Multiple Schramm-Loewner evolutions for coset Wess-Zumino-Witten models
我们制定了多个Schramm-Loewner演化（SLE）陪集Wess-Zumino-Witten（WZW）模型。所得的SLE可以描述多个界面的临界行为的二维统计力学模型，其临界性质是由陪集WZW模型分类。该系统的基本特征是李群流形上的多重布朗运动以及实轴上的多重布朗运动。通过对边界条件变化算子之间的关联函数施加鞅条件，明确地确定了布朗运动的漂移项，漂移项来自于界面的相互作用.作为一个具体的例子，我们在$Z(n)$亚费米子模型上建立了多重SLE方程，并计算了与3-SLE漂移项密切相关的交叉概率。
2017-04-20 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Global and Local Multiple SLEs for $κ\leq 4$ and Connection Probabilities for Level Lines of GFF
本文涉及多重Schramm-Loewner演化（SLE）的分类。利用$κ\in (0,4]$构造了多重SLE $(κ)$的纯分拆函数，并将其与某些极值多重SLE测度联系起来，从而验证了[BBK 05，KP 16]中的一个猜想.我们证明了构造多个SLE的两种方法-[KL 07，Law 09 a]的全局构型构造和[BBK 05，Dub 07，Gra 07，KP 16]的局部生长过程构造-是一致的。在临界统计力学模型中，纯分拆函数与交叉概率密切相关。在$κ= 4$的特殊情况下，我们用显式公式证明了这些函数给出了交替边界数据的高斯自由场（GFF）能级线的连接概率。我们还表明，某些函数，称为共形块，产生多个SLE（4），可以自然地耦合到GFF与适当的边界数据。
2019-03-03 math-ph math.MP math.PR
Three phases of multiple SLE driven by non-colliding Dyson's Brownian motions
研究了带参数$κ\in (0,8]$的多重Schram-Loewner演化的性质.具体地说，我们考虑的解决方案的多Loewner方程驱动的戴森的布朗运动在非碰撞制度的时变。虽然人们通常认为解的一些性质可以通过交换关系和绝对连续性来研究，但这种方法只适用于交换SLE生成的曲线是分离的情况。在这个限制之外，甚至不明显的是，多重Loewner方程的解生成多条曲线。为了克服这个困难，我们采用高斯自由场和多个SLS的耦合。因此，我们证明了长期的猜想，解决方案确实产生多个连续曲线。此外，这些多重曲线是（i）当为$κ\in (0,4]$时的简单不相交曲线，（ii）当为$κ\in (4,8)$时的相交曲线，以及（iii）当为$κ=8$时的空间填充曲线。
2021-06-24 cond-mat.stat-mech math-ph math.CV
Gaussian free fields coupled with multiple SLEs driven by stochastic log-gases
Miller和Sheffield在共形等价的条件下引入了虚曲面的概念，虚曲面是$\mathbb{C}$的单连通真子域对与其上的高斯自由场（GFF）的等价类。他们考虑的情况下，共形映射是由弦Schram-Loewner演变（SLE）。在本文中，我们构造了上半平面$\mathbb{H}$和$\mathbb{C}$的第一正交元$\mathbb{O}$上的GFF值过程，通过在每个区域上耦合一个GFF和一个随时间演化的多重SLE。证明了$\mathbb{H}$和$\mathbb{O}$上的GFF与多重SLE局部耦合，如果多重SLE分别由定义在$\mathbb{R}$上的Dyson模型和定义在$\mathbb{R}_+$上的Bru-Wishart过程驱动.我们得到对时间演化域和GFF值过程。
2021-07-14 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Brownian paths as loop-decorated SLEs
University of Vienna（维也纳大学）；École Normale Supérieure de Lyon（里昂高等师范学院）
通过将布朗循环汤中的循环按时间顺序添加到SLE$_2$路径上，得到具有平面布朗运动分布的连续路径，解决了Lawler和Werner的猜想。
2026-02-04 math-ph math.MP math.PR
Reconstructing SLE-decorated Liouville quantum gravity surfaces from random permutons
本文证明了从基于Liouville量子引力曲面和空间填充SLE构造的permutons可以确定性地重构出原始曲面和SLE对，涵盖了斜布朗permutons和meandric permuton等情况。
2024-09-23 math-ph math.CO math.MP
Hadamard's formula and couplings of SLEs with free field
高斯自由场（GFF）的能级线与SLE（4）型曲线之间的关系是由O。Schramm和S.谢菲尔德这种关系的一个弱的解释是GFF和随机曲线的耦合的存在，其中曲线表现得像场的水平线。在本文中，我们研究这些耦合的自由场与不同的边界条件。我们提供了一个统一的方法来确定法律的曲线（即计算的Loewner链的驱动过程）给定的边界条件的领域，并证明存在的耦合。证明归结为验证场的均值和协方差这两个简单的性质，这总是依赖于阿达玛公式和调和函数的性质。例子包括Dirichlet、Neumann和Riemann-Hilbert边界条件的组合。在双连通区域中，标准环SLE（4）与内边界上服从Neumann边界条件的紧化GFF耦合。我们还考虑了具有其他自然边界条件的自由场与环SLE的变体。这些边界条件包括由给定绕组连接不同边界分量上的两点的边界条件以及最近由C。赫塞多夫湾Bauer和D. Bernard.
2010-06-09 math-ph math.MP
Loewner Chains
这些关于二维生长过程的课堂讲稿分为两部分。第一部分是对随机Loewner演化（SLEs）的非技术性介绍。它们与二维临界界面的关系用数值模拟来说明。Schramm的参数映射共形不变的接口到SLE的解释。第二部分是一个更详细的介绍，数学上具有挑战性的问题，如拉普拉斯生长，扩散限制聚集（DLA）等的二维生长过程中的动态共形映射，离散或连续时间演化的描述，被召回。我们结束了一个猜想的基础上可能的树突异常，如果属实，这将意味着海勒-肖问题和DLA是在不同的普遍性类。
2004-12-14 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Imaginary Geometry I: Interacting SLEs
固定常数χ>0和θ \in [0，2 π），设h为平面域上高斯自由场的实例。我们研究了向量场e^{i（h/x +θ）}在域的一个固定的边界点开始的流线。考虑所有的θ \in [0，2 π），我们得到一个局部看起来像SLE_κ的曲线族，其中κ \in（0，4），其中χ= 2/κ^{1/2} - κ^{1/2}/2，我们将其解释为具有纯虚曲率的随机几何的射线。我们推广的基本存在性和唯一性的结果，这些道路的情况下，道路相交的边界。我们还表明，不同角度的流线交叉彼此最多一次，但（相比之下，当h是光滑的）可能会反弹后，交叉。从不同点开始的相同角度的流线在相交时彼此合并，形成树形结构。我们构建所谓的逆流线（SLE_{16/κ}）在同一个几何形状内使用有序的“光锥”的角度限制轨迹访问的点，并开发一个强大的理论流和逆流线的相互作用。该理论导致了关于SLE的新结果。例如，我们证明了SLE_κ（ρ）过程几乎必然是连续的随机曲线，甚至当它们与边界相交时也是如此，并建立了一般SLE_{16/κ}（ρ）过程的Duplantier对偶.
2016-02-27 math-ph math.CV math.MP
SLEs as boundaries of clusters of Brownian loops
在这个研究公告中，我们表明SLE曲线实际上可以被视为某些简单泊松渗流簇的边界：回想一下布朗环汤（在论文arxiv：math.PR/0304419中与Greg Lawler一起介绍），强度c定义了一个区域中的泊松环集合（如果只关注外边界，则简单）。这个随机的（可能相交的）环族是共形不变的（并且几乎可以肯定在任何样本中有无穷多个小环）。我们证明了在（0，1]中存在一个临界值a，使得如果对环的所有内部着色，则当c<a时，得到的簇是有界的，而当c>a时，一个簇填充了域。我们证明，对于小的c，集群的外边界是SLE型曲线，$κ\le 4$和$c$相关的通常的关系$c=(3κ-8)(6-κ)/2κ$（即c对应的中心电荷的模型）。从猜想上讲，临界值a等于1，对应于SLE 4循环，因此对于（0，1]中的任何c，这应该给出随机不相交的SLE $_κ$循环的自然可数族的构造（即$κ$应该跨越$(8/3,4]$），其在域的扰动下表现“很好”。弦SLE和环汤之间的精确关系如下：考虑域中某个限制测度的样本（即布朗偏移的某个并集），将其与所有上述聚类相交。如果约束测度指数等于中心电荷为c的表示的最高权，则得到的集合的外边界恰好是SLE $_κ$.
2003-08-18 math-ph math.MP math.PR
Virasoro Module Structure of Local Martingales of SLE Variants
鞅在Schramm-Loewner演化（SLEs）计算中经常扮演重要的角色。本文的目的是提供一个简单的方法，以Virasoro模结构的局部鞅空间的变体的SLE。在普通弦SLE的情况下，在Bauer & Bernard：Phys.Lett.B 557中已经表明多项式局部鞅形成Virasoro模。我们将证明对于更一般的变体，局部鞅的模有一个自然子模M，它与弦SLE的多项式局部鞅的模具有相同的解释，但在许多情况下很容易找到更多的局部鞅。我们讨论了Virasoro模M的令人惊讶的丰富结构和库仑气体形式主义的“SLE状态”或“鞅生成函数”的构造。此外，库仑气体或Feigin-Fuchs积分将被证明透明地产生多个SLE纯几何的候选人。
2007-02-07 math-ph math.MP
Slit holomorphic stochastic flows and Gaussian free field
最近人们认识到弦向、径向和偶极SLE是一般狭缝全纯随机流的特殊情况。我们刻画了产生高斯自由场水平线的狭缝全纯随机流。特别是，我们描述了高斯自由场（GFF）对应的弦和偶极SLE漂移的修改。最后，我们开发了一个版本的共形域论的基础上的背景电荷和Dirichlet边界条件修改的GFF和目前的鞅观测这些类型的SLE。
2015-08-13 math-ph math.CV math.MP
Multiple SLEs for $κ\in (0,8)$: Coulomb gas integrals and pure partition functions
University of Michigan（密歇根大学）；Capital Normal University（首都师范大学）；Aalto University（阿尔托大学）；University of Bonn（波恩大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文研究了κ∈(0,8)的多重SLEs，通过Coulomb气体形式化与 conformal场论 的关系，推导了SLE分区函数的性质，并展示了纯分区函数的分析特性及与Coulomb气体积分的联系。
2026-10-06 math-ph math.MP math.PR
Multiple Schramm-Loewner Evolutions and Statistical Mechanics Martingales
本文利用统计力学论证将配分函数与鞅联系起来，推导出随机几何过程描述临界态 2d 统计力学界面的条件，由此研究多重 SLEs 自然过程，探讨共形块与界面几何配置的关系，并应用于 percolation 和 Ising model 的具体计算。
2005-03-21 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Conformal invariance of boundary touching loops of FK Ising model
在这篇文章中，我们展示了一个循环合奏的接口在FK伊辛模型在临界收敛，作为晶格网格趋于零，一个独特的共形不变的标度限制。离散循环合奏所描述的一个典型的树胶合的接口，然后示出收敛到一个树的分支SLE。该环系综包含无限多个环，因此我们的结果描述了无限多个环的SLE型过程的联合律，并给出了FK伊辛模型在界面随机几何意义下的满标度极限.本文中的其他一些结果是循环集合（或探索树的分支）的探索过程收敛到SLE $(κ,κ-6)$，$κ=16/3$，以及$4$标记点的此过程的推广收敛到SLE $[κ,Z]$，$κ=16/3$，其中$Z$指的是配分函数。后一个SLE流程不能写成SLE $(κ,ρ_1,ρ_2,\ldots)$流程，后者是最常考虑的SLE概括。
2019-06-30 math-ph math.MP math.PR
Schramm's formula and the Green's function for multiple SLE
我们构造鞅观测系统的多个SLE曲线应用筛选技术的CFT框架内最近开发的康和马卡罗夫，扩展到承认多个SLE。我们说明了这种方法，严格建立明确的表达的格林函数和施拉姆公式的情况下，两条曲线向无穷大增长。在特殊情况下，当曲线是“融合”，并开始在同一点，我们证明的一些公式在物理文献中预测。
2019-06-11 math-ph math.MP math.PR
Conformal field theory of dipolar SLE with the Dirichlet boundary condition
本文基于Dirichlet边界条件下高斯自由场的中心电荷修正，发展了偶极共形域论理论，并证明了该理论中某些场族的共轭子对于偶极系统线性方程是鞅可观的.我们证明了偶极SLE（8/3）的限制性质和Friedrich-Werner公式。
2013-07-16 math-ph math.CV math.MP
Conformal field theory of dipolar SLE(4) with mixed boundary condition
我们在单连通区域中发展了一种偶极共形域论理论，它具有Dirichlet-Neumann边界条件和中心电荷边界条件。我们证明了偶极SLE（4）中具有一定边界值的高斯自由场OPE族中的场的所有相关函数都是鞅可观的。
2013-06-28 math-ph math.CV math.MP
Multiple Schramm-Loewner evolutions for conformal field theories with Lie algebra symmetries
我们提供了多个Schramm-Loewner演化（SLEs）来描述具有李代数对称性的临界晶格模型中多个界面的标度极限。模型的临界行为由Wess-Zumino-Witten（WZW）模型描述。在李群和直线上引入多重布朗运动，构造了具有附加李代数对称性的多重SLE。通过WZW模型中的关联函数所满足的SLE鞅，可以理解所得到的SLE与WZW模型之间的联系。由于SLE迹之间的相互作用，这些布朗运动具有漂移项，该漂移项由相应WZW模型的配分函数确定。作为一个具体的例子，我们将该公式应用于su（2）k-WZW模型.利用模型中的融合规则，我们推测在配分函数和SLE迹的拓扑不等价配置之间存在一一对应。此外，通过求解Knizhnik-Zamolodchikov方程，我们精确地计算了三重SLE迹的某些配置的发生概率（即交叉概率）。
2012-10-31 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Conformal field theory for annulus SLE: partition functions and martingale-observables
我们实现了一个版本的共形域论在一个双连接域连接到理论的各种类型的环SLE，包括标准的环SLE，可逆的环SLE，和环SLE与几个力点。该实现考虑了在OPE乘高斯自由场及其中心/背景电荷修改下产生的统计场，其具有Dirichlet和反射边界条件的加权组合。我们推导出Eguchi-Ooguri版本的沃德方程和Belavin-Polyakov-Zamolodchikov方程的统计字段，并使用它们来表明，在OPE家庭的相关性下插入的单腿运营商是鞅观测变量的环SLE。我们发现库仑气体（Dotsenko-Fateev积分）解的抛物型偏微分方程的共形域论的分拆函数的可逆环SLE。
2021-07-18 math-ph math.CV math.MP
Random curves, scaling limits and Loewner evolutions
在本文中，我们提供了一个框架的估计描述二维尺度限制Schramm的SLE曲线。特别是，我们表明，弱估计的概率环交叉意味着随机曲线所产生的统计力学模型将有缩放限制，这些将很好地描述了Loewner演化与随机驱动力。有趣的是，我们的证明表明，存在一个非退化的可观测的一致不变的标度极限似乎足以推导出所需的条件。本文是建立Ising和FK Ising界面收敛于SLE曲线的重要一步，而且，该设置适用于分支界面树，通过分支SLE的集合详细描述了完整的界面图像。
2015-06-12 math-ph math.MP math.PR
Coupling of Gaussian free field with general slit SLE
我们考虑高斯自由场与狭缝全纯随机流的耦合，称为（$δ,σ$）-SLE，其中包含已知的SLE过程（弦，径向和偶极）作为特殊情况。在物理方面，我们研究了具有一个标量玻色场的自由边界共形域论，其中格林函数被假定具有某些一般的正则调和部分。我们建立这些模型允许耦合（$δ,σ$）-SLE，或等价地，当相关函数诱导本地（$δ,σ$）-SLE鞅（鞅观测值）。
2016-10-10 math-ph math.MP math.PR
SLE and its partition function in multiply connected domains via the Gaussian Free Field and restriction measures
通过高斯自由场和限制测度，明确构造了多重连通域中κ=4的SLE，并证明其配分函数有限。
2026-01-30 math-ph math.MP math.PR
Ising Interfaces and Free Boundary Conditions
本文研究了无磁场条件下二维伊辛模型在临界温度下的界面。我们表明，在正负自旋之间存在自由边界条件的情况下，这些界面的标度极限可以用SLE的一个变体描述，称为偶极SLE（3）。这推广了Chelkak和Smirnov的一个著名结果，并证明了Bauer，Bernard和Houdayer的一个猜想.我们提到我们的结果的两个可能的应用。
2011-10-17 math-ph math.MP math.PR
