Finding Cliques of a Graph using Prime Numbers
Dhananjay D. Kulkarni, Shekhar Verma, Prashant
本文利用素数理论提出了一种求解简单无向图最大团的新算法。一种新的方法，使用素数是用来找到集团和结束的算法进行了讨论。
This paper proposes a new algorithm for solving maximal cliques for simple undirected graphs using the theory of prime numbers. A novel approach using prime numbers is used to find cliques and ends with a discussion of the algorithm.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Finding Maximum k-Cliques Faster using Lazy Global Domination
图中的团是一组顶点，其中每个顶点都与该组中的所有其他顶点相邻。k团放宽了这一要求，要求顶点彼此之间的距离在k以内，而不是直接相邻。理论上，最大团算法可以很容易地适用于解决最大k团问题。我们使用最先进的最大团算法的状态，这是可行的，在实践中，并引入一个懒惰的全球统治规则，有时大大减少了搜索空间。我们包括一系列真实世界和基准图的实验结果，以及随机图的详细介绍。
cliquematch: Finding correspondence via cliques in large graphs
最大团问题在计算机视觉、生物信息学和网络分析中得到应用，其中许多涉及构造对应图以找到两个给定对象之间的相似性。cliquematch是一个专门为此目的而设计的Python包：它提供了一个简单的框架来构建对应图，并实现了一个算法来查找和枚举C++中的最大团，可以在消费者硬件上处理数百万条边的图，其性能与公开可用的方法相当。
Robust Algorithms for Finding Cliques in Random Intersection Graphs via Sum-of-Squares
本文提出高效算法以恢复随机交集图中的聚类结构，能够处理重叠聚类并具备抗噪声和对抗攻击的能力，适用于k远大于√(n log n)的情况。
Parallel Algorithms for Finding Large Cliques in Sparse Graphs
我们提出了一个并行的k-团列表算法与改进的工作范围（相同的深度）在稀疏图与低退化或荫度。我们通过引入和分析一个新的修剪标准回溯搜索实现这一点。我们的算法具有更好的渐近性能，特别是对于较大的集团（当k不是常数），在那里我们避免了直接指数运行时增长的集团大小。特别是，集团是一个常数因子小于图的退化，工作的改善是一个指数因子的集团大小相比，以前的结果。此外，我们提出了一个低深度近似社区退化（可以任意小于退化）。这种近似使得低深度的团列表算法，其运行时由社区退化参数化。
Finding Dense Subgraphs in G(n,1/2)
找到最大的团是一个众所周知的难题，即使是在随机图上。已知随机图G（n，1/2）的团数几乎必然为k或k+1，其中k = 2logn- 2log（logn）- 1.然而，一个简单的贪心算法发现一个集团的大小只有（1+o（1））log n，具有很高的概率，并找到更大的集团-大小甚至（1+ 0）log n -在随机多项式时间一直是一个长期的开放问题。本文研究了如下推广：给定一个随机图G（n，1/2），求边密度至少为（1-delta）的最大子图。我们表明，一个简单的修改的贪心算法发现一个子集的2log n顶点的诱导子图的边缘密度至少为0.951，具有很高的概率。为了补充这一点，我们证明了几乎肯定没有子集的2.784log n顶点的诱导子图的边密度为0.951或更多。
K-clique-graphs for Dense Subgraph Discovery
在图中寻找稠密子图是一项基本的图挖掘任务，在许多领域都有应用。用于识别稠密子图的算法被用于生物学、金融、垃圾邮件检测等领域。这个问题的标准公式，例如找到图的最大团的问题，很难解决。然而，也提出了一些易于处理的公式，主要集中在优化一些密度函数，如度密度和三角形密度。然而，度密度的最大化通常会导致具有小密度的大子图。在本文中，我们介绍了k-团图稠密子图问题，k >= 3，一个新的公式发现稠密子图。给定一个输入图，它的k-团图是从输入图创建的一个新图，其中新图的每个顶点对应于输入图的一个k-团，并且如果两个顶点共享一个公共的（k-1）-团，则它们与一条边相连。我们定义了一个简单的密度函数，k-团图密度，它给出了紧凑的，同时密集的子图，我们将其产生的子图投影回输入图。在本文中，我们专注于三角形图denominator子图问题得到的k=3。为了优化建议的功能，我们提出了一个有效的贪婪近似算法，以及规模较大的图形。我们评估所提出的算法在真实的数据集上，并将其与其他算法的大小和密度的提取的子图。实验结果验证了该算法在寻找高质量子图的能力。最后，我们将所提出的方法应用到文本文档的关键字提取的重要问题。
The Complexity Landscape of Dynamic Distributed Subgraph Finding
本文研究动态分布式子图查找的复杂度，针对团查找建立新下界并证明其紧性，还完整刻画团以外子图成员列表问题的带宽复杂度，解决该领域若干开放问题。
Algorithm for Finding the Maximum Clique Based on Continuous Time Quantum Walk
在这项工作中，我们考虑应用连续时间量子行走（CTQW）的最大团（MC）问题。在图上执行CTQW将为不同的顶点生成不同的周期概率幅度。我们将证明概率幅在频率上的强度确实包含某些特殊类型的图的团结构。并给出了经典计算机中时间复杂度为$O(N^5)$的求最大团的递归算法。我们已经在随机图上进行了实验，其中每个边存在的概率为0.3，0.5和0.7。虽然没有找到随机图的反例，但这些算法是否具有普适性还不清楚。
Revisiting Block-Diagonal SDP Relaxations for the Clique Number of the Paley Graphs
本文通过计算 821 至 997 之间素数的 Paley 图块对角 SDP（L2）松弛值，为团数上界及 SOS-4 松弛可能以小于平方根数量级增长提供了新的数值证据，同时指出更大规模计算仍是一个开放问题。
Finding a planted clique by adaptive probing
我们考虑种植集团问题的一个变种，我们被允许无限的计算时间，但只能调查一小部分的自适应边缘查询的图形。我们确定（对数因子）的查询数量都需要检测种植集团的存在，并找到种植集团。具体来说，令$G \sim G(n,1/2,k)$是$n$顶点上的随机图，其种植团大小为$k$。我们发现，没有算法，使最多$q = o(n^2 / k^2 + n)$自适应查询的邻接矩阵的$G$是可能找到种植集团。另一方面，当$k \geq (2+ε) \log_2 n$时，存在通过进行$q = O( (n^2 / k^2) \log^2 n + n \log n)$自适应查询以高概率找到种植集团的简单算法（具有无限的计算能力）。对于检测，添加的$n$项不是必需的：检测种植的团的存在所需的查询的数量是$n^2 / k^2$（直到对数因子）。
FPT Algorithms for Finding Near-Cliques in $c$-Closed Graphs
寻找大的团或团缺少一些边缘是一个基本的算法任务，在现实世界的图的研究，在社区检测，模式识别和聚类的应用。从最近的社会网络分析的实证工作中，已经出现了许多针对这些问题的有效的基于回溯的算法。鉴于集团计数的NP-困难的变种，这些结果提出了一个挑战，超越最坏情况下分析这些问题。受现实世界图的三元闭包的启发，Fox等人（SICOMP 2020）引入了$c$ -闭图的概念，并证明了最大团枚举相对于$c$是固定参数可处理的。在实践中，由于数据中的噪声，人们希望实际上发现“近团”，其可以被表征为具有稀疏子图的团。本文证明了对于$c$ -闭图，可以在多项式时间内（以及在$c$中的FPT）枚举出许多不同种类的极大近团.我们研究了各种已建立的概念，这样的子结构，包括$k$ -丛，有界退化和有界树宽图的补充。有趣的是，我们的算法遵循相对简单的回溯程序，类似于实践中所做的。我们的研究结果强调的意义的$c$ -封闭的图形类的社会网络分析的理论理解。
On the Enumeration of Maximal $(Δ, γ)$-Cliques of a Temporal Network
时间网络是一种精确表示一组代理之间随时间变化的关系的数学方法。在本文中，我们引入了$(Δ, γ)$的概念-团的时间网络，其中存在于团中的每对顶点至少$γ$倍，在每个$Δ$周期内给定的时间持续时间。我们提出了一个算法，枚举所有这样的最大集团存在于网络中。我们还实现了所提出的算法与三个人类接触网络数据集。基于所获得的结果，我们分析数据集上的多个值的$Δ$和$γ$，这有助于找出不同频率的接触群体。
Finding Induced Subgraphs via Minimal Triangulations
潜在的最大团和最小分离子是在最小三角剖分问题（包括最小填充和树宽）中引入和研究的组合对象。我们发现意想不到的应用程序，这些概念领域的中度指数算法。特别地，我们证明了给定一个n-顶点图G及其潜在极大团集Pi_G和一个整数t，在时间|Pi_G| * n^（O（t））上有可能在G中找到树宽为t的最大导出子图;对于给定的树宽为t的图F，有可能判定G是否包含同构于F的导出子图.结合一个改进的算法，在时间O（1.734601^n）内枚举所有潜在的最大团，这产生了两个问题在时间1.734601^n * n^（O（t））内可解。
A Novel Approach to Finding Near-Cliques: The Triangle-Densest Subgraph Problem
许多图挖掘应用依赖于检测近团的子图。在现有的工作与这个问题有关的结果之间存在着二分法：一方面，最大化所有子图的平均度的dennial子图问题（DSP）是在多项式时间内可解的，但对于许多网络未能找到子图的近团。另一方面，面向寻找近似团的公式是NP困难的，并且由于与最大团问题的联系而经常不可近似。在这项工作中，我们提出了一个配方，结合了最好的两个世界：它是可解的多项式时间，发现近团时，DSP失败。令人惊讶的是，我们的配方是DSP的简单变体。具体地说，我们定义了三角形可分解子图问题（TDSP）：给定$G(V,E)$，找到顶点$S^*$的子集，使得$τ(S^*)=\max_{S \subseteq V} \frac{t(S)}{|S|}$，其中$t(S)$是由集合$S$诱导的三角形的数量。我们提供了各种精确和近似算法，有效地解决了TDSP。此外，我们展示了我们的算法如何适应更一般的问题，最大化的$k$ -团平均密度。最后，我们提供的经验证据表明，TDSP应该使用时，DSP的输出未能输出近团。
Parameterized algorithms for identifying gene co-expression modules via weighted clique decomposition
我们提出了一种新的组合模型，用于识别基因共表达数据中的调控模块，使用分解成加权集团。为了捕捉复杂的相互作用的影响，我们推广了以前研究的加权边团划分问题。作为第一步，我们限制自己的无噪声设置，并表明，该问题是固定的参数时，参数化的模块（集团）的数量易处理。我们提出了两个新的算法，找到这些分解，使用线性规划和整数分割，以确定集团的权重。此外，我们在Python中实现了这些算法，并在生物启发的合成语料库上进行了测试，该语料库使用来自转录因子的真实数据和不同细胞类型中共表达的潜在变量分析生成。
Finding a Maximum Clique in a Grounded 1-Bend String Graph
接地1-弯曲字符串图是一组多边形线的交集图，每条多边形线有一个弯曲，使得这些线位于公共水平线$\ell$上方，并且在$\ell$上恰好有一个端点。我们发现，在接地1-bend字符串图中找到一个最大团的问题是APX-困难的，即使是严格的$y$ -单调字符串。对于一般的单弯弦，即使我们将弯弦和端点的位置限制在最多三条平行的水平线上，问题仍然是APX困难的。我们给出了快速算法来计算接地段图，这是通过限制字符串的各种形式的$L$ -形状的不同子类的最大团。
Circuit Design for Clique Problem and Its Implementation on Quantum Computer
在图中查找团具有模式匹配能力的几个应用。$k$ -团问题是团问题的一种特殊情况，它决定了任意图是否包含一个大小为$k$的团，已经在量子领域得到了解决。$k$的变体-列出所有大小为$k$的派系问题，也是当今流行的应用程序。尽管如此，在量子环境中实现这种$k$ -团问题的变体仍然没有被触及。在本文中，除了这种$k$ -团问题的理论解决方案，实际的量子门为基础的实现已解决使用Grover的算法。该方法被进一步推广到经典-量子混合结构中最大团问题的电路设计。对于任意给定的无向无权图和任意给定的$k$，该算法都能自动生成回路，这使得我们的方法在本质上具有推广性。对于相对于大图的小$k$，与最先进的方法相比，所提出的解决$k$-团问题的方法显示出量子位成本和电路深度的降低。提出了一个将团问题的自动生成电路映射到量子器件的框架。实验结果的分析表明，使用IBM的Qiskit。
Efficient maximal cliques enumeration in weakly closed graphs
该研究改进了弱闭图中极大团枚举算法，将时间复杂度优化为输出敏感的$α\mathcal{O}(npoly(c))$，优于原有指数级复杂度。
Finding Planted Cliques in Sublinear Time
我们研究种植集团问题，其中一个集团的大小k种植在一个Erdos-Renyi图G（n，1/2）和一个有兴趣恢复这个种植集团。人们普遍认为，当计算效率等同于多项式时间算法的存在时，它表现出一个计算-计算差距。我们在更细粒度的计算镜头下研究这个问题，并考虑以下两个问题。1.是否存在用于恢复种植集团的次线性时间算法？2.什么是最小的运行时间任何算法可以希望有？我们表明，由于一个众所周知的团完成属性，非常基本的次线性时间恢复算法确实存在团大小k = ω（\sqrt{n}）。这表明了一个更强的定性计算差距。种植集团恢复问题甚至可以在不查看Θ（\sqrt{n}）阈值以上的大部分输入的情况下解决，并且不能通过低于它的任何有效算法来解决。恢复问题的运行时间下限可以很容易地从[RS 19]的结果中得出，这意味着我们的恢复算法在k = Ω（n^{2/3}）时是最优的。然而，对于k = o（n^{2/3}），我们的算法上限和[RS 19]所暗示的信息论下限之间存在差距。与一些警告，我们展示了更强的检测下限的基础上种植集团猜想的自然，但限制类的算法。其关键思想是将用于检测大种植集团的非常快速的次线性时间算法与用于检测小种植集团的多项式时间算法相关联。
Micro-Clustering: Finding Small Clusters in Large Diversity
我们解决的问题，无监督的软聚类称为微聚类。这个问题的目的是枚举所有的组组成的记录强烈相关，而标准的聚类方法分离记录稀疏的部分。微聚类的问题公式化是不平凡的。相似图中的团挖掘是一种典型的方法，但它会导致大量的团，这些团是由许多相似的团组成的。提出了数据抛光的新概念。巨大的解决方案的原因可以被认为是数据中的组不清楚，即组的边界不清楚，因为噪音，不确定性，谎言，缺乏等。具体来说，对应于聚类的稠密子图被团取代。聚类被明确为最大团，因此最大团的数量将大大减少。我们还提出了一个有效的算法，即使适用于大规模的数据。计算实验表明了该算法的有效性，解决方案的数量很小，（例如，1，000个），每个组的成员都有很深的关联，计算时间短。
Finding Optimal Triangulations Parameterized by Edge Clique Cover
我们考虑的问题，可以制定为一个任务，找到一个最佳的三角形的图w.r.t.一些最优性的概念我们提出的算法参数化的最小边团覆盖（$cc$）的大小，这样的问题。这种参数化在这种设置中的许多问题中自然发生，例如，在完全进化问题中，$cc$至多是分类单元的数目，在分数超树宽中，$cc$至多是超边的数目，而在贝叶斯网络的树宽中，$cc$至多是非根节点的数目。我们表明，图的最小分隔符的数量是最多$2^{cc}$，潜在的最大团的数量是最多$3^{cc}$，这些对象可以列出的时间$O^*(2^{cc})$和$O^*(3^{cc})$，分别，即使没有边团覆盖作为输入; $O^*(\cdot)$符号省略的因素多项式的输入大小。这些枚举算法意味着$O^*(3^{cc})$时间算法的问题，如树宽，加权最小填充，和反馈顶点集。对于广义超树宽和分数超树宽，我们分别给出了$O^*(4^m)$时间和$O^*(3^m)$时间算法，其中$m$是超边的个数.当一个边缘集团覆盖的大小$cc'$作为输入的一部分，我们给$O^*(2^{cc'})$时间算法的树宽，最小填充，和弦三明治。这意味着一个$O^*(2^n)$时间算法完美的进化，其中$n$是分类群的数量。我们也给出了多项式空间算法的时间复杂度$O^*(9^{cc'})$和$O^*(9^{cc + O(\log^2 cc)})$在这个框架中的问题。
The Maximum Clique Problem in a Disk Graph Made Easy
该研究提出圆盘图邻接关系研究新视角，给出多类圆盘/球图的最大团求解多项式时间算法，解决了双半径圆盘图等开放问题，提升了单位圆盘矩形区域最大团求解速度。
Is it possible to find the maximum clique in general graphs?
寻找最大团是一个已知的NP完全问题，也很难近似。本文提出了两种有效的算法来获得它。尽管如此，第一种算法能够在某些特殊情况下找到最大值，而第二种算法的执行时间受每个顶点所属的团数的限制。
Quantum Distributed Algorithms for Detection of Cliques
量子计算提供的可能性最近引起了分布式计算社区的关注，几个突破性的结果显示量子分布式算法比已知的最快的经典算法运行得更快，甚至两种模型之间的分离。一个主要的例子是Izumi，Le Gall和Magniez [STACS 2020]的结果，他们表明量子分布式算法的三角形检测比三角形列表更容易，而在经典情况下，类似的结果是未知的。在本文中，我们提出了一个快速量子分布式集团检测的框架。这改进了三角形情况的现有技术，并且也更一般，适用于更大的集团大小。我们的主要技术贡献是一个新的方法来检测集团封装为搜索任务的节点，可以添加到更小的集团。为了从我们的方法中提取最好的复杂性，我们开发了一个嵌套分布式量子搜索的框架，该框架采用量子本身的检查程序。此外，我们证明了一个电路的复杂性障碍的形式$Ω(n^{3/5+ε})$的$K_p$ -检测任何$p \geq 4$的下界，即使在经典的（非量子）分布式CONGEST设置。
Finding planted cliques using gradient descent
针对植入团恢复中黑箱优化缺乏保证的问题，本文用 Lagrange 乘子将团约束纳入 Hamiltonian，证明从完整图初始化的梯度下降及其低温松弛可在 k=Ω(√n) 时恢复植入团，并验证污染鲁棒性。
Finding Diverse Solutions Parameterized by Cliquewidth
本文基于团宽参数，研究如何以较低开销生成多样化解，证明MSO_1可表问题在团宽参数下可线性FPT时间内求解，扩展了结构图参数和逻辑在多样化问题中的复杂性景观。
Finding Near-Optimal Maximum Set of Disjoint $k$-Cliques in Real-World Social Networks
针对真实社交网络中NP难的最大不相交k-团集合问题，提出高效轻量级k-近似方法及动态图索引维护策略，实验证明其运行时间快两个数量级且k-团数量提升13.3%。
Finding Cliques in Social Networks: A New Distribution-Free Model
提出了一种新的无分布社交网络模型。我们的定义是由社交网络最普遍的签名之一，三元闭包--具有共同邻居的顶点对往往是相邻的属性。我们最基本的定义是“$c$ -闭”图，其中对于每对顶点$u,v$，至少有$c$公共邻居，$u$和$v$是相邻的.我们研究了社会网络分析中的一个重要任务--最大团的计数问题。证明了在$c$ -闭图上，这个问题是关于$c$的固定参数可处理的.我们的结果可以推广到“弱$c$ -闭图”，它只需要一个顶点删除顺序，避免了具有$c$公共邻居的不邻顶点对。数值实验表明，充分研究的社交网络往往是弱$c$ -封闭的$c$的适度值。
(1, k)-Swap Local Search for Maximum Clique Problem
给定简单无向图G =（V，E），最大团问题（MCP）是寻找V的最大基数子集Q，使得Q中任意两个顶点相邻。我们提出了一种改进的局部搜索算法来解决这个问题。我们的算法建立了一些最大的解决方案，并可以在多项式时间内确定是否可以改善一个最大的解决方案，通过更换一个单一的顶点与k，k > 1，其他。我们在DIMACS[5]，Sloane[15]，BHOSLIB[1]，Iovanella[8]和我们的随机实例上测试了我们的算法。
Algorithms for Computing Maximum Cliques in Hyperbolic Random Graphs
本文研究双曲随机图上的最大团问题，提出一种简单算法，在给定或不给定几何表示时分别以$O(m + n^{4.5(1-α)})$和$O(m + n^{6(1-α)})$期望时间求解，并在理论和实验上均优于已有算法。
Towards Optimal Output-Sensitive Clique Listing or: Listing Cliques from Smaller Cliques
本文提出了一种针对任意 $k\geq 3$ 的 $k$-clique 枚举的新型输出敏感算法，其运行时间可用较小团的数量来度量，并在细粒度假设下证明了其最优性，改进了现有时间复杂度界限。
Nuclear norm minimization for the planted clique and biclique problems
针对NP难的极大团和极大边双团问题，通过矩阵秩最小化建模并利用核范数松弛，成功在输入图包含种植团或双团时精确求解，分别对抗动和随机边情形给出成功条件。
On Approximating the Number of $k$-cliques in Sublinear Time
我们研究的问题，近似的$k$ -团在一个图中的查询访问时，图的数量。我们考虑一般图的标准查询模型，通过（1）度查询，（2）邻居查询和（3）对查询。令$n$表示图中的顶点数，$m$表示边数，而$C_k$表示$k$ -团的数目。我们设计了一个算法，输出$C_k$的$(1+\varepsilon)$ -逼近（具有高概率），其预期查询复杂度和运行时间为$O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}}+\frac{m^{k/2}}{C_k}\right)\poly(\log n,1/\varepsilon,k)$。因此，该算法的复杂度在$C_k = ω(m^{k/2-1})$的图的大小上是次线性的。此外，我们证明了一个下界，表明我们的算法的查询复杂度基本上是最佳的（$\log n$，$1/\varepsilon$和$k$的依赖）。这方面的先前结果由Feige（SICOMP 06）、Goldreich和Ron（RSA 08）针对边缘计数（$k=2$）以及Eden等人（FOCS 2015）针对三角形计数（$k=3$）得出。我们的结果符合这些结果的复杂性。Eden等人之前的结果依赖于一种只适用于三角形计数的摊销技术，而不能推广到更大的集团。我们得到了一个通用的算法，适用于任何$k\geq 3$通过设计一个程序，每个$k$ -团事件的一个给定的$S$的顶点与近似相等的概率。主要的困难是在寻找集…
Exact Algorithms for Finding Well-Connected 2-Clubs in Real-World Graphs: Theory and Experiments
发现大型“集团”子图是图挖掘和社区发现的中心课题。一个流行的团松弛是2-俱乐部：而不是要求直径为1的子图（这些是团），要求直径最多为2的子图（这些是2-俱乐部）。2俱乐部模型的一个缺点是，它会产生类似星型的轴辐结构作为最大基数解。因此，我们研究2-俱乐部的额外约束是良好的连接。更具体地说，我们调查的算法复杂性的三个变种连接良好的2俱乐部，所有建立在文献中：强大的，遗传的，和“连接”2俱乐部。找到这些更有凝聚力的2-俱乐部是NP难的，然而，我们开发了一个精确的组合算法，广泛使用有效的数据简化规则。除了几个理论的见解，我们提供了一些经验的结果，我们的精确算法的工程实现的基础上。特别是，该算法显着优于现有的算法，几乎所有的（稀疏）现实世界的图形，我们认为。
Hyperbolic Random Graphs: Clique Number and Degeneracy with Implications for Colouring
针对双曲随机图（HRGs），本文刻画退化度参数提出染色近似算法（近似比2/√3至4/3），推导团数改进上界并揭示其与退化度差异，还对比了几何非均匀随机图退化度特性。
Listing All Maximal $k$-Plexes in Temporal Graphs
许多现实世界的网络随着时间的推移而发展，也就是说，新的联系人出现，旧的联系人可能会消失。它们可以被建模为时间图，其中顶点（在社交网络的情况下表示人）之间的交互由带时间戳的边表示。社区发现是（社会）网络分析中最基本的问题之一，而对社区建模的最基本的原语之一是集团。为了解决在时间网络中寻找社区的问题，Viard等人[TCS 2016]引入了$Δ$-cliques作为cliques的自然时间版本。Himmel等人[SNAM 2017]展示了如何调整众所周知的Bron-Kerbosch算法来枚举$Δ$-团。我们继续这项工作，并改进和扩展Himmel等人的算法。枚举时间$k$丛（值得注意的是，集团是特殊情况$k=1$）。我们将$Δ$-$k$-plex定义为一组顶点和一个时间间隔，其中在该时间间隔期间，每个顶点在每个连续的$Δ+ 1$时间步长中至少有一条边到所选顶点集中的所有但至多$k-1$顶点.我们开发了一个递归算法枚举所有最大的$Δ$-$k$-丛，并在现实世界的社交网络上进行实验，证明我们的方法的实际可行性。特别是，对于$Δ$-1-plexes（即$Δ$-cliques）的特殊情况，我们观察到我们的算法平均比Himmel等人[SNAM 2017]和Viard等人[IPL 2018]用于枚举$Δ$-cliques的先前算法快得多。
Finding Triangles and Other Small Subgraphs in Geometric Intersection Graphs
我们考虑相关的问题，找到短周期，小集团，小独立集，小的子图在几何求交图。我们获得了大量的新结果。举例来说：* 对于平面上$n$线段的交图，我们给出了在$O(n^{1.408})$时间内求3-圈，在$O(n^{1.652})$时间内求3-大小独立集，在近$O(n^{24/13})$时间内求4-团，在$O(n^{0.565k+O(1)})$时间内求$k$ -团（或任意$k$ -顶点诱导子图）的算法，对于任意常数$k$，我们还可以计算近$O(n^{3/2})$时间内的围长. * 对于定维$d$中的$n$轴对齐盒的交图，我们给出了在$O(n^{1.408})$时间内对任意$d$（4-团）求3-圈的算法（或任何4-顶点诱导子图）在$O(n^{1.715})$时间内的集合，在接近$O(n^{3/2})$时间内的大小为4的独立集合，在接近$O(n^{4/3})$时间内的大小为5的独立集合，以及对任意$d$和任意常数$k$，在$O(n^{0.429k+O(1)})$时间内的$k$ -团（或任意$k$ -顶点诱导子图）. * 对于$n$胖对象在任意常维$d$上的交图，给出了一个在$O(n\log n)$时间内求任意$k$ -顶点（非诱导）子图的算法，推广了Kaplan，Klost，Mulzer，Roddity，Seiferth和Sharir（1999）关于二维圆盘图中3-圈的结果.使用了多种技术，包…
A Sufficiently Fast Algorithm for Finding Close to Optimal Junction Trees
给出了一个求给定图G的近最优连接树的算法。该算法的最坏情况复杂度为O（c^k n^a），其中a和c是常数，n是顶点数，k是G的联合树中最大团的大小，其中最大团的大小被最小化。该算法保证所产生的联合树中最重团的状态空间大小的对数小于最优值的常数因子。当k = O（log n）时，我们的算法给出了贝叶斯网络的多项式推理算法.
Temporal Interval Cliques and Independent Sets
最近引入了时间图来对在固定时间段内发生的给定网络的变化进行建模。时间$Δ$团问题，推广了众所周知的团问题的时间图，已经在动态网络中找到感兴趣的节点的上下文中进行了研究[TCS '16]。我们介绍了时间$Δ$独立集问题，独立集的时间推广。这个问题是，例如，在寻找无冲突的时间表的任务的最大子集的上下文中，有一定的（变化）的限制，他们需要执行的每一天。我们特别感兴趣的情况下，每个任务需要在一定的时间间隔内执行的每一天，两个任务在冲突的某一天，如果他们的时间间隔重叠的那一天。这导致我们考虑时间单位区间图的限制类上的两个问题，即，时间图，其中每一层是单位间隔图。我们提出了几个硬度的结果，以及积极的结果。在算法方面，我们提供了两个问题的实例$τ$，时间步（层）的时间图的总数，和$Δ$，一个参数，允许我们建模冲突容忍度，是常数的常数因子近似算法。我们开发了一个精确的FPT算法的时间$Δ$团的参数$τ+k$。最后，我们使用时间单位区间图的顺序保持的概念，非正式地，要求每一层的间隔服从一个共同的顺序。对于这两个问题，我们提供了一个FPT算法参数的最小顶点删除集的大小顺序保持。
Parallel K-Clique Counting on GPUs
图中k-团的计数是图分析中的一个重要问题，在社区发现和图划分等方面有着广泛的应用。计数k-团通常通过从图中的每个顶点开始遍历搜索树来完成。在CPU上已经对k团计数进行了充分的研究，并且存在许多解决方案。然而，对于GPU上的k团计数，没有高性能的解决方案。在GPU上优化k团计数带来了许多挑战，例如需要提取细粒度多级并行性，对负载不平衡的敏感性以及受限的物理内存容量。虽然已经有相关问题的工作，如寻找最大团和GPU上的广义子图匹配，特别是k-团计数尚未深入探讨。在本文中，我们提出了第一个专门用于k团计数问题的并行GPU解决方案。我们的解决方案支持图方向和旋转消除冗余团发现。它结合了以顶点为中心和以边缘为中心的并行化方案，用于跨线程块分配工作，并在每个线程块内进一步分区工作，以提取细粒度的多级并行性，同时容忍负载不平衡。它还包括优化，如诱导子图的二进制编码和子扭曲分区，以限制内存消耗并提高执行资源的利用率。我们的评估表明，我们最好的GPU实现优于最先进的并行CPU实现的几何平均值为12.39倍，6.21倍，18.99倍，k=4，7和10，分别。我们还进行了详细的评估，在选择并行化方案中所涉及的权衡，以及每个优化的增量加速，以提供对优化空间的深入了解。...
Random Tensors and Planted Cliques
图的r-奇偶张量是邻接矩阵的推广，其中张量的元素表示由r个不同顶点诱导的子图中边数的奇偶性。对于r=2，它是边为1，非边为-1的邻接矩阵。随机图的邻接矩阵的2-范数是O（\sqrt{n}）。这里我们证明了r-宇称张量的2-范数至多为f（r）\sqrt{n} \log^{O(r)} n，回答了Frieze和Kannan的一个问题，他们证明了r=3。因此，我们得到了一个紧密的联系之间的种植集团问题和找到一个向量，近似的2-范数的随机图的r-奇偶张量的问题。我们的证明方法是基于一个归纳应用的浓度的措施。
Deterministic Near-Optimal Distributed Listing of Cliques
在大型图中对连接进行分类的重要性一直是分布式子图发现的丰富工作的动机，这些工作导致了令人兴奋的最新突破。一个关键的方面仍然是开放的是，确定性算法是否可以像随机算法一样有效，后者被认为是严格的多对数因子。我们给出了确定性的分布式算法，列出集团的大小$p$在$n^{1 - 2/p + o(1)}$轮的\congest模型。对于三角形，我们的$n^{1/3+o(1)}$轮复杂度在$n^{2/3+o(1)}$轮的先前技术水平上有所改进[Chang和Saranurak，FOCS 2020]。对于大小为$p \geq 4$的集团，我们是第一个非平凡的确定性分布式算法。给定已知的下限，对于所有值$p \geq 3$，我们的算法紧到一个$n^{o(1)}$子多项式因子，它来自我们使用的确定性路由过程。
Accelerating Clique Counting in Sparse Real-World Graphs via Communication-Reducing Optimizations
图挖掘中的一个重要问题是计算大图中特定子图的实例数。寻找大小为k的团（k-cliques）是这个NP难问题的一个例子。不同的团计数算法通过旋转或排序图来避免多次计数相同的团。基于排序的算法包括一个排序步骤，以指导输入图中的边，和一个计数步骤，这是由建立节点或边诱导的子图为主。在基于排序的算法中，kClist是设计用于稀疏真实世界图的最先进算法。尽管kClist的顶点并行实现具有领先的整体性能，但在具有几百万个顶点的图上的实际扩展性并不好。我们提出了CITRON（团计数与流量减少优化），以提高并行可扩展性，从而整体性能的团计数。我们通过放弃kClist的顺序核心排序并使用并行化的度排序来加速排序阶段。我们使用重组的子图数据结构加快了计数阶段，减少了内存流量，改善了扩展瓶颈。我们的排序，紧凑的邻居列表提高了局部性和通信效率，从而导致近线性的并行缩放。CITRON在计数中等大小的团时显著优于kClist，从而增加了用于团计数的实用图形的大小。我们最近意识到ArbCount（arXiv：2002.10047），它的性能往往优于我们。然而，我们相信本文中的分析将有助于任何希望了解k团计数性能特征的人。
Solving the Multiobjective Quasi-Clique Problem
本文提出多目标准团问题，通过三阶段策略结合二分搜索和局部搜索，有效解决在顶点数量和边密度上的多目标优化问题。
A short review on the maximum clique problem algorithms with classical, AI, and quantum methods
综述最大团问题，延续此前系列综述，简单介绍经典算法，回顾图神经网络及量子算法的相关进展。
A degree 4 sum-of-squares lower bound for the clique number of the Paley graph
本文证明了Paley图团数的4次SOS松弛下界为$\Omega(p^{1/3})$，表明4次SOS有望打破$\sqrt{p}$障碍，但最多只能将指数从1/2改进到1/3。
A simple SVD algorithm for finding hidden partitions
在随机环境中寻找一个隐藏的划分是一个普遍而重要的问题，它包含了许多著名的问题，如寻找一个隐藏的团，寻找一个隐藏的染色，寻找一个隐藏的双划分等，在本文中，我们为此目的提供了一个简单的SVD算法，回答了McSherry的问题。该算法易于实现，适用于具有最优密度的稀疏图。
A Fast Maximum Clique Algorithm Based on Network Decomposition for Large Sparse Networks
提出基于图分解的快速最大团算法，通过预剪枝和CUBIS保留潜在结构，实现近似线性运行时间，适用于大规模稀疏网络。
Dyadically resolving trinomials for fast modular arithmetic
研究形式为 $2^n - 2^k + 1$ 的三项式模数，基于多项式结式建立互素性充分条件，结合图论模型与最大团查找算法构造固定比特长度的两两互素模数大集合，并利用图着色与分圆多项式理论证明集合大小上界。
Triangle Finding and Listing in CONGEST Networks
无三角形图在图论中起着核心作用，三角形检测（或三角形发现）以及三角形枚举（三角形列表）在图形算法领域中起着核心作用。在分布式计算中，最近在强大的CONGEST团模型中开发了具有次线性轮复杂度的三角形查找和列表算法，其中允许网络的任何两个节点之间进行通信。在本文中，我们提出了第一个算法与次线性复杂度的三角形发现和三角形列表中的标准CONGEST模型，其中的通信拓扑结构是相同的拓扑结构的网络。更准确地说，我们给出了随机算法的三角形发现和上市轮复杂度$O(n^{2/3}(\log n)^{2/3})$和$O(n^{3/4}\log n)$，分别，其中$n$表示的网络的节点数。我们还显示了一个下界$Ω(n^{1/3}/\log n)$轮复杂性的三角列表，这也适用于CONGEST集团模型。
Sparse induced subgraphs in $P_7$-free graphs of bounded clique number
研究问题：在排除$P_7$作为诱导子图且 clique 数有限的图中寻找最大的稀疏诱导子图；核心方法：利用CMSO$_2$逻辑定义的性质；主要贡献：证明所有此类问题在$P_7$-free图中具有多项式时间可解性。
Hard Optimization Problems have Soft Edges
本文通过最大团问题探索图论优化问题的结构，发现有限 N 下相边界的有限宽度使局部算法能超越无限系统极限，且提前停止的局部搜索在隐藏团问题上优于谱算法。
On Streaming Algorithms for Geometric Independent Set and Clique
研究了流模型中的最大几何独立集和团问题。给定一个到达只插入流的几何对象集合，目标是找到一个子集，使得该子集中的所有对象分别成对不相交或相交。我们发现，没有常数因子近似算法存在找到一个最大的一组独立的段或$2$ -间隔，而不使用一个线性位数。有趣的是，我们的证明只需要一组线段，它们的交集图也是一个区间图。这揭示了段和区间之间的有趣的差异，因为确实存在用于找到区间的独立集的$2$近似，其仅使用用于区间$\mathcal{I}$的集的存储器的$O(α(\mathcal{I})\log |\mathcal{I}|)$位，其中$α(\mathcal{I})$是$\mathcal{I}$的最大独立集的大小。另一方面，我们表明，对于几何集团问题，没有常数因子近似算法使用小于线性位数，甚至单位间隔。在积极的一面，我们表明，在一组轴对齐的单位高度矩形的最大几何独立集可以$4$ -近似只使用$O(α(\mathcal{R})\log |\mathcal{R}|)$位。
Fast Maximal Quasi-clique Enumeration: A Pruning and Branching Co-Design Approach
针对现有极大γ-拟团枚举分支定界算法仅优化剪枝、最坏时间复杂度为O^*(2^n)的问题，本文提出剪枝与分支协同设计的FastQC算法，结合分治策略将复杂度降至O^*(α_k^n)（α_k<2），实验显示其比现有最优方法最快快两个数量级。
Towards EXPTIME One Way Functions: Bloom Filters, Succinct Graphs, Cliques, & Self Masking
该研究提出基于Bloom过滤器和植入团的构造方法，构建可在多项式时间内生成的图，证明黑盒哈希下求逆该映射函数很可能无法在多项式时间完成，为构造EXPTIME单向函数提供思路。
Fully polynomial FPT algorithms for some classes of bounded clique-width graphs
参数化的复杂性理论已经能够对图上NP难优化问题的关键结构属性进行精细分类，从而更好地理解其真正的困难。最近，P中的问题的硬度结果是使用合理的复杂性理论假设实现的，例如：强指数时间假设（SETH），3SUM和所有对最短路径（APSP）。根据这些假设，许多图论问题不承认真正的次二次算法，甚至不承认真正的次三次算法（Williams and Williams，FOCS 2010 and Abboud，Grandoni，Williams，SODA 2015）。解决上述问题的一个核心技术是固定参数多项式时间问题的固定参数算法（P-FPT）。该技术由Abboud、Williams和Wang在SODA 2016中引入，并由Husfeldt（IPEC 2016）和Fomin等人（SODA 2017）继续使用树宽作为参数。将这种技术应用于另一个重要的图形参数candle-width，仍有待完成。在本文中，我们研究了几个图论问题的硬度结果存在，如周期问题（三角形检测，三角形计数，周长，直径），距离问题（直径，偏心率，Gromov双曲，介数中心）和最大匹配。我们提供了硬度的结果和完全多项式FPT算法，使用cnum-width和它的一些上界作为参数（分裂宽度，模宽度和$P\_4$ -稀疏）。我们认为，我们最重要的结果是一个${\cal O}(k^4 \cdot n + m)$时间算法计算的最大匹配，其中$…
Sum-of-squares lower bounds for planted clique
在随机图中寻找团以及与之密切相关的“种植”团变体，即在一个随机G（n，1/2）图中种植一个大小为k的团，一直是算法设计中大量研究的焦点。尽管做了很多努力，但最著名的多项式时间算法只能解决k ~ sqrt（n）的问题。在本文中，我们研究的复杂性种植集团问题的算法从平方和层次。我们证明了这个模型的第一个平均情况下界：对于G（n，1/2）中的几乎所有图，SOS层次的r轮不能找到一个种植k-团，除非k > n^{1/2 r}（直到对数因子）。因此，对于任何常数轮数，大小为n^{o（1）}的种植集团不能通过这类强大的算法找到。这是通过SOS和Lasserre层次结构的随机图上的最大团问题的自然公式化的可积性间隙来显示的，这反过来又遵循Positivestelleniance证明系统的度下界。我们遵循这种证明的通常方法。首先，我们引入一个自然的“对偶证书”（也称为“向量解”或“伪期望”）的给定系统的多项式方程表示的问题，为每个固定的输入图。然后我们证明了与这个对偶证书相关联的矩阵是PSD（半正定），并且在输入图的选择上具有很高的概率，这需要使用某些工具。一个是理论的结合计划，特别是本征空间和本征值的约翰逊计划。另一个是一个组合的方法，我们开发的计算（通过痕迹）范数界的某些随机矩阵的条目是高度依赖的，我们希望这种方法将是有用的。
Almost-Linear Planted Cliques Elude the Metropolis Process
Jerrum（1992）的一项开创性工作表明，大集团避开了大都会进程。更具体地说，Jerrum证明了Metropolis算法不能在多项式时间内找到一个大小为$k=Θ(n^α), α\in (0,1/2)$的团，该团被植入Erdens-Rényi随机图$G(n,1/2)$中。信息理论上有可能找到这样种植集团尽快$k \ge (2+ε) \log n$ .自从Jerrum的工作以来，在$G(n,1/2)$中找到种植集团的计算问题被广泛研究，并且许多多项式时间算法被证明可以找到种植集团，如果它的大小为$k = Ω(\sqrt{n})$，而没有多项式时间算法已知当$k=o(\sqrt{n})$时有效。值得注意的是，这个问题的算法难度的第一个证据通常归因于1992年Jerrum的结果。在本文中，我们重新审视原来的大都市算法建议由Jerrum。有趣的是，我们发现Metropolis算法实际上无法恢复任何恒定$0 \leq α< 1$的$k=Θ(n^α)$大小的种植集团。此外，我们加强杰鲁姆的结果在其他一些方面，包括：像许多结果在MCMC文献中，杰鲁姆的结果表明，存在一个起始状态（这可能取决于实例）的大都市算法失败。对于广泛的温度范围内，我们表明，该算法失败时，开始在最自然的初始状态，这是空团。这回答了Jerrum（1992）中提出的一个开放性问题。我们还表明，模拟回火版本的大都市算法，一个更复…
EPTAS and Subexponential Algorithm for Maximum Clique on Disk and Unit Ball Graphs
一个（单位）圆盘图是平面上闭（单位）圆盘的交图。大约三十年前，一个优雅的多项式时间算法被发现\textsc{Maximum Clique}的单位盘图[克拉克，Colbourn，约翰逊;离散数学'90]。从那时起，它一直是一个有趣的开放性问题，是否可追溯性可以扩展到一般的磁盘图。我们证明了两个奇圈的不交并不是一个圆盘图的补图，也不是一个单位（三维）球图的补图。从这一事实和现有的结果，我们得到一个简单的QPTAS和一个次指数算法运行的时间$2^{\tilde{O}(n^{2/3})}$为\textsc{Maximum Clique}上的磁盘和单位球图。然后，我们得到了一个随机EPTAS计算图的独立数没有不相交的两个奇循环作为一个诱导子图，有界VC-维，和线性独立数。这，结合我们的结构结果，产生一个随机EPTAS的\textsc{Max Clique}上的磁盘和单位球图。单位球图上的\textsc{Max Clique}等价于给定$\mathbb R^3$中的点的集合，找到直径至多为某个固定值的点的最大子集。与此形成鲜明对比的是，球图上的\textsc{Maximum Clique}和单位$4$维球图，以及填充椭圆（甚至接近单位圆盘）或填充三角形的相交图不太可能有这样的算法。事实上，我们表明，对于所有这些问题，有一个常数比的近似，甚至不能达到时间$2^{n^{1-\varepsilon}…
Association schemes, non-commutative polynomial concentration, and sum-of-squares lower bounds for planted clique
在随机G（n，1/2）图中发现团以及与之密切相关的“种植”团变体，其中一个大小为t的团被种植在一个随机G（n，1/2）图中，一直是算法设计中大量研究的焦点。尽管付出了很多努力，但最著名的多项式时间算法只能解决t = Theta（sqrt（n））的问题。在这里，我们证明了击败sqrt（n）将需要大量新的算法思想，通过证明平方和（或Lasserre）层次中问题的下界，这是我们所知道的最强大的一类半定规划算法：平方和层次的r轮只能解决t > sqrt（n）/（C log n）^（r^2）的种植集团。以前，没有非平凡的下限是已知的。我们的证明是制定为一个度下界的Positivstellenestrant代数证明系统，这是相当于平方和层次。我们（平均情况）下界的核心是证明从输入图导出的某个随机矩阵是（高概率）半正定的。在这个证明中，有两个因素起着重要的作用。第一个是经典的理论的关联计划，适用于平均和方差的随机矩阵。第二个是矩阵值多项式的一个新的大偏差不等式。我们的新的尾部估计似乎是独立的兴趣，并可能找到其他的应用，因为它推广了实值多项式和独立随机矩阵的总和的估计。
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