An Optimal Algorithm for Conflict-Free Coloring for Tree of Rings
给出了一个环树的连通子图的无着色的优化算法。假设树中的环的数目是|T|，并且环的最大长度是|R|。在[1]中提出的用于环树的算法使用O（log |T| .log |R|）颜色，但是该算法使用O（log |T| +log |R|）颜色。该算法得到的着色具有唯一最小性质，即唯一颜色也是最小的。
2012-03-12 cs.DS
On Dynamic Range Reporting in One Dimension
我们考虑的问题，保持一个动态的整数集和回答查询的形式：报告一个点（相当于所有点）在一个给定的间隔。范围搜索是整数搜索的一种自然和基本变体，可以使用前导搜索来解决。然而，对于一个RAM的W位字，我们展示了如何执行更新在O（lg w）的时间和O（lglg w）的时间回答查询。更新时间与van Emde Boas结构相同，但查询时间以指数方式更快。现有的下限表明，实现我们的查询时间的前身搜索需要双指数较慢的更新。我们提出了一些论据来支持我们的解决方案是最佳的猜测。我们的解决方案是基于一个新的和有趣的递归的想法，这是“更极端”的范埃姆德博厄斯递归。van Emde Boas在trie中的每条路径上使用简单的递归（重复的减半），而我们在每条路径上使用非平凡的van Emde Boas式递归。尽管如此，我们的算法在从正确的角度看时非常干净。为了实现我们的数据结构的线性空间，我们解决了一个问题，这是独立的利益。我们开发了第一个需要次线性空间的动态完美散列方案。这给出了使用低空间的动态Bloomier滤波器（稀疏向量的近似存储方案）。我们加强以前的下界，以表明这些结果是最优的。
2005-02-05 cs.DS
Sorted Range Reporting and Range Minima Queries
针对有序范围选择问题，提出一种线性空间的最优权衡方案，预处理时间O(n)、查询时间O(k log k)且输出有序；同时给出一种接近线性时间的简单范围最小值查询方法，兼具实用性与效率。
2023-09-19 cs.DS
Parameter-free Locality Sensitive Hashing for Spherical Range Reporting
我们提出了一种用于点集$S$上的球面范围报告的数据结构，即，报告位于给定查询点$q$的半径$r$内的$S$中的所有点。我们的解决方案建立在Indyk和Motwani的局部敏感哈希（LSH）框架之上，该框架代表了高维近邻问题的渐近最佳解决方案。虽然传统的LSH数据结构有几个参数，其最佳值取决于从$q$到$S$的点的距离分布，我们的数据结构是无参数的，除了空间使用，这是由用户配置。然而，它的预期查询时间基本上匹配LSH数据结构的查询时间，LSH的参数已经在给定的空间约束下针对所讨论的数据和查询 * 进行了 * 最优选择。特别是，我们的数据结构提供了一个平滑的权衡之间的硬查询（通常由标准LSH解决）和容易的查询，如报告的点的数量是一个恒定的分数的$S$，或几乎所有的点在$S$远离查询点。相反，已知的数据结构仅基于输入的某些参数来固定LSH参数。该算法的预期查询时间以$O(t (n/t)^ρ)$为界，其中$t$是要报告的点数，而$ρ\in (0,1)$取决于数据分布和所用LSH族的强度。我们进一步提出了一种无参数的方式使用多探测，LSH家庭，支持它，并表明，对于许多这样的家庭，这种方法使我们能够得到预期的查询时间接近$O(n^ρ+t)$，这是最好的，我们可以希望实现使用LSH。以前在高维中最好的运行时间是$Ω(t n^ρ)$。对于许多数据分布，接近$q$的点集的固有维数较低，我们可以给出改…
2016-07-20 cs.DS
Simple and Near-Optimal Distributed Coloring for Sparse Graphs
图着色是分布式图算法的核心问题之一。关于这个主题的许多研究都集中在使用$Δ+1$颜色着色，其中$Δ$表示最大程度。在稀疏图中使用$Δ+1$颜色可能不令人满意，因为并非所有节点都具有如此高的度;更可取的是使用一些随着稀疏性而改善的颜色。捕获稀疏性的标准度量是荫度，它是图的边缘可以划分的森林的最小数量。我们提出了简单的随机分布算法，以高概率，颜色的任何$n$节点$α$荫度图：-使用$(2+\varepsilon)\cdot α$颜色，为常数$\varepsilon>0$，在$O(\log n)$轮，如果$α=\tildeΩ(\log n)$，或-使用$O(α\log α)$颜色，在$O(\log n)$轮，或-使用$O(α)$颜色，在$O(\log n \cdot \min\{\log\log n,\; \log α\})$轮。这些算法几乎是最优的，因为Linial [FOCS'87]和Barenboim和Elkin [PODC'08]的结果表明，使用$Θ(α)$颜色或甚至聚$(α)$颜色着色需要$Ω(\log_α n)$轮。之前最著名的$O(\log n)$时间结果是Barenboim和Elkin [PODC'08]提出的确定性算法，该算法使用$Θ(α^2)$颜色。Barenboim和Elkin在他们的Distributed Graph Coloring Book中指出，提高颜色的数…
2017-08-23 cs.DS
Optimal (degree+1)-Coloring in Congested Clique
University of Warwick（华威大学）；Durham University（杜伦大学）；The Institute of Mathematical Sciences（数学科学研究所）
本文在拥堵 clique 模型中研究了 (度数+1)-列表着色问题，证明其可在常数轮次内确定性解决。
2026-03-17 cs.DS
A Distributed Message-Optimal Assignment on Rings
考虑一组项目和一组$m$颜色，其中每个项目与一种颜色相关联。还考虑通过环连接的$n$计算代理。每个代理持有物品的子集，并且相同颜色的物品可以由不同的代理持有。我们分析的问题，分配颜色的代理在这样一种方式，（a）每种颜色只分配给一个代理和（b）分配给每个代理的不同颜色的数量是最小的。由于任何颜色分配都需要根据它来分配物品（例如，相同颜色的所有物品都只能由一个代理持有），因此我们将颜色分配的成本定义为给定初始分配时需要移动的物品数量。我们首先表明，这个问题的任何分布式算法需要一个消息的复杂性$Ω(n\cdot m)$，然后我们展示了一个最佳的消息复杂性算法同步环，在多项式时间确定的颜色分配成本最多三倍的最佳。我们还讨论了异步设置的解决方案。最后，我们展示了如何以消息或时间复杂度为代价获得更好的成本解决方案。
2015-09-09 cs.DS
Towards Tight Lower Bounds for Range Reporting on the RAM
在正交范围报告问题中，我们要对$U \times U$网格上的一组具有整数坐标的$n$点进行预处理。目标是支持报告轴对齐查询矩形内的所有$k$点。这是数据库和计算几何中最基本的数据结构问题之一。尽管问题的重要性，其复杂性仍然没有得到解决的字RAM。在上界侧，存在三个最佳权衡：（1.）查询时间$O(\lg \lg n + k)$与$O(nlg^{\varepsilon}n)$字的空间为任何常数$\varepsilon>0$。（2.）查询时间$O((1 + k) \lg \lg n)$与空间的$O(n \lg \lg n)$字。（3.）查询时间$O((1+k)\lg^{\varepsilon} n)$与最佳$O(n)$字的空间。然而，唯一已知的查询时间下限是$Ω(\log \log n +k)$，即使是线性空间数据结构。所有这三个目前最好的上限权衡减少范围报告球继承问题。球继承是一个问题，基本上封装了所有以前的尝试，解决范围报告的字RAM。在本文中，我们取得了进展，通过证明细胞探测球继承的下限范围报告的上限和下限之间的差距。我们的下限是严格的大范围的参数，不包括任何进一步的进展范围报告使用球继承减少。
2014-11-03 cs.CC cs.DS
Optimal Online Edge Coloring of Planar Graphs with Advice
使用建议复杂性的框架，我们研究了在线算法需要对图的边缘进行最佳着色的未来知识量，即，使用尽可能少的颜色。对于最大度$Δ$的图，根据Vizing定理，$O(m\log Δ)$位的建议足以实现最优性，其中$m$是边的数量。我们表明，对于有界退化的图形（一类图形，包括例如树和平面图），只有$O(m)$位的意见需要在线计算的最优解，独立于$Δ$有多大。另一方面，我们表明，$Ω(m)$位的意见是必要的，只是为了实现竞争比最好的确定性在线算法没有意见。此外，我们考虑使用固定数量的建议位每边的算法（我们的有界退化图的算法属于这一类的算法）。我们表明，对于二分图，任何这样的算法必须使用至少$Ω(m\log Δ)$位的意见，以实现最优。
2015-02-12 cs.DS
Streaming Edge Coloring with Asymptotically Optimal Colors
本文解决了流式边着色的开放问题，提出一种随机算法，能以亚线性空间实现渐近最优的O(Δ)边着色，且在全参数范围内改进了现有算法的颜色数-空间权衡。
2023-05-02 cs.DS
Distributed Symmetry Breaking in Sampling (Optimal Distributed Randomly Coloring with Fewer Colors)
研究了最大度为$Δ$的图的几乎均匀采样真$q$ -染色问题。由Jerrum（1995）和Salas and Sokal（1997）独立发现的一个著名结果是，假设$q > (2+δ) Δ$，Glauber动力学（a.k.a.单点动力学）具有混合时间$O(n \log n)$，其中$n$是顶点的数目，因此为该问题提供了近似线性的时间采样算法。一个自然的问题是，在何种程度上，这种算法可以并行化。以前的工作冯，孙和尹[PODC'17]表明，一个$O(Δ\log n)$时间并行算法是可能的，和$Ω(\log n)$时间是必要的。我们给出了一个分布式采样算法，我们称之为懒惰的本地大都市算法，实现了这一经典算法的最佳并行化。它改进了它的前身，Feng，Sun和Yin [PODC'17]的Local Metropolis算法，通过引入一个有助于混合分布式采样算法的分布式对称破缺步骤。对于图$G$在$n$顶点上的几乎均匀真$q$ -染色的采样，我们证明了当对任意常数$δ>0$满足下列条件之一时，Lazy Local Metropolis算法获得了最优的$O(\log n)$混合时间：$\bullet$ $q\ge(2+δ)Δ$，在最大度$Δ$的一般图上;在具有足够大的最大度$q \geq (α^* + δ)Δ$且围长至少为$9$的图上，$α^* \approx 1.763$满足$α^* = \mat…
2018-06-21 cs.DS
Online Edge Coloring of Paths and Trees with a Fixed Number of Colors
我们研究了一个版本的在线边着色，其目标是尽可能多的边着色，只使用给定的数量，$k$，可用的颜色。我们所有的结果都是关于竞争分析的。以前的尝试，以确定此问题的最佳算法都失败了，即使是二分图。因此，在本文中，我们分析了更多的限制图类，路径和树。对于路径，我们考虑$k=2$，对于树，我们考虑任何$k \geq 2$。我们证明了一个自然的贪心算法称为第一次适合是最佳的确定性算法，路径以及树。对于路径，我们给出了一个随机算法，它是最优的，并且优于最好的可能的确定性算法。对于树，我们证明了为了获得比First-Fit更好的竞争比，算法必须是随机的和不公平的（即，拒绝可能已经着色的边缘），即使这样的算法也不会比First-Fit好得多。
2016-10-25 cs.DS
An Optimal Decentralized $(Δ+ 1)$-Coloring Algorithm
考虑以下针对$n$顶点上的图的简单着色算法。每个顶点从$\{1, \dotsc, Δ(G) + 1\}$中随机均匀地选择一种颜色。当存在一个冲突的顶点时，随机选择一个这样的顶点，并用随机选择的颜色重新着色。该算法由Bhartia等人[MOBIHOC'16]引入，用于WIFI网络中的信道选择。我们证明了该算法在期望的$O(n \log Δ)$步中总是收敛到一个适当的着色，这是最优的，并证明了Chakrabarty和Supinski的一个猜想[SOSA'20]。
2021-05-03 cs.DM cs.DS math.CO
An algorithmic Vizing's theorem: toward efficient edge-coloring sampling with an optimal number of colors
本文提出一种基于Vizing定理的随机算法，通过逐步重着色非正常边着色，几乎必然生成正常$(Δ+1)$-边着色，并对其效率与均匀性提出猜想。
2025-01-20 cs.DM cs.DS
Sublogarithmic Distributed Vertex Coloring with Optimal Number of Colors
Aalto University（阿尔托大学）；Reykjavik University（雷克雅未克大学）；TU Graz（格拉茨工业大学）
本文提出一种分布式LOCAL算法，能够在亚对数轮次内完成Δ-k着色，优于现有方法，并在Δ较大时进一步提升效率。
2026-04-01 cs.DC cs.DS
Top-K Color Queries for Document Retrieval
在本文中，我们描述了一个新的有效的（实际上是最佳的）数据结构的{ \em顶- $K$颜色问题}。阵列$A$的每个元素被分配具有优先级$p(c)$的颜色$c$。对于查询范围$[a,b]$和值$K$，我们必须报告在$A[a..b]$中出现的所有颜色中具有最高优先级的$K$颜色，按照其优先级的逆序排序。我们表明，这样的查询可以回答在$O(K)$时间使用$O(N\log σ)$位数据结构，其中$N$是数组中的元素数和$σ$是颜色数。因此，我们的数据结构是渐近最优的最坏情况下的查询时间和空间。作为我们的研究结果的直接应用，我们获得了几个文件检索问题的最佳时间解决方案。该文件的方法也可以是独立的利益。
2010-10-18 cs.DS cs.IR
Distributed coloring of graphs with an optimal number of colors
本文研究了图的最优着色问题的有效分布式算法的充分条件。具有最小数量的颜色）。到目前为止，大多数关于分布式顶点着色的工作都集中在最大程度$Δ$的着色上，最多使用$Δ+1$颜色（或当一些简单的障碍物被禁止时使用$Δ$颜色）。当$Δ$足够大且$c\ge Δ-k_Δ+1$，对于某个整数$k_Δ\approx \sqrtΔ-2$，给出了一个分布式算法，该算法在给定最大度$Δ$的$c$ -可着色图$G$的情况下，以高概率在$\min\{O((\logΔ)^{1/12}\log n), 2^{O(\log Δ+\sqrt{\log \log n})}\}$轮中找到$G$的一个$c$ -着色.下界$Δ-k_Δ+1$是最好的可能的意义上说，对于无限多的值的$Δ$，我们证明，当$χ(G)\le Δ-k_Δ$，找到一个最佳着色的$G$需要$Ω(n)$轮。我们的证明是Molloy和Reed的一个显著结果的轻微改编，他们证明了对于足够大的$Δ$，对于任何$c\ge Δ- k_Δ$，决定$χ(G)\le c$是否在{ \textsf{P} }中，而Embden-Weinert \emph{et al.} \证明了对于$c\le Δ-k_Δ-1$，同样的问题是{ \textsf{NP} }-完全的。请注意，顺序阈值和分布式阈值相差1。我们还表明，对于任何足够大的$Δ$，和$Ω(\log Δ)\le k \le …
2019-01-24 cs.DC cs.DS math.CO
Towards Optimal Distributed Edge Coloring with Fewer Colors
本文针对分布式边着色问题，设计确定性O(log n)轮归约，将(2Δ-2)-边着色归约到更易的(2Δ-1)-边着色，并实现最优运行时间，同时改进一般图上的运行时间至Õ(log^{5/3} n)，并给出随机化归约及到MIS的归约。
2025-05-26 cs.DC cs.DS
