
2023-08-30 math-ph math.MP math.RA
Auxiliary matrices for the six-vertex model and the algebraic Bethe ansatz
我们连接解决可积模型，巴克斯特的方法的辅助矩阵（或Q-运营商）和代数Bethe anasteries的两个替代概念。计算的主要步骤是在一个一般的设置和Bethe本征值的Q-算子的公式推导。一个证明的国家，其中包含多达三个贝特根。进一步的证据是通过将研究结果与六顶点融合层次结构相关联来提供的。对于XXZ自旋链，我们分析的情况下，基本的量子群的变形参数的评估都在和远离一个根的单位。
2004-04-10 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Asymptotic correlations for Gaussian and Wishart matrices with external source
我们考虑高斯（Hermite）和Wishart（Laguerre）$N\times N$厄米矩阵的系综。我们研究的效果有限秩扰动这些合奏的源项。扰动的秩$r$对应于源矩阵的非零特征值的数目。在扰动系综中，关联函数可以写成核函数。我们发现，对于所有的$N$，扰动和未扰动的内核之间的差异是一个退化的内核大小$r$依赖于多个厄米或拉盖尔函数。我们还计算渐近公式的多个Laguerre函数内核的条款多个贝塞尔（分别。Airy）函数。这导致了大的$N$限制硬核（分别为：软）的扰动拉盖尔系综的频谱边缘。在Hermite情况下也得到了类似的结果。
2006-07-04 math-ph math.MP
Universality for random matrices with equi-spaced external source: a case study of a biorthogonal ensemble
证明了具有等间距外源的随机埃尔米特矩阵的边和体普适性。我们的方法的一个特点是，我们既不使用Christoffel-Darboux型公式，也不使用双轮廓公式，这是标准的方法来证明普适性结果的精确可解模型。该矩阵模型是双正交系综的一个例子，双正交系综是一种特殊的行列式点过程，其核通常不具有Christoffel-Darboux型公式或双围线表示。我们的方法可以展示如何处理一般的双正交系综的普遍性问题。
2022-06-01 math-ph math.MP math.PR
Algebraic and geometric structures inside the Birkhoff polytope
Birkhoff多面体$\mathcal{B}_d$由$d$阶的所有双随机矩阵组成，帮助来自许多领域的研究人员，包括组合数学，统计物理和量子信息。它的单随机矩阵子集$\mathcal{U}_d$由酉矩阵的平方模决定，对于量子理论具有特别重要的意义，因为由单随机转移矩阵描述的经典动力学系统可以被量子化。为了研究单随机性的问题，我们引入了手镯矩阵的集合$\mathcal{L}_d$，它形成了$\mathcal{B}_d$的子集，但是是$\mathcal{U}_d$的超集。我们证明了，对于每一个维度$d$这个集合包含的可分解的双随机矩阵$\mathcal{F}_d$的集合，并关闭下矩阵乘元素的$\mathcal{F}_d$。证明了$\mathcal{L}_d$和$\mathcal{F}_d$关于平坦矩阵都是星形的.我们还分析了由循环酉矩阵产生的$d\times d$单随机矩阵的集合，证明了它们的谱位于复平面上的$d$ -内摆线内.最后，将我们的结果应用到小维情形，我们完全证明了$d\leq 4$阶循环单随机矩阵的集合，并证明了这样的矩阵构成$d=3$的幺半群。
2021-01-27 math-ph math.MP quant-ph
Large $n$ limit of Gaussian random matrices with external source, part II
我们继续研究了具有外部源$\frac{1}{Z_n} e^{-n \Tr({1/2}M^2 -AM)} dM$的厄米特随机矩阵系综，其中$A$具有两个不同的等重本征值$\pm a$。该模型表现出$a=1$值的相变，因为$M$的本征值对于$a > 1$在两个间隔上累积，对于$0 < a < 1$在一个间隔上累积。第一部分讨论了$a > 1$的情形，证明了局部特征值相关具有酉不变随机矩阵的普遍极限行为，即极限特征值相关在谱的大部分用正弦核表示，在谱的边缘用Airy核表示.本文对$0 < a < 1$建立了同样的结果。在第一部分中，我们应用Deift/Zhou最速下降分析的$3 \times 3$ -矩阵Riemann-Hilbert问题。由于基础黎曼曲面的不同结构，分析包括涉及透镜的全局开口的额外步骤，这是Riemann-Hilbert问题的最速下降分析中的新现象。
2004-08-25 math-ph math.MP
Universality of local eigenvalue statistics in random matrices with external source
考虑$W_n = M_n + D_n$形式的随机矩阵，其中$M_n$是维格纳矩阵，$D_n$是实确定性对角矩阵（$D_n$在数学物理文献中通常被称为外部源）。研究了$W_n$局部特征值统计量对一般Wigner矩阵$M_n$和对角矩阵$D_n$的普适性.不像最近许多关于普适性的结果的设定，这个模型的整体循环定律失败了。然而，我们仍然可以得到通用的正弦核公式的相关函数。这表明了一个值得注意的现象，即地方法律比全球法律更有弹性。的普遍性的相关函数如下从四矩定理，我们证明使用的方法的一个变种，以前使用的陶和武。
2014-03-18 math-ph math.MP math.PR
Random matrices with equispaced external source
研究了具有等间距特征值的外部源矩阵的Hermitian随机矩阵模型，以及当维数趋于无穷大时特征值的极限平均密度在单个区间上的外场模型.我们获得强渐近的多个正交多项式与这些模型，并作为平均特征多项式的结果。本文分析的多重正交多项式的一个特点是多项式的正交权的数目随次数的增加而增加。然而，我们能够刻画他们在一对2 × 1向量值的黎曼-希尔伯特问题，并进行渐近分析的黎曼-希尔伯特问题。
2013-06-24 math-ph math.CA math.MP
Random super matrices with an external source
在过去，我们已经考虑了高斯随机矩阵合奏中存在的外部矩阵源。其原因是，它允许，通过适当的调整的特征值的来源，以获得非平凡的对偶模型，如Kontsevich的艾里矩阵模型和推广的结果。该技术依赖于对任意N（矩阵的大小）的k点函数的显式计算和N-k对偶。利用这一技巧，得到了关于曲线的模空间的交数的许多结果。为了推广这些结果，包括表面的边界，我们已经将这些技术扩展到超矩阵。我们再次得到了k点函数的显式表达式以及对偶性。虽然超矩阵模型先验导致相同的矩阵模型的二维重力，在本文中考虑的外部源扩展导致新的几何结果。
2018-05-11 hep-th math-ph math.AG
On cubic Hodge integrals and random matrices
研究了稳定代数曲线模空间上偶耦合的GUE配分函数与某些特殊的三次Hodge积分之间的关系。
2016-06-12 math-ph math.AG math.MP
Drinfel'd Twists and Algebraic Bethe Ansatz
我们研究表示理论的Drinfel的扭曲，在我们所谓的F矩阵，与有限维不可约模块的量子仿射代数，并因式分解相应的（酉）R矩阵。我们明确地构造这样的因式分解F矩阵的量子仿射代数SL 2及其相关的杨代数的基本表示的不可约张量积。然后，我们将这些结构应用到有限长度的XXX和XXZ量子自旋链的代数Bethe Anastrophe的框架。
1996-12-10 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Spectra of Random Hermitian Matrices with a Small-Rank External Source: The critical and near-critical regimes
随机厄米矩阵被用来模拟复杂的系统没有时间反演不变性。向模型中添加外部源可以具有移动一些矩阵本征值的效果，这对应于移动物理系统的一些能级。我们考虑的情况下，当$n\times n$外部源矩阵有两个不同的实特征值：$a$与重数$r$和零与重数$n-r$。对于高斯势，Péché \cite{Peche:2006}证明，当$r$固定或随着$n$（小秩源）增长足够慢时，对于足够大的$|a|$，$r$本征值预计将退出主体。此外，在$a$的临界值处，当异常值位于带的边缘时，边缘处的特征值由$r$ -Airy核描述。我们建立了$r$ -Airy核对于一般的解析势类的普适性，对于$0\leqγ<1/12$的$r=\mathcal{O}(n^γ)$.
2010-11-23 math-ph math.CA math.MP
Truncated determinants and the refined enumeration of Alternating Sign Matrices and Descending Plane Partitions
讲座笔记为研讨会的议事录“代数组合学相关的杨图和统计物理”，2012年8月6日至10日，I.I.A.S.，日本奈良。
2012-12-12 math-ph math.CO math.MP
Algebraic aspects of the correlation functions of the integrable higher-spin XXZ spin chains with arbitrary entries
本文讨论了XXZ自旋链的一些基本性质，这些性质在自旋S XXZ关联函数的多重积分表示与初等矩阵的任意乘积的代数Bethe-anomaly推导中是重要的.例如，我们构造了无质量体系中的厄米共轭矢量，并引入了自旋-s厄米基本矩阵。
2010-05-06 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Random matrices with external source and multiple orthogonal polynomials
我们证明了随机厄米矩阵系综Z_n^{-1} \exp（-Tr（V（M）-AM））dM的平均特征多项式P_n（z）= E [ \det（zI-M）]由依赖于外部源A的特征值的多个正交性条件所表征.对于A的每个特征值a_j，都有一个权，P_n关于这个权有n_j个正交条件，如果n_j是a_j的重数，则特征值关联函数具有行列式形式，如Zinn-Justin所示.在这里，我们给内核一个不同的表达式。在A有两个不同的特征值的情况下，我们得到了一个Christoffel-Darboux公式，从而得到了一个由多个正交多项式满足的Riemann-Hilbert问题的紧致公式.
2003-07-28 hep-th math-ph math.CA
Matrix Moments in a Real, Doubly Correlated Algebraic Generalization of the Wishart Model
随着各种类型复杂系统数据量的增长，随机协方差或相关矩阵的Wishart模型继续得到越来越多的应用。重尾经常遇到Wishart模型的即时推广，涉及代数分布而不是高斯分布。数学性质提出了新的挑战，特别是双重相关的版本。在这里，我们研究这样一个双相关的代数模型的真正的协方差或相关矩阵。我们重点讨论了矩阵矩，并明确计算了第一和第二个，后者的计算是不平凡的。我们解决了这个问题，通过将其与Aomoto积分和通过扩展递归技术来计算Ingham-Siegel积分。我们比较我们的结果与高斯的情况。
2020-11-15 cond-mat.dis-nn math-ph math.MP
Product vectors in the ranges of multi-partite states with positive partial transposes and permanents of matrices
在本文中，我们考虑一个系统的齐次代数方程组的复变量及其共轭，这自然产生的范围判据的分离的PPT状态。我们系统地研究了这些方程，得到了非平凡解存在的充分条件。这给出了PPT纠缠边缘态及其部分转置的秩的可能上界。我们将集中讨论多方情况，这比双方情况要微妙得多。在讨论中，我们使用了矩阵积和的概念以及代数几何中的技巧。
2015-06-01 math-ph math.MP quant-ph
Large n limit of Gaussian random matrices with external source, Part III: Double scaling limit
本文研究了在$n\times n$ Hermitian矩阵上定义一个外部源$\frac{1}{Z_n} e^{-n \Tr({1/2}M^2 -AM)} dM$的随机矩阵系综中的双标度极限，其中$A$是一个对角矩阵，具有两个相等重数的特征值$\pm a$.值$a=1$是关键的，因为$M$的特征值在两个间隔上对于$a > 1$累积为$n \to \infty$，在一个间隔上对于$0 < a < 1$累积为$n \to \infty$。这两种情况在第一部分和第二部分中进行了处理，在那里我们证明了局部特征值相关具有从酉随机矩阵系综已知的普遍极限行为。对于临界情况$a=1$新的极限行为发生，这是描述的皮尔西积分，如所示的布雷津和Hikami，特雷西和Widom。我们建立了这个结果，通过应用Deift/周最速下降法的$3 \times 3$ -矩阵值的Riemann-Hilbert问题，其中涉及建设的一个局部参数的Pearcey积分。我们解决的主要技术问题，匹配的局部Pearcey参数与全球外部参数通过修改一个基本的黎曼曲面。
2006-02-28 math-ph math.MP math.PR
Algebraic properties of Manin matrices 1
本文研究了一类非交换元矩阵，这类矩阵是由俞敏洪首先考虑的。I. Manin在1988年与量子群理论的关系。它们被定义为多项式代数的“非交换自同态”。更明确地说，它们的定义条件是：1）同一列中的元素可交换; 2）交叉项的因子相等：$[M_{ij}, M_{kl}] = [M_{kj}, M_{il}]$（例如$[M_{11},M_{22}] = [M_{21},M_{12}]$）。其基本主张是，尽管存在非交换性，但线性代数的许多定理对Manin矩阵以与交换情形相同的形式成立。此外，在某些示例中，相反的情况也是如此。本文给出了一个完整的列表和详细的证明代数性质的马宁矩阵已知的时刻，其中许多是新的。特别是，我们提出的配方中的矩阵（列宁格勒）符号;提供完整的证明，逆M. M。又是一个M。对于分块矩阵行列式的Schur公式，我们推广了最近发现的非交换Cauchy-比内公式[arXiv：0809.3516]，其中包括经典的Capelli恒等式和相关恒等式.本文还讨论了逆矩阵的Cramer公式、Cayley-Hamilton定理、Newton恒等式和MacMahon-Wronski恒等式、Plucker关系、Sylvester定理、Lagrange-Desnanot-Lewis公式、Weinstein-Aronszajn公式、行列式的乘法性质、与拟行列式的关系、用Gauss分解计算行列式、第二个…
2009-01-02 math-ph math.MP math.QA
Large n-limit for Random matrices with External Source with 3 eigenvalues
本文分析了具有三个不同特征值的外源随机矩阵的大n-极限。我们把我们自己限制在Hermite的情况下，三个不同的特征值是$-a,0,a$。对于$a^2>3$情形，我们建立了局部特征值相关在极限$n\rightarrow \infty$中的普遍行为，这是从酉不变随机矩阵模型中已知的。因此，局部特征值相关性表示的正弦内核在散装和艾里内核在频谱的边缘。通过对$4\times 4$ Riemann-Hilbert问题的非线性最速下降法分析，得到了该问题的解。
2015-08-30 math-ph math.CA math.MP
Large N asymptotics of orthogonal polynomials, from integrability to algebraic geometry
在这个简短的讲座中，我们计算正交多项式的渐近，从鞍点近似。这是一个计算的例子，它显示了可积性，代数几何和随机矩阵之间的联系。
2005-03-22 hep-th math-ph math.MP
The Generalized Lipkin-Meshkov-Glick Model and the Modified Algebraic Bethe Ansatz
我们证明了Lipkin-Meshkov-Glick $2N$ -费米子模型是外磁场中单自旋Gaudin型模型的一个特例，对应于非斜对称椭圆$r$ -矩阵的极限情况和外磁场沿一个轴的方向.基于Gaudin型模型，我们提出了一个精确可解的Lipkin-Meshkov-Glick费米子模型的推广，该模型对应于相同的$r$ -矩阵和任意的外部磁场.这个模型与经典的Zhukovsky-Volterra陀螺仪的量子化相吻合。我们对角化相应的量子哈密顿量的修改的代数Bethe矩阵的手段。对于小费米子数$N=1,2$的情形，我们显式地求解了相应的Bethe-type方程.
2022-10-10 hep-th math-ph math.MP
Derivation of Matrix Product Ansatz for the Heisenberg Chain from Algebraic Bethe Ansatz
我们利用代数Bethe变换导出了XXX和XXZ自旋为1/2的海森堡链的Bethe变换态的矩阵积表示。在这种表示中，贝特本征态的分量被表示为作用于辅助空间的张量积${\bar {\mathscr H}}$的矩阵的乘积的迹。通过改变${\bar {\mathscr H}}$中的基，我们得到了矩阵的显式有限维表示。这些矩阵与最近由Alcaraz和Lazo [Alcaraz F C和Lazo M J 2006 { \it J. Phys. A：Math. Gen.} \textbf{39} 11335.]除了标准化因素。我们还讨论了Bethe本征态的矩阵乘积表示与具有畴壁边界条件的六顶点模型[Korepin V E 1982 { \it Commun.数学物理}，\textbf{86} 391.]并表明基的改变对应于从六顶点模型到五顶点模型的映射。
2010-04-27 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
