On Borodin-Kostochka conjecture for correspondence coloring
Charles University, Prague（布拉格查理大学）；Korteweg–de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学科特维赫-德弗里斯数学研究所）
本文证明了在最大度足够大的条件下，对应着色数χ_{DP}满足χ_{DP}(G) ≤ max(ω(G),Δ-1)，强化了布罗丁-科斯奇卡猜想及相关着色数的研究结果。
2026-03-15 math.CO
Borodin-Kostochka conjecture and Partitioning a graph into classes with no clique of specified size
本文研究Borodin-Kostochka猜想的推广：在最大度至少13时，证明任何满足团数限制的图可划分为k个部分，每部分不含指定大小的团。
2023-11-15 math.CO
Coloring $(P_5, \text{gem})$-free graphs with $Δ-1$ colors
本文针对不含诱导 $P_5$ 与 gem 的图类，证明在最大度至少为 9 且团数不超过最大度减 1 时，色数至多为 $Δ-1$，从而验证 Borodin–Kostochka 猜想。
2020-06-03 math.CO
Improvement on Brook theorem for 2K2-free Graphs
本文证明了对于最大度大于等于5的2K 2-free图G，其色数小于等于max{最大度-1，最大团数}.这意味着Borodin & Kostochka猜想对2K 2-free图成立。
2017-02-03 math.CO
Vertex partition of hypergraphs and maximum degenerate subhypergraphs
Matamala在2007年证明了如果$G$是一个简单图，其最大度$Δ\geq 3$不包含$K_{Δ+1}$作为子图，并且$s, t$是正整数使得$s+t \geq Δ$，然后$G$的顶点集允许一个划分$(S,T)$使得$G[S]$是最大阶$(s-1)$-$G$和$G[T]$的退化子图是$G$的$(t-1)$ -退化子图。这个结果推广了Borodin，Bollobás和Manvel，Catlin，Gerencsér和Catlin和Lai的早期结果。在本文中，我们证明了一个超图版本的结果，并将其扩展到变量退化和分区成两个以上的部分，从而扩展了结果Borodin，Kostochka和托夫特。
2018-07-06 math.CO
The List Total Colouring Conjecture is False
University of Victoria（维多利亚大学）
本文构造了一个三次图，其全色数为四但列表全色数为五，从而否证了列表全染色猜想，该反例由ChatGPT 6 Astra Ultra在极少人工输入下发现。
2026-10-14 math.CO
A note on coloring vertex-transitive graphs
利用图的团数$ω$和最大度$Δ$证明了点传递图的色数$χ$的界.我们猜想每个点传递图都满足$χ\le \max \left\{ω, \left\lceil\frac{5Δ+ 3}{6}\right\rceil\right\}$，并证明了支持这个猜想的结果。最后，对于具有$Δ\ge 13$的点传递图，我们证明了Borodin-Kostochka猜想，即，$χ\le\max\{ω,Δ-1\}$。
2014-04-25 math.CO
On graphs with chromatic number and maximum degree both equal to nine
本文证明了若干支持Borodin-Kostochka猜想等价版本的结果，通过顶点临界性与禁止子结构条件，使满足$χ=Δ=9$的图接近或完全包含$K_3 \lor E_6$子图。
2024-08-22 math.CO
List Supermodular Coloring with Shorter Lists
Galvin在1995年证明了一个二部图$G$允许列表边着色，如果每个边都被分配一个长度为$Δ(G)$的颜色列表，这是图的最大度。Borodin、Kostochka和Woodall改进了这个结果，他们证明了$G$仍然允许列表边着色，如果每个边$e=st$被分配一个$\max\{d_{G}(s), d_{G}(t)\}$颜色列表。最近，Iwata和Yokoi给出了列表超模染色定理，将Galvin的结果推广到Schrijver的超模染色的情形。本文给出了Galvin结果的这两个推广的一个一般推广。
2017-07-18 math.CO
Improvement on Brook theorem for (3 Times K1)-free Graphs
寻找（3次K ~ 1）-free图的色数的最优上界问题至今仍是一个开放的难题。本文证明了：对于最大度大于或等于8的（3次K1）-free图G，χ小于或等于max（maximum degree-1，ω）.证明了若G是（3 Times K1）-free的，ω = 4，最大度大于或等于7，则χ小于或等于最大度-1.这意味着Borodin & Kostochka猜想对（3次K1）-free图是成立的。
2017-02-27 math.CO
Avoiding long Berge cycles, the missing cases $k=r+1$ and $k = r+2$
Füredi，Kostochka和Luo对所有$k \ge r+3$和$k<r$（和$k=r$，渐近地）确定了不含Berge圈且长度至少为$k$的$r$ -一致超图的最大尺寸.本文解决了剩余的情形：$k=r+1$和$k=r+2$，证明了Füredi，Kostochka和Luo的一个猜想.
2018-08-23 math.CO
Partition of Sparse Graphs into Two Forests with Bounded Degree
本研究在Borodin和Kostochka关于稀疏图可划分为两个有界度子图的结论基础上，证明相同条件下这两个子图还可都是森林，推进了稀疏图划分理论。
2024-03-08 math.CO
Graphs with $χ=Δ$ have big cliques
Brooks定理指出，如果一个图有$Δ\ge 3$和$ω\le Δ$，则有$χ\le Δ$。Borodin和Kostochka证明，如果$Δ\ge 9$和$ω\le Δ-1$，那么$χ\le Δ-1$。我们表明，如果$Δ\ge 13$和$ω\le Δ-4$，那么$χ\le Δ-1$。对于图$G$，设$\mathcal{H}$表示由度为$Δ$的顶点导出的$G$的子图。我们还表明，如果$ω\le Δ-1$和$ω(\mathcal{H})\le Δ-6$，那么$χ\le Δ-1$。
2015-08-05 math.CO
Coloring and The Lonely Graph
我们改进了在\cite{reedNote}和\cite{ingo}中独立证明的色数上界。我们的主要引理给出了图中两条路完全连接的一个充分条件。利用这一点，我们证明了，如果一个图有一个最佳着色超过$\fracω{2}$单例色类，那么它满足$χ\leq \frac{ω+ Δ+ 1}{2}$。因此，满足$n - Δ< α+ \frac{ω- 1}{2}$的图也必须满足$χ\leq \frac{ω+ Δ+ 1}{2}$，从而改进了\cite{reedNote}和\cite{ingo}中的边界。然后，我们给出一个简单的参数表明，如果一个图满足$χ> \frac{n + 3 - α}{2}$，那么它也满足$χ(G) \leq \left\lceil\frac{ω(G) + Δ(G) + 1}{2}\right\rceil$。由此得出，满足$n - Δ< α+ ω$的图也满足$χ(G) \leq \left\lceil\frac{ω(G) + Δ(G) + 1}{2}\right\rceil$，从而以天花板为代价进一步改进了\cite{reedNote}和\cite{ingo}中的边界。在接下来的部分中，我们将我们的主要引理推广到约束着色（例如r-有界着色）。本文将Reed猜想推广到r-有界染色上，并证明了对于最大度接近于其阶的图的Reed猜想。最后，我们概述了一些应用程序（在\cite{Bor…
2007-07-13 math.CO
Coloring some $(P_6,C_4)$-free graphs with $Δ-1$ colors
本文证明了Borodin-Kostochka猜想对$(P_6,C_4,H)$-free图成立（$H$为$K_7$或$C_5^+$），推广了Gupta和Pradhan的结果。
2024-05-28 math.CO
Improved bound for Hadwiger's conjecture
Hadwiger在1943年证明了对任何整数$t \ge 1$，任何不含$K_t$子图的图都是$(t-1)$ -可着色的. Kostochka和独立地证明了没有$K_t$子图的图是$O(t(\log t)^{1/2})$ -可着色的。最近，Postle将其改进为可着色的$O(t (\log \log t)^6)$。本文证明了不含$K_t$子图的图是$O(t (\log \log t)^{5})$ -可着色的.
2021-08-20 math.CO
Partitioning into degenerate graphs in linear time
设$G$是一个连通图，其最大度$Δ\geq 3$不同于$K_{Δ+ 1}$ .推广Brooks定理，Borodin，Kostochka和Toft证明了如果$p_1, \dots, p_s$是非负整数，使得$p_1 + \dots + p_s \geq Δ- s$，那么$G$允许顶点划分为部分$A_1, \dots, A_s$，使得对于$1 \leq i \leq s$，$G[A_i]$是$p_i$ -退化的.在这里，我们表明，这样的分区可以在线性时间内进行。这推广了Abu-Khzam，Feghali和Heggernes~ \cite{abu2020partitioning}的猜想的子情形，我们的结果完全解决了这个问题.
2023-03-22 cs.DS math.CO
A degree sequence Hajnal--Szemerédi theorem
我们称一个图$G$有一个完美的$H$ -packing，如果存在一组$H$的顶点不相交的副本，它们覆盖了$G$中的所有顶点.开创性的Hajnal-Szemerédi定理刻画了确保图$G$包含完美$K_r$ -填充的最小度。Balogh，Kostochka和Treglown提出了一个度序列版本的Hajnal-Szemerédi定理，如果真的，加强了Hajnal-Szemerédi定理。在本文中，我们证明了这个猜想的渐近。该领域的另一个基本结果是Alon-Yuster定理，它给出了一个最小度条件，确保一个图包含一个完美的$H$ -包装的\emph{arbitrary}图$H$。我们给出了一个广泛的推广这一结果回答另一个猜想Balogh，Kostochka和Treglown的度序列的图，迫使一个完美的$H$包装。我们还证明了有向图中关于完全传递竞赛填充的一个度序列结果。证明融规律性和吸收性方法于一体。
2016-01-22 math.CO
Breaking the degeneracy barrier for coloring graphs with no $K_t$ minor
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\geq 1$都是$(t-1)$ -可着色的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。我们证明了没有$K_t$子图的每个图对每个$β> 1/4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的，这是对Kostochka-Kazason界的数量级的第一次改进.
2020-05-27 math.CO
Characterizing 4-Critical Graphs of Ore-Degree at most Seven
狄拉克引入了k-临界图的概念，即不是（k-1）-可着色的图，但其每个真子图都是（k-1）-可着色的。布鲁克定理指出，每个最大度为k的图都是k-可着色的，除非它包含一个同构于K_{k+1}的子图（或k = 2的奇圈）。等价地，对于所有k>= 4，唯一的最大度为k-1的k-临界图是K_k。布鲁克定理的一个自然推广是考虑图的Ore度，它是d（u）+d（v）在所有边uv上的最大值。Kierstead和Kostochka证明了对所有k>= 6，Ore度不超过2k-1的k-临界图只有K_k. Kostochka，Rabern和Steibitz证明了Ore度不超过9的5-临界图只有K_5和一个他们称之为O_5的图。Brook定理的另一个推广是Gallai关于k-临界图的最小密度的极限。最近，Kostochka和Yancey证明了Gallai猜想。他们对k>= 5的证明包含了上述关于Ore度的结果。然而，k = 4的情况仍然是开放的，这是本文的主题。Kostochka和Yancey对k = 4的情况的简短但漂亮的证明说，如果$G$是$4$-临界图，则|E（G）|>=（5| V（G）|-2）/3.我们证明了当存在一个大的三度独立集时，下面的界是更好的：如果G是4-临界图G，则|E（G）|>= 1.6| V（G）|+.2 α（D_3（G））-.6，其中D_3（G）是G的度3顶点诱导的图.作为推论，我们…
2014-09-17 math.CO
A step toward Chen-Lih-Wu conjecture
Faculty of Computer Science and Mathematics, University of Passau（帕绍大学计算机科学与数学学院）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Data Science Institute, Shandong University（山东大学数据科学研究院）
本文证明当k≥cn时Chen-Lih-Wu猜想及Kierstead-Kostochka的Ore型加强猜想成立，并给出判定公平k-染色的多项式时间算法。
2025-11-06 math.CO
A relaxation of the Bordeaux Conjecture
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是$3$ -可着色的.本文证明了任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是（2，0，0）-可着色的.
2015-04-06 math.CO
Third case of the Cyclic Coloring Conjecture
循环着色猜想断言，每个具有最大面尺寸D的平面图的顶点可以用至多3D/2种颜色着色，使得没有面与两个相同颜色的顶点关联。循环着色猜想仅在两个D值的情况下被证明：D=3的情况等价于四色定理，D=4的情况等价于Borodin的六色定理，该定理说，每个可以在平面上绘制的每个边最多与另一个边相交的图都是6-可着色的。我们证明了猜想D=6的情形。
2016-02-05 math.CO
Some bounds on convex combinations of $ω$ and $χ$ for decompositions into many parts
完全图$K_n$的\emph{$k$--decomposition}是$K_n$分解成$k$生成子图$G_1,...,G_k$。对于图参数$p$，令$p(k;K_n)$表示$K_n$的所有$k$ -分解上的$\displaystyle \sum_{j=1}^{k} p(G_j)$的最大值。已知$χ(k;K_n) = omega(k;K_n)$对$k \leq 3$成立，并证明该等式对所有$k$成立。为了解决这个问题，我们研究了$ω$和$χ$的凸组合，即$0 \leq r \leq 1$的图形参数$A_r(G) = (1-r) ω(G) + r χ(G)$。证明了$A_r(k;K_n) \leq n + {k \choose 2}$为小$r$。此外，我们证明了Kostochka等人的一个定理的一些推广。\cite{kostochka}。
2006-01-10 math.CO
Proof of a conjecture on induced subgraphs of Ramsey graphs
一个n-顶点图称为C-Ramsey，如果它没有大小为Clog n的团或独立集.所有已知的Ramsey图的构造都以一种基本的方式涉及随机性，并且正在进行的研究表明，事实上所有Ramsey图都必须服从随机图的某些“丰富性”特性。早在25年前，Erdés，Faudree和Sós就证明了在任何C-Ramsey图中都存在$Ω\left(n^{5/2}\right)$诱导子图，其中没有一对图的顶点数和边数相等。本文改进了Alon，Balogh，Kostochka和Samotij的早期结果，证明了这个猜想.
2021-09-07 math.CO
Counterexamples to the List Square Coloring Conjecture
图$G$的正方形$G^2$是在$V(G)$上定义的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。令$χ(H)$和$χ_l(H)$分别为$H$的色数和列表色数。一个图$H$称为{ \em chromatic-choosable}，如果$χ_l (H) = χ(H)$。寻找可色选的图是一个有趣的问题。Kostochka和Woodall \cite{KW2001}证明了对每个图$G$都有$χ_l(G^2) = χ(G^2)$，这就是列表平方着色猜想.本文给出了该猜想的无穷多个反例。此外，我们表明，值$χ_l(G^2) - χ(G^2)$可以是任意大的。
2013-05-16 math.CO
Partitioning of a graph into induced subgraphs not containing prescribed cliques
本文研究图的划分问题，证明在特定条件下可将图划分为若干导出子图，使其不包含指定团，并推广了Borodin-Kostochka猜想及相关结果。
2023-07-25 math.CO
Crossings, colorings, and cliques
Albertson证明了如果图$G$有色数$r$，则$G$的交叉数至少是完全图$K_r$的交叉数.这个猜想在$r=5$情形下等价于四色定理。Oporowski和Zhao对$r=6$进行了验证。本文利用Dirac、Gallai、Kostochka和Stiebitz给出的关于临界图边数的下界，以及Pach等人关于图的交叉数的边数和顶点数的下界，证明了关于$7 \leq r \leq 12$的猜想.
2010-06-18 math.CO
Three coloring via triangle counting
在Steinberg的三着色猜想的第一个部分结果中，Abbott和Zhou使用计数论证证明了每个不具有长度为4到11的圈的可平面图是3-可着色的。在他们的证明中隐含了一个关于平面图的事实：在任何最小度为3的平面图中，如果没有两个三角形共享一条边，那么三角形构成的面严格小于小于2/3。我们证明了这个结果，结合Kostochka和Yancey的解决方案的矿石猜想k = 4，意味着每个可平面图没有周期的长度4至8是3-着色。
2022-09-10 math.CO
Counting flags in triangle-free digraphs
受Caccetta-Haggkvist猜想的启发，证明了最小出度为0.3465n的n阶有向图都含有一个定向三角形.这改进了Hamburger、Haxell和Kostochka的0.3532n的界。主要的新工具，我们使用我们的证明是理论的旗帜代数最近开发的拉兹博罗夫。
2016-02-22 math.CO
Further Progress towards the List and Odd Versions of Hadwiger's Conjecture
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin，Song和作者证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 1/4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的，这是对$O(t\sqrt{\log t})$界的数量级的第一次改进。在这项工作的基础上，我们之前证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 0$都是$O(t (\log t)^β)$ -可着色的。更具体地，它们是$O(t \cdot (\log \log t)^{6})$可着色的。在本文中，我们将这项工作扩展到Hadwiger猜想的列表和奇推广。
2020-10-12 math.CO
A relaxation of the strong Bordeaux Conjecture
令$c_1, c_2, \cdots, c_k$为$k$非负整数.一个图$G$是$(c_1, c_2, \cdots, c_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,V_2, \ldots, V_k$，使得由$V_i$导出的子图$G[V_i]$对于$i=1, 2, \ldots, k$具有最大度至多$c_i$.设$\mathcal{F}$表示既不含相邻3-圈也不含$5$ -圈的平面图族. Borodin和Raspaud（2003）证明了$\mathcal{F}$中的每个图都是$(0,0,0)$ -可着色的。本文证明了$\mathcal{F}$中的每个图都是$(1, 1, 0)$ -可着色的，改进了Xu（2009）和Liu-Li-Yu（2014+）的结果.
2015-08-31 math.CO
Two remarks on the Burr-Erdos conjecture
图H的Ramsey数r（H）是使得完全图KN的N个顶点上的边的每一个二染色都包含H的单色副本的最小正整数N。一个图H是d-退化的，如果H的每个子图的最小度至多为d。1975年Burr和Erdens证明了对任意正整数d，存在一个常数c_d，使得对任意n阶d-退化图H，r（H）\leq c_dn.我们证明了对于这样的图r（H）\leq 2^{c_d \sqrt{\log n} }n，改进了Kostochka和Sudakov的一个较早的界.我们还研究了随机图的Ramsey数，证明了当d固定时，几乎必然随机图G（n，d/n）的Ramsey数在n中是线性的.对于随机二部图，我们的证明给出了几乎紧的界。
2008-03-12 math.CO
$(Δ-1)$-dicolouring of digraphs
本文将Borodin-Kostochka关于图着色的猜想推广至有向图，证明了在最大度足够大时二色数的新上界，并提出了有向图的稠密分解引理。
2025-07-14 cs.DM math.CO
The List Square Coloring Conjecture fails for bipartite planar graphs and their line graphs
本文构造二部平面图及其线图等反例，否定列表平方着色猜想的多个开放情形与平面版本，并改进有界最大度非可选图构造。
2025-05-12 math.CO
Every connected subcubic graph except the Petersen graph is packing $(1,1,2,2)$-colorable
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）
本文证明了所有连通次立方图除了彼得森图都是可(1,1,2,2)-着色的，解决了相关猜想和开放问题。
2026-03-24 math.CO
The 1/3-conjectures for domination in cubic graphs
本文研究三次图支配数的两个1/3猜想，在无7-圈和8-圈条件下证明了Verstraete猜想，并在无4-圈和8-圈条件下证明了Kostochka关于二部图的相关猜想。
2024-10-04 cs.DM math.CO
Every planar graph without adjacent cycles of length at most $8$ is $3$-choosable
DP-染色是列表染色的推广，由Dvopiák和Postle在2017年提出，他们证明了每个不含4到8圈的可平面图是3-可选的，这是由Borodin { \it et al.} 2007年本文证明了每一个相邻圈的长度至多为$8$的可平面图都是$3$ -可选的，推广了Dvotelák和Postle的结果.
2019-07-16 math.CO
Chromatic-choosability of the power of graphs
图$G$的$k$次幂$G^k$是在$V(G)$上定义的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为$k$，则两个顶点$u$和$v$在$G^k$中相邻。令$χ(H)$和$χ_l(H)$分别为$H$的色数和列表色数。一个图$H$称为{ \em chromatic-choosable}，如果$χ_l (H) = χ(H)$。寻找可色选的图是一个有趣的问题。Xuding Zhu（2012）提出的一个自然的问题是：是否存在一个常数$k$使得$G^k$对每个图$G$都是色选的.受列表全着色猜想的启发，Kostochka和Woodall（2001）询问$G^2$是否对每个图$G$都是色选的。Kim和Park（2013）通过找到一个图族，其平方是完全多部图，且部集大小相等且无界，从而否定了Kostochka和Woodall的问题。在本文中，我们回答了朱的问题，证明了任何整数$k \geq 2$，存在一个图$G$，使得$G^k$是不是色可选的。此外，对于任何固定的$k$，我们表明，值$χ_l(G^k) - χ(G^k)$可以是任意大的。
2013-09-04 math.CO
Ore's Conjecture on color-critical graphs is almost true
一个图$G$是$k$ -临界的，如果它有色数$k$，但$G$的每个真子图都是$(k-1)$ -可着色的.用$f_k(n)$表示$n$ -顶点$k$ -临界图的最小边数.我们给出了一个下界，$f_k(n) \geq F(k,n)$，这是尖锐的每个$n=1 ({\rm mod} k-1)$。对于$k=4$和每一个$n\geq 6$来说，它也是锋利的。这一结果改进了Gallai和Dirac的经典界以及Krivelevich、Kostochka和Stiebitz的经典界。它为每个固定的$k$建立了$f_k(n)$的渐近性。它还证明了Ore在1967年提出的猜想，即对于每个$k\geq 4$和$n\geq k+2$，$f_k(n+k-1)=f(n)+\frac{k-1}{2}(k - \frac{2}{k-1})$对每个$k\geq 4$对$n$的所有但至多$k^3/12$值成立。对所有的$W \subseteq V(G)$，$|W| \geq k$，给出了满足$|E(G[W])| < F_k(|W|)$的图$G$的$(k-1)$ -着色的多项式时间算法.最后给出了结果的一些应用。
2012-09-05 math.CO
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
2014-09-26 math.CO
Halfway to Hadwiger's Conjecture
1943年，Hadwiger证明了每个无$K_t$ -minor图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的.在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin和Song证明了没有$K_t$子图的图是$O(t(\log t)^{0.354})$ -可着色的。在第二部分的基础上，证明了不含$K_t$子图的图对每个$β> \frac{1}{4}$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的.
2022-05-18 cs.DM math.CO
MAD Phase Transitions in the Oriented Chromatic Number
研究有向图的有向色数，通过证明对于足够大阶数的\(d -\)退化图，给出其有向色数的上界，得出对于固定\(r\geq 4\)，最大平均度小于\(r\)的图的有向色数最优界为\(\Theta(\sqrt{n})\)，补充了相关研究。
2026-07-28 math.CO
Mapping sparse signed graphs to $(K_{2k}, M)$
符号图$(G, σ)$到$(H, π)$的同态是$G$的顶点和边到$H$的顶点和边的映射，使得保持闭游动的邻接、关联和符号的乘积。出于重新制定的$k$ -着色问题在这种语言中，特别是在与结果$3$ -着色的平面图，如Grötzsch定理，在这项工作中，我们考虑的最大平均度的界限是足以映射到有符号的图形$(K_{2k}, σ_m)$（$k\geq 3$），其中$σ_m$分配到边缘的一个完美的匹配的负号。对于$k=3$，我们证明了最大平均度严格小于$\frac{14}{5}$是充分的，并且这个界是紧的。对于$k\geq 4$的所有值，我们发现最佳的最大平均度必然是3。虽然符号图的同态是一个相对较新的课题，但通过与$2$ -边着色图的同态的联系，已经给出了一些较早的界。特别地，它由Borodin，O.五、金，S.- J.，Kostochka，A.五、West，D. B、大围长稀疏图的同态。J. Combin。理论系列B（2004）”如果$G$是围长至少为7且最大平均度为$\frac{28}{11}$的图，则对于任何签名$σ$，带符号图$(G,σ)$映射到$(K_6, σ_m)$。我们讨论了我们的工作签署平面图的应用程序，除其他外，我们提出了类似于斯坦伯格的猜想类签署二分平面图的问题。
2021-01-21 math.CO
Connectivity and choosability of graphs with no $K_t$ minor
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。虽然Hadwiger的猜想不适用于列表着色，但线性弱化被证明是正确的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -列表可着色的。最近，作者和Song证明了不含$K_t$子图的图对每个$β> \frac 1 4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的.在这里，我们建立在该结果的基础上，以表明每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> \frac 1 4$都是$O(t(\log t)^β)$ -列表可着色的。我们主要的新工具是一个上界的顶点数在高度连接的$K_t$ -minor-free图：我们证明了，对于每一个$β> \frac 1 4$，每一个$Ω(t(\log t)^β)$ -连通图没有$K_t$子有$O(t (\log t)^{7/4})$顶点。
2020-04-22 math.CO
Equitable Choosability of Prism Graphs
本文研究了棱柱图的均匀可选性，使用放电方法证明了 Kostochka 等人于2003年提出的关于连通图均匀列表着色猜想对无限族棱柱图成立。
2023-05-23 math.CO
Embedding spanning bipartite graphs of small bandwidth
Boettcher，Schacht和Taraz给出了n阶图G的最小度的一个条件，使得G包含每个有界度且带宽为o（n）的n阶r-色图H，从而证明了Bollobas和Komlos的一个猜想.我们加强了这个结果的情况下，当H是二分的。实际上，我们给出了一个关于n阶图G的度序列的本质上最好的可能条件，使得G包含每一个有界度和带宽为o（n）的n阶二部图H.这也意味着矿石型结果。事实上，我们证明了一个更强的结果，其中G的条件放宽到某种鲁棒扩展性质。我们的结果也证实了Balogh，Kostochka和Treglown关于图的度序列的猜想的二部情况下，迫使一个完美的H-包装。
2012-09-05 math.CO
On the cyclic coloring conjecture
平面图$G$的循环着色是指平面图的顶点的着色，使得与同一面关联的顶点具有不同的颜色。平面图$G$的循环染色的最小颜色数是它的循环色数$χ_c(G)$。设$Δ^*(G)$是图$G$的最大面度。证明了Borodin在1984年提出的循环着色猜想，即每个连通平面图$G$都有$χ_c(G) \leq \lfloor \frac{3}{2}Δ^*(G)\rfloor$，对于简单$3$ -连通平面图的剖分，证明了这一猜想.我们已经发现了四个新的不同的上界$χ_c(G)$的图$G$从这个限制家庭，其中三个界限是紧的。作为推论，我们证明了该猜想对平面三角剖分、简单$3$ -连通平面四边形剖分和具有偶数最大面度的简单$3$ -连通平面五角剖分成立，对最大度至少为10的简单$3$ -连通平面图的正则剖分成立，对于简单$3$ -连通平面图的最大面度与其最长路的顶点数相比足够大的图的剖分，本文给出了一个新的证明.
2020-09-22 math.CO
A 15/31 Counterexample Family to the Albertson-Berman Conjecture
该研究构造了顶点数为31的平面三角剖分作为反例，还构建了一系列顶点数为31k的平面图，证明Albertson-Berman猜想不成立，给出了反例族。
2026-08-19 math.CO
Bipartite graphs whose squares are not chromatic-choosable
图$G$的正方形$G^2$是在$V(G)$上定义的图，使得如果$G$中的$u$和$v$之间的距离至多为2，则$G^2$中的两个顶点$u$和$v$相邻。令$χ(H)$和$χ_{\ell}(H)$分别为$H$的色数和列表色数。一个图$H$称为{ \em chromatic-choosable}，如果$χ_{\ell} (H) = χ(H)$。寻找可色选的图是一个有趣的问题。受列表全着色猜想的启发，Kostochka和Woodall（2001）提出了列表平方着色猜想，该猜想指出$G^2$对每个图$G$都是色可选择的。最近，Kim和Park证明了列表平方着色猜想一般不成立，他们找到了一个图族，其平方是完全多部图，其部集的大小是无界的。对于特殊的二部图类，如果列表平方着色猜想成立，则列表全着色猜想成立。另一方面，列表平方着色猜想的反例不是二部图。因此，一个自然的问题是，$G^2$是否是色选择或不是每一个二部图$G$。本文给出了一个二部图$G$，使得$χ_{\ell} (G^2) \neq χ(G^2)$ .此外，我们还证明了$χ_{\ell}(G^2) - χ(G^2)$的值可以任意大。
2014-05-07 math.CO
On $3$-flow-critical graphs
一个无桥图$G$称为$3$ -流关键的，如果它不承认无处零$3$ -流，但$G/e$有任何$e\in E(G)$。Tutte的$3$流猜想等价地表示为：每个$3$流临界图都包含一个三度顶点.本文研究了$3$ -流-临界图的结构和极边密度.我们应用结构性质得到$3$ -流-临界图密度的上下界，即对于$3$ -流-临界图$G$在$n$顶点上，$$\frac{8n-2}{5}\le |E(G)|\le 4n-10,$$其中每个等式成立当且仅当$G$是$K_4$ .我们猜想每个$3$ -流临界图在$n\ge 7$顶点上最多有$3n-8$条边，如果这是真的，那么这将是紧的.对于平面图，$n$顶点上的$3$ -流-临界图的最佳可能密度上界是$\frac{5n-8}{2}$，从Kostochka和Yancey（JCTB 2014）关于通过对偶对$4$ -临界图进行顶点着色的结果已知。
2020-03-20 math.CO
Further progress towards Hadwiger's conjecture
在1943年，Hadwiger证明了没有$K_t$子图的图对每个$t\ge 1$都是$(t-1)$ -可着色的。在20世纪80年代，Kostochka和Kristason独立证明了每个没有$K_t$子图的图都有平均度$O(t\sqrt{\log t})$，因此是$O(t\sqrt{\log t})$ -可着色的。最近，Norin，Song和作者证明了每个没有$K_t$子图的图对于每个$β> 1/4$都是$O(t(\log t)^β)$ -可着色的，这是对$O(t\sqrt{\log t})$界的数量级的第一次改进。在此基础上，本文证明了没有$K_t$子图的图对每个$β> 0$都是$O(t (\log t)^β)$ -可着色的。更具体地结合作者的另一篇论文，它们是$O(t \cdot (\log \log t)^{18})$ -可着色的。
2022-05-18 cs.DM math.CO
The saturated spectral radius for complete graphs
School of Mathematical Sciences, MOE-LSC, SHL-MAC, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文证明了完全图饱和谱半径猜想，即 $K_{r-1}\vee(n-r+1)K_1$ 在所有 $n$ 顶点 $K_{r+1}$-饱和图中具有最小谱半径，并给出了等号条件及局部两步游走不等式。
2026-09-14 math.CO
Counterexamples to the Cubic Graph Domination Conjecture
设v（G）和dom（G）表示图G的顶点数和控制数，r（G）= dom（G）/v（G）$. Let [x] and ]x[ be the floor and the ceiling of a number x. In 1996 B. Reed conjectured that if G is a cubic graph, then dom(G) is at most ]v(G)/3[. In 2005 A. Kostochka and B. Stodolsky disproved this conjecture for cubic graphs of connectivity one and maintained that the conjecture may still be true for 2-connected cubic graphs. Their minimum counterexample C has 4 bridges, v(C) = 60, anddom (C) = 21. In this paper we disprove Reed's conjecture for 2-connected cubic graphs by providing a sequence (R(k): k > 2) of cubic graphs of connectivity two w…
2006-07-20 math.CO
