Some Results On Convex Greedy Embedding Conjecture for 3-Connected Planar Graphs
图$G = (V,E)$到度量空间$(X,d)$中的贪婪嵌入是一个函数$x : V(G) \to X$，使得在对每对不相邻的顶点$x(s), x(t)$的嵌入中，存在另一个与$x(s)$相邻的顶点$x(u)$，该顶点比$x(s)$更靠近$x(t)$。这种贪婪嵌入的概念是由Papadimitriou和Ratajczak（Theor. Comput. Sci. 2005），其中作者证明了每个3-连通平面图在欧几里得平面中有一个贪婪嵌入（可能是平面的和凸的）。最近，贪婪嵌入猜想已经被Leighton和Moitra证明（FOCS 2008）。然而，他们的算法并没有导致一个绘图是平面和凸的所有3-连通平面图在欧几里德平面。本文研究了平面凸贪婪嵌入猜想，并取得了一些进展。给出了平面凸贪婪嵌入的一个新的刻画：给定一个3连通平面图$G = (V,E)$，$G$的嵌入$x: V \to \bbbr^2$是平面凸贪婪嵌入当且仅当在嵌入$x$中，最大权生成树的权（$T$）和最小权生成树的权（$\func{MST}$）满足$\WT(T)/\WT(\func{MST}) \leq (\card{V}-1)^{1 - δ}$，对于某些$0 < δ\leq 1$ .
2009-05-23 cs.CG cs.DM cs.DS
A Planarity Test via Construction Sequences
最佳线性时间算法测试的平面图是众所周知的超过35年。然而，这些算法非常复杂，最近的出版物仍然试图给出更简单的线性时间测试。我们给出了一个简单的减少，从平面性测试的问题，计算一个3-连通图的某种结构。该方法与以前的平面性测试不同;作为关键概念，我们在每个时间点保持3连接的平面嵌入。该算法在线性时间内运行，如果输入图是平面的，则计算平面嵌入，否则计算Kuratowski细分。
2012-02-22 cs.DM cs.DS
A New Perspective on Clustered Planarity as a Combinatorial Embedding Problem
聚类平面性问题（c-planarity）询问层次聚类图是否允许平面绘图，使得聚类可以很好地由区域表示。我们引入了cd树数据结构，并给出了c平面性的一个新的刻画。它导致在以下情况下的c-平面性测试的有效算法。(i)每个簇和每个协簇（簇的补簇）最多有两个连通的分量。(ii)每个簇最多有五条向外的边。此外，cd树揭示了c-平面性和平面性之间的有趣联系，并限制了顶点周围边的顺序。一方面，这引起了一堆新的开放问题的c-平面性，另一方面，它提供了一个新的角度对以前的结果。
2015-06-18 cs.DM cs.DS math.CO
Non-positive curvature, and the planar embedding conjecture
平面嵌入猜想认为，任何平面度量都允许嵌入到L_1中，且具有常数失真。这是一个众所周知的开放问题，具有重要的算法含义，在过去的二十年中受到了广泛的关注。尽管作出了重大努力，但只对一些非常有限的情况进行了核查，而一般问题仍然难以捉摸。在本文中，我们取得进展，解决这个猜想。我们证明了每个非正曲率的平面度量都允许一个常畸变嵌入到L_1中。这证实了平面嵌入猜想的情况下，非正弯曲的度量。
2013-04-28 cs.CG cs.DS math.CO
Planar Embeddings with Small and Uniform Faces
出于寻找平面嵌入，导致良好的美学图纸，我们研究的问题MINMAXFACE和嵌入一个给定的双连通多重图，使最大的脸是尽可能小的，使所有的面具有相同的大小，分别MINMAXFACE和MINMAXORMFACES。我们证明了一个复杂性二分法MINMAXFACE，并表明，决定是否最大是至多$k$是多项式时间可解的$k \leq 4$和NP-完全$k \geq 5$。此外，我们给出了一个6-近似最小化平面嵌入中的最大面。对于非线性函数，我们证明了该问题对于奇数$k \geq 7$和偶数$k \geq 10$是NP完全的。此外，我们还刻画了允许3-和4-一致嵌入的双连通平面多重图（在$k$ -一致嵌入中，所有的面都有大小$k$），并给出了一个有效的算法来检验6-一致嵌入的存在性。
2014-09-15 cs.CC cs.CG cs.DM
Computing k-Modal Embeddings of Planar Digraphs
给定一个平面有向图$G$和一个正偶数$k$，如果$G$的每个顶点至多与$k$对具有相反方向的连续边相关联，则$G$在平面中的嵌入是k-模态的，即，通过嵌入至多k组具有相同方向的连续边，将每个顶点处的进入边和离开边分组。本文研究了平面有向图的$k$ -模态问题，它要求平面有向图存在$k$ -模态嵌入.这个组合问题是平面有向图和平面簇网络的各种约束嵌入问题的核心。
2019-07-02 cs.CG cs.DS
Implicit Enumeration of Topological-Minor-Embeddings and Its Application to Planar Subgraph Enumeration
给定图$G$和$H$，我们提出了一种方法，隐式枚举的拓扑子嵌入的$H$在$G$使用决策图。我们展示了一个有用的应用程序，我们的方法枚举子图的特征在于禁止拓扑未成年人，即，平面，outerplanar，串并联，仙人掌子图。计算实验表明，我们的方法可以找到所有平面子图在一个给定的图在最多五个数量级的速度比一个天真的回溯为基础的方法。
2019-11-18 cs.DS math.CO
Drawing Planar Graphs with a Prescribed Inner Face
给定平面图$G$（即，具有固定平面嵌入的平面图）和$G$中顶点映射为凸多边形的简单圈$C$，我们考虑这种图是否可以推广为$G$的平面直线图的问题.当这是可能的简单的必要条件，我们证明是足够的，我们的特点。这也导致了线性时间测试算法。如果存在图形扩展，则可以在同一运行时间内计算该扩展。
2013-08-15 cs.CG cs.DS
An FPT algorithm for planar multicuts with sources and sinks on the outer face
给定边加权图G中的k个源-汇对的列表，最小多割问题在于选择G中总权重最小的一组边，使得移除这些边不会留下从每个源到其对应的汇的路径。据我们所知，没有非平凡的FPT结果的特殊情况下，这个问题，这是APX-困难的一般图的任何固定的k>2，是已知的关于k。当图G是平面图时，如果k=O（1），则该问题是多项式时间可解的，但在指数时间假设下不能关于k是FPT。在本文中，我们表明，如果G是平面的，此外，所有的源和汇都位于外面，那么这个问题不承认FPT算法时，参数为k（虽然它仍然是APX难当k是输入的一部分，即使在明星）。要做到这一点，我们提供了一个新的表征在这种情况下的最佳解决方案，然后用它来设计一个“分而治之”的方法：即，一些边缘的任何这样的解决方案的一部分，实际上定义了一个多项式时间可解的多终端的问题的变体上的一些源和汇（这可以确定由于减少枚举阶段）的最佳解决方案。从图中删除这些边将其切割成几个较小的实例，然后可以递归求解。
2017-08-19 cs.DM cs.DS
Towards single face shortest vertex-disjoint paths in undirected planar graphs
给定图$G$中的终端$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$的$k$对，最小和$k$顶点不相交路径问题是找到具有最小总长度的顶点不相交路径的集合$\{Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{k}\}$，其中$Q_{i}$是$s_i$和$t_i$之间的$s_i$到$t_i$的路径。我们考虑的问题，在平面图中，很少有人知道计算的易处理性，即使在限制的情况下。Kobayashi和Sommer提出了无向平面图中$k \le 3$的多项式时间算法，假设所有终端最多与两个面相邻。Colin de Verdiere和Schrijver给出了一个多项式时间算法，当所有的源都在一个面的边界上，所有的汇都在另一个面的边界上，并询问是否存在多项式时间算法，只要所有的终端都在一个公共面上。当$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$在一个公共面上按逆时针方向排列时，我们给出了无向平面图的$O(kn^5)$时间算法.
2015-07-21 cs.DS
Ranking and Unranking of the Planar Embeddings of a Planar Graph
本文提出了一个 $n$-顶点平面图所有平面嵌入集合与自然数区间之间的双射 $Φ$，实现了 $O(n)$ 时间的定序和 $O(n α(n))$ 时间的逆定序，可用于均匀随机生成、枚举及计数平面嵌入。
2024-11-15 cs.CG cs.DS
Planar L-Drawings of Bimodal Graphs
在有向图（有向图）的平面L-图中，每条边e被表示为一个由开始于e的尾部的垂直段和结束于e的头部的水平段组成的线段。不同的边可以重叠，但不能交叉。我们主要关注的是双峰图，即，允许平面嵌入的有向图，其中每个顶点周围的输入边和输出边是连续的。我们证明了每个不含2-圈的平面双峰图都有一个平面L-图。这包括向上平面图类。最后，外平面有向图允许平面L-绘图-尽管它们不总是具有双峰嵌入-但不一定具有外平面嵌入。
2020-08-18 cs.CG cs.DM cs.DS
Shortest Vertex-Disjoint Two-Face Paths in Planar Graphs
令$G$是复杂度为$n$的有向平面图，每条弧具有非负长度。令$s$和$t$为$G$的两个不同面;令$s_1,...,s_k$为与$s$关联的顶点;令$t_1,...,t_k$为与$t$关联的顶点。给出了一个在$O(kn\log n)$时间内计算连接$G$中$(s_i,t_i)$对的$k$两两顶点不相交路径的算法。
2008-02-20 cs.DS math.CO
Dynamic Planar Embedding is in DynFO
本文证明动态平面嵌入属于 DynFO：通过仅维护三连通分量嵌入及分离对二染色，支持边插入、删除并拒绝破坏平面性的插入。
2023-07-17 cs.CC cs.DS cs.LO
Graph Planarity Testing with Hierarchical Embedding Constraints
层次嵌入约束定义了一组允许的循环顺序的边缘事件的顶点图。这些约束表示在FPQ树。FPQ-树是PQ-树的变体，除了P-和Q-节点之外还包括F-节点。F节点表示固定的置换，即，它无法逆转。设$G$是一个图，使得$G$的每个顶点都配备有一组FPQ树，该FPQ树编码其关联边的层次嵌入约束。我们研究的问题，测试是否$G$承认一个平面嵌入，这样，对于每个顶点$v$的$G$，循环顺序的事件到$v$的边缘描述的至少一个FPQ树与~ $v$。我们证明了这个问题是固定参数易处理的双连通图，其中的参数是$G$的树宽和与$G$的每个顶点相关联的FPQ-树的数量。我们还证明了，如果仅用FPQ-树的数目来参数化，则该问题是NP-完全的，如果仅用树宽来参数化，则该问题是W[1]-困难的。除了其本身的有趣性之外，层次嵌入约束的平面性测试研究还可以用于解决其他平面性测试问题。特别是，我们将我们的技术应用于研究的NodeTrix平面性测试的聚类图。我们发现，NodeTrix平面性测试与固定的双方是固定参数的参数化时，参数化的集群的大小和树宽的多图通过折叠集群到单顶点，只要这个图是bconnected。
2019-11-16 cs.DS
Worst-Case Polylog Incremental SPQR-trees: Embeddings, Planarity, and Triconnectivity
我们发现，每个标记的平面图$G$可以分配一个规范的嵌入$ϕ(G)$，这样，对于任何平面$G'$，从$G$不同的插入或删除一个边缘，局部变化的组合嵌入的数量需要从$ϕ(G)$到$ϕ(G')$是$O(\log n)$。相比之下，存在嵌入式图，其中$Ω(n)$变化是必要的，以适应一个插入的边。我们提供了一个匹配的$Ω(\log n)$局部变化的下限，虽然我们的上限是最坏的情况下，我们的下限保持在摊销的情况下。我们的证明是基于BC树和SPQR树，我们开发的\emph{pre-split}变种，这些一般的图形，基于一种新的有偏重路径分解，其中的结构变化对应的边缘插入和删除的基础图形组成的最多$O(\log n)$基本操作的一个特别简单的形式。作为次要的结果，我们展示了如何在最坏的情况下$O(\log^3 n)$时间确定性地在底层图中的边插入下保持预分裂树。使用此，我们获得确定性的数据结构，增量平面性测试，增量平面嵌入，增量三连通性，每一个最坏的情况下$O(\log^3 n)$更新和查询时间，回答了一个开放的问题La Poutré和Westbrook从1998年。
2019-10-20 cs.DS
Parallel Construction of Compact Planar Embeddings
现代数据集的庞大规模迫使数据结构设计者认真考虑并行构造和紧凑性。为了实现这些目标，我们需要设计一个具有良好的可扩展性和低内存消耗的并行算法。具有良好可扩展性的算法在可用核的数量增加时提高其性能，并且具有低内存消耗的算法使用与非紧凑形式的数据集所使用的空间成比例的内存。在这项工作中，我们讨论了工程的并行算法与线性工作和对数跨度的建设的紧凑表示的平面嵌入。我们还对我们的实现进行了实验研究，并通过实验证明它具有良好的可扩展性和较低的内存消耗。此外，我们描述和测试实验查询支持的紧凑表示。
2017-05-01 cs.DS
Low Treewidth Embeddings of Planar and Minor-Free Metrics
Cohen-Addad，Filtser，Klein和Le [FOCS'20]构造了一个将直径为$D$的无minor图随机嵌入到树宽为$O_ε(\log n)$的图中，并带有期望的加性失真$+εD$ . Cohen-Addad等人随后使用嵌入设计了容量受限车辆路径问题的第一个准多项式时间近似方案（QPTAS）。Filtser和Le [STOC'21]使用嵌入（以不同的方式）设计了一个QPTAS，用于度量Baker的问题，在小的自由图。在这项工作中，我们设计了一个新的嵌入技术，以提高Cohen-Addad等人的树宽界指数$O_ε(\log\log n)^2$。作为推论，我们获得了第一个有效的PTAS的能力限制的车辆路径问题的小自由图。我们还显着提高了运行时间的QPTAS的度量贝克的问题，从$n^{O_ε(\log(n))}$到$n^{O_ε(\log\log(n))^3}$的图。将我们的嵌入技术应用于平面图，我们得到了一个确定性嵌入的平面图的直径$D$到图的树宽$O((\log\log n)^2)/ε)$和添加剂失真$+εD$，可以在近线性时间内构造。重要的推论，我们的结果包括双准则PTAS度量贝克的问题和PTAS的车辆路径问题的能力有界的平面图，都运行在几乎线性的时间。我们的算法的运行时间是显着优于以前的算法，需要二次时间。在我们的嵌入的一个关键思想是一个（精确的）仿真器的树度量与树…
2022-03-29 cs.DS
Embeddings of Planar Quasimetrics into Directed \ell_1$ and Polylogarithmic Approximation for Directed Sparsest-Cut
多商品流割间隙是影响分治算法性能的一个基本参数，在各种无向图中得到了广泛的研究. Linial、London和Rabinovich以及Aumann和Rabani已经证明，对于一般的$n$ -顶点图，它是由$O(\log n)$有界的，而Gupta-Newman-Rabinovich-Sinclair猜想断言，对于任何排除某些固定子图的图族，它是$O(1)$。我们证明了\emph{directed}平面图上的多商品流割间隙是$O(\log^3 n)$。这是超常数树宽有向图族的第一个\emph{sub-polynomial}界。我们注意到，对于一般的有向图，Chuzhoy和Khanna已经证明了间隙是$\widetildeΩ(n^{1/7})$，甚至对于有向无圈图也是如此。作为我们结果的直接结果，我们还获得了有向非二部稀疏割和有向平面图的有向多割问题的第一个多项式时间多对数近似算法，这扩展了Rao关于无向平面图的长期结果（具有稍弱的界）。在我们的结果的核心，我们调查低失真准度量嵌入到\emph{directed} $\ell_1$。更准确地说，我们构造了平面有向图的最短路拟度量空间的$O(\log^2 n)$ -Lipschitz拟划分，推广了度量嵌入理论中Lipschitz划分的概念。这种构造结合了双Lipschitz嵌入理论的思想，并使用工具在有向平面图上形成数据结构。
2021-11-15 cs.DS
Dynamic Embeddings of Dynamic Single-Source Upward Planar Graphs
一个有向图$G$是上平面的，如果它允许一个平面嵌入使得每条边都是$y$-单调的.与平面性测试不同，向上平面性测试是NP难的，除非在限制情况下，例如当图具有单源属性（即每个连通分量只有一个源）时。在本文中，我们提出了一个动态的算法，以保持一个组合嵌入$\mathcal{E}(G)$的单源向上平面图的边缘删除，边缘收缩，边缘插入向上通过一个面，和单源保持顶点分裂通过指定的角。此外，我们支持子图翻转形式的嵌入$\mathcal{E}(G)$的变化，子图翻转镜像或滑动通过最多两个顶点连接到图的其余部分的子图的位置。只要图形保持向上平面，就支持所有更新操作，只要图形保持单源，就支持所有查询。违反向上平面性的更新被我们的更新算法识别并拒绝。我们动态地维护一个线性大小的数据结构$G$，它支持一个顶点和一个面之间的关联查询，和向上链接的顶点对。如果一对顶点不是向上翻转的，我们方便一个翻转的查询，指向一个子图翻转，使他们的翻转，如果任何这样的翻转存在。我们支持所有的更新和查询在$O(\log^2 n)$的时间。
2022-09-28 cs.CG cs.DS
Four Pages Are Indeed Necessary for Planar Graphs
一个图在书中的嵌入由它的顶点沿着书脊的线性顺序和它的边到书的页面的分配组成，使得在同一页面上没有两条边交叉。图的书厚是所有书嵌入的最小页数。因此，一类图的书厚是其所有成员上的最大书厚。在本文中，我们解决了一个长期存在的公开问题，关于确切的书厚的类平面图，这是以前已知的是三个或四个。我们解决这个问题，证明平面图，需要四页在任何他们的书嵌入，从而建立平面图类的书厚度是4。
2020-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Fast and Compact Planar Embeddings
平面图的表示有很多，但很少有像Turán（1984）那样优雅的：它简单实用，每条边仅使用4位，可以处理自循环和多边，并且可以存储任何指定的嵌入。它的主要缺点是“它不允许有效的搜索”（Jacobson，1989）。在本文中，我们将展示如何添加一个次线性位数图兰的表示，使其支持快速导航，同时保持简单。作为继承的简单性的结果，我们提供了第一个高效的并行结构的紧凑编码的平面图嵌入。我们的实验结果表明，所得到的表示使用约6位每边缘在实践中，支持基本的导航操作在几微秒内，并可以建立顺序在低于1微秒每边缘的速率，具有线性加速比与并行效率约50%的大型数据集。
2018-02-18 cs.DS
Nearly ETH-Tight Algorithms for Planar Steiner Tree with Terminals on Few Faces
平面斯坦纳树问题是最基本的NP完全问题之一，因为它模拟了许多网络设计问题。回想一下，这个问题的一个例子由一个具有边权重的图和一个顶点子集（通常称为终端）组成;目标是找到一个连接所有终端的最小总权重的图的子树。Erickson等人的开创性论文[Math.Oper.结果：1987]考虑了底层图形是平面的并且所有端子可以被$k$面的边界覆盖的情况。Erickson等人表明，该问题可以通过使用$n^{O(k)}$时间和$n^{O(k)}$空间的算法来解决，其中$n$表示输入图的顶点数。在过去的30年里，尽管进行了多次努力，但该算法没有显著改进。在这项工作中，我们给出了一个算法的平面Steiner树的运行时间$2^{O(k)} n^{O(\sqrt{k})}$只使用多项式空间。此外，我们表明，我们的算法的运行时间几乎是紧的：我们证明了没有$f(k)n^{o(\sqrt{k})}$算法的平面斯坦纳树的任何可计算的功能$f$，除非指数时间假设失败。
2018-11-16 cs.DS
Subexponential-Time and FPT Algorithms for Embedded Flat Clustered Planarity
C平面性问题要求绘制$\textit{clustered graph}$，即，一种图，其顶点属于适当嵌套的簇，其中每个簇由一个简单的封闭区域表示，没有边-边交叉，没有区域-区域交叉，也没有不必要的边-区域交叉。我们研究了$\textit{embedded flat clustered graphs}$的C-平面性，图具有固定的组合嵌入，其簇划分顶点集。我们的主要结果是一个次指数时间算法来测试这些图的C-平面性时，他们的脸大小是有界的。此外，我们考虑的$\textit{embedded tree decomposition}$的概念的变化，其中，对于每个面，包括外面，有一个袋子，包含每个顶点的脸。我们发现，C-平面性是固定参数听话的嵌入宽度的基础图和不连通的集群的数量作为参数。
2018-03-14 cs.CG cs.DS
Planar Graphs that Need Four Pages
我们表明，有可平面图，需要在任何书嵌入四页。
2020-05-28 cs.DM cs.DS math.CO
Planar Multiway Cut with Terminals on Few Faces
本文研究平面图上的Edge Multiway cut问题，提出基于同伦和球面切割分解并结合全局树宽与Dreyfus-Wagner动态规划的$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法，以面数$k$为参数优化了求解复杂度。
2025-06-29 cs.DS
Planarity Testing Revisited
平面性测试是确定给定图是否是平面图的问题，而平面嵌入是相应的构造问题。Allender和Mahajan借助于Reingold的结果，确定了这类问题的有界空间复杂度恰好为Logspace。不幸的是，该算法是相当令人生畏的，概括起来说，有界亏格的情况似乎是一个很高的要求。在这项工作中，我们提出了一个简单的平面嵌入算法运行在对数空间。我们希望这个算法将更易于推广。该算法是基于3-连通平面图具有唯一嵌入、Tutte关于圈冲突图的判别准则的一个变体以及圈基的显式变化这一事实。对于平面图。我们还提出了一个对数空间算法来找到平面性的障碍，即一个Kuratowski未成年人，如果图是非平面的。据我们所知，这是这个问题的第一个对数空间算法。
2011-01-13 cs.CC cs.DS
Flow-Cut Gaps and Face Covers in Planar Graphs
稀疏割与图的最大并发多流之间的关系已被广泛研究。对于具有$k$终端对的一般图，流切间隙为$O(\log k)$，这是紧的。但是，当对流动网络施加拓扑限制时，情况就不那么清楚了。特别地，已经证实平面网络中的流切间隙是$O(1)$，而已知的边界将间隙置于$2$（Lee和Raghavendra，2003）和$O(\sqrt{\log k})$（Rao，1999）之间的某处。Okamura和Seymour（1981）的一个开创性结果表明，当平面网络的所有终端都位于一个面上时，流切间隙正好是$1$。通过考虑端子位于某些固定平面图形中的$γ>1$面上的平面网络，可以概括此设置。Lee和Sidiropoulos（2009）证明了流切间隙由$γ$的函数限定，Chekuri、Shepherd和Weibel（2013）表明间隙至多为$3γ$。我们证明了流切间隙是$O(\logγ)$，通过显示的边缘加权最短路径度量上的终端诱导承认随机嵌入到树失真$O(\logγ)$，这是紧的。前面的结果涉及边容量限制网络的设置。对于顶点容量受限的网络，控制流切间隙可能更具挑战性。虽然Okamura-Seymour定理没有精确的顶点容量版本，但近似版本成立; Lee，Mendel和Moharrami（2015）表明，顶点容量限制的流切间隙是终端位于单个面上的平面网络上的$O(1)$。我们证明了流切间隙是$O(γ)$的顶点…
2018-11-06 cs.DS math.MG
Planar Embedding of Okamura-Seymour Quasimetrics in Polynomial Time with an Application to Distributed SSSP
University of Massachusetts, Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
提出首个多项式时间算法，将 Okamura-Seymour 拟度量嵌入平面图，并应用于分布式 CONGEST 模型中的平面有向图单源最短路径近似，达到接近最优的轮数复杂度。
2026-07-03 cs.DS
Rectilinear Planarity Testing of Plane Series-Parallel Graphs in Linear Time
一个平面图是直线平面图，如果它允许一个嵌入保持直线图，其中每个边是水平的或垂直的。本文证明了对于任意具有$n$顶点的平面串-平行图$G$，直线平面性检验都可以在最优$O(n)$时间内求解.若$G$是直线平面图，则可以在$O(n)$时间内构造出$G$的保嵌入直线平面图.我们的研究结果是基于直线平面串联平行图的正交螺旋的间隔，他们的组件可以有一个特征，它导致了一个算法，可以很容易地实现。
2021-02-26 cs.DS
Optimally fast incremental Manhattan plane embedding and planar tight span construction
我们描述了一个数据结构，一个矩形复形，可以用来表示超凸度量空间，具有相同的拓扑结构（虽然不一定是相同的距离函数）作为子集的平面。我们展示了如何使用这种数据结构来构造一个度量空间的紧跨度，当紧跨度同胚于平面的一个子集时，时间为O（n^2），以及如何在时间为O（n）的平面紧跨度上添加一个点。作为这种构造的一个应用，我们展示了如何测试一个给定的有限度量空间是否在时间O（n^2）内等距嵌入曼哈顿平面，并向空间添加一个点，并重新测试它是否在时间O（n）内具有这样的嵌入。
2011-10-28 cs.CG cs.DS
Upward Point-Set Embeddability
研究了点集的向上可嵌入性问题，即判定给定的向上平面有向图$D$是否有向上平面嵌入到点集$S$中的问题.我们证明了任何开关树都允许向上平面直线嵌入到任何凸点集。对于类的$k$开关树，这是一个推广的开关树（根据这个定义的开关树是一个$1$开关树），我们表明，不是每一个$k$开关树承认一个向上的平面直线嵌入到任何凸点集，任何$k \geq 2$。最后证明了点集的可嵌入性问题是NP-完全的。
2010-10-28 cs.DS
Dynamic Planar Embeddings of Dynamic Graphs
本文提出了一个支持动态图平面嵌入的算法。一条边可以在面边界上的两个顶点之间插入（我们称这样的顶点对为顶点对），边可以被删除。平面嵌入也可以通过翻转最多两个顶点连接到图的其余部分的组件来局部改变。给定顶点$u,v$，嵌入器$(u,v)$决定$u$和$v$是否在当前嵌入中被嵌入，并且如果是，则返回用于嵌入中的$(u,v)$的放置的建议的列表。对于非翻转顶点$u,v$，我们定义了一个新的查询，一个翻转-翻转$(u,v)$，提供一个翻转的建议，如果存在的话，将使它们成为翻转。我们支持O（log $^2 n$）时间的所有更新和查询。我们的时间界限匹配Italiano等人。静态（无翻转）嵌入的动态图。利用连通平面图的生成树的补图是其对偶图的生成树的思想，提出了一种新的算法。原始树和对偶树被解释为具有相同的欧拉之旅，新算法的主要思想是通过它们的共同欧拉之旅在两棵树上的顶树之间进行优雅的交互。
2017-04-03 cs.CG cs.DS
Worst-case Deterministic Fully-Dynamic Planar 2-vertex Connectivity
我们研究动态平面图的$n$顶点，受到边删除，边收缩，边插入面，和分裂的顶点在指定的角落。我们动态地保持这样一个平面图的组合嵌入，受到连接和$2$ -顶点连接（双连接）对顶点之间的查询。当一个查询对是连通的而不是双连通的时，我们会找到第一个和最后一个割顶点来分隔它们。此外，我们允许通过翻转由至多两个顶点连接到图的其余部分的子图的嵌入来对嵌入进行局部改变。我们使用$O(n)$大小的数据结构，支持在确定性、最坏情况、$O(\log^2 n)$时间内的所有查询和更新。在此之前，全动态平面双连通性（受我们的操作集）的最佳界限是一般图的摊销$\tilde{O}(\log^3 n)$，并且具有最坏情况的多对数更新时间的算法仅在部分动态（仅插入或仅删除）设置中已知。
2022-09-28 cs.DS
The Single-Face Ideal Orientation Problem in Planar Graphs
考虑平面图的理想定向问题。在这个问题中，我们给出了一个无向图$G$，它具有正的边长度和$k$对，这些$k$对是由称为终端的不同顶点$(s_1, t_1), \dots, (s_k, t_k)$组成的，我们希望为每条边指定一个方向，使得对于所有$i$，从$s_i$到$t_i$的距离保持不变，或者报告不存在这样的方向。我们证明了这个问题在平面图中是NP-困难的。另一方面，我们证明了当$k$是固定的，顶点$s_1, t_1, \dots, s_k, t_k$都在同一个面上，并且没有两个终端对交叉（如果顶点的循环顺序是$s_i,s_j,t_i,t_j$，则一对$(s_i, t_i)$交叉$(s_j, t_j)$）时，该问题在平面图中是多项式时间可解的。对于串行实例，我们给出了一个更简单，更快的算法运行在$O(n \log n)$的时间，即使$k$是输入的一部分。(An如果端子以循环顺序$u_1, v_1, \dots, u_k, v_k$出现，则实例是串行的，其中对于每个$i$，我们有$(u_i, v_i) = (s_i, t_i)$或$(u_i, v_i) = (t_i, s_i)$。）最后，我们考虑一个泛化的问题，其中$s_i$的$t_i$的距离之和是最小化，在这种情况下，我们给出了一个算法的串行实例运行在$O(kn^5)$时间。
2019-12-03 cs.DS
On Upward-Planar L-Drawings of Graphs
在有向无环图（DAG）的向上平面L-图中，每条边$e$被表示为由垂直段和水平段组成的线段，垂直段的最低端点在$e$的尾部，水平段的最低端点在$e$的头部。不同的边可以重叠，但不能交叉。最近，已经研究了$st$ -图的向上平面L-绘图，即，具有单个源$s$和单个接收器$t$的平面DAG，所述接收器$t$包含从$s$指向$t$的边缘。已知平面$st$ -图，即，一个嵌入的$st$ -图，其中边$(s,t)$与外表面关联，当且仅当它允许双调$st$ -序，这可以在线性时间内测试，允许向上平面L-绘图。我们研究了不一定是$st$ -图的DAG的向上平面L-绘图。在组合方面，我们表明，一个平面DAG承认一个向上的平面L-绘图当且仅当它是一个平面$st$ -图承认一个双调$st$ -序的子图。这使我们能够表明，并不是每一个树与固定的双峰嵌入承认向上平面L-绘图。此外，我们证明了任何无环仙人掌与一个单一的源（或一个单一的水槽）承认一个向上的平面L-绘图，它尊重一个给定的外平面嵌入，如果没有传递的边缘。在算法方面，我们考虑具有单个源（或单个汇）的DAG。我们给这些DAG在两种情况下的线性时间测试算法：（i）当绘图必须尊重规定的嵌入和（ii）当没有限制的嵌入，但它是双向连接和串行并行。
2022-08-03 cs.DS
Efficient Recognition of Subgraphs of Planar Cubic Bridgeless Graphs
从Tait的工作和四色定理出发，证明了平面三次图是3-边可着色的当且仅当它不含桥。我们考虑的问题是，哪些平面图是平面立方无桥图的子图，因此3-边着色。我们提供了一个有效的识别算法，给定一个$n$ -顶点平面图，在$O(n^2)$步骤中将该图增强到平面立方无桥超图，或者决定没有这样的增强是可能的。主要工具包括固定嵌入情形的广义反因子问题和可变嵌入情形的SPQR树。
2022-07-15 cs.DS math.CO
Embedding Planar Graphs into Graphs of Treewidth $O(\log^{3} n)$
本研究改进CLPP的随机嵌入构建步骤，结合捷径划分构建最优随机簇层级与平衡割，将n顶点平面图嵌入的树宽从多对数高阶降至$O(\varepsilon^{-1}\log^{3} n)$，大幅缩小与$Ω(\log n)$下界的差距。
2024-10-31 cs.DS
Optimal stochastic planarization
Indyk和Sidiropoulos [IS 07]证明了亏格g>0的任何图都可以随机嵌入到畸变为2^O（g）的平面图上的分布中。这个界限后来被Borradaile、Lee和Sidiropoulos改进为O（g^2）[BLS 09]。我们给出了一个嵌入失真O（log g），这是渐近最优的。除了改进的失真，我们的嵌入的另一个优点是，它可以在多项式时间计算。相比之下，[BLS 09]的算法需要解决NP难问题。我们的研究结果意味着，特别是减少了一个大类的几何优化问题的实例genus-g图，相应的平面图，与O（log g）的损失因子的近似保证。
2010-05-20 cs.CG cs.DM cs.DS
A face cover perspective to $\ell_1$ embeddings of planar graphs
本文研究平面图终端的 $\ell_1$ 嵌入问题，通过面覆盖视角将失真上界从 $O(\log γ)$ 改进至 $O(\sqrt{\log γ})$，并为最稀疏割问题提供了多项式时间近似算法。
2024-07-28 cs.CG cs.DS
2-Level Quasi-Planarity or How Caterpillars Climb (SPQR-)Trees
给定一个二分图$G=(V_b,V_r,E)$，$2$ -级拟平面性问题要求存在一个平面中的$G$的绘图，使得$V_b$和$V_r$中的顶点分别位于两条平行线$\ell_b$和$\ell_r$上，$E$中的每条边都画在由$\ell_b$和$\ell_r$限定的平面的无界带中，并且$E$中没有三条边两两相交。证明了$2$ -级拟平面问题是NP-完全的。这回答了杜伊莫维奇、波尔和伍德的一个悬而未决的问题。此外，我们表明，问题成为线性时间可解的，如果在$V_b$沿$\ell_b$的顶点的顺序是规定的。我们的贡献提供了第一个结果的计算复杂性识别准平面图，这是一个长期存在的开放问题。我们的线性时间算法利用了几个成分，包括一个组合表征的积极的情况下的问题，在存在的一个平面嵌入与毛虫状结构，和SPQR树为基础的算法，用于测试存在这样的平面嵌入。我们的算法建立在一个分类的类型的嵌入相对于它们包含的毛毛虫的一部分的结构，并执行一个计算的可实现的嵌入类型的基础上，通过恒定大小的小工具，其功能的简洁描述。
2020-11-04 cs.CG cs.DS
Counting matchings with k unmatched vertices in planar graphs
我们考虑平面图中匹配的计数问题。虽然平面图中的完美匹配可以通过经典的多项式时间算法来计数，但已知计数所有匹配（可能包含不匹配的顶点，也称为缺陷）的问题在平面图上是#P-完全的。为了在计算匹配的困难情况和计算完美匹配的简单情况之间进行插补，我们研究了平面图G中具有恰好k个不匹配顶点的匹配的参数化计算问题，关于输入G和k.这个设置在统计物理学中有一个自然的解释，它是计算k顶点图（可以通过删除最多k个顶点而变成平面的图）中完美匹配的特殊情况。从最近关于k-顶点图上完美匹配计数的一个#W[1]-困难证明出发，得到了平面图中k个顶点不匹配的匹配计数是#W[1]-困难的.与此相反，给定一个平面图G的s个区别的面，有一个$O(2^s \cdot n^3)$时间算法，用于计数那些匹配与k个不匹配的顶点，使所有不匹配的顶点位于区别的面。这意味着一个$f(k,s)\cdot n^{O(1)}$时间算法计算完美匹配的k顶点图的顶点邻域覆盖的s面。
2016-07-27 cs.CC cs.DS
