Trigonometric Solutions of the WDVV Equations from Root Systems
R. Martini, L. K. Hoevenaars
通过在五维Seiberg-Witten理论的微扰预势中引入一个附加变量和一个Weyl不变修正项，我们构造了所有晶体学根系的三角型WDVV方程的解.
By introduction of an additional variable and addition of a Weyl invariant correction term to the perturbative prepotential in five-dimensional Seiberg-Witten theory we construct solutions of the WDVV equations of trigonometric type for all crystallographic root systems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Trigonometric $\vee$-systems and solutions of WDVV equations
本文考虑一类由重数向量集决定的WDVV方程的三角解。我们表明，这样的解决方案可以限制到特殊的子空间，以产生新的解决方案的相同类型。我们找到了新的解决方案的限制根系，以及不属于这种形式的例子。此外，我们考虑三角$\vee$系统的密切相关概念，并证明它们的子系统也是三角$\vee$系统。最后，在审查根系的情况下，我们确定一个版本的（广义）Coxeter数的外平方的反射表示的Weyl群。
Trigonometric Solutions of WDVV Equations and Generalized Calogero-Moser-Sutherland Systems
我们考虑WDVV方程的三角解，并导出几何条件时，一组向量的多重性确定这样的解决方案。我们将这些条件纳入三角Veselov系统（$\vee$ -系统）的概念，我们确定所有三角$\vee$ -系统多达五个向量。我们证明了广义Calogero-Moser-Sutherland算子存在一个分解的本征函数当且仅当它对应于三角$\vee$ -系统;这颠倒了Veselov对有理解观察到的单向蕴涵。
N=4 Multi-Particle Mechanics, WDVV Equation and Roots
本文综述了N=4超共形多粒子模型与WDVV方程及相应的两个前势F和U的线性方程之间的关系。超空间处理给出了可积性问题的另一个变体，我们也将其重新表述为对封闭平坦杨-米尔斯连接的搜索。三个和四个粒子的解决方案。的covector animals WDVV方程变成一个代数条件，我们给出了一个配方的部分等距。三个想法分类WDVV解决方案开发：正交多面体，超图，拟阵。各种例子和反例显示。
N=4 mechanics, WDVV equations and roots
实直线上N=4超共形多粒子量子力学由两个前势U和F控制，它们服从一个关于U的线性偏微分方程组，推广了关于F的Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde（WDVV）方程.使U=0产生一类模型（具有零中心荷），其由有限Coxeter根系统编码。我们将这些WDVV解F推广到两个方面：A_n系统n-参数变形到一般正交n-单形的边集，BCF-型系统形成单参数族。提出了一种分类策略。一个非零的中心荷需要在一个给定的F背景下打开U，这是我们所能达到的标准的根系统的anananterior超过三个粒子的不可分解的系统。然而，在三体情形下，这个推论可以推广到建立一系列基于二面体群I_2（p）的非平凡模型，如果3整除p，则这些模型是置换对称的。
Solutions of $BC_{n}$ Type of WDVV Equations
本文给出了$n$维空间中Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde方程的一族解。它是根据$BC_{n}$根系和$n+2$独立多重性参数定义的。我们也应用这些解定义了一些${\mathcal N}=4$超对称力学系统。
Commutativity equations and their trigonometric solutions
我们考虑交换性方程$F_i F_j =F_j F_i$对于一个函数$F(x^1, \dots, x^N),$，其中$F_i$是一个三阶导数矩阵$F_{ikl}$。我们证明了在一定的非退化条件下，解$F$满足WDVV方程。等价地，相应的Frobenius代数族具有单位域$e$。我们还研究了三角解$F$确定的向量的多重性的有限集合，我们给出了一个明确的公式$e$所有已知的这样的解决方案。相应的向量集合由非简单的连根系统给出，或者与它们到镜的交叉点的投影有关。
WDVV solutions from orthocentric polytopes and Veselov systems
实直线上N=4超共形n粒子量子力学由两个前势U和F控制，它们服从一个推广Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde（WDVV）方程的偏非线性微分方程组.当U=0时，我们仍然使用WDVV方程，该方程用一组待求的余向量来表示F的一个近似。一种方法是用适当的多面体来构造这样的余向量，另一种方法是用变形的Coxeter根系来求解Veselov的\vee -条件。我以A_n为例将这两种方案联系起来。
Generalized Legendre transformations and symmetries of the WDVV equations
Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde（或WDVV）方程，正如人们从可积系统所期望的那样，具有许多对称性，包括连续和离散。一类-所谓的勒让德变换-介绍了Dubrovin。它们是一组离散的对称性，介于Frobenius流形的较强概念之间，并且由某些平坦向量场生成。在本文中，这种结构被推广到的情况下，向量场（这里称为勒让德场）是非平坦的，但满足一定的一组定义方程。这个更一般的理论的一个应用是产生几乎对偶的弗罗贝纽斯流形之间的诱导对称性，其基础弗罗贝纽斯流形通过勒让德变换相关。这也提供了WDVV方程的有理解和三角解之间的映射。
N=4 Mechanics, WDVV Equations and Polytopes
实直线上N=4超共形n粒子量子力学由两个前势U和F控制，它们服从一个偏非线性微分方程组，推广了Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde（WDVV）方程。解由有限Coxeter系统及其某些变形编码，这些变形可以由特定的多面体编码。我们详细地给出了A_n和B_3的例子。在一个给定的F背景下，对于三个以上的粒子和非零的中心荷，打开前势U是非常受限的。U的标准ananterior失败的所有有限Coxeter系统。三粒子模型更灵活，基于二面角根系。
Weyl groups and Elliptic Solutions of the WDVV equations
本文给出了Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde（或WDVV）方程的一个泛函分析方法。这是基于由Beilinson和Levin引入的椭圆三对数函数。对于这是一个解决方案的结果，在一些纯粹的代数条件的一组向量出现在answer，这提供了一个椭圆版本的想法，介绍了韦谢洛夫，一个V系统。理性和三角极限一起研究椭圆V-系统的例子基于各种Weyl群。Jacobi群轨道空间进行了研究：这些进行结构的弗罗贝纽斯流形。对任意Weyl群，在A_N和B_N中，证明了相应的几乎对偶结构对应于WDVV方程的椭圆解.变换性质，Jacobi群下，椭圆三对数导出连同各种功能的身份，推广了经典的Frobenius-Stickelburger关系。
Legendre transforms for type $A_{n}$ and $B_{n}$ $\vee$-systems
本研究针对WDVV方程的对称性问题，显式计算了勒让德变换作用于$A_n$型和$B_n$型多参数有理解的结果，建立了这类有理解与已知及新的三角解之间的关联。
Extended V-systems and almost-duality for extended affine Weyl orbit spaces
本文研究了扩展V系统和扩展仿射Weyl轨道空间的近似对偶性，通过Legendre变换将扩展有理解转化为三角解。
Sutherland-type Trigonometric Models, Trigonometric Invariants and Multivariate Polynomials. III. $E_8$ case
证明了$E_8$三角Olshanetsky-Perelomov哈密顿量，当用基本三角不变量（FTI）表示时，是代数形式的，即，具有多项式系数，并且保留由Weyl（co）-向量和$E_8$最高根（两者都在单根的基础上）标记的多项式空间的两个无限标志作为特征向量。通过直接计算和轨道函数技术，得到了新变量下哈密顿量的显式表达式。它示出了一个三角形的轨道函数和代数单项式通过Weyl高度有序的基础上的哈密顿。第一本征函数的例子。
Crystallization of random trigonometric polynomials
我们给出了一个精确的测量率，在重复微分的随机三角多项式的原因根的功能，以接近相等的间距。这可以被看作是一个一维结晶的玩具模型。特别是，我们确定的渐近分布的根周围的结晶配置，并发现该分布不是高斯。
Explicit solutions of the classical Calogero & Sutherland systems for any root system
显式解决方案的经典Calogero（合理/无谐波限制潜力）和萨瑟兰（三角势）系统是通过对角化的某些矩阵的简单时间演化。该方法适用于基于任何根系的Calogero & Sutherland系统。它推广了Olshanetsky和Perelomov关于A型根系的著名结果。可积族的（有理和三角）高阶哈密顿流的显式解可以很容易地以类似于基于经典根系的方法得到。
Algebraic Exact Solvability of trigonometric-type Hamiltonians associated to root systems
本文研究并解决了任意根系统下Olshanetsky-Perelomov量子哈密顿量的精确可解性的几个结构问题。我们表明，这些运营商可以写为线性组合的某些基本运营商承认无限标志的不变子空间，即拉普拉斯算子和对数梯度不变因子的Weyl分母。组分线性组合的系数成为最终模型的耦合常数。我们也demonstr ate的$L^2$完整性的本征函数得到这个过程中，并描述了一个直接的递归过程的基础上的Freudenthal多重公式显式构造的本征函数。
Some new solutions to the Schrodinger equation for the trigonometric E8 Calogero-Sutherland problem
我们提供了一个列表的显式特征函数的三角Calogero-Sutherland哈密顿量的根系统的例外李代数E8。这些解的量子数对应于李代数的一阶和二阶权。
Sutherland-type Trigonometric Models, Trigonometric Invariants and Multivariate Polynomials
证明了任何以基本三角不变量（FTI）为坐标的三角Olshanetsky-Perelomov哈密顿量都具有代数形式，并保持多项式空间的无限标志.证明了经典$A_N, B_N, C_N, D_N, BC_N$和例外$G_2, F_4$李代数的根空间的三角Olshanetsky-Perelomov Hamilton算子的代数形式的尝试和猜测变量是FTI.这个猜想也证实了三角$E_6$ Olshanetsky-Perelomov哈密顿量的代数形式发现与使用FTI。
The construction of trigonometric invariants for Weyl groups and the derivation of corresponding exactly solvable Sutherland models
三角不变量定义为根格上的每个Weyl群轨道。它们在coroot晶格上是实数和周期性的。它们的多项式代数是由一个通过算法计算的基所张成的。基的不变量可以用作coroot空间的任何单元中的坐标，并导致Sutherland型的精确可解模型。我们将此构造应用于$F_4$情形
On Some Lie Bialgebra Structures on Polynomial Algebras and their Quantization
我们研究了多项式当前代数$\mathfrak{g}[u]$上李双代数结构的经典扭曲，其中$\mathfrak{g}$是一个简单的复有限维李代数。我们主要研究经典杨-巴克斯特方程的拟三角解所诱导的结构。结果表明，准三角$r$ -矩阵属于由$\mathfrak{g}$的扩展Dynkin图的顶点标记的类。本文给出了属于无重数单根（极大根分解系数为1）的拟三角$r$ -矩阵的完全分类.我们求出了对应于$\mathfrak{sl}(n)$第一根的解。
Extended trigonometric Cherednik algebras and nonstationary Schrödinger equations with delta-potentials
我们实现了一个扩展版本的三角Cherednik代数作为仿射Dunkl算子涉及赫维赛德函数。利用扩展的三角Cherednik代数的二次Casimir元定义了一个显式的带δ势的非定常薛定谔方程.利用坐标Bethe方法构造了非定常薛定谔方程的广义Bethe波函数解。证明了广义Bethe波函数的谱参数满足仿射差分Knizhnik-Zamolodchikov方程。指出了量子玻色气体在具有两两δ函数相互作用的圆上的向量值根系类似物的关系。
Diophantine estimates on shifts of trigonometric polynomials on $\mathbb{T}^d$
本文在环面上建立三角多项式平移及其平方根的丢番图估计，源于拟周期算子谱分析，可推广Bourgain结果至非线性方程。
Quantum Calogero-Moser Models: Integrability for all Root Systems
讨论了基于任意根系的量子Calogero-Moser模型的可积性问题。对于具有退化势的模型，即具有/不具有调和约束力的有理模型、双曲模型和三角模型，我们对所有根系证明了以下内容：（i）根据Lax矩阵（L）的总和构造量子守恒量的完整集合，即：（\sum_{μ,ν\in{\cal R}}（L^n）_{μ v}），其中（{ \cal R}）是Coxeter群的表示空间。(ii)Liouville可积性的证明(iii)量子哈密顿量的三角性和整个离散谱。广义杰克多项式被定义为唯一的本征函数的哈密顿量的所有根系。(iv)Lax算子和Dunkl算子的等价性。(v)所有激发态的代数构造。这些主要是对基于（A）系列，即（su（N））型根系的模型的已知结果的概括。
Matrix exponentials, SU(N) group elements, and real polynomial roots
NxN矩阵的指数总是可以表示为阶数为N-1的矩阵多项式。特别地，SU（N）的基本表示的一般群元素可以表示为无迹NxN厄米特生成矩阵中的N-1阶矩阵多项式，多项式系数由除了群参数之外还依赖于N-2个不变量的初等三角函数组成。这些不变量只是由实N向量的方向确定的角度，实N向量的分量是埃尔米特矩阵的特征值。等价地，特征值通过将（N-1）-单形的顶点投影到通过单形中心的特定轴上来给出。单形相对于该轴的方向决定了角不变量，从而决定了矩阵的实特征值。
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