关于一维动态范围报告

Fast Preprocessing for Optimal Orthogonal Range Reporting and Range Successor with Applications to Text Indexing

Under the word RAM model, we design three data structures that can be constructed in $O(n\sqrt{\lg n})$ time over $n$ points in an $n \times n$ grid. The first data structure is an $O(n\lg^ε n)$-word structure supporting orthogonal range reporting in $O(\lg\lg n+k)$ time, where $k$ denotes output size and $ε$ is an arbitrarily small constant. The second is an $O(n\lg\lg n)$-word structure supporting orthogonal range successor in $O(\lg\lg n)$ time, while the third is an $O(n\lg^ε n)$-word structure supporting sorted range reporting in $O(\lg\lg n+k)$ time. The query times of these data structu…

排序范围报告

Sorted Range Reporting

在本文中，我们考虑一个变种的正交范围报告问题时，所有的点都应报告的排序顺序的$x$坐标。我们表明，报告二维点与此附加条件可以组织（几乎）作为标准范围报告的效率。此外，我们的结果推广和改进了以前已知的正交范围后继问题的结果，并可以用来获得更好的解决一些弦学问题。

脂肪矩形的正交范围报告和矩形刺

Orthogonal Range Reporting and Rectangle Stabbing for Fat Rectangles

本文研究了输入对象或查询为胖矩形的特殊情况下的两个几何数据结构问题。我们表明，在这种情况下，一个显着的改善相比，一般情况下，可以实现。我们描述的数据结构，回答二维和三维正交范围报告查询的情况下，查询范围是一个\emph{fat}矩形。我们的二维数据结构使用$O(n)$字，并支持在$O(\log\log U +k)$时间查询，其中$n$是数据结构中的点的数量，$U$是宇宙的大小和$k$是查询范围中的点的数量。我们的三维数据结构需要$O(n\log^{\varepsilon}U)$字的空间和回答查询在$O(\log \log U + k)$时间。我们还考虑了一组三维胖矩形上的矩形刺伤问题。我们的数据结构使用$O(n)$空间，并在$O(\log U\log\log U +k)$时间内回答穿刺查询。

4D Range Reporting in the Pointer Machine Model in Almost-Optimal Time

In the orthogonal range reporting problem we must pre-process a set $P$ of multi-dimensional points, so that for any axis-parallel query rectangle $q$ all points from $q\cap P$ can be reported efficiently. In this paper we study the query complexity of multi-dimensional orthogonal range reporting in the pointer machine model. We present a data structure that answers four-dimensional orthogonal range reporting queries in almost-optimal time $O(\log n\log\log n + k)$ and uses $O(n\log^4 n)$ space, where $n$ is the number of points in $P$ and $k$ is the number of points in $q\cap P$ . This is the…

RAM距离报告的严格下限

Towards Tight Lower Bounds for Range Reporting on the RAM

在正交范围报告问题中，我们要对$U \times U$网格上的一组具有整数坐标的$n$点进行预处理。目标是支持报告轴对齐查询矩形内的所有$k$点。这是数据库和计算几何中最基本的数据结构问题之一。尽管问题的重要性，其复杂性仍然没有得到解决的字RAM。在上界侧，存在三个最佳权衡：（1.）查询时间$O(\lg \lg n + k)$与$O(nlg^{\varepsilon}n)$字的空间为任何常数$\varepsilon>0$。（2.）查询时间$O((1 + k) \lg \lg n)$与空间的$O(n \lg \lg n)$字。（3.）查询时间$O((1+k)\lg^{\varepsilon} n)$与最佳$O(n)$字的空间。然而，唯一已知的查询时间下限是$Ω(\log \log n +k)$，即使是线性空间数据结构。所有这三个目前最好的上限权衡减少范围报告球继承问题。球继承是一个问题，基本上封装了所有以前的尝试，解决范围报告的字RAM。在本文中，我们取得了进展，通过证明细胞探测球继承的下限范围报告的上限和下限之间的差距。我们的下限是严格的大范围的参数，不包括任何进一步的进展范围报告使用球继承减少。

New Data Structures for Orthogonal Range Reporting and Range Minima Queries

In this paper we present new data structures for two extensively studied variants of the orthogonal range searching problem. First, we describe a data structure that supports two-dimensional orthogonal range minima queries in $O(n)$ space and $O(\log^{\varepsilon} n)$ time, where $n$ is the number of points in the data structure and $\varepsilon$ is an arbitrarily small positive constant. Previously known linear-space solutions for this problem require $O(\log^{1+\varepsilon} n)$ (Chazelle, 1988) or $O(\log n\log \log n)$ time (Farzan et al., 2012). A modification of our data structure uses sp…

格网上移动点的范围报告

Range Reporting for Moving Points on a Grid

在本文中，我们描述了一种新的数据结构，支持正交范围报告查询的一组点，沿着线性轨迹上的$U\times U$网格。点位于$U\times U$网格上的假设使我们能够与标准动力学模型相比显着减少查询时间。我们的数据结构在$O(\sqrt{\log U/\log \log U}+k)$时间内回答查询，其中$k$表示答案中的点数。以上改进了在无限精度动力学模型中有效的$Ω(\log n)$下限。本文中使用的方法也可能是独立的利益。

有序范围报告与范围最小值查询

Sorted Range Reporting and Range Minima Queries

针对有序范围选择问题，提出一种线性空间的最优权衡方案，预处理时间O(n)、查询时间O(k log k)且输出有序；同时给出一种接近线性时间的简单范围最小值查询方法，兼具实用性与效率。

外部存储器三边范围报告和具有亚对数更新的顶部$k$查询

External Memory Three-Sided Range Reporting and Top-$k$ Queries with Sublogarithmic Updates

提出了一种外部存储器数据结构，用于在点的插入和删除下维护$N$二维点的动态集合，并支持3边范围报告查询和顶- $k$查询，其中顶- $k$查询报告在给定$x$范围内具有最高$y$值的$k$点。对于任何常数$0<\varepsilon\leq \frac{1}{2}$，构建支持摊销的$O(\frac{1}{\varepsilon B^{1-\varepsilon}}\log_B N)$ IO中的更新和摊销的$O(\frac{1}{\varepsilon}\log_B N+K/B)$ IO中的查询的数据结构，其中$B$是外部存储器块大小，$K$是查询的输出大小（对于顶部$k$查询，$K$是$k$和查询间隔中的点数的最小值）。数据结构使用线性空间。更新边界是一个显着的因素$B^{1-\varepsilon}$改善以前的最佳更新边界的两个查询问题，同时保持在相同的查询和空间的界限。

I/O高效动态平面范围Skyline

I/O-Efficient Dynamic Planar Range Skyline Queries

我们提出了第一个完全动态的最坏情况I/O有效的数据结构，支持平面正交\textit{3-sided range skyline reporting queries}在$\bigO (\log_{2B^ε} n + \frac{t}{B^{1-ε}})$ I/O和更新$\bigO (\log_{2B^ε} n)$ I/O，使用$\bigO (\frac{n}{B^{1-ε}})$块的空间，$n$输入平面点，$t$报告点，和参数$0 \leq ε\leq 1$。我们得到的结果，通过扩展Sundar的优先级队列的消耗，以支持操作\textsc{DeleteMin}和\textsc{CatenateAndAttrite}在$\bigO (1)$最坏情况下的I/O，并在$\bigO(1/B)$摊销的I/O给定的一个恒定数量的块已经加载到主存中。最后，我们表明，任何基于指针的静态数据结构，支持\textit{dominated maxima reporting queries}，即困难的特殊情况下，4边天际线查询，在$\bigO(\log^{\bigO(1)}n +t)$最坏的情况下的时间必须占用$Ω(n \frac{\log n}{\log \log n})$空间，通过适应一个类似的下界参数平面4边范围报告查询。

用于球面范围报告的无参数局部敏感散列

Parameter-free Locality Sensitive Hashing for Spherical Range Reporting

我们提出了一种用于点集$S$上的球面范围报告的数据结构，即，报告位于给定查询点$q$的半径$r$内的$S$中的所有点。我们的解决方案建立在Indyk和Motwani的局部敏感哈希（LSH）框架之上，该框架代表了高维近邻问题的渐近最佳解决方案。虽然传统的LSH数据结构有几个参数，其最佳值取决于从$q$到$S$的点的距离分布，我们的数据结构是无参数的，除了空间使用，这是由用户配置。然而，它的预期查询时间基本上匹配LSH数据结构的查询时间，LSH的参数已经在给定的空间约束下针对所讨论的数据和查询 * 进行了 * 最优选择。特别是，我们的数据结构提供了一个平滑的权衡之间的硬查询（通常由标准LSH解决）和容易的查询，如报告的点的数量是一个恒定的分数的$S$，或几乎所有的点在$S$远离查询点。相反，已知的数据结构仅基于输入的某些参数来固定LSH参数。该算法的预期查询时间以$O(t (n/t)^ρ)$为界，其中$t$是要报告的点数，而$ρ\in (0,1)$取决于数据分布和所用LSH族的强度。我们进一步提出了一种无参数的方式使用多探测，LSH家庭，支持它，并表明，对于许多这样的家庭，这种方法使我们能够得到预期的查询时间接近$O(n^ρ+t)$，这是最好的，我们可以希望实现使用LSH。以前在高维中最好的运行时间是$Ω(t n^ρ)$。对于许多数据分布，接近$q$的点集的固有维数较低，我们可以给出改…

线性空间中的四维优势范围报告

Four-Dimensional Dominance Range Reporting in Linear Space

在本文中，我们研究了四维优势范围报告问题，并提出了线性或几乎线性空间使用的数据结构。我们的结果也可以用来回答四维查询，有界的五个方面。本文提出的第一种数据结构使用线性空间，在$O(\log^{1+\varepsilon}n + k\log^{\varepsilon} n)$时间内回答查询，其中$k$是报告的点数，$n$是数据结构中的点数，$\varepsilon$是任意小的正常数。我们的第二个数据结构使用$O(n \log^{\varepsilon} n)$空间，并在$O(\log n+k)$时间内回答查询。这些是这个问题的第一个数据结构，使用线性（分别为）。$O(n\log^{\varepsilon} n)$）空间，并在多对数时间内回答查询。为了比较，以前已知的最快的线性空间或$O(n\log^{\varepsilon} n)$空间数据结构支持在$O(n^{\varepsilon} + k)$时间内的查询（Bentley和Mauer，1980）。我们的结果可以推广到$d\ge 4$维数。例如，我们可以使用$O(n\log^{d-4+\varepsilon}n)$空间在$O(\log\log n (\log n/\log\log n)^{d-3} + k)$时间内回答$d$维优势范围报告查询.与以前已知的最快结果（Chan，2013）相比，我们的数据结构在不增加查询时间的情况下减少…

空间高效的多维范围报告

Space Efficient Multi-Dimensional Range Reporting

我们提出了一个数据结构，支持三维范围报告查询在$O(\log \log U + (\log \log n)^3+k)$时间和使用$O(n\log^{1+\eps} n)$空间，其中$U$是宇宙的大小，$k$是答案中的点数，和$\eps$是一个任意常数。这个结果改进了Alstrup、Brodal和Rauhe的数据结构使用$O(n\log^{1+\eps} n)$空间并支持$O(\log n+k)$时间查询的Nekrich（SoCG'07）的数据结构，使用$O(n\log^{3} n)$空间并支持$O(\log \log U + (\log \log n)^2 + k)$时间查询的Nekrich的数据结构，和Afshani的数据结构（ESA'08）它使用$O(n\log^{3} n)$空间，也支持$O(\log \log U + (\log \log n)^2 + k)$时间查询，但依赖于预处理阶段的随机化。我们的结果使我们能够显着减少空间使用的最快的以前已知的静态和增量$d$维数据结构，$d\geq 3$，在查询时间增加了一个可以忽略不计的$O(\log \log n)$因素的成本。

外部存储器中线性空间的最佳平面范围天际线报告

Optimal Planar Range Skyline Reporting with Linear Space in External Memory

设P是R^2中的n个点的集合。给定一个矩形Q = [α_1，α_2] x [β_1，β_2]，范围天际线查询返回P \cap Q中点的最大值。一个重要的变体是所谓的顶开查询，其中Q是一个3边矩形，其上边缘以y = \infty为基础（即β_2 = \infty）。这些查询在许多数据库应用程序中至关重要。在内部存储器中，广泛的研究致力于设计能够有效地回答这样的查询的数据结构。相比之下，目前还没有明确的了解他们的确切复杂性，在外部存储器。本文提出了几种线性大小的结构，以最佳的I/O成本回答上述查询。我们证明了一个top-open查询可以在O（log_B（n）+ k/B）I/O中解决，其中B是块大小，k是查询结果中的点数。当数据点位于一个U × U网格中，且U ≥ n时，查询代价为O（log log_B（U）+ k/B），当U = O（n）时，查询代价为O（1 + k/B）.同样的效率也适用于3边查询，其中Q是右开矩形。然而，如果Q是一个左开或下开的3边矩形，问题的难度会增加。我们证明了在最坏的情况下，任何线性大小的结构必须执行Ω（（n/B）^ \eps + k/B）I/O来解决这样的查询，其中\eps > 0可以是任意小的常数。事实上，左开和右开查询和一般（4边）查询一样困难，我们给出了一个线性大小的结构，查询时间为O（（n/B）^ \eps + k/B）。有趣的是，这表明4侧范围天际…

完全回溯近似值域与最近邻搜索

Fully Retroactive Approximate Range and Nearest Neighbor Searching

我们描述了完全追溯的动态数据结构的近似范围报告和近似最近邻报告。我们将展示如何维护，任何积极的常数$d$，一组$n$点在$\R^d$索引的时间，这样我们就可以执行插入或删除在时间轴中的任何一点在$O(\log n)$摊销时间。对于任何小的常量$ε>0$，我们支持$(1+ε)$ -在$O(\log n + k)$时间中的时间轴的任何点的近似范围报告查询，其中$k$是输出大小。我们还展示了如何回答$(1+ε)$ -近似最近邻查询的任何点在过去或现在的$O(\log n)$时间。

用于着色范围和前缀报告的I/O高效数据结构

I/O-Efficient Data Structures for Colored Range and Prefix Reporting

受信息检索应用的启发，我们考虑了秩空间中的一维着色范围报告问题。目标是为集合C_1，...，C_m \subseteq {1，.，sigma}，其支持以下类型的查询：给定索引a、b，报告集合Union_{a <= i <= b} C_i。我们在I/O模型中研究了这个问题，并证明了存在一个最优线性空间数据结构，它能在O（1+k/B）I/O中回答查询，其中k表示输出大小，B表示磁盘块大小.事实上，我们得到了相同的三边正交范围报告的更难的问题。在这个问题中，我们要对秩空间中的一组n个二维点进行预处理，使得可以报告形式为[x_1，x_2] x（-infinity，y]的查询矩形内的所有点。这个问题的最佳前界要么是O（n lg^2_Bn）空间和O（1+k/B）查询I/O，要么是O（n）空间和O（lg^（h）_Bn +k/B）查询I/O，其中lg^（h）_Bn是以B为底的对数迭代h次，对于任何常数整数h。前面的边界都是在不可分割假设下实现的，而我们的解决方案利用了底层机器的全部功能。因此，打破不可分割性假设为我们提供了更清晰和最优的边界。我们的研究结果也意味着一个最佳的解决方案，下面的彩色前缀报告问题。给定一组字符串S，每个磁盘块的长度为O（1），函数c：S -> 2^{1，.，sigma}，支持以下类型的查询：给定字符串p，报告集合Union_{x in S intersection p*}…

动态单位圆盘范围报告

Dynamic Unit-Disk Range Reporting

本文研究动态单位圆盘范围报告问题，通过提出圆弧浅切割算法将查询时间从 O(log^2 n/log log n+k) 改进为 O(log n+k)，同时保持更新复杂度不变，并进一步优化了动态单位圆盘范围空查询的更新时间与查询时间。

RAM上的正交范围搜索

Orthogonal Range Searching on the RAM, Revisited

在计算几何中，正交范围搜索是研究最广泛的课题之一，我们提出了几个新的结果。我们的所有结果都是在标准字RAM模型的秩空间中的点：** 我们提出了两个数据结构的2-D正交范围空虚。第一个实现O（nlglg n）空间和O（lglg n）查询时间。这改进了Alstrup，Brodal，and Rauhe（FOCS'00）以前的结果，其空间复杂度为O（nlg ^eps n），查询时间复杂度为O（lglg n），或者其空间复杂度为O（nlglg n），查询时间复杂度为O（lg^2 lg n）。我们的第二个数据结构使用O（n）空间，并在O（lg^eps n）时间内回答查询。Nekrich（WADS'07）提出的最佳O（n）空间数据结构在O（lg n/lglg n）时间内回答查询。** 对于3-d正交范围报告，对于任何常数eps>0，我们获得空间O（n lg^{1+eps} n）和查询时间O（lglg n + k）。这改进了Afshani（ESA'08），Karpinski和Nekrich（COCOON'09）和Chan（SODA'11）的先前结果，空间复杂度为O（n lg^3 n），查询时间复杂度为O（lglg n + k），或者空间复杂度为O（n lg^{1+eps} n），查询时间复杂度为O（lg^2 lg n + k）。这意味着在3以上的所有恒定维度中正交范围报告的改进的界限。** 我们给…

Simplex Range Searching Revisited: How to Shave Logs in Multi-Level Data Structures

We revisit the classic problem of simplex range searching and related problems in computational geometry. We present a collection of new results which improve previous bounds by multiple logarithmic factors that were caused by the use of multi-level data structures. Highlights include the following: $\bullet$ For a set of $n$ points in a constant dimension $d$, we give data structures with $O(n^d)$ (or slightly better) space that can answer simplex range counting queries in optimal $O(\log n)$ time and simplex range reporting queries in optimal $O(\log n + k)$ time, where $k$ denotes the outpu…

范围前置器与Lempel-Ziv解析

Range Predecessor and Lempel-Ziv Parsing

字符串的Lempel-Ziv分析（简称LZ 77）是数据压缩和字符串处理中最重要和最广泛使用的算法工具之一。我们表明，Lempel-Ziv分析的长度$n$字符串的大小$σ$的字母表可以计算在$O(n\log\logσ)$时间（$O(n)$时间，如果我们允许随机化）使用$O(n\logσ)$位的工作空间，也就是说，使用的空间成比例的输入字符串的位。以前使用$O(n\logσ)$空间的最快算法需要$O(n(\logσ+\log\log n))$时间。我们还考虑了问题的最右边的重要变体，其目标是将解析的每个短语与输入字符串中最近出现的短语相关联。我们在$O(n(1 + (\logσ/\sqrt{\log n}))$时间内解决这个问题，使用与上面相同的工作空间。以前最右边解析的最佳解决方案使用$O(n(1+\logσ/\log\log n))$时间和$O(n\log n)$空间。作为奖励，在我们的解决方案中，最右边的解析，我们提供了一个更快的建设方法，有效的二维正交范围报告，这是独立的利益。

恒定时间和最优空间中的近似空程

Approximate Range Emptiness in Constant Time and Optimal Space

本文研究了\emph{$\varepsilon$-approximate range emptiness}问题，其任务是从$\{0,\ldots,U-1\}$中表示$n$点的集合$S$，并回答形式为“$[a ; b]\cap S \neq \emptyset$？“的概率为\emph{false positives}。这将\emph{Bloom filters}的功能从单点查询推广到任何间隔长度的$L$。将误报率设置为$\varepsilon/L$并执行$L$查询，布隆过滤器使用空间$O(n \lg(L/\varepsilon))$位、针对长度高达$L$的间隔的由$\varepsilon$限定的误报概率、使用查询时间$O(L \lg(L/\varepsilon))$来产生该问题的解决方案。我们的第一个贡献是表明，空间/错误的权衡不能改善渐近：任何数据结构回答近似范围空查询的时间间隔的长度高达$L$与误报概率$\varepsilon$，必须使用空间$Ω(n \lg(L/\varepsilon)) - O(n)$位。在积极的一面，我们表明，查询时间可以大大提高，常数时间，同时匹配我们的空间下限到一个较低的顺序添加剂项。这一结果是通过一个简洁的数据结构（非近似一维）范围空/报告查询，这可能是独立的利益。