External Memory Orthogonal Range Reporting with Fast Updates
Yakov Nekrich
在本文中，我们描述了数据结构的正交范围报告的外部存储器，支持快速更新操作。查询成本或者与先前已知的最佳数据结构的查询成本相匹配，或者相差一个小的乘法因子。
In this paper we describe data structures for orthogonal range reporting in external memory that support fast update operations. The query costs either match the query costs of the best previously known data structures or differ by a small multiplicative factor.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Fast Preprocessing for Optimal Orthogonal Range Reporting and Range Successor with Applications to Text Indexing
在字RAM模型下，我们设计了三种数据结构，它们可以在$n \times n$网格中的$n$点上在$O(n\sqrt{\lg n})$时间内构造。第一数据结构是支持在$O(\lg\lg n+k)$时间上的正交范围报告的$O(n\lg^ε n)$字结构，其中$k$表示输出大小，$ε$是任意小的常数.第二种是支持$O(\lg\lg n)$时间的正交范围后继的$O(n\lg\lg n)$字结构，而第三种是支持$O(\lg\lg n+k)$时间的排序范围报告的$O(n\lg^ε n)$字结构.当空间开销必须在$O(n\ polylog\ n)$字内时，这些数据结构的查询时间是最佳的。它们的精确空间边界与实现相同查询时间的最佳已知结果的空间边界相匹配，并且$O(n\sqrt{\lg n})$构造时间超过了先前预处理的边界。以前，在2D范围搜索结构中，只有Chan和Pagetrajeccu的正交范围计数结构（SODA 2010）和Belazzougui和Puglisi的线性空间，正交范围后继者的$O(\lg^ε n)$查询时间结构（SODA 2016）可以在相同的$O(n\sqrt{\lg n})$时间内构建。因此，我们的工作是第一个实现相同的预处理时间的最佳正交范围报告和范围继任者。我们还将我们的研究结果，以提高建设时间的文本索引。
Optimal Color Range Reporting in One Dimension
颜色（或分类）范围报告是正交范围报告问题的一种变体，其中输入中的每个点都被分配一个\emph{color}。正交点报告查询的答案包含查询范围$Q$中的所有点，而颜色报告查询的答案仅包含$Q$中的点的不同颜色。在本文中，我们描述了一个O（N）-空间的数据结构，回答一维颜色报告查询在最佳的$O(k+1)$时间，其中$k$是答案中的颜色的数量和$N$是在数据结构中的点的数量。我们的结果也可以动态化，并扩展到外部记忆模型。
Orthogonal Range Reporting and Rectangle Stabbing for Fat Rectangles
本文研究了输入对象或查询为胖矩形的特殊情况下的两个几何数据结构问题。我们表明，在这种情况下，一个显着的改善相比，一般情况下，可以实现。我们描述的数据结构，回答二维和三维正交范围报告查询的情况下，查询范围是一个\emph{fat}矩形。我们的二维数据结构使用$O(n)$字，并支持在$O(\log\log U +k)$时间查询，其中$n$是数据结构中的点的数量，$U$是宇宙的大小和$k$是查询范围中的点的数量。我们的三维数据结构需要$O(n\log^{\varepsilon}U)$字的空间和回答查询在$O(\log \log U + k)$时间。我们还考虑了一组三维胖矩形上的矩形刺伤问题。我们的数据结构使用$O(n)$空间，并在$O(\log U\log\log U +k)$时间内回答穿刺查询。
A Dynamic I/O-Efficient Structure for One-Dimensional Top-k Range Reporting
本文提出了一种用于“top-k范围报告”的外部存储器结构，该结构使用线性空间，在O（lg_Bn + k/B）I/O内回答查询，并支持在O（lg_Bn）摊销I/O内更新，其中n是输入大小，B是块大小。这改进了每次更新导致O（lg^2_Bn）摊销I/O的现有技术。
Sorted Range Reporting
在本文中，我们考虑一个变种的正交范围报告问题时，所有的点都应报告的排序顺序的$x$坐标。我们表明，报告二维点与此附加条件可以组织（几乎）作为标准范围报告的效率。此外，我们的结果推广和改进了以前已知的正交范围后继问题的结果，并可以用来获得更好的解决一些弦学问题。
New Data Structures for Orthogonal Range Reporting and Range Minima Queries
在本文中，我们提出了新的数据结构的两个广泛研究的正交范围搜索问题的变种。首先，我们描述了一个数据结构，支持二维正交范围最小查询$O(n)$空间和$O(\log^{\varepsilon} n)$时间，其中$n$是在数据结构中的点的数量和$\varepsilon$是一个任意小的正常数。先前已知的用于该问题的线性空间解决方案需要$O(\log^{1+\varepsilon} n)$（Chazelle，1988）或$O(\log n\log \log n)$时间（Farzan等人，2012年）。我们的数据结构的修改使用空间$O(n\log \log n)$，并支持范围最小查询的时间$O(\log \log n)$。这两个结果都可以扩展到支持三维五边报告查询。接下来，我们转向四维正交范围报告问题，并提出了一个数据结构，回答查询在最佳的$O(\log n/\log \log n + k)$时间，其中$k$是答案中的点数。这是第一个数据结构，实现了最佳的查询时间为这个问题。我们的结果是通过利用三维浅岩屑的性质。
Subquadratic Dynamic Path Reporting in Directed Graphs Against an Adaptive Adversary
研究了动态有向图的可达性和最短路问题。而代数动态数据结构支持边缘更新和可达性/距离查询已经知道了相当长的时间，他们不，一般来说，允许报告的基础路径在相同的时间范围内，特别是对自适应对手。在本文中，我们开发了第一个已知的完全动态的可达性数据结构的工作对自适应对手和支持边缘更新和路径查询两个自然变量：（1）点对点路径报告，和（2）单源可达性树报告。对于DAG中的点对点查询，我们实现了$O(n^{1.529})$最坏情况下的更新和查询边界，而对于DAG中的树报告，最坏情况下的边界是$O(n^{1.765})$。更重要的是，我们展示了如何提升这些算法的工作在一般的图形上的成本增加的界限，以$n^{1+5/6+o(1)}$，使更新时间摊销。在实现这一点的过程中，我们得到了两个有趣的子结果。我们给次二次全动态算法的拓扑顺序（在一个DAG），和强连通组件。据我们所知，这样的算法以前没有被描述过。此外，我们提供了确定性的增量数据结构的可达性和最短路径，处理边缘插入和报告次二次最坏情况下的时间范围内的相应路径。对于可达性和加权有向图中的$(1+ε)$ -近似最短路径，这些边界与完全动态可达性的最佳已知动态矩阵逆随机边界相匹配[v.d.Brand，Nanongkai和Saranurak，FOCS'19]。对于未加权图中的精确最短路径，在增量设置中获得的界限多项式地改进在完全动态设置中的相应的最佳已知的…
4D Range Reporting in the Pointer Machine Model in Almost-Optimal Time
在正交范围报告问题中，我们必须对多维点集$P$进行预处理，以便对于任意轴平行的查询矩形$q$，可以有效地报告来自$q\cap P$的所有点。本文研究了指针机模型下多维正交范围报告的查询复杂度。我们提出了一个数据结构，回答四维正交范围报告查询在几乎最佳的时间$O(\log n\log\log n + k)$和使用$O(n\log^4 n)$空间，其中$n$是$P$和$k$是在$q\cap P$点的数量。这是第一个具有接近线性空间使用的数据结构，在4d中实现了几乎最佳的查询时间。这个结果可以立即推广到$d\ge 4$维度：我们表明，有一个数据结构支持$d$维范围报告查询的时间$O(\log^{d-3} n\log\log n+k)$任何常数$d\ge 4$。
External Memory Three-Sided Range Reporting and Top-$k$ Queries with Sublogarithmic Updates
提出了一种外部存储器数据结构，用于在点的插入和删除下维护$N$二维点的动态集合，并支持3边范围报告查询和顶- $k$查询，其中顶- $k$查询报告在给定$x$范围内具有最高$y$值的$k$点。对于任何常数$0<\varepsilon\leq \frac{1}{2}$，构建支持摊销的$O(\frac{1}{\varepsilon B^{1-\varepsilon}}\log_B N)$ IO中的更新和摊销的$O(\frac{1}{\varepsilon}\log_B N+K/B)$ IO中的查询的数据结构，其中$B$是外部存储器块大小，$K$是查询的输出大小（对于顶部$k$查询，$K$是$k$和查询间隔中的点数的最小值）。数据结构使用线性空间。更新边界是一个显着的因素$B^{1-\varepsilon}$改善以前的最佳更新边界的两个查询问题，同时保持在相同的查询和空间的界限。
On Dynamic Range Reporting in One Dimension
我们考虑的问题，保持一个动态的整数集和回答查询的形式：报告一个点（相当于所有点）在一个给定的间隔。范围搜索是整数搜索的一种自然和基本变体，可以使用前导搜索来解决。然而，对于一个RAM的W位字，我们展示了如何执行更新在O（lg w）的时间和O（lglg w）的时间回答查询。更新时间与van Emde Boas结构相同，但查询时间以指数方式更快。现有的下限表明，实现我们的查询时间的前身搜索需要双指数较慢的更新。我们提出了一些论据来支持我们的解决方案是最佳的猜测。我们的解决方案是基于一个新的和有趣的递归的想法，这是“更极端”的范埃姆德博厄斯递归。van Emde Boas在trie中的每条路径上使用简单的递归（重复的减半），而我们在每条路径上使用非平凡的van Emde Boas式递归。尽管如此，我们的算法在从正确的角度看时非常干净。为了实现我们的数据结构的线性空间，我们解决了一个问题，这是独立的利益。我们开发了第一个需要次线性空间的动态完美散列方案。这给出了使用低空间的动态Bloomier滤波器（稀疏向量的近似存储方案）。我们加强以前的下界，以表明这些结果是最优的。
Fully Dynamic Shortest Path Reporting Against an Adaptive Adversary
针对自适应对手，本文提出首个亚二次更新时间的完全动态最短路径维护算法，通过组合规约利用少量距离估计重构路径，在多种图模型下改进了现有结果的更新与查询时间。
Range Reporting for Moving Points on a Grid
在本文中，我们描述了一种新的数据结构，支持正交范围报告查询的一组点，沿着线性轨迹上的$U\times U$网格。点位于$U\times U$网格上的假设使我们能够与标准动力学模型相比显着减少查询时间。我们的数据结构在$O(\sqrt{\log U/\log \log U}+k)$时间内回答查询，其中$k$表示答案中的点数。以上改进了在无限精度动力学模型中有效的$Ω(\log n)$下限。本文中使用的方法也可能是独立的利益。
Orthogonal Range Searching on the RAM, Revisited
在计算几何中，正交范围搜索是研究最广泛的课题之一，我们提出了几个新的结果。我们的所有结果都是在标准字RAM模型的秩空间中的点：** 我们提出了两个数据结构的2-D正交范围空虚。第一个实现O（nlglg n）空间和O（lglg n）查询时间。这改进了Alstrup，Brodal，and Rauhe（FOCS'00）以前的结果，其空间复杂度为O（nlg ^eps n），查询时间复杂度为O（lglg n），或者其空间复杂度为O（nlglg n），查询时间复杂度为O（lg^2 lg n）。我们的第二个数据结构使用O（n）空间，并在O（lg^eps n）时间内回答查询。Nekrich（WADS'07）提出的最佳O（n）空间数据结构在O（lg n/lglg n）时间内回答查询。** 对于3-d正交范围报告，对于任何常数eps>0，我们获得空间O（n lg^{1+eps} n）和查询时间O（lglg n + k）。这改进了Afshani（ESA'08），Karpinski和Nekrich（COCOON'09）和Chan（SODA'11）的先前结果，空间复杂度为O（n lg^3 n），查询时间复杂度为O（lglg n + k），或者空间复杂度为O（n lg^{1+eps} n），查询时间复杂度为O（lg^2 lg n + k）。这意味着在3以上的所有恒定维度中正交范围报告的改进的界限。** 我们给…
Towards Tight Lower Bounds for Range Reporting on the RAM
在正交范围报告问题中，我们要对$U \times U$网格上的一组具有整数坐标的$n$点进行预处理。目标是支持报告轴对齐查询矩形内的所有$k$点。这是数据库和计算几何中最基本的数据结构问题之一。尽管问题的重要性，其复杂性仍然没有得到解决的字RAM。在上界侧，存在三个最佳权衡：（1.）查询时间$O(\lg \lg n + k)$与$O(nlg^{\varepsilon}n)$字的空间为任何常数$\varepsilon>0$。（2.）查询时间$O((1 + k) \lg \lg n)$与空间的$O(n \lg \lg n)$字。（3.）查询时间$O((1+k)\lg^{\varepsilon} n)$与最佳$O(n)$字的空间。然而，唯一已知的查询时间下限是$Ω(\log \log n +k)$，即使是线性空间数据结构。所有这三个目前最好的上限权衡减少范围报告球继承问题。球继承是一个问题，基本上封装了所有以前的尝试，解决范围报告的字RAM。在本文中，我们取得了进展，通过证明细胞探测球继承的下限范围报告的上限和下限之间的差距。我们的下限是严格的大范围的参数，不包括任何进一步的进展范围报告使用球继承减少。
Path Query Data Structures in Practice
我们进行实验研究的数据结构，回答路径中位数，路径计数，并在加权树路径报告查询。这些查询问题推广了著名的范围中位数查询问题的数组，以及$2d$正交范围计数和报告问题的平面点集，树结构的数据。我们提出了最新的路径查询理论成果的实际实现。我们的数据结构，它使用树提取，重路径分解和小波树，实现在简洁和基于指针的形式。我们的简洁的数据结构被进一步专门化为普通或熵压缩。通过对大集合的实验，我们表明，简洁的数据结构的路径查询可能会提出一个可行的替代标准的基于指针的实现，在实际情况下。与通过显式遍历查询路径来计算答案的朴素方法相比，我们简洁的数据结构在路径中值查询中的速度要快几倍，并且在路径计数和路径报告查询中执行重复，同时空间效率要高几倍。我们的数据结构的基于普通指针的实现，需要比简单的多几倍的空间，产生$100$倍的速度。
Update Query Time Trade-off for dynamic Suffix Arrays
字符串S[1.]的后缀数组SA（S）n]是一个数组，包含S的所有后缀，按字典顺序排序。后缀数组是最著名的索引数据结构之一，它在许多字符串算法中起着关键工具的作用。本文提出了一种维护动态字符串后缀数组的数据结构。对于每个$0 \leq \varepsilon \leq 1$，我们的数据结构在$\tilde{O}(n^{\varepsilon})$时间内报告SA[i]，并在$\tilde{O}(n^{1-\varepsilon})$时间内处理文本修改。此外，我们的数据结构使得能够在相同的查询时间内报告iSA[i]，其中iSA是S[1. n]。我们的数据结构可用于构造静态字符串算法的次线性动态变体或基于后缀数组和逆后缀数组的数据结构。
Internal Dictionary Matching
我们介绍的数据结构回答查询的出现模式从一个给定的字典$\mathcal{D}$在片段的一个给定的字符串$T$的长度$n$。字典是内部的，因为$\mathcal{D}$中的每个模式都是作为$T$的一个片段给出的。这样，$\mathcal{D}$占用的空间与模式$d=|\mathcal{D}|$的数量成比例，而不是它们的总长度，后者可能是$Θ(n\cdot d)$。特别是，我们考虑以下类型的查询：报告和计数的所有出现的模式从$\mathcal{D}$在一个片段$T[i..j]$和报告不同的模式从$\mathcal{D}$发生在$T[i..j]$。我们将展示如何构建，在$\mathcal{O}((n+d) \log^{\mathcal{O}(1)} n)$的时间，回答这些查询的时间$\mathcal{O}(\log^{\mathcal{O}(1)} n+|output|)$的数据结构。计数模式的情况更加复杂，需要将局部一致性解析与正交范围搜索相结合。另一方面，报告不同的模式，使用字符串中最大重复的结构。最后，我们提供了紧-次多项式因子-上界和下界的情况下，一个动态字典。
$(1-ε)$-approximate fully dynamic densest subgraph: linear space and faster update time
我们考虑的问题，保持$(1-ε)$ -近似的denatrium子图（DSG）的无向多重图，因为它经历了边插入和删除（全动态设置）。Sawlani和Wang [SW 20]开发了一种数据结构，对于任何给定的$ε> 0$，该数据结构保持$(1-ε)$近似，其中边缘操作的$O(\log^4 n/ε^6)$最差情况更新时间和报告密度值的$O(1)$查询时间。他们的数据结构是第一个实现接近最佳近似的，并改进了以前的工作，在摊销多对数更新时间[BHNT 15]中保持了$(1/4 - ε)$近似。在本文中，我们开发了一个数据结构的$(1-ε)$ -近似DSG，从两个方面改进了[SW 20]。首先，该数据结构使用线性空间，通过对数因子改善[SW 20]中的空间界限。第二，数据结构在每次更新的分摊$O(\log^2 n/ε^4)$时间中保持$(1-ε)$近似，同时保证最坏情况更新时间是$O(\log^3 n \log \log n/ε^6)$。我们相信，空间和更新时间的改善是有价值的，目前大规模的图形数据集。该数据结构以自然的方式扩展到超图，并在空间和更新时间方面优于建立在[SW 20]基础上的最近工作[BBCG 22]。
I/O-Efficient Data Structures for Colored Range and Prefix Reporting
受信息检索应用的启发，我们考虑了秩空间中的一维着色范围报告问题。目标是为集合C_1，...，C_m \subseteq {1，.，sigma}，其支持以下类型的查询：给定索引a、b，报告集合Union_{a <= i <= b} C_i。我们在I/O模型中研究了这个问题，并证明了存在一个最优线性空间数据结构，它能在O（1+k/B）I/O中回答查询，其中k表示输出大小，B表示磁盘块大小.事实上，我们得到了相同的三边正交范围报告的更难的问题。在这个问题中，我们要对秩空间中的一组n个二维点进行预处理，使得可以报告形式为[x_1，x_2] x（-infinity，y]的查询矩形内的所有点。这个问题的最佳前界要么是O（n lg^2_Bn）空间和O（1+k/B）查询I/O，要么是O（n）空间和O（lg^（h）_Bn +k/B）查询I/O，其中lg^（h）_Bn是以B为底的对数迭代h次，对于任何常数整数h。前面的边界都是在不可分割假设下实现的，而我们的解决方案利用了底层机器的全部功能。因此，打破不可分割性假设为我们提供了更清晰和最优的边界。我们的研究结果也意味着一个最佳的解决方案，下面的彩色前缀报告问题。给定一组字符串S，每个磁盘块的长度为O（1），函数c：S -> 2^{1，.，sigma}，支持以下类型的查询：给定字符串p，报告集合Union_{x in S intersection p*}…
Dynamic Indexability: The Query-Update Tradeoff for One-Dimensional Range Queries
B树是一种基本的二级索引结构，广泛用于回答一维范围报告查询。给定一组$N$键，可以在$O(\log_B \nm + \frac{K}{B})$ I/O中回答范围查询，其中$B$是磁盘块大小，$K$是输出大小，$M$是主存缓冲区的大小。当插入或删除键时，如果我们要求立即将结果更改提交到磁盘，则B树将在$O(\log_B N)$ I/O中更新。否则，可以使用内存缓冲区来缓冲最近的更新，并且可以将更改批量写入磁盘，这显著降低了摊销更新成本。一种系统的级联更新方法是使用对数方法，结合分数级联，产生一个动态B树，支持$O(\frac{1}{B}\log\nm)$ I/O中的插入和$O(\log\nm + \frac{K}{B})$ I/O中的查询。这样的边界也被数据库文献中的几个已知的动态B树变体所匹配。本文证明了对于任何具有查询代价$O(q+\frac{K}{B})$和摊销插入代价$O(u/B)$的动态一维范围查询索引结构，如果$q=O(\log B)$，则折衷方案$q\cdot \log(u/q) = Ω(\log B)$必须成立.对于最合理的参数值，我们有$\nm = B^{O(1)}$，在这种情况下，我们的查询插入折衷意味着上面提到的边界已经是最优的。我们的下界在{ \em可索引性模型}的动态版本中成立，这是独立的利益。
Dynamic Unit-Disk Range Reporting
本文研究动态单位圆盘范围报告问题，通过提出圆弧浅切割算法将查询时间从 O(log^2 n/log log n+k) 改进为 O(log n+k)，同时保持更新复杂度不变，并进一步优化了动态单位圆盘范围空查询的更新时间与查询时间。
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