Riccati-parameter solutions of nonlinear second-order ODEs
Rosu和Cornejo-Perez在2005年证明了，对于一些非线性二阶常微分方程，一旦使用两个一阶微分算子对非线性方程进行因式分解，找到一个特定的解是一个非常简单的任务。在这里，它表明，一个有趣的类参数的解决方案是很容易获得的，如果建议的因式分解有一个特定的形式，这很高兴地证明是在许多问题的物理利益的情况下。我们用几个明确解决的情况下，包括在使用的Riccati方程的一般解决方案，这有助于与一个参数，这类参数的解决方案的方法。对于这些非线性情况，Riccati参数作为从平凡零解到通过因子分解过程找到的特解的“增长”参数
2008-06-22 math-ph math.MP
Symmetries and first integrals for variational ODEs with delay
建立了变分二阶时滞常微分方程的拉格朗日形式。建立了DODE的Noether算子恒等式，它将拉格朗日函数的不变性与相应的变分方程和守恒量联系起来。身份是用来制定诺特型定理，给第一次积分的DODE对称。分析了变分二阶微分方程的不变性与拉格朗日函数不变性之间的关系。几个例子说明了理论结果。
2023-03-16 math-ph math.MP
Lagrangian formalism and Noether-type theorems for second-order delay ODEs
该研究构建二阶延迟常微分方程变分问题的拉格朗日框架，提出相应 Noether 型算子恒等式与定理，并以示例说明如何利用对称性代数构造积分。
2023-02-11 math-ph math.MP nlin.SI
Variational Inverse Problems for Second Order ODEs with and without Constraints
本文利用几何方法研究流形上给定约束或无约束二阶常微分方程组何时能表示为拉格朗日模型的逆问题，揭示了约束情形比无约束情形具有更多歧义和复杂性。
2026-06-04 math-ph math.DG math.MG
Autonomous second-order ODEs: a geometric approach
该研究提出一种自治二阶常微分方程的几何研究方法，通过定义黎曼度量建立ODE解与测地线的关联，引入能量叶状结构并探究其几何性质，最终将结果应用于拉格朗日力学系统分析。
2024-10-10 math-ph math.CA math.MP
A systematic method of finding linearizing transformations for nonlinear ordinary differential equations: II. Extension to coupled ODEs
在这第二篇关于非线性常微分方程线性化变换的推导方法的论文中，我们把这个方法推广到一组两个耦合的二阶非线性常微分方程。我们发现，除了传统的点变换、Sundman变换和广义线性化变换外，利用运动积分还可以在耦合二阶常微分方程中找到一大类混合或混合型线性化变换，如点-Sundman变换、点-广义线性化变换和Sundman-广义线性化变换.我们提出了合适的算法来确定所有这些变换（最大的数量）在一个简单的方式。我们用一个合适的例子说明了推导每一个线性化变换的方法。
2012-01-26 math-ph math.MP nlin.SI
Equivalence classes of the second order ODEs with the constant Cartan invariant
研究了具有常数不变量的二阶常微分方程.发现了四种基本类型的非等价方程，并给出了每种类型的非等价方程的完整列表。作为例子，解决了Painleve Ⅱ方程、带三个零参数的Painleve Ⅲ方程、Emden方程和其它方程的等价问题。
2011-06-30 math-ph math.CA math.MP
Point Equivalence of Second-Order ODEs: Maximal Invariant Classification Order
我们证明了二阶常微分方程在点变换下的局部等价问题完全由至多10阶的微分不变式刻画，并且这个上界是尖锐的.我们还表明，模Cartan对偶和点变换，Painlevé-I方程可以被描述为最简单的二阶常微分方程，属于需要10阶喷流的方程类。
2014-05-27 math-ph math.CA math.DG
A Generalized Cole-Hopf Transformation for Nonlinear ODES
本文引入一种混合Cole-Hopf-达布变换，将二阶非线性微分方程和线性微分方程的解联系起来，并给出了这种对应的一个充分条件。特别地，我们证明了某些非线性二阶方程的解通过这种变换与数学物理的特殊函数相联系。这些非线性方程可以看作是与定义数学物理特殊函数的线性微分方程相对应的“特殊非线性方程类”。
2012-11-28 math-ph math.CA math.MP
High precision series solution of differential equations: Ordinary and regular singular point of second order ODEs
给出了一个求解一类常微分方程的高精度数值解的子程序。对于给定的评估点和方程参数，存储器需求与精度$P$成线性比例，并且当$P$变得足够大时，代数运算的数量与$P$大致成线性比例。我们讨论的结果，从广泛的测试的代码，以及如何一个给定的评估点和方程参数可能会估计精度损失和计算时间提前。
2012-05-10 math-ph math.MP physics.comp-ph
Existence and Uniqueness of Exact WKB Solutions for Second-Order Singularly Perturbed Linear ODEs
本文研究复域内一般二阶奇异摄动线性 ODE 的精确 WKB 解，证明其在一般及闭合轨迹下的存在唯一性，并给出解基含义、Borel 可和性及 Borel 变换显式公式。
2021-11-22 math-ph math.AP math.CA
Similarity solutions and conservation laws for the Beam Equations: a complete study
我们研究了梁方程的相似解，并确定了各种形式的梁方程的守恒律，如Euler-Bernoulli，Rayleigh和Eulshenko-Prescott。行波还原导致可解的四阶odes的所有形式。此外，基于Euler-Bernoulli形式的标度对称性的约化导致存在零对称性的某些节点。因此，我们进行奇异性分析，以确定可积性。我们研究两个减少颂歌的第二和第三阶。约化的二阶微分方程是Painlevé-Ince方程的扰动形式，它是可积的，三阶微分方程属于Chazy，Bureau和Cosgrove研究的方程范畴.此外，我们还导出了上述梁形式的强迫形式的对称性及其相应的约化和守恒律。李代数是明确提到的所有情况。
2020-04-01 math-ph math.MP
Integrating factors for second order ODEs
本文提出了一种构造二阶常微分方程的积分因子的系统算法，其形式为mu（x，y），mu（x，y '）或mu（y，y'）。该算法可以确定的存在性和显式形式的积分因子本身没有解决任何微分方程，除了一个线性常微分方程在一个子情况下的mu（x，y）的问题。不具有点对称性的常微分方程的例子被证明是可解的使用该算法。该方案是在Maple中实现的，在“ODEtools”包及其ODE-solver的框架内。这种实现和其他计算机代数ODE求解器之间的比较，在处理非线性的例子，从卡姆克的书。
2000-02-08 astro-ph gr-qc math-ph
Twistor geometry of a pair of second order ODEs
我们讨论了三维路径几何之间的扭量对应与消失Wilczynski不变量和反自对偶共形结构的签名$(2, 2)$。我们将展示如何重建一个系统的常微分方程消失不变的一个给定的共形结构，特别是突出的Ricci平坦的情况下。利用这个框架，我们给出了一个新的推导的Wilczynski不变量的系统的常微分方程的解空间被赋予了一个共形结构。我们解释了如何重建的共形结构直接从积分曲线，并提出了新的例子系统的常微分方程的点对称代数的4维及更大的产生反-自-对偶结构的共形对称代数的相同尺寸。其中一些例子是广义相对论中平面波时空的$(2, 2)$类似物。最后讨论了由具有标量旗曲率的Finsler结构产生的扭量曲线的一个变分原理。
2012-12-03 gr-qc hep-th math-ph
The Chronological Operator Algebra and Formal Solutions of Differential Equations
该文致力于研究两个问题.首先，我们得到了不同类型微分方程的Dyson时间算子指数形式的显式精确形式解.这使得我们可以直接处理方程的解，而不是方程本身。其次，我们详细地考虑了时序算子的代数性质，得到了一个广泛的算子恒等式族。该方法的主要优点是至少可以像处理普通函数一样处理形式解。我们从一般的观点考察了线性和非线性的常微分方程的任何阶，系统的常微分方程，线性算子常微分方程，线性偏微分方程和系统的线性偏微分方程的一个未知函数。本文以数学物理中重要的微分方程为例，说明了所涉及的方法和技巧。
2004-09-16 math-ph math.MP
A nonlocal connection between certain linear and nonlinear ordinary differential equations : Extension to coupled equations
识别可积耦合耗散型非线性常微分方程并推导其通解是非线性动力学中的一项具有挑战性的任务。本文研究了这两类问题，发现了两类任意阶可积耦合非线性常微分方程。为了实现这些目标，我们在某些线性常微分方程中引入合适的非局部变换，并生成耦合的非线性常微分方程。特别是，我们表明，解决这些类的耦合非线性常微分方程的任何顺序的问题，有效地减少到解决一个单一的一阶非线性常微分方程。当上述一阶非线性常微分方程化为一个伯努利方程时，我们给出了一个求出所识别的可积耦合常微分方程显式通解的方法。我们生成和解决的方程包括两个耦合版本的修改Emden方程（二阶），耦合版本的Chazy方程（三阶）及其变种，高维耦合Ricatti和Abel链，以及一个新的可积链和高阶方程。
2010-10-27 math-ph math.MP nlin.SI
Interplay of symmetries, null forms, Darboux polynomials, integrating factors and Jacobi multipliers in integrable second order differential equations
在这项工作中，我们建立了一个连接之间的扩展Prelle-Singer程序（Eschrasekar \textit{et al.} Proc. R。Soc. A 2005）和其他五种在当代文献中广泛用于识别可积系统的分析方法，特别是二阶非线性常微分方程（ODE）。通过综合这些方法，我们揭示了Lie点对称、$λ$-对称、伴随对称、零形式、Darboux多项式、积分因子和Jacobi最后乘子在识别二阶常微分方程描述的可积系统中的相互作用.我们也给我们开发的扩展Prelle-Singer程序的新的观点。我们以修改后的埃姆登方程为例说明了这些微妙的联系。
2014-01-07 math-ph math.MP nlin.SI
On the preservation of second integrals by Runge-Kutta methods
人们可以通过知道第二积分（也称为弱积分或多项式常微分方程的达布多项式）的存在性来阐明常微分方程（常微分方程）的可积性。然而，很少有人知道他们是如何保存，如果有的话，在数值方法。在这里，我们表明，在一般情况下，所有的龙格-库塔法将保持所有的仿射第二次积分，但不（不可约）二次积分。一些有趣的推论进行了讨论，如保存某些有理积分的任意龙格-库塔法。研究了余因子为常数的仿射二次积分的特殊情形，讨论了仿射高阶积分的保持性。
2021-05-23 cs.NA math-ph math.MP
Symmetries of non-linear ODEs: lambda extensions of the Ising correlations
本文举例说明了伊辛模型的两点关联函数的延拓的许多显著性质，从而对Painlevé型非线性常微分方程有了一些了解.我们首先表明，这一概念也存在的两点相关函数的因素集中，出于教学的原因，在两个例子，即C（0，5）和C（2，5）在$ν= -k$。然后，我们以一种通过示例学习的方法展示了这些扩展的一些令人困惑的性质和结构：对于一组无限的$ λ$的（代数）值，这些幂级数成为代数函数，并且对于lambda的（有理）值的有限集合，它们成为D-有限函数，更精确地说，是第一和第二类完全椭圆积分K和E中的（不同次数的）多项式。对于$ λ$的一般值，这些幂级数不是D-有限的，它们是微分代数的。对于$ λ$的无穷多个其他（有理）值，这些幂级数是全局有界级数，从而提供了无穷多个全局有界差分代数级数的例子。最后，以两个对角两点关联函数的乘积为例，我们认为在二维伊辛模型上还有更多的Painlevé型非线性常微分方程族有待发现，以及它们的结构，特别是它们的相关λ扩张。在复杂的转化之后，它们可能还原为冈本西格玛形式的Painlevé VI的问题仍然是一个极其困难的挑战。
2022-12-26 math-ph math.MP nlin.SI
On singular Frobenius for linear differential equations of second and third order, part 1: ordinary differential equations
本文从寻找形式解和研究其收敛性的观点出发，研究了二阶和三阶解析系数线性微分方程。本文讨论了二阶Frobenius方法的一些未涉及的问题，如形式解的收敛性和Liouvillian解的存在性。正则奇点的一个特征给出的空间的解决方案。得到了此类线性齐次常微分方程的解析分类。这是通过将这样的常微分方程与一个里卡蒂微分方程相关联，从而与一个全局和乐群相关联来实现的。这个群是一个可计算的Moebius映射群。这些技术适用于经典方程，如贝塞尔方程和勒让德方程。在本文的第二部分，我们研究了三阶方程。我们证明了一个类似于经典Frobenius定理的定理，该定理描述了这类常微分方程的所有可能情形和解。一旦配备了这一点，我们通过调查的存在性的解决方案，在非齐次的情况下，也存在的收敛定理，在同一行所做的二阶以上。我们的结果是具体的和（计算）建设性的，旨在阐明在这个重要的，有用的和有吸引力的科学领域的新的光。
2019-06-10 math-ph math.CA math.CV
Lower-order ODEs to determine new twisting type N Einstein spaces via CR geometry
在寻找具有扭曲主零方向的N型PetrovN型爱因斯坦场方程的真空解时，描述这种零向量同余的参数空间的CR结构提供了一个非常有用的工具。希尔、莱万多夫斯基和努罗夫斯基的一项工作为此奠定了良好的基础，将场方程简化为一组微分方程，用于两个函数，一个是实函数，一个是复函数，三个变量。在存在一个Killing向量的假设下，确定了这些方程的（无限维）经典对称性，并考虑了它们的群不变解。这导致一个单一的三阶常微分方程可以很容易地减少到一个二阶。实现了这个二阶方程的幂级数解g（w）的单参数类，在原点的邻域中全纯，并且对于w的大值，渐近表现为简单的二次函数加上低阶项，这构成了扭曲型N问题的新解。Leroy和Nurowski发现的解是这类问题的特例。Cartan的方法确定CR流形的等价性是用来表明，这类确实是更一般。此外，对于参数的特殊选择，该常微分方程可以被积分一次，以提供一阶Abel方程。它也可以确定新的解决方案的领域方程虽然还没有普遍的解决方案尚未找到它。
2012-03-13 gr-qc math-ph math.MP
A quadric ansatz method for a certain class of second order PDEs
本文提出一种二次曲面拟设方法，将一类二阶偏微分方程（含Kähler-Einstein方程等）约化为常微分方程，并给出适用子类及约化结果。
2023-10-12 gr-qc math-ph math.MP
Asymptotic solutions for linear ODEs with not-necessarily meromorphic coefficients: a Levinson type theorem on complex domains, and applications
本文提出Levinson型渐近定理，证明大扇形域上渐近对角线性常微分方程组渐近基本解的存在唯一性，并应用于非亚纯系数方程及经典亚纯情形，填补数学物理猜想相关空白。
2025-03-31 math-ph math.CA math.CV
On the use of asymptotically motivated gauge functions to obtain convergent series solutions to nonlinear ODEs
针对 Sakiadis 边界层与静态气液弯月面两个非线性 ODE 的幂级数发散问题，本文提出基于大距离渐近行为的指数规范函数变换，使级数在半无限全域收敛。
2023-12-12 math-ph math.MP physics.flu-dyn
On singular Frobenius for second order linear partial differential equations
本文主要研究解析二阶线性偏微分方程。我们的目标是解决经典方程和更多，在真实或复杂的分析情况。这是通过引入Frobenius方法的方法为二阶线性常微分方程的启发。引入了Euler型偏微分方程的概念。对于这样一个偏微分方程，我们将一个指数二次曲线，它是一个二次的仿射平面曲线。然后是正则奇异性的概念和最后的收敛定理，这必须考虑到PDE的类型（抛物线，椭圆或双曲）和非共振条件。这个条件给出了一个新的几何解释之间的原始条件的原始Frobenius定理的根二阶常微分方程。这种解释类似于，某个网格在指数二次曲线上是否有顶点。最后，我们用这种方法恢复了所有经典偏微分方程（热扩散、波传播和Laplace方程）的解，并将具有显式算法解的偏微分方程的类别增加到远远超出了允许可分变量的偏微分方程的类别。文章的最后一部分用两种不同的方法构造了Airy，Legendre，Laguerre，Hermite和Chebyshev等经典常微分方程的偏微分方程模型。一个模型是基于这样的要求，即通过原点的线的PDE的限制必须是经典的ODE模型。第二种是基于偏微分方程模型具有对称性，模仿常微分方程模型的思想。我们研究这些偏微分方程，并获得他们的解决方案，获得的框架的偏微分方程的一些经典的结果，如存在的多项式的解决方案（Laguerre，Hermite和切比雪夫多项式）。
2019-07-04 math-ph math.DS math.MP
Solving first order differential equations presenting elementary functions
本研究通过建立含初等函数的一阶微分方程与带刘维尔首次积分的有理二阶常微分方程的关联，拓展S函数方法相关成果，提出可高效处理混沌系统、确定可积区域的一阶微分方程积分方法。
2023-08-23 math-ph math.CA math.MP
Noetherian symmetries of noncentral forces with drag term
我们考虑二阶常微分方程在非零旋度力作用下的诺特对称性。位置和速度相关的力被认为是。在前一种情况下，第一积分是从著名的埃姆登-福勒方程的对称性。
2016-08-10 math-ph math.CA math.MP
