Sign-balance of random Laplace eigenfunctions
Monash University（莫纳什大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文提出了一种强意义下的符号平衡概念，证明了在特定尺度以上，随机特征函数在概率意义上具有符号平衡性，且该尺度最优至多与能量的对数有关，涵盖了随机球面谐波和更一般的光滑黎曼流形上的带限随机波。
2026-05-21 math-ph math.MP math.PR
On the nodal lines of random and deterministic Laplace eigenfunctions
在本调查中，我们提出了一些最近的结果，关于随机高斯本征函数（在谱简并的情况下）或波包和相关问题的节线的几何形状。最基本的例子是球面，其中谱简并允许我们考虑随机本征函数（即赋予本征空间高斯概率测度），而相应的本征空间是球谐函数的空间;该模型是本综述的主要焦点。所列的成果清单绝不是完整的。
2011-03-01 math-ph math.MP math.PR
Local Weak Limits of Laplace Eigenfunctions
本文引入了Laplace本征函数在半经典极限下收敛的一个新概念--局部弱收敛。这使我们能够给出一个严格的声明贝里的随机波猜想。利用Bourgain，Buckley和Wigman的最新结果，我们将证明$\mathbb{T}^2$上某些确定性的本征函数族满足随机波猜想的结论.我们还证明了在任意区域上，拉普拉斯本征函数序列总是存在局部弱极限。我们解释了为什么这些局部弱极限可以是一个强大的工具来研究节点域的渐近数。
2020-11-05 math-ph math.AP math.MP
CLT for Planck scale mass distribution of toral Laplace eigenfunctions
本文研究了二维和三维情况下，环拉氏本征函数随随机位置的精细尺度$L^2$ -质量分布。在2D中，在某些平坦性假设的傅里叶系数和一般的限制，能量水平，无论是渐近形状的方差确定和限制高斯定律建立，在最佳普朗克尺度制度。在3D的渐近行为的方差分析在一个更严格的情况下（“布尔甘的特征函数”）。除了上述精确结果外，在对傅里叶系数作更一般的平坦性假设的情况下，还证明了方差的上下上界。
2019-02-11 math-ph math.MP math.NT
Some applications of heat flow to Laplace eigenfunctions
研究光滑闭黎曼流形上Laplace本征函数$φ_λ$，即满足方程$-Δφ_λ= λφ_λ$的光滑函数的质量集中性质.使用热扩散技术，我们首先讨论质量浓度/本地化特性的本征函数周围的节点集。其次，我们讨论了避免交叉和（不）存在的节点域，继续薄在相对较长的距离的问题。此外，使用上述技术，我们讨论了欧几里得整环上的拉普拉斯本征函数的衰减，其中有一个中心的“厚”的部分和“薄”的细长分支代表隧道的亚波长开口。最后，在附录中，我们记录了一些关于本征函数的子水平集和不同水平集的相互作用的新观察。
2021-09-02 math-ph math.AP math.DG
The asymptotics of an eigenfunction-correlation determinant for Dirac-$δ$ perturbations (Anderson's Orthogonality Catastrophe for Dirac-$δ$)
本文证明了Dirac- $δ$扰动的Anderson随机突变的精确渐近性。我们证明了在热力学极限下，两个非相互作用的费米气体被限制在一个半径为$L$的$3$ -维球$B_L$中的基态标量积的精确渐近性，其中基础的单粒子算符相差一个Dirac- $δ$微扰.更准确地说，我们显示的相关行列式$\big|\det\big(\langleφ_j^L, ψ_k^L\rangle\big)_{j,k=1,...,N}\big|^2= L^{-ζ(E)+ \text{o}(1)}$的代数衰减，作为$N,L\to\infty$和$N/|B_L|\to~ ρ>0$，其中$φ_j^L$和$ψ_k^L$表示有限体积单粒子薛定谔算子的最低能量本征函数。衰减指数以s波散射相移$ζ(E):=δ^2(\sqrt E)/{π^2}$的形式给出。对于一个有吸引力的狄拉克- $δ$扰动，我们得出结论，在[GKMO 14]中发现的衰减指数$\frac 1 {π^2}\Vert\arcsin |T(E)/2|\Vert^2_{\text{HS}}$不提供相关行列式衰减的急剧上限。
2021-01-21 math-ph math.MP math.SP
A generalized expansion method for computing Laplace-Beltrami eigenfunctions on manifolds
Laplace-Beltrami算子的本征分解对于从物理学到数据科学的各种应用都是有用的。基于对黎曼流形上有限位势Schrodinger算子的松弛和特殊基上的投影，我们发展了一种计算光滑有界区域上Laplace-Beltrami算子本征值和本征函数的数值方法.我们证明了该方法的谱精确性，并提供了计算结果和应用的例子，特别是在流形上的量子台球。
2022-10-20 cs.NA math-ph math.MP
On the behavior of nodal lines near the boundary for Laplace eigenfunctions on the square
我们感兴趣的是狄利克雷边界条件对拉普拉斯本征函数的节长的影响。本文研究了二维正方形上随机高斯拉普拉斯本征函数，得到了任意边长大于普朗克尺度的正方形中节点长度的期望值沿密度为1的能级序列的两项渐近展开.该证明依赖于对小弧线中格点的新研究，并表明所述期望与正方形的位置无关，在靠近边界和远离边界的地方给出相同的渐近展开。
2021-04-27 math-ph math.MP math.NT
Planck-scale mass equidistribution of toral Laplace eigenfunctions
本文研究了二维平坦环面上拉普拉斯算子的本征函数的$L^2$ -质量的小尺度分布。给定本征函数的规范正交基，莱斯特和鲁德尼克证明了存在一个密度为1的子序列，其$L^2$质量或多或少地均匀分布到普朗克尺度。我们给出了一个更精确的版本，他们的结果显示equidistribution举行了一个小的权力以上的普朗克尺度的日志，也表明，$L^2$ -质量未能equidistribution在一个稍小的权力以上的普朗克尺度的日志。这篇文章依赖于一些关于圆上格点邻近性的结果，其中大部分是基于Javier Cilleruelo的基础工作。
2016-12-22 math-ph math.MP math.NT
Heat profile, level sets and hot spots of Laplace eigenfunctions
我们使用基于布朗运动和Feynman-Kac公式的概率工具来研究基态Dirichlet和第二Neumann本征函数的热分布。在其他主题中，我们评论的上确界范数边界的基态狄利克雷本征函数，并期待在相应的诺依曼问题，即内部和边界上的最高温度的比较，后者被部分动机的热点问题。我们还调查了接近/距离的水平集的基态狄利克雷本征函数，一些类似的声明诺依曼本征函数。具有瓶颈的领域偶尔会作为一个启发性的例子出现，也是我们理论的试验场。
2022-03-29 math-ph math.AP math.DG
High energy limits of Laplace-type and Dirac-type eigenfunctions and frame flows
我们与拉普拉斯型和狄拉克型运营商的高能量限制相应的流形上的帧流，并表明帧流的遍历性意味着量子遍历在适当的意义上，这些运营商。相应的量子系统的观测量是矩阵值伪微分算子，因此系统在高能极限下保持非交换。我们讨论在何种程度上的空间的固定的高能量状态的行为经典。
2006-07-25 math-ph math.DS math.MP
Generic Laplace eigenfunctions on metric graphs
我们知道，在一定的条件下，一个具有标准顶点条件的紧致度量图有一个Baire-脱殊集，它的边长度的选择使得所有的Laplacian特征值都是简单的，并且具有在顶点处不为零的特征函数.我们提供了一个新的概念，强genericity，使用subanalytic集，这意味着Baire genericity和充分的勒贝格测度。我们表明，以前的度量图的通用性结果是强通用的。此外，我们表明，一般的本征函数的导数不消失的顶点。事实上，我们证明，一般的特征函数不满足任何额外的顶点条件。最后，我们表明，任何两个不同的度量图具有相同的边长度不共享任何非零的特征值，为一个通用的长度选择，除了一些明确的情况下，图形有一个共同的边反射对称。本文的结论是解决三个开放的度量图，可以受益于本文介绍的工具。
2022-05-24 math-ph math.CO math.MP
Eigenfunction expansions for a fundamental solution of Laplace's equation on $\R^3$ in parabolic and elliptic cylinder coordinates
三维拉普拉斯方程的一个基本解被展开为在抛物或椭圆柱面坐标中分离的调和函数。在每种情况下都有两个展开式，它们简化为贝塞尔函数$J_0(kr)$或$K_0(kr)$、$r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$在抛物线和椭圆柱面谐波中的展开式。利用$K_0(kr)$是欧氏平面上偏微分方程的基本解和$J_0(kr)$是黎曼函数的事实。
2012-04-26 math-ph math.AP math.CA
Limiting Absorption Principle, Generalized Eigenfunctions and Scattering Matrix for Laplace Operators with Boundary conditions on Hypersurfaces
本文给出了紧致超曲面$Γ=\partialΩ$，$Ω\subset{\mathbb{R}}^{n}$上Laplace算子的自伴实现的极限吸收原理.对于任何这样的自伴算子，我们还提供了广义本征函数和散射矩阵，这两个对象都写在算子值外尔函数。我们利用一个Krein型公式，它提供了对应于超曲面上的自伴边界条件的算子与整个空间${\mathbb{R}}^{n}$上的自由拉普拉斯算子之间的预解式差。我们的结果适用于所有标准的边界条件的例子，如狄利克雷，诺依曼，罗宾，$δ$和$δ'$型，无论是分配在$Γ$或$Σ\subsetΓ$。
2017-01-25 math-ph math.AP math.MP
On the exponential decay of Laplacian eigenfunctions in planar domains with branches
本文考虑Laplace算子在平面区域中的本征值问题，该区域可分解为任意形状的有界区域和变截面的伸长的\branches“。当本征值小于一个给定的阈值时，相应的本征函数沿每个分支呈指数衰减。我们证明了Robin边界条件的这种行为，并通过数值计算的本征函数说明了一些相关的结果。
2013-02-28 math-ph math.MP
Trace and Observability Inequalities for Laplace Eigenfunctions on the Torus
本文研究d维环面上拉普拉斯特征函数关于任意Borel测度的迹不等式与可观测性不等式，基于测度可积性、正则性及支撑集维数给出充分与必要条件，将Zygmund和Bourgain–Rudnick经典结果推广到高维，并应用于量子极限约束与Schrödinger方程控制理论。
2025-07-22 math-ph math.AP math.CA
Orthogonality of Jack polynomials in superspace
杰克多项式在超空间中，正交的“组合”标量积，构造。他们被证明是符合杰克多项式在超空间，正交相对于一个“解析”的标量积，介绍了在hep-th/0209074作为本征函数的超对称量子力学多体问题。这篇文章的结果依赖于推广（包括一个额外的参数）的理论经典对称函数在超空间最近发展的数学。CO/0509408
2006-10-11 math-ph math.CO math.MP
On the number of nodal domains of toral eigenfunctions
本文研究了环面拉普拉斯本征函数节点域的个数。根据Nazarov-Sodin的随机场和Bourgain的去随机化过程的结果，我们建立了一个精确的“通用”本征函数的渐近结果。我们的主要结果，特别是暗示了一个最佳的下界的节点域的一般toral本征函数的数量。
2016-02-09 math-ph math.CA math.MP
The critical case for the concentration of eigenfunctions on singular Riemannian manifolds
本文研究带边界的奇异黎曼流形上Laplace-Beltrami算子特征函数的集中现象，在临界情形下证明其平均密度分布于所有长度尺度，并给出精确描述。
2025-10-27 math-ph math.AP math.MP
Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin planar domains
我们考虑拉普拉斯算子的Dirichlet边界条件的平面域和研究的效果，在一个方向上进行缩放的频谱。我们推导出本征值和相应的本征函数作为标度参数在零附近的函数的渐近展开。这种方法允许我们，例如，以获得一个近似的第一Dirichlet特征值的一大类平面域，在非常温和的假设。
2007-12-19 math-ph math.MP math.SP
The localization effect for eigenfunctions of the mixed boundary value problem in a thin cylinder with distorted ends
找到了直柱曲端上的一个简单的充分条件，它提供了Laplace算子的混合边值的主特征函数在侧边具有Dirichlet条件时的局部化.也就是说，本征函数集中在两端附近，并在内部呈指数衰减。在狄利克雷和诺依曼问题中也观察到类似的效果。
2009-10-08 math-ph math.MP math.SP
Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions
总结了有界欧几里得整环上Laplace算子在Dirichlet、Neumann或Robin边界条件下的特征值和特征函数的性质。我们将演示文稿保持在从数学到物理和计算机科学的各个学科的科学家可以访问的水平。主要的焦点是放在多个复杂的关系域的形状和本征函数的几何结构。
2013-02-08 math-ph math.AP math.MP
Approximate Normality of High-Energy Hyperspherical Eigenfunctions
Berry启发式是关于本征函数的高能量（即大本征值）行为的长期存在的\emph{ansatz}（参见Berry 1977）。粗略地说，它指出，在一些一般的边界条件下，这些本征函数表现出高斯行为时，本征值增长到无穷大。我们在本文中的目的是使这种说法定量，并建立一些严格的界限的距离高斯，重点是超球的情况下（即，对于Laplace-Beltrami算子在归一化的$d$维球面上的本征函数-也称为球谐函数）。还讨论了非高斯模型的一些应用。
2015-07-13 math-ph math.MP math.PR
Nodal deficiency of random spherical harmonics in presence of boundary
我们考虑一个随机高斯模型的拉普拉斯本征函数的半球满足Dirichlet边界条件沿赤道。对于这个模型，我们找到了一个精确的渐近律相应的零密度函数，在短期（边界附近）和长期（远离边界）制度。作为一个推论，我们能够找到一个对数负偏置的总节长的这个合奏相对于旋转不变模型的随机球谐函数。Jean Bourgain的研究，以及他对拉普拉斯本征函数的节点几何的热情方法，在该领域和当前趋势中产生了至关重要的影响。他在谱相关性方面的工作（Krishnapur，Kurlberg和Wigman（2013）中的定理2.2）以及与Bengeri的联合（Bourgain和Bengeri（2015））为正在进行的关于算术味道表面上定义的函数的节点长度的积极研究打开了一扇门，如环面或正方形。此外，Bourgain关于环面拉普拉斯本征函数的工作（Bourgain（2014）），也吸引了频谱相关性，允许从随机高斯对应物中推断确定性结果。
2020-11-03 math-ph math.MP math.PR
Arithmetic and equidistribution of measures on the sphere
受数学物理（量子混沌）问题的启发，几位作者研究了黎曼流形上拉普拉斯算子本征函数的等分布问题。我们认为在这里，在类比算术双曲曲面，规范正交基的拉普拉斯算子的本征函数的二维单位球，也是本征函数的代数Hecke运营商的行动，这些球谐函数。我们制定了一个类似的等分布质量猜想这些本征函数以及猜想，他们的时刻往往时刻的高斯本征值的增加。对于这样的规范正交基，我们表明，这些结构与八度算术L-函数的特征函数三元组的分析性质。此外，我们还建立了三阶矩猜想，并给出了质量均匀分布猜想的条件（关于这些算术L-函数的标准解析解）证明。
2003-04-09 math-ph math.MP math.NT
Localization of Neumann Eigenfunctions near Irregular Boundaries
根据经验观察到，具有诺依曼边界条件的拉普拉斯方程$-Δϕ= λϕ$的本征函数有时在域的边界附近局部化，如果该边界是粗糙的（例如，分形）。这在声学中有一些不平凡的影响，已经投入到现实生活中使用（声音衰减的噪音防护墙）;这篇简短的论文描述了负责这一点的数学机制，并描述了一些例子的现象的定量强度。
2018-09-04 cond-mat.dis-nn math-ph math.AP
High Frequency Eigenfunction Immersions and Supremum Norms of Random Waves
紧黎曼流形可以利用高频Laplace特征函数浸入欧几里得空间。我们研究了流形的几何，把它看作是一个距离周围欧几里得空间的距离函数的度量空间。作为应用，我们给出了Burq-Lebeau等人关于高频特征函数的随机线性组合的上界的一个结果的新证明.
2014-06-07 math-ph math.DG math.MP
Representations of the Quantum Algebra su_q(1,1) and Discrete q-Ultraspherical Polynomials
利用量子代数su_q（1，1）表示的算符，导出了离散q-超球多项式及其代数的正交关系.这些运营商的频谱和本征函数被发现明确。这些本征函数在归一化时形成表示空间中的规范正交基。
2005-11-25 math-ph math.MP math.QA
Orthogonality of Hermite polynomials in superspace and Mehler type formulae
本文考虑了与正交O（m）对称、有限反射群对称G < O（m）、辛对称Sp（2n）和超空间对称O（m）× Sp（2n）量子系统有关的Hermite多项式。在概述了O（m）和G的结果之后，得到了与Sp（2n）相关的Hermite多项式关于Berezin积分的正交性.由此证明了经典Hermite多项式的Mehler公式在Grassmann代数上的推广。其次，考虑了具有O（m）× Sp（2n）对称性的满超空间中的Hermite多项式。它表明，他们是不正交的关于规范定义的内积。然而，引入了一个新的内积，它的行为正确相对于超空间上的调和多项式的结构。这种内积可以恢复厄米多项式的正交性，也恢复了超空间中一类薛定谔算子的厄米性。随后，获得了全超空间的Mehler公式，从而得到了超傅立叶变换的本征函数分解。最后，广泛的比较结果在不同类型的对称性。
2011-06-01 math-ph math.CA math.MP
Nodal length fluctuations for arithmetic random waves
利用标准环面的谱重数，我们赋予拉普拉斯本征空间高斯概率测度。这就引出了环面上随机高斯拉普拉斯本征函数的概念（“算术随机波”）。本文研究了随机本征函数在大本征值时节长的分布，得到了方差的渐近性是非普适的，并且与位于半径与能量相对应的圆上的格点的算法密切相关。
2012-06-21 math-ph math.MP math.NT
Concentration of eigenfunctions on singular Riemannian manifolds
本文研究边界度量奇异的紧黎曼流形，将 Laplace–Beltrami 算子表示为 Grushin 算子加奇异势，并确定超临界 regime 下高频特征函数在边界聚集的速率与轮廓，应用于气态行星声学模式。
2024-10-27 astro-ph.EP math-ph math.AP
Laplace and Schrödinger operators without eigenvalues on homogeneous amenable graphs
逐个穷举是一种组合/几何条件，它将拉普拉斯和薛定谔算子的特征值从图上的谱中排除。具有余紧自同构群的图的等周不等式给出了特征函数空间的von Neumann维数的一个上界。任何生成的可指示顺从群都有一个不含特征值的Cayley图。存在具有有限生成集S和S'的有限生成群G，使得（G，S）的Cayley图的邻接算子没有特征值，而（G，S'）的Cayley图的邻接算子有纯点谱.
2022-12-28 math-ph math.GR math.MP
