On the Eigenvalue Density of Real and Complex Wishart Correlation Matrices
Wishart相关矩阵是时间序列统计分析的标准模型。系综平均本征值密度具有重要的理论和实际意义。对于复杂的时间序列和相关矩阵，特征值密度是精确已知的。然而，在实际情况中，一个基本的数学障碍使得获得精确结果变得极其复杂。我们使用超对称方法来完全规避这个问题。我们提出了一个确切的公式，在实际情况下的特征值密度的二重积分和有限和。
2010-10-08 math-ph math.MP math.ST
Eigenvalue statistics for the sum of two complex Wishart matrices
独立Wishart矩阵之和，取自具有不等协方差矩阵的分布，在多元统计中起着至关重要的作用，并在定量金融和电信领域有应用。然而，有关相应的特征值统计的分析结果仍然不可用，即使是两个Wishart矩阵的总和。这可以归因于矩阵分布的复杂性和旋转非不变性质，使得提取关于特征值的信息成为一项重要的任务。使用广义的Harish-Chandra-Itzykson-Zuber积分，我们发现这个问题的精确解的复杂Wishart情况下，协方差矩阵之一是成比例的单位矩阵，而其他是任意的。我们推导出了特征值的联合概率密度和边缘密度的精确而紧凑的表达式。分析结果与数值模拟进行了比较，我们发现完美的协议。
2014-09-22 math-ph math.MP math.ST
Eigenvalue Density of the Doubly Correlated Wishart Model: Exact Results
在不同时间和不同观测点收集的数据集可以具有不同时间$and$和不同位置的相关性。双重相关的Wishart模型将两者都考虑在内。我们利用超对称性计算了Wishart相关矩阵的本征值密度。在复杂的情况下，我们得到了一个新的封闭形式的表达，我们在文献中以前的结果进行比较。在更相关和更复杂的实际情况下，我们推导出一个四重积分的密度表达式。最后，我们计算了大相关矩阵极限下的密度。
2014-12-09 math-ph math.MP math.ST
Probability densities and distributions for spiked and general variance Wishart $β$-ensembles
当基础协方差矩阵具有不同于1的单个特征值$b$时，Wishart矩阵被称为尖峰。当$b$通过$b=2$增加时，从最大本征值到谱的其余部分形成间隙，并且对于$N^{-1/3}$阶的$b-2$，缩放的最大本征值形成良好定义的参数依赖态。Bloemendal和Virág [BV]和Mo最近的工作从不同的角度量化了真实Wishart矩阵的参数依赖状态，并且前作者对尖峰Wishart $β$ -系综做了类似的工作。后者定义在某些随机双对角矩阵。我们使用一个递归的结构，给出了另一种结构的尖峰和更一般的一般方差Wishart $β$ -合奏，我们给出了确切的形式的联合特征值PDF的两个矩阵的递归。在真正的四元数Wishart矩阵（$β= 4$）的情况下，后者被认为是出现在早期的研究对称化的最后一次通过渗流，允许的确切形式的最大特征值的缩放分布。这扩展和简化了Wang的早期工作，并且是[BV]中结果的替代推导。我们还使用的建设尖峰Wishart $β$ -合奏从[BV]给出一个简单的推导的显式形式的特征值PDF。
2014-06-28 math-ph math.MP
Smallest eigenvalue density for regular or fixed-trace complex Wishart-Laguerre ensemble and entanglement in coupled kicked tops
最小特征值的统计行为具有重要的影响，系统可以使用Wishart-Laguerre合奏，定期或固定的跟踪之一。例如，Wishart-Laguerre系综的最小特征值的密度在表征多信道电信系统中起着至关重要的作用。类似地，在量子纠缠问题中，固定迹系综的最小本征值携带关于纠缠性质的信息。对于实Wishart-Laguerre矩阵，存在Edelman提出的一个简洁的递推格式，可以直接得到最小特征值密度的精确表达式。在复杂的Wishart-Laguerre矩阵的情况下，为找到最小特征值密度的精确和明确的表达式，现有的结果的基础上的决定因素变得不切实际时，涉及大型矩阵的决定因素。在这项工作中，我们推导出一个递归计划的复杂情况下，这是类似于埃德尔曼的真实情况。这是用来获得准确的结果，为最小的本征值密度的定期，和固定的跟踪复杂的Wishart-Laguerre合奏。我们使用蒙特卡罗模拟验证我们的分析结果。我们还研究了缩放的Wishart-Laguerre系综，并探讨其在近似固定轨迹系综的有效性。最后，我们应用我们的结果为固定的轨迹合奏调查的最小本征值的耦合踢顶的典范系统的行为。
2017-07-29 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Limiting Statistics of the Largest and Smallest Eigenvalues in the Correlated Wishart Model
相关Wishart模型提供了一个标准的工具，用于分析各种系统的相关性。虽然复杂的相关矩阵是众所周知的，经验上更重要的实际情况仍然构成了巨大的挑战。本文提出了一种新的方法，将任意统计量仅依赖于不变量映射到不变的厄米矩阵模型。为了完整性，我们还包括四元数的情况下，并处理所有三种情况下，在一个统一的方式。作为一个重要的应用，我们研究了关联Wishart模型中最大特征值及其极限分布的统计特性，因为它们有助于估计大型复杂系统的行为。我们表明，即使是完全相关的Wishart合奏，Tracy-Widom分布可以是最大和最小的本征值的极限分布，提供一定的缩放的经验本征值。
2014-12-23 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Distribution of the Smallest Eigenvalue in Complex and Real Correlated Wishart Ensembles
对于关联Gaussian Wishart系综，我们计算了最小本征值的分布和相应的间隙概率，得到了复态（β=2）和实态（β=1）的精确结果。对于一组特定的经验相关矩阵，我们发现普遍性的谱密度，为真正的和复杂的合奏和各种矩形。我们计算了间隙概率和最小本征值分布的渐近和普适结果。我们使用超对称方法，特别是广义Hubbard-Stratonovich变换和超玻色化。
2014-04-11 math-ph math.MP math.ST
Spectral Moments of Correlated Wishart Matrices
我们提出了一种分析方法来确定相关Wishart随机矩阵的协方差矩阵的谱特性。该方法在大矩阵的极限下，给出了协方差矩阵的谱矩与特征值密度及其估计量之间的精确解析关系。其结果可用于在实践中提取信息的真实相关性从给定的实验实现的随机矩阵。
2004-05-12 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Extreme Eigenvalues of Wishart Matrices: Application to Entangled Bipartite System
我们讨论了随机矩阵理论在量子系统的二体纠缠估计中的应用。我们讨论如何Wishart合奏（最早研究的随机矩阵合奏）出现在这个量子问题。其中一个子系统的约化密度矩阵的特征值具有与Wishart矩阵相似的统计性质，除了它们的{ \em迹被约束为1}。在这里，我们专注于最小的本征值，这是一个重要的措施，两个子系统之间的纠缠。在硬边的情况下（当两个子系统具有相等的大小），可以充分表征的概率分布的最小特征值的实数，复数和四元数矩阵的所有大小。特别是，我们讨论了重要的有限尺寸效应由于{ \em固定的轨迹约束}。
2010-05-25 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Matrix Moments in a Real, Doubly Correlated Algebraic Generalization of the Wishart Model
随着各种类型复杂系统数据量的增长，随机协方差或相关矩阵的Wishart模型继续得到越来越多的应用。重尾经常遇到Wishart模型的即时推广，涉及代数分布而不是高斯分布。数学性质提出了新的挑战，特别是双重相关的版本。在这里，我们研究这样一个双相关的代数模型的真正的协方差或相关矩阵。我们重点讨论了矩阵矩，并明确计算了第一和第二个，后者的计算是不平凡的。我们解决了这个问题，通过将其与Aomoto积分和通过扩展递归技术来计算Ingham-Siegel积分。我们比较我们的结果与高斯的情况。
2020-11-15 cond-mat.dis-nn math-ph math.MP
Eigenvalue statistics for product complex Wishart matrices
研究了复$N \times N$ Wishart矩阵$X_{r,s}^\dagger X_{r,s}$的特征值统计，其中$ X_{r,s}$等于$r$复高斯矩阵与$s$复高斯矩阵的逆矩阵的乘积.在$r=s$的情况下，计算全局密度的精确形式。相应的广义特征值问题的平均特征多项式计算的一个特定的广义超几何函数${}_{s+1} F_r$。对于有限的$N$的本征值概率密度函数的计算，并示出是一个例子的双正交系综。导出了相应的相关核的双围道积分形式，从而可以计算硬边缘的尺度极限。极限核是根据某些Meijer G-函数给出的，并且与Kuijlaars和Zhang最近在$s=0$情况下的工作中发现的相同。讨论了核函数和相应的关联函数的性质。
2014-08-13 math-ph math.MP
Recursion for the smallest eigenvalue density of $β$-Wishart-Laguerre ensemble
Wishart-Laguerre系综最小特征值的统计从几个角度来看是重要的。最小的特征值密度通常可以用行列式或Pfweian来表示。这些结果对于理解Wishart-Laguerre系综的谱行为具有极其重要的意义，除其他外，还揭示了渐近极限中潜在的普适性方面。然而，如果涉及到大维数矩阵，通过展开行列式或Pfumerans获得精确和显式的表达式变得不切实际。对于实矩阵（$β=1$），Edelman提供了一种有效的递推方法，可以得到不涉及行列式或矩阵的最小特征值密度的精确而明确的结果。最近，一个类似的递归计划已经获得了复杂的矩阵（$β=2$）。在目前的工作中，我们扩展到$β$ -Wishart-Laguerre合奏的情况下，指数$α$在相关的Laguerre权重函数，$λ^αe^{-βλ/2}$，是一个非负整数，而$β$是正实数。这也使访问固定轨迹$β$ -Wishart-Laguerre合奏的最小特征值密度，以及这两种情况下的时刻。此外，与较早的结果的最小特征值密度在某些超几何函数的矩阵参数的结果在一个有效的方式来评估这些明确。对大值的$n$（矩阵维数）和$α$的精确评估也使我们能够与Tracy-Widom密度和Katzav和Castillo的大偏差结果进行比较。我们还使用我们的结果，以获得密度的最大的适当的延迟时间是Wigner-Smith矩阵的本征值和量子混沌散射的问题有关。
2019-02-19 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Random matrix ensembles involving Gaussian Wigner and Wishart matrices, and biorthogonal structure
我们考虑四个非平凡的合奏涉及高斯Wigner和Wishart矩阵。这些都与从多天线通信到随机超重力的问题有关。我们推导出矩阵的概率密度，以及这些合奏的特征值密度。在所有情况下，联合特征值密度表现出双正交结构。基于Andréief积分公式的推广，采用行列式表示来简洁地表示特征值的$r$ -点关联函数.这种表示方法避免了通常方法中遇到的复杂情况，并且通过检查特征值的联合密度立即得到答案。我们使用蒙特卡罗模拟验证我们的分析结果。
2015-09-15 math-ph math.MP math.ST
Correlated Wishart Matrices and Critical Horizons
讨论了一种确定经验相关矩阵特征值谱的实用方法。该方法是基于共形映射在临界视界的行为的分析，临界视界被定义为该映射的物理黎曼面的边界线。该地图是马琴科-帕斯图方程的一个方便的表示。
2005-08-14 cond-mat.other cond-mat.stat-mech math-ph
A Survey on the Eigenvalues Local Behavior of Large Complex Correlated Wishart Matrices
本说明的目的是对作者最近的作品进行教学调查（arXiv：1409.7548和arXiv：1507.06013）关于在谱的边缘和尖点处的大的复相关Wishart矩阵的特征值的局部行为：在相当一般的条件下，本征值在极限谱的软边、硬边（当硬边存在时）和尖点处的涨落分别用Airy核描述，贝塞尔核或者皮尔斯核此外，在几个软边缘的特征值波动是渐近独立的。特别地，可以描述矩阵条件数的渐近涨落。最后给出了硬边渐近性的次项。
2015-09-16 math-ph math.MP math.PR
Compact smallest eigenvalue expressions in Wishart-Laguerre ensembles with or without fixed-trace
二分量子系统中随机纯态的纠缠度可以根据极端施密特本征值的分布来估计。对于大小为M \geq N的二分区，这些根据大小为N × M的随机矩阵的Wishart-Laguerre系综（WL）分布，具有固定的迹约束。我们首先计算任意M \geq N的固定迹正交WL系综中最小特征值的分布和矩。我们的方法是基于拉普拉斯反演的递归结果为相应的正交WL合奏Edelman。对于固定的N和M给出了显式例子，推广和简化了早期的结果。在M-N固定的微观大N极限下，正交和酉WL分布在适当的重新标度后表现出普适性，因此与约束无关。我们证明，最近的结果在超几何函数的矩阵参数是等价的更明确的表达在Pfiran或行列式的贝塞尔函数。虽然后者大多是已知的随机矩阵文献的QCD狄拉克算子谱，我们也得到了一些新的结果在正交对称类。
2011-04-28 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Note on the representation of the gap formation probability for real and quaternion Wishart matrices
Wishart随机矩阵常用于物理、金融、生物和无线通信等领域的多变量系统建模。极值统计量，如最小特征值的统计量，可以用来检验模型的准确性。本文研究了实和四元数$N\times \left(N+ν\right)$ Wishart随机矩阵在大$N$极限下的间隙形成概率（最小特征值的累积分布函数）.我们推导出了已知函数的行列式的紧表达式。作为该表示的结果，间隙形成概率分别针对$ν$偶数和$ν$奇数以指数$ν$求解Toda晶格方程。
2016-07-16 math-ph math.MP
Asymptotic Eigenvalue Distribution of Wishart Matrices whose Components are not Independently and Identically Distributed
在目前的工作中，特征值分布定义的随机矩形矩阵，其组件既不独立也不相同的分布进行了分析，使用副本分析和信念传播。特别是，我们考虑的情况下，其中的组件是独立的，但不相同的分布;例如，只有在每一行或每一列中的组件可能是{同分布}。我们还考虑了更一般的情况下，其中的组件是相互关联的。我们使用副本方法，同时仅做出较弱的假设，以确定渐进特征值分布，并基于置信传播推导出这样做的算法。我们的发现之一支持从费曼图得到的结果。我们提出了几个数值实验，验证我们提出的方法的结果。
2016-05-22 cond-mat.dis-nn math-ph math.MP
The Smallest Eigenvalue Distribution in the Real Wishart-Laguerre Ensemble with Even Topology
我们考虑矩形随机矩阵的大小$p\times n$属于真正的Wishart-Laguerre系综也被称为手征高斯正交系综。这个系综出现在许多应用中，如QCD，介观物理和时间序列分析。我们特别感兴趣的是最小的非零特征值的分布和间隙概率，找到没有特征值的间隔$[0,t]$。对于奇拓扑$ν=n-p$，已知有限和无限矩阵大小的显式封闭结果，而对于偶拓扑$ν>2$，只有$p$中的递归表达式可用.一般偶拓扑$ν$的最小特征值分布以及间隙概率等价于特征多项式的期望值提升到半整数.这种平均值的计算是通过斜正交多项式和玻色子化方法的组合来完成的。结果给出了在有限的$p$和硬边缩放限制（$p\to\infty$和$ν$固定）的任意偶拓扑$ν$的Pfalan行列式。相关Wishart合奏的数值模拟说明了我们的结果在这个特定的限制的普遍性。这些模拟点的有效性的硬边缘缩放限制以外的不变的情况下。
2015-05-19 cond-mat.stat-mech hep-lat math-ph
Recursion scheme for the largest $β$-Wishart-Laguerre eigenvalue and Landauer conductance in quantum transport
Wishart-Laguerre系综的最大特征值分布由Dyson参数$β$和Laguerre参数$a$表示，是多元统计中的基础，并在不同领域中得到应用。基于广义的Selberg积分，我们提供了一个有效的递归计划来计算这个分布显式的原始模型，和一个固定的跟踪变量，为$a,β$非负整数和有限的矩阵大小。对于$β= 2$，这规避了已知的基于行列式的符号求值，该行列式对于大尺寸变得不切实际。我们的精确结果在多通道通信和二体纠缠等领域有直接的应用。此外，我们还导致了一个长期存在的问题，寻找一个普遍的结果，在一个混乱的介观腔中的Landauer电导分布的两个理想的线索的精确解。到目前为止，精确的封闭形式的结果，这是只有在傅里叶-拉普拉斯空间或可以获得的个案的基础上。
2019-12-10 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech math-ph
Finite N corrections to the limiting distribution of the smallest eigenvalue of Wishart complex matrices
本文研究了Laguerre-Wishart矩阵$W = X^\dagger X$的最小特征值的概率分布函数，其中$X$是一个随机$M \times N$（$M \geq N$）矩阵，元素与复高斯无关.我们计算这个PDF的半经典正交多项式，这是变形的拉盖尔多项式。通过分析这些多项式，及其相关的递归关系，在大$N$的限制，大$M$与$M/N \to 1$ -即准正方形大矩阵$X$ -我们表明，这种PDF，在硬边极限，可以表示在一个Painlevé III方程的解决方案，发现特雷西和Widom，使用Fredholm运营商技术。此外，我们的方法使我们能够明确计算的第一个$1/N$修正这个限制分布在硬边。我们的计算证实了Edelman，Guionnet和Péché最近的一个猜想。我们还研究了软边极限，当$M-N \sim {\cal O}(N)$，为此，我们推测的形式的第一个修正的极限分布的最小特征值。
2015-06-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Moments of Wishart-Laguerre and Jacobi ensembles of random matrices: application to the quantum transport problem in chaotic cavities
我们收集明确的和用户友好的表达式为一点密度的实特征值$\{λ_i\}$的$N\times N$ Wishart-Laguerre和雅可比随机矩阵的正交，酉和辛对称。使用这些公式，我们计算整数矩$τ_n=<\sum_{i=1}^Nλ_i^n>$的所有对称类没有任何大的$N$近似。特别是，我们的研究结果提供了精确的表达的时刻传输本征值的混沌腔与时间反转或自旋翻转对称性和支持有限的和任意数量的电子通道中的两个传入的引线。
2011-03-16 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech math-ph
Completing the picture for the smallest eigenvalue of real Wishart matrices
具有高斯分布的矩形实$N \times (N + ν)$矩阵$W$在数据分析、凝聚态物理和量子场论中经常出现。一个中心问题是关于$WW^T$的谱统计中编码的相关性。$W W^T$的极端特征值是特别感兴趣的。我们显式计算的分布和间隙概率的最小的非零本征值在这个合奏，无论是任意固定的$N$和$ν$，并在通用的大$N$极限与$ν$固定。我们发现了一个对$ν\geq 0$的所有偶数值都有效的可积Pfronan结构。这扩展了以前的结果奇数$ν$在无限$N$和递归结果有限$N$和所有$ν$。我们的数学结果包括特征多项式的半整数幂的期望值的计算。
2015-03-09 cond-mat.stat-mech hep-lat math-ph
Real Eigenvalues of Asymmetric Wishart Matrices: Expected Number, Global Density and Integrable Structure
该研究针对带矩形与非厄米性参数的非对称Wishart矩阵实特征值，建立关联核分解结构，推导不同非厄米区域下实特征值期望数的标度律与首项系数，以及极限密度，丰富了随机矩阵可积结构研究。
2025-03-19 math-ph math.MP math.PR
Scaling limits of complex and symplectic non-Hermitian Wishart ensembles
本文针对复和辛对称类的非 Hermite Wishart 矩阵，借助广义 Christoffel–Darboux 公式统一推导强弱非 Hermite 性下体区与边缘的普适标度极限。
2024-02-28 math-ph math.MP math.PR
Asymptotic Coincidence of the Statistics for Degenerate and Non-Degenerate Correlated Real Wishart Ensembles
相关Wishart模型在分析任何类型的时间序列时提供了标准基准。不幸的是，实际情况下，这是最相关的应用程序，提出了严重的挑战，分析计算。通常这些挑战是由于平方根奇异性，不能使用常见的随机矩阵技术处理。我们提出了一种新的方法来解决这个问题。利用超对称性，我们进行了分析研究，我们支持的数值模拟。对于大的，但有限的矩阵维数，我们表明，统计性质的完全相关的真实Wishart模型一般接近那些相关的真实Wishart模型与双矩阵维数和双退化的经验特征值。这适用于局部和全局谱统计。与蒙特卡罗模拟，我们表明，这是甚至近似为真的小矩阵尺寸。我们明确调查的$k$点关联函数以及分布的最大特征值，我们发现一个令人惊讶的紧凑的公式在双退化的情况下。此外，我们表明，在局部尺度上的$k$ -点关联函数表现出的正弦和艾里核在散装和软边缘，分别。我们还讨论了数据中可能的异常值的位置和波动。
2017-04-26 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Non-Hermitian extensions of Wishart random matrix ensembles
我们简要回顾了三个合奏的非厄米随机矩阵推广的Wishart-Laguerre（也称为手征）合奏的解决方案。这些推广被实现为高斯双矩阵模型，其中寻求两个独立的矩形矩阵的乘积的复特征值，其中两个矩阵的矩阵元素是实数、复数或四元数实数。我们还提出了更一般的情况下，取决于一个非厄米参数，这使我们能够插在相应的三个厄米Wishart合奏与真正的特征值和最大的非厄米情况。对于所有复特征值相关函数（以及实矩阵元素的实相关或混合相关），所有三个对称类都被明确地求解为有限矩阵大小NXM。这些都是在相应的内核建立从正交或斜正交拉盖尔多项式在复平面。然后，我们提出了相应的三个贝塞尔核在复平面中的微观大N标度极限在原点，无论是在弱和强非厄米性与M-N大于或等于0固定。
2011-04-27 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Finite rank perturbations in products of coupled random matrices: From one correlated to two Wishart ensembles
我们比较有限秩扰动以下三个合奏复杂的矩形随机矩阵：第一，一个广义Wishart合奏一个随机和两个固定的相关矩阵介绍了Borodin和Péché，第二，产品的两个独立的随机矩阵，其中一个有相关的条目，第三，当两个随机矩阵也成为耦合通过一个固定的矩阵的情况。所有三个合奏的奇异值统计被证明是决定性的，我们推导出双轮廓积分表示各自的内核。在谱的原点处，在无限矩阵维数的极限下，发现了三种不同的核。它们依赖于有限秩扰动的相关和耦合矩阵，并示出是可积的。第一个核（I）被发现两个独立的矩阵从第二个，两个弱耦合矩阵从第三个合奏。它概括了Meijer $G$ -内核的两个独立和不相关的矩阵。第三内核（III）得到的广义Wishart合奏和两个强耦合矩阵。它进一步推广了Desrosiers和Forrester的扰动贝塞尔内核。最后，内核（II），发现两个耦合矩阵的合奏，提供了内核（I）和（III）之间的插值，概括了以前的研究结果的一部分作者。
2018-03-03 math-ph math.MP
Supersymmetry approach to Wishart correlation matrices: Exact results
我们计算“一点函数”，意思是任何单个特征值的边际概率密度函数，实和复Wishart相关阵。到目前为止，还没有得到真实情况下的显式表达式。我们成功地做到了这一点，通过使用超对称技术来表达一个点函数，真正的Wishart相关阵作为一个双重积分。这个结果可以看作是一系列杰克多项式在非平凡情况下的重新表示。我们通过数值模拟来说明我们的公式。我们还重新推导了复Wishart相关阵的一点函数的一个已知表达式.
2012-08-31 math-ph math.MP math.ST
Spectral statistics for the difference of two Wishart matrices
在这项工作中，我们考虑两个独立的复Wishart矩阵的加权差，并推导出相应的特征值在有限维的情况下，使用两种不同的方法的联合概率密度函数。第一个推导涉及酉群积分的使用，而第二个依赖于应用导数原理。后者将从酉不变系综中提取的矩阵的特征值的联合概率密度与其对角元素的联合概率密度相关联。给出了任意阶关联函数的精确封闭形式表达式，并将谱密度与蒙特卡罗模拟结果进行了对比。分析结果的时刻以及概率量化积极方面的频谱也来自。此外，我们提供了一个大尺寸的渐近结果的谱密度使用Stieltjes变换方法的代数随机矩阵。最后，指出了这些结果与两个随机密度矩阵的差的相应结果之间的关系，并得到了谱密度和绝对均值的显式封闭形式表达式。
2020-11-14 math-ph math.MP physics.data-an
Universal shocks in the Wishart random-matrix ensemble - a sequel
本文研究了复Wishart矩阵的扩散问题，导出了一个控制其平均特征多项式行为的偏微分方程。在大尺寸矩阵的限制下，该多项式的逆Cole-Hopf变换服从一个非线性偏微分方程，其解在特征值谱的演化边缘处表现出冲击。在一个特定的场景中，其中一个冲击击中了起着不可逾越的墙作用的起源。为了研究临界点附近的普遍行为，我们导出了平均特征多项式的积分表示，并研究了其渐近行为。结果是一个Bessoid函数。
2013-09-04 math-ph math.MP
Spectral Domain of Large Nonsymmetric Correlated Wishart Matrices
本文研究了非对称相关矩阵Wishart模型的复特征值问题。该模型被定义为两个统计上等价但不同的高斯实矩阵，作为$\mathsf{C}=\mathsf{AB}^{t}/T$，其中$\mathsf{B}^{t}$是$\mathsf{B}$的转置，并且矩阵$\mathsf{A}$和$\mathsf{B}$都具有维度$N\times T$。我们考虑矩阵之间的{ \it实际}相关性，使得在总体平均上$\mathsf{C}$不消失。我们导出了在大的$N$和$T$极限下$\mathsf{C}$的谱密度的循环方程，其中比率$N/T$是有限的。实际的相关性改变了$\mathsf{C}$的复特征值，从而改变了它们的域，这与消失的$\mathsf{C}$或不相关的$\mathsf{A}$和$\mathsf{B}$的结果不同。使用回路方程，我们得到描述$\mathsf{C}$的特征值的{the}大部分的域的轮廓的{a}结果。如果非零相关矩阵与相同的元素$c\ne0$成对角，则轮廓不再是以原点为中心的圆，而是偏移的椭圆。在这种情况下，环路方程是解析可解的，我们明确地推导出谱密度的{a}结果。对于更一般的情况下，我们的分析结果意味着轮廓取决于它的对称和反对称部分，如果非零相关矩阵是非对称的。另一方面，如果它是对称的，那么轮廓只取决于相关矩阵的频谱。我们还提供数字来证明我们的分析。
2014-11-20 math-ph math.MP
Non-Hermitean Wishart random matrices (I)
H.I.T. – Holon Institute of Technology（赫隆理工学院）；Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；University of Toronto（多伦多大学）
本研究提出非厄米Wishart随机矩阵扩展框架，针对复值矩阵建立谱理论，推导平均特征值密度的复平面Marchenko-Pastur定律对应形式，并揭示其与量子色动力学矩阵模型的关联，为多类随机时间序列统计分析提供理论基础。
2010-10-14 cond-mat.dis-nn hep-th math-ph
Relations between generalised Wishart matrices, the Muttalib--Borodin model and matrix spherical functions
本文统一了实数与复数情形下广义不相关Wishart矩阵理论的发展路线，并揭示其与Muttalib–Borodin模型及矩阵球函数在特征值分布推导中的联系。
2023-08-29 math-ph math.MP
Decomposition of spectral density in individual eigenvalue contributions
两个随机矩阵系综，Wigner高斯矩阵和Wishart协变矩阵的特征值密度，分解在每个单独的特征值分布的贡献。它示出的波动的所有特征值，为中等矩阵的大小，描述了一个很好的精度，近正态分布。
2010-08-13 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
Asymptotic correlations for Gaussian and Wishart matrices with external source
我们考虑高斯（Hermite）和Wishart（Laguerre）$N\times N$厄米矩阵的系综。我们研究的效果有限秩扰动这些合奏的源项。扰动的秩$r$对应于源矩阵的非零特征值的数目。在扰动系综中，关联函数可以写成核函数。我们发现，对于所有的$N$，扰动和未扰动的内核之间的差异是一个退化的内核大小$r$依赖于多个厄米或拉盖尔函数。我们还计算渐近公式的多个Laguerre函数内核的条款多个贝塞尔（分别。Airy）函数。这导致了大的$N$限制硬核（分别为：软）的扰动拉盖尔系综的频谱边缘。在Hermite情况下也得到了类似的结果。
2006-07-04 math-ph math.MP
Matrix Kesten Recursion, Inverse-Wishart Ensemble and Fermions in a Morse Potential
随机变量$1+z_1+z_1z_2+\dots$出现在许多情况下，并由Kesten证明具有重尾分布。我们考虑自然扩展这个变量及其相关的递归$N \times N$矩阵的实对称$β=1$或复杂的埃尔米特$β=2$。在这个递归的连续极限，我们表明，矩阵分布收敛到逆Wishart合奏的随机矩阵。使用映射到$N$费米子的Morse势，这是非相互作用的$β=2$解决了完整的动力学。在有限的$N$的分布特征值表现出重尾，推广Kesten的结果在标量的情况下。研究了大$N$情况下的费米子密度分布，发现本征值分布的幂律尾与描述随机矩阵硬边普适性的行列式贝塞尔过程的性质有关.对于离散矩阵递推，利用$N$大极限下的自由概率，得到了平稳分布的自洽方程。我们的研究结果的关系，最近的作品骑士和Valkó，Grabsch和Texier，以及Ossipov，进行了讨论。
2021-07-31 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
A note on universality of the distribution of the largest eigenvalues in certain sample covariance matrices
最近Johansson和Johnstone证明了复（实）Wishart矩阵$ X^* \* X (X^t \*X) $的最大主成分的分布收敛于Tracy-Widom定律，因为$ n, p $（$ X $的维数）以一定的比例$ n/p \to γ>0. $趋向于$ \infty $。首先，我们证明了Wishart矩阵的第一、第二、第三等特征值的联合分布收敛于Tracy-Widom分布。其次，我们解释了如何为Wigner矩阵开发的组合机器允许将Johansson和Johnstone的结果扩展到具有非高斯项的$ X $的情况，提供了$ n-p =O(p^{1/3}) . $。我们还证明了$ λ_{max} \leq (n^{1/2}+p^{1/2})^2 +O(p^{1/2}\*\log(p)) $（a.e.）对于通用$ γ>0.$
2001-06-25 math-ph math.MP math.PR
Extreme Eigenvalue Distributions of Jacobi Ensembles: New Exact Representations, Asymptotics and Finite Size Corrections
设$\mathbf{W}_1$和$\mathbf{W}_2$分别是具有$m_1$和$m_2$自由度的独立$n\times n$复中心Wishart矩阵.本文研究了双Wishart矩阵$(\mathbf{W}_1+\mathbf{W}_2)^{-1}\mathbf{W}_1$的极值特征值分布，它类似于F矩阵${\bf W}_1 {\bf W}_2^{-1}$和Jacobi酉系综（JUE）的极值特征值分布.定义了$α_1=m_1-n$和$α_2=m_2-n$，我们得到了新的精确分布公式的$(α_1+α_2)$维矩阵行列式，元素涉及的衍生物勒让德多项式。这提供了方便的精确表示，同时便于使用固定的$α_1$和$α_2$（即，在所谓的“硬边”缩放限制下）;分析是基于勒让德多项式的新的渐近性质及其与贝塞尔函数的关系，在这里建立。具体来说，我们提出了限制公式的最小和最大的本征值分布为$n \to \infty$的$α_1$ -和$α_2$ -维行列式分别，这与预期的一致，从已知的普遍性结果，涉及的觉和拉盖尔酉系综（LUE）。我们还得到有限$n$修正的渐近极值特征值分布硬边标度下，通过比较最近获得的LUE相应的校正项，给出了新的见解的普遍性。我们的推导是基于基本的代数操作，不同于现有的结果双Wishart和相关的模型，往往涉及Fredholm行列式，Painlevé微分方程，或超几何函数的矩阵参数…
2019-06-09 math-ph math.MP
Scaling in the eigenvalue fluctuations of the empirical correlation matrices
从多元数据构造的经验相关矩阵的谱作为理解包含在典型的大型数据集中的信息的工具被广泛地用于科学、工程和社会科学的许多领域。在过去的二十年中，随机矩阵理论为基础的工具，如最近邻特征值间距和特征向量分布已被用来提取显着的模式的变化，目前在这种经验的相关性。在这项工作中，我们提出了一种替代的分析在最近推出的间距比，这不需要繁琐的展开过程。结果表明，以Dyson指数$β$为特征的随机矩阵Wishart系综的高阶间距比分布与一阶间距比分布相关，并给出了修正的余维值$β'$ .这种缩放证明了Wishart合奏，也从所观察到的股票市场和大气压力数据的经验相关矩阵的光谱。使用的分析和数值相结合，这样的缩放间距分布进行了讨论。
2018-12-04 math-ph math.MP physics.data-an
Gap probabilities and densities of extreme eigenvalues of random matrices: Exact results
我们得到确切的结果间隙概率，以及密度的极端特征值为6个复杂的随机矩阵合奏的根本重要性。这些是Gauss-Wigner，Laguerre-Wishart，Cauchy-Lorentz（两种变体），Jacobi-MANOVA和Bures-Hall（迹线不受限制）。我们处理相关和不相关的情况。基于显式矩阵模型或Dyson对数气体形式主义的广泛的蒙特卡罗模拟也已进行，证实了所有的分析结果。
2015-07-31 math-ph math.MP
Partial transpose of random quantum states: exact formulas and meanders
研究了随机量子态部分转置的经验本征值分布的渐近行为。极限分布以前通过Wishart随机矩阵间接研究（通过随机迹的Wishart矩阵近似迹1的矩阵），并显示为半圆分布或两个自由泊松分布的自由差，这取决于有关空间的维度如何增长。我们使用的Wishart矩阵给出了精确的组合公式的随机状态的部分转置的时刻。我们发现三个自然渐近制度的测地线置换群。其中两个对应于上述两种情况，第三个原来是一个新的矩阵模型的曲折多项式。在较弱的假设条件下，证明了其收敛于半圆分布及其极值特征值，并给出了后者的大偏差界。
2013-04-23 math-ph math.MP math.PR
Top eigenpair statistics of diluted Wishart matrices
针对稀释协方差矩阵的顶本征对统计问题，采用复制方法将其转化为低温球面约束下的二次哈密顿量优化问题，推导递归分布方程并通过种群动力学算法求解，所得解析结果与直接对角化数值结果高度吻合。
2025-07-31 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Non-intersecting Brownian Interfaces and Wishart Random Matrices
我们研究了一个系统的$N$非相交的$(1+1)$维波动弹性界面（“恶性桥”）在热平衡，每个周期性的边界条件在纵向方向和存在的基板，诱导每个接口的外部限制电位。我们表明，对于一个大的系统，并与适当的选择的外部限制电位，在基板上的固定点的$N$非相交界面的高度的联合分布可以映射到一个Wishart矩阵的大小$N$与复杂的条目（戴森指数$β=2$）的特征值的联合分布，从而提供了一个物理实现的Wishart矩阵。利用这种类比随机矩阵，我们计算解析（i）的平均状态密度的界面（ii）的最高和最低的界面（极值）的高度分布和（iii）的渐近（大$N$）分布的质心的界面。在最后一种情况下，我们表明，质心的概率密度有一个本质的奇异性在其峰值附近，这是一个直接后果的相变在相关的库仑气体问题。
2009-06-12 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Number of relevant directions in Principal Component Analysis and Wishart random matrices
我们分析计算，对于大$N$，概率$\mathcal{P}(N_+,N)$，一个$N\times N$ Wishart随机矩阵有$N_+$特征值超过阈值$Nζ$，包括其大偏差尾部。在对大型经验数据集执行主成分分析时，此概率起着基准作用。我们发现，$\mathcal{P}(N_+,N)\approx\exp(-βN^2 ψ_ζ(N_+/N))$，其中$β$是戴森指数的合奏和$ψ_ζ(κ)$是一个率函数，我们计算明确的全范围$0\leq κ\leq 1$和任何$ζ$。速率函数$ψ_ζ(κ)$显示出由接近其最小值$κ^\star(ζ)$的对数奇异性调制的二次行为。这被证明是在一个相关的库仑气体问题的相变的后果。相关分量的数量的方差$Δ(N)$也显示出普遍增长（独立于$ζ)$，对于大的$N$为$Δ(N)\sim (βπ^2)^{-1}\ln N$。
2011-12-22 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Spectral correlation functions of the sum of two independent complex Wishart matrices with unequal covariances
我们计算两个独立的复Wishart矩阵的和H的谱统计，每个矩阵与不同的协方差矩阵相关。随机矩阵理论有许多应用，包括随机矩阵的和与积。通常，矩阵元素之间具有相关性的集合更难求解。利用超对称、超玻色化和双正交函数的组合，我们能够确定任意矩阵尺寸N下H的所有谱k点密度关联函数。在半退化的情况下，当协方差矩阵之一是成比例的身份，最近的结果Kumar的联合特征值分布的H作为我们的出发点。在这种情况下，系综具有双正交结构，我们明确地确定了它的内核，提供了有限N的精确解。核函数由计算单个特征多项式的期望值得出。在一般的非退化的情况下，生成函数的k点预解式是从一个超对称的评价的期望值的k比率的特征多项式。数值模拟说明了我们的发现在有限N的谱密度，我们也给出了指示如何做渐近大N分析。
2016-07-02 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Large deviations for the largest eigenvalues and eigenvectors of spiked random matrices
我们考虑由随机$N\times N$矩阵从高斯正交包络（或高斯酉包络）加上一个秩一扰动强度$θ$，并专注于最大的特征值，$x$，和组件，$u$，相应的特征向量的方向与秩一扰动。我们得到了控制$x$和$u$非典型联合涨落的大偏差原理。有趣的是，对于$θ>1$，在由小的$u$值表征的大偏差中，即$u<1-1/θ$，第二大特征值从维格纳半圆中弹出，并且相关联的特征向量在对应于秩1扰动的方向上定向。我们将这些结果推广到WishartEnsemble，并将它们推广到第一个$n$特征值和相关的特征向量。
2019-04-03 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
A non-Hermitian generalisation of the Marchenko-Pastur distribution: from the circular law to multi-criticality
我们考虑Wishart型随机矩阵模型$X=X_1 X_2^*$的复特征值，其中两个大小为$N\times (N+ν)$的矩形复Ginibre矩阵$X_{1,2}$通过一个非厄米性参数$τ\in[0,1]$相关.对于一般的$ν=O(N)$和$τ$，我们得到了全局极限密度和它的支持，给出了一个移动的椭圆。它提供了一个非埃尔米特推广的马琴科-帕斯图分布，这是恢复在最大相关$X_1=X_2$时，$τ=1$。对应于狄拉克矩阵$\mathcal{D}=\begin{pmatrix} 0 & X_1 \\ X_2^* & 0 \end{pmatrix},$的非零复特征值的复Wishart特征值的平方根在由四次方程参数化的域中被支持。它在临界值$τ_c,$处显示双纽线型转变，其中光谱的内部分裂成两个连接的分量。在多临界，我们得到的Ginibre合奏的平方变量的边缘内核给出的限制本地内核。对于全球统计，我们适用Frostman的平衡问题的二维库仑气体，而本地统计如下从鞍点分析的核正交拉盖尔多项式在复平面。
2020-11-04 math-ph math.CV math.MP
Asymptotic Expansions of the Limit Laws of Gaussian and Laguerre (Wishart) Ensembles at the Soft Edge
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
研究Gaussian和Laguerre族在软边缘处的极限定律的渐近展开，通过精确选择缩放常数和展开参数h，推导出极限定律的渐近展开式，并通过模拟数据验证结果。
2025-02-04 math-ph math.MP math.PR
Eigenvalue distributions for some correlated complex sample covariance matrices
矩阵乘积$Z^\dagger Z$的最小和最大特征值的分布表示为$m \times m$行列式，其中$Z$是沿行和向下列都具有相关性的$n \times m$复高斯矩阵。在沿行的相关性的情况下，这些表达式的计算效率比那些涉及分区和舒尔多项式最近报道的相同的分布。
2006-01-31 math-ph math.MP
The local relaxation flow approach to universality of the local statistics for random matrices
我们提出了一个推广的方法的局部松弛流建立广泛的一类大型随机矩阵的局部谱统计的普遍性。我们发现，本地分布的特征值相吻合的本地统计的相应的高斯系综提供的个别矩阵元素的分布是光滑的，特征值${x_j}_{j=1}^N$是接近其经典的位置${γ_j}_{j=1}^N$由限制密度的特征值。在相邻特征值之间的典型距离为1/N阶的缩放下，对特征值位置的必要先验估计仅需要知道平均$\E |x_j - γ_j |^2 \le N^{-1-\e}$。该信息可以通过针对各种矩阵集合的良好建立的方法获得。我们证明了Wishart矩阵的局部谱的普遍性的方法。
2010-08-19 math-ph math.MP
Gaussian perturbations of hard edge random matrix ensembles
本文研究了具有$S=M+εH$形式的随机Hermitian $n\times n$矩阵的特征值相关性，其中$H$是GUE矩阵，$ε>0$，$M$是正定Hermitian随机矩阵，独立于$H$，其特征值密度是多项式系综.我们发现，有一个软到硬的边缘过渡的微观行为$S$接近$0$的本征值，如果$ε$往往$0$连同$n\to +\infty$在临界速度，取决于随机矩阵$M$。在双尺度极限下，我们得到了一族新的极限特征值相关核。我们应用我们的一般结果的情况下，其中（i）$M$是一个Laguerre/Wishart随机矩阵，（ii）$M=G^*G$与$G$的产品的Gibre矩阵，（iii）$M=T^*T$与$T$的产品的Haar分布酉矩阵的截断，和（iv）的特征值的$M$遵循Muttalib-Borodin双正交系综。
2016-01-04 math-ph math.CV math.MP
Eigenvalue Separation in Some Random Matrix Models
高斯正交和酉系综的成员的本征值密度遵循维格纳半圆定律。如果高斯项都移动了一个常数c/Sqrt（2N），其中N是矩阵的大小，在大的N限制下，一个单一的本征值将与维格纳半圆的支撑分离，前提是c > 1。在这项研究中，使用的特征值条件的长期方程的渐近分析，我们比较这种效果发生在一般方差Wishart矩阵和矩阵的移动平均手征系综类似的效果。我们进行类似的比较研究时，矩阵的大小是固定的，c去无穷大，和更高的秩类似物的这种设置的特征值分离性能。这是使用广义超几何函数的特征值概率密度的精确表达式，并使用后者作为戴森布朗运动模型中的格林函数的解释。对于平移平均高斯酉系综及其类似物，另一种方法是使用经典正交多项式和相关多重推广方面的关联函数的精确表达式。通过使用这些精确的表达式来计算和绘制本征值密度，得到各种本征值分离效果的说明。
2008-10-09 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Entangled random pure states with orthogonal symmetry: exact results
我们解析地计算了Schmidt本征值的密度$\varrho_{N,M}(λ)$，根据固定迹Wishart-Laguerre测度分布，以及具有正交对称性$(β=1)$的纠缠随机纯态约化密度矩阵的平均Rényi熵$\langle\mathcal{S}_q\rangle$。所得结果对任意维数的$N=2k,M$都是有效的，并且与数值模拟结果吻合得很好.
2010-06-01 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
