Local and nonlocal solvable structures in ODEs reduction
可解结构，类似于局部对称的可解代数，可以用来通过求积积分标量常微分方程。然而，可解结构特别适合于缺乏局部对称性的常微分方程的积分。事实上，在正则性假设下，任何给定的常微分方程总是承认可解结构，即使找到它们通常是一个非常困难的任务。在实践中，一个值得注意的简化可能来自计算可解结构，这些结构适用于某些公认的对称代数。在本文中，我们考虑适用于任何阶的局部和非局部对称代数的可解结构（即，古典和更高）。特别是，我们引入了非局部可解结构的概念。
2008-11-27 math-ph math.DG math.MP
Lambda and mu-symmetries
常微分方程的λ对称性是由Muriel和Romero提出的，C. Muriel在SPT 2001上的演讲。在这里，我们提供了一个几何表征的Euda-代数，并概括这些-和Euda-对称性-偏微分方程及其系统。
2005-02-09 math-ph math.MP
Symmetries of non-linear ODEs: lambda extensions of the Ising correlations
本文举例说明了伊辛模型的两点关联函数的延拓的许多显著性质，从而对Painlevé型非线性常微分方程有了一些了解.我们首先表明，这一概念也存在的两点相关函数的因素集中，出于教学的原因，在两个例子，即C（0，5）和C（2，5）在$ν= -k$。然后，我们以一种通过示例学习的方法展示了这些扩展的一些令人困惑的性质和结构：对于一组无限的$ λ$的（代数）值，这些幂级数成为代数函数，并且对于lambda的（有理）值的有限集合，它们成为D-有限函数，更精确地说，是第一和第二类完全椭圆积分K和E中的（不同次数的）多项式。对于$ λ$的一般值，这些幂级数不是D-有限的，它们是微分代数的。对于$ λ$的无穷多个其他（有理）值，这些幂级数是全局有界级数，从而提供了无穷多个全局有界差分代数级数的例子。最后，以两个对角两点关联函数的乘积为例，我们认为在二维伊辛模型上还有更多的Painlevé型非线性常微分方程族有待发现，以及它们的结构，特别是它们的相关λ扩张。在复杂的转化之后，它们可能还原为冈本西格玛形式的Painlevé VI的问题仍然是一个极其困难的挑战。
2022-12-26 math-ph math.MP nlin.SI
Interplay of symmetries, null forms, Darboux polynomials, integrating factors and Jacobi multipliers in integrable second order differential equations
在这项工作中，我们建立了一个连接之间的扩展Prelle-Singer程序（Eschrasekar \textit{et al.} Proc. R。Soc. A 2005）和其他五种在当代文献中广泛用于识别可积系统的分析方法，特别是二阶非线性常微分方程（ODE）。通过综合这些方法，我们揭示了Lie点对称、$λ$-对称、伴随对称、零形式、Darboux多项式、积分因子和Jacobi最后乘子在识别二阶常微分方程描述的可积系统中的相互作用.我们也给我们开发的扩展Prelle-Singer程序的新的观点。我们以修改后的埃姆登方程为例说明了这些微妙的联系。
2014-01-07 math-ph math.MP nlin.SI
Similarity solutions and conservation laws for the Beam Equations: a complete study
我们研究了梁方程的相似解，并确定了各种形式的梁方程的守恒律，如Euler-Bernoulli，Rayleigh和Eulshenko-Prescott。行波还原导致可解的四阶odes的所有形式。此外，基于Euler-Bernoulli形式的标度对称性的约化导致存在零对称性的某些节点。因此，我们进行奇异性分析，以确定可积性。我们研究两个减少颂歌的第二和第三阶。约化的二阶微分方程是Painlevé-Ince方程的扰动形式，它是可积的，三阶微分方程属于Chazy，Bureau和Cosgrove研究的方程范畴.此外，我们还导出了上述梁形式的强迫形式的对称性及其相应的约化和守恒律。李代数是明确提到的所有情况。
2020-04-01 math-ph math.MP
On Exact and Approximate Symmetries of Algebraic and Ordinary Differential Equations with a Small Parameter
Baikov-Gazizov-Algimov近似对称的框架已经被证明是有用的许多例子，其中一个小扰动的常微分方程（ODE）破坏其局部对称群。对于扰动模型，未扰动方程的某些局部对称性可能（或可能不）重新出现为近似对称性，并且可能出现新的近似对称性。近似对称是构造近似解的有用工具。我们证明了对于代数方程和一阶微分方程，未扰动方程的每一个点对称都对应着扰动方程的一个近似点对称。对于二阶和高阶常微分方程，情况并非如此：原始常微分方程的某些点对称性可能是不稳定的，也就是说，它们不会出现在扰动常微分方程的近似点对称分类中。我们表明，这种不稳定的点对称对应于高阶近似对称的扰动常微分方程，可以系统地计算。两个详细的例子，包括一个四阶非线性Boussinesq方程，提出。使用高阶近似对称性和近似积分因子来获得高阶常微分方程的近似解的例子。
2021-03-31 math-ph math.DS math.MP
Noetherian symmetries of noncentral forces with drag term
我们考虑二阶常微分方程在非零旋度力作用下的诺特对称性。位置和速度相关的力被认为是。在前一种情况下，第一积分是从著名的埃姆登-福勒方程的对称性。
2016-08-10 math-ph math.CA math.MP
Linear or linearizable first-order delay ordinary differential equations and their Lie point symmetries
前一篇文章研究了一类一阶时滞常微分系统（DODS）的对称性。这里我们集中讨论线性DODS。由于线性叠加原理，它们具有无限维的李点对称群。它们的对称代数总是包含一个由线性连通向量场实现的二维{子}代数。我们确定所有类别的线性一阶DODS有额外的对称性，而不是由于线性。我们介绍每个班级的代表。这些额外的对称性，然后使用对称性约简构造精确的解析特解。
2017-12-21 math-ph math.MP
Interconnections between various analytic approaches applicable to third-order nonlinear differential equations
我们发掘了目前文献中广泛使用的各种分析方法之间的相互联系，以确定由三阶非线性常微分方程（ODE）描述的可积非线性动力系统。我们在扩展的Prelle-Singer方法和适用于三阶常微分方程的λ-对称方法之间建立了一个重要的联系，以揭示与这些不同技术相关的各种联系。通过建立这种相互联系，我们证明了在由Jacobi最后乘子，达布多项式，李点对称，伴随对称，λ对称，积分因子和零形式组成的族中，给定任何一个量作为起点，我们都可以以直接和明确的方式导出这个族中的其余量。我们还用三个具体的例子来说明我们的研究结果。
2015-02-13 math-ph math.MP nlin.SI
Dynamical systems and σ-symmetries
标准延拓运算的变形，定义在对合向量场的集合上，而不是单个向量场上，最近被引入并命名为“σ-延拓”;相应地，微分方程具有“σ-对称性”。这些可以用来约化所研究的方程，但是在σ-对称下的一般约化过程对于一阶方程是失败的。本文讨论如何利用σ-对称约化动力系统，即dx^a/dt = f^a（x）形式的一阶常微分方程组。
2013-05-27 math-ph math.DS math.MP
Symmetry preserving discretization of SL(2,R) invariant equations
数值求解了SL（2，R）群下的非线性常微分方程。我们发现，解决方案的方法，将李点对称性提供了更好的结果比标准的方法。
2007-11-01 math-ph math.MP
Orbital reducibility and a generalization of lambda symmetries
我们回顾了约化的概念，并介绍和讨论了一阶自治常微分方程的轨道约化的概念。研究了（轨道）约化与（轨道）对称性之间的关系，并将其用于构造（轨道）约化系统。通过标准标识，这些概念扩展到一阶和高阶的非自治常微分方程。此外，我们从而获得了推广的λ对称的Muriel和Romero。给出了几个例子。
2012-10-11 math-ph math.DS math.MP
Group-invariant solutions of semilinear Schrodinger equations in multi- dimensions
利用对称群方法得到了一类$n\neq 1$维半线性Schrodinger方程的全部显式群不变径向解.考虑了幂非线性的聚焦和散焦情形，包括与临界动力学相关的共形幂$p=4/n$的特殊情形，首先将半线性Schrodinger方程约化为关于一维点对称群的群不变复二阶常微分方程，其次，利用继承对称、隐对称和条件对称，以解决每个常微分方程的求积。通过Noether定理，列出了所有由这些点对称群产生的守恒律。
2013-12-09 math-ph math.MP
Symmetry of stochastic equations
对称性方法现在被认为是攻击确定性微分方程（常微分方程和偏微分方程）的主要工具之一;对于随机微分方程来说，情况完全不同：在这里，对称性考虑当然被理论物理学家广泛使用，但仍然缺乏与确定性方程相比的严格和一般的理论。在下面，我将报告我在随机（伊藤）方程的对称性方面所做的一些工作，以及这些对称性与相关扩散（福克-普朗克）方程的对称性的比较。
2004-01-13 math-ph math.MP
Integrating factors for second order ODEs
本文提出了一种构造二阶常微分方程的积分因子的系统算法，其形式为mu（x，y），mu（x，y '）或mu（y，y'）。该算法可以确定的存在性和显式形式的积分因子本身没有解决任何微分方程，除了一个线性常微分方程在一个子情况下的mu（x，y）的问题。不具有点对称性的常微分方程的例子被证明是可解的使用该算法。该方案是在Maple中实现的，在“ODEtools”包及其ODE-solver的框架内。这种实现和其他计算机代数ODE求解器之间的比较，在处理非线性的例子，从卡姆克的书。
2000-02-08 astro-ph gr-qc math-ph
Nonlocal interpretation of $λ$-variational symmetry-reduction method
本文给出了一种基于所谓的$λ$ -变分对称（C. Muriel，J.L. Romero和P. Olver 2006 \emph{Variational $C^{\infty}$-symmetries and Euler-Lagrange equations} J.微分方程\textbf{222} 164-184）。在一般情况下，这只允许部分减少，但它是特别适合于减少变分常微分方程缺乏可计算的局部对称性。我们表明，这种方法是更好地理解为一个非局部的candy减少。
2009-03-11 math-ph math.DS math.MP
On certain analytical methods in finding integrable systems and their interconnections
本文首先回顾了六种不同的分析方法，它们被广泛用于导出二阶非线性常微分方程的对称性、积分因子、乘子、达布多项式和积分。我们通过考虑一个非线性振子方程作为例子来说明每种方法背后的算法。在本文的第二部分中，我们研究了这些方法之间的相互联系。我们建立了一个路线图之间的扩展Prelle-Singer程序与所有其他方法引用上述，从而证明了李点对称性，$λ$ -对称性，伴随对称性，零形式，积分因子，达布多项式，雅可比乘子的二阶可积常微分方程之间的相互作用。最后用同一个例子说明了这种互连。
2015-02-13 math-ph math.MP nlin.SI
The regularized free fall I -- Index computations
主要结果是，首先，推广的Conley-Zehnder指数从常微分方程的延迟方程在手，其次，平等的莫尔斯指数和顺时针归一化的Conley-Zehnder指数。
2021-10-17 math-ph math.MP math.SG
Second-order delay ordinary differential equations, their symmetries and application to a traffic problem
本文是第三个系列的目的是使用李群理论获得精确的分析解的延迟常微分系统（DODS）。这样的系统由涉及一个自变量$x$和一个因变量$y$的两个方程组成。与常微分方程相反，变量$x$在多个点上出现（我们考虑两个点的情况，$x$和$x_-$）。因变量$y$及其衍生物在$x$和$x_-$中都有体现。前两篇文章专门讨论了{ \it一}阶DODS，这里我们集中讨论一大类{ \it二}阶DODS。我们表明，在这个类的对称代数可以是尺寸$n$与$0 \leq n \leq 6$的非线性DODS和必须是$n=\infty$的线性或可线性化的。利用对称代数可以得到精确的特群不变解。作为一个具体的应用，我们给出了交通流的DODS模型的一些精确解。
2020-07-08 math-ph math.CA math.MP
Numerical solutions of boundary value problems for variable coefficient generalized KdV equations using Lie symmetries
Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）；Department of Mathematics, University of Nicosia（尼科西亚大学数学系）；Department of Mathematics and Statistics, University of Cyprus（塞浦路斯大学数学与统计系）
本文通过李对称性将变系数广义KdV方程的初值与边界值问题转化为非线性三阶常微分方程的初值问题，并利用有限差分法进行数值求解。
2013-09-04 cs.NA math-ph math.MP
Lower-order ODEs to determine new twisting type N Einstein spaces via CR geometry
在寻找具有扭曲主零方向的N型PetrovN型爱因斯坦场方程的真空解时，描述这种零向量同余的参数空间的CR结构提供了一个非常有用的工具。希尔、莱万多夫斯基和努罗夫斯基的一项工作为此奠定了良好的基础，将场方程简化为一组微分方程，用于两个函数，一个是实函数，一个是复函数，三个变量。在存在一个Killing向量的假设下，确定了这些方程的（无限维）经典对称性，并考虑了它们的群不变解。这导致一个单一的三阶常微分方程可以很容易地减少到一个二阶。实现了这个二阶方程的幂级数解g（w）的单参数类，在原点的邻域中全纯，并且对于w的大值，渐近表现为简单的二次函数加上低阶项，这构成了扭曲型N问题的新解。Leroy和Nurowski发现的解是这类问题的特例。Cartan的方法确定CR流形的等价性是用来表明，这类确实是更一般。此外，对于参数的特殊选择，该常微分方程可以被积分一次，以提供一阶Abel方程。它也可以确定新的解决方案的领域方程虽然还没有普遍的解决方案尚未找到它。
2012-03-13 gr-qc math-ph math.MP
Two-dimensional Systems that Arise from the Noether Classification of Lagrangians on the Line
构造了在写出两个常微分方程（ODE）系统不变量中起重要作用的Noether-like算子。这类算子的分类是借助于线上拉格朗日量的解析延拓进行的。文中还简要地介绍了常微分方程系统的Noether类算子也是Noether对称的情形。特别地，从5维复Noether代数出发，对二维自由粒子方程组的最简单系统，给出了8维极大Noether子代数.本文给出了Noether-like算子的有效性，并给出了非线性微分方程组的所有首次积分的确定方法，这在以前的文献中是没有报道的。本文的研究为构造非线性微分方程组的首次积分提供了一个新的方向。
2011-07-22 math-ph math.CA math.MP
Delay ordinary differential equations: from Lagrangian approach to Hamiltonian approach
本文针对延迟常微分方程提出哈密顿表述，建立哈密顿延迟算子恒等式并推导诺特定理型定理，探究相关不变性的关联，通过算例验证理论结果。
2024-09-12 math-ph math.MP nlin.SI
Symmetry Approach to Integration of Ordinary Differential Equations with Retarded Argument
Keldysh Institute of Applied Mathematics, Russian Academy of Science（俄罗斯科学院凯尔迪什应用数学研究所）；Norwegian School of Economics（挪威商学院）；Suranaree University of Technology（素拉那瑞技术大学）
本文综述了利用李群对称性研究带延迟变元常微分方程的方法，完成一阶和二阶单延迟方程的李群分类，并通过诺特型定理给出二阶延迟方程的首积分，最后提出若干开放问题。
2025-11-06 math-ph math.CA math.MP
First integrals of ordinary difference equations beyond Lagrangian methods
提出了一种求离散方程首次积分的新方法。它可以用于离散方程不具备变分（拉格朗日或哈密顿）制定。该方法是基于一个新建立的身份，它连接的基本离散方程的对称性，离散伴随方程和第一积分的解决方案。该方法适用于不变映射和离散化的二阶和三阶常微分方程。在例子中，独立的第一积分的集合使得有可能找到离散方程的通解。该方法相比，一个直接的方法构造第一积分。
2013-11-07 math-ph math.MP nlin.SI
Discrete q-derivatives and symmetries of q-difference equations
在本文中，我们推广的阴影演算，开发处理差分方程的一致格，q-差分方程。我们证明了满足本底演算的平移不变差分算子的许多性质可以应用到q-差分算子的情形中。这种q-本影演算可以用来提供线性q-差分方程和q-微分延迟方程的解。为了说明这个方法，我们将把所得结果应用于构造q-热方程的对称解和求解一个线性常二阶q-差分方程
2003-10-06 math-ph math.MP nlin.SI
Exact Solutions and Reductions of Nonlinear Diffusion PDEs of Pantograph Type
我们研究非线性缩放型反应扩散偏微分方程，其中，除了未知的$u=u(x,t)$，也包含相同的功能与膨胀或收缩的参数的形式$w=u(px,t)$，$w=u(x,qt)$，和$w=u(px,qt)$，其中$p$和$q$是自由标度参数（与比例延迟的方程，我们有$0<p<1$，$0<q<1$）。简要回顾了缩放型常微分方程和偏微分方程及其应用的出版物。本文首次给出了这类非线性偏泛函微分方程的精确解和约化。我们提出了比例延迟的非线性缩放型偏微分方程的例子，它允许行波和自相似的解决方案（注意，具有常数延迟的偏微分方程没有自相似的解决方案）。还得到了加法解、乘法解、泛函可分解以及其它一些精确解。特别注意的是一个相当一般的形式，其中包含一个或两个任意函数的非线性缩放型偏微分方程。总共有四十多个非线性缩放型反应扩散偏微分方程的扩张或收缩的参数，承认精确解，已被认为是。本文还讨论了多比例尺非线性偏微分方程。类比原理的制定，这使得有可能有效地构造精确解的非线性缩放型偏微分方程。本文还讨论了任意依赖于时间或空间坐标的变时滞非线性泛函微分方程的一些精确解。所提出的方程及其精确解可用于制定测试问题，旨在评估数值和近似分析方法求解相应的非线性初边值问题的变时滞偏微分方程的精度。
2021-03-02 math-ph math.AP math.MP
On singular Frobenius for second order linear partial differential equations
本文主要研究解析二阶线性偏微分方程。我们的目标是解决经典方程和更多，在真实或复杂的分析情况。这是通过引入Frobenius方法的方法为二阶线性常微分方程的启发。引入了Euler型偏微分方程的概念。对于这样一个偏微分方程，我们将一个指数二次曲线，它是一个二次的仿射平面曲线。然后是正则奇异性的概念和最后的收敛定理，这必须考虑到PDE的类型（抛物线，椭圆或双曲）和非共振条件。这个条件给出了一个新的几何解释之间的原始条件的原始Frobenius定理的根二阶常微分方程。这种解释类似于，某个网格在指数二次曲线上是否有顶点。最后，我们用这种方法恢复了所有经典偏微分方程（热扩散、波传播和Laplace方程）的解，并将具有显式算法解的偏微分方程的类别增加到远远超出了允许可分变量的偏微分方程的类别。文章的最后一部分用两种不同的方法构造了Airy，Legendre，Laguerre，Hermite和Chebyshev等经典常微分方程的偏微分方程模型。一个模型是基于这样的要求，即通过原点的线的PDE的限制必须是经典的ODE模型。第二种是基于偏微分方程模型具有对称性，模仿常微分方程模型的思想。我们研究这些偏微分方程，并获得他们的解决方案，获得的框架的偏微分方程的一些经典的结果，如存在的多项式的解决方案（Laguerre，Hermite和切比雪夫多项式）。
2019-07-04 math-ph math.DS math.MP
