A different short proof of Brooks' theorem
Lovász给出了一个简短的证明布鲁克斯定理着色greetings在一个良好的秩序。我们给出一个不同的简短证明，通过减少到立方的情况。然后，我们展示了如何通过核引理将结果扩展到（在线）列表着色。
2013-06-25 math.CO
Brooks' Theorem and Beyond
我们收集了一些我们最喜欢的布鲁克斯定理的证明，突出每个的优点和扩展。这些证明说明了图着色中的一些主要技术，如贪婪着色，Kempe链，击中集和核引理。我们还讨论了顶点着色的标准增强，如列表着色，在线列表着色，和Alon-Tarsi方向，因为布鲁克斯定理的类似物在每个上下文中。最后，我们沿着布鲁克斯定理的路线得出两个更强的猜想，即鲍罗丁-科斯托奇卡猜想和里德猜想。
2014-03-03 math.CO
Yet another proof of Brooks' theorem
可以说是这种证明方式的最简单的变体，因为我们完全避免了简化到立方的情况。
2014-09-24 math.CO
Improvement on Brook theorem for 2K2-free Graphs
本文证明了对于最大度大于等于5的2K 2-free图G，其色数小于等于max{最大度-1，最大团数}.这意味着Borodin & Kostochka猜想对2K 2-free图成立。
2017-02-03 math.CO
A note on a Brooks' type theorem for DP-coloring
Dvoclák和Postle \cite{DP}引入了一个单图的\textit{DP-coloring}作为列表着色的推广。他们证明了关于DP-染色的Brooks型定理，Bernshteyn，Kostochka和Pron \cite{BKP}将其推广到多重图的DP-染色。然而，当一个多重图不允许DP-染色的详细结构没有规定在\cite{BKP}。在本文中，我们明确了这一点，并给出了完整的结构。这也是由与符号图的符号着色的关系所激发的。
2017-09-28 math.CO
A Fractional Analogue of Brooks' Theorem
设$Δ(G)$是图$G$的最大度。Brooks定理指出，色数为$χ(G)=Δ(G)+1$的连通图是完全图和奇圈。本文证明了Brooks定理的一个分数阶类比。也就是说，我们对所有连通图$G$进行分类，使得分数色数$χ_f(G)$至少为$Δ(G)$。这些图是完全图、奇圈、$C^2_8$、$C_5\boxtimes K_2$以及团数$ω(G)$等于最大度$Δ(G)$的图。在这两个散点图中，图$C^2_8$是圈$C_8$的平方图，而另一个图$C_5\boxtimes K_2$是$C_5$和$K_2$的强积。事实上，我们证明了一个更强的结果;如果具有$Δ(G)\geq 4$的连通图$G$不是上面列出的图之一，那么我们有$χ_f(G)\leq Δ(G)- 2/67$。
2011-11-13 math.CO
Four proofs of the directed Brooks' Theorem
本文针对有向 Brooks 定理给出四个新证明，并补充了一个 NP 完全性结果。
2023-04-13 cs.DM math.CO
Brooks' theorem with forbidden colors
我们考虑扩展布鲁克斯的经典定理的顶点着色的某些颜色不能使用某些顶点。特别地，我们证明了：如果$G$是一个最大度的连通图，$Δ(G) \geq 4$不是一个完全图，而$P \subseteq V(G)$是一个顶点集，其中（i）对于$P$中的每个顶点，至多有$Δ(G)-2$颜色是禁止的，并且$P$中的任意两个顶点的距离至少为$4$，或者（ii）对于$P$中的每个顶点，至多有$Δ(G)-3$颜色是禁止的，并且$P$的任意两个顶点之间的距离至少为$3$，则存在$G$的适当$Δ(G)$ -着色.事实上，我们将证明这些结果在更一般的列表着色设置中成立。这些结果是尖锐的。
2023-03-13 math.CO
Strengthened Brooks Theorem for digraphs of girth three
Brooks定理指出，最大度$Δ$的连通图$G$的色数至多为$Δ$，除非$G$是奇圈或完全图. Johansson（1996）的一个结果表明，如果$G$是无三角形的，则色数下降到$O(Δ/ \log Δ)$。本文给出了有向图的色数的一个弱类比。我们证明了当$\tildeΔ$足够大时，每个不含长度为2的有向圈的（无环）有向图$D$都有色数$χ(D) \leq (1-e^{-13}) \tildeΔ$，其中$\tildeΔ$是$D$中顶点的出度和入度的最大几何平均.作为推论，证明了存在一个绝对常数$α< 1$，使得对每一个$\tildeΔ > 2$都有$χ(D) \leq α(\tildeΔ + 1)$.
2011-10-21 math.CO
On Brooks' Theorem
本研究针对Brooks定理，通过修改已有证明、结合两种已有证明的方式提出两种更易在计算机科学课程中教学的证明方法。
2025-10-03 cs.DM math.CO
Brooks' theorem on powers of graphs
证明了对$k\geq 3$，即使是在线列表着色，Brooks定理给出的最大度图$Δ\geq 3$的$k$次幂的色数的界也可以降低1.
2013-10-21 cs.DM math.CO
The reverse mathematics of Brooks' theorem
Università di Udine（乌迪内大学）
本文从反数学角度研究布罗克斯定理的可证明性，发现其在不同图类上的不同反数学强度
2026-08-04 math.CO math.LO
A Brooks' Theorem for Triangle-Free Graphs
设G是一个无三角形图，其度δ（G）最大。证明了图G的色数\c{hi}（G）小于小于67（1 + o（1））δ/ log δ.
2011-06-10 cs.DM math.CO
A Brooks type theorem for the maximum local edge connectivity
对于图$G$，设$\cn(G)$和$\la(G)$分别表示图$G$的色数和$G$的最大局部边连通度. Dirac \cite{Dirac53}的一个结果是：每个图$G$都满足$\cn(G)\leq \la(G)+1$ .本文刻画了图$G$，其中$\cn(G)=\la(G)+1$ . $\la(G)=3$病例已由Alboulker解决{ \em等\，} \cite{AlboukerV2016}。我们证明了一个图$G$与$\la(G)=k\geq 4$满足$\cn(G)=k+1$当且仅当$G$包含一个块，它可以从$K_{k+1}$的副本通过重复应用的Hajós连接。
2016-03-30 math.CO
Greedy Coloring and Simple Exponential Strengthenings of Brooks-Type Theorems
University of Utah（犹他大学）；CNRS, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP UMR 5668（法国国家科学研究中心，里昂高等师范学院，克洛德·贝尔纳里昂第一大学）；ENS de Lyon, LIP UMR 5668（里昂高等师范学院）
本文对布鲁克斯定理给出新证明，证明连通非完全且最大度Δ≥3的图存在指数多个正常Δ着色，还拓展技术到多种着色场景，给出新归约与度可选性定理的新证明。
2026-10-14 math.CO
Non-degenerate colorings in the Brook's Theorem
令$c\geq 2$和$p\geq c$是两个整数。如果对度至少为$p$的$G$的任一顶点，至少有$c$与之相邻的不同颜色的顶点，则称图$G$的一个真染色为\textit{$(c,p)$-nondegenerate}.设$D\geq 3$和$G$是一个在$D+1$顶点上不存在团的图，且该图中任一顶点的度不大于$D$ .则对每一个整数$c\geq 2$，都存在$G$的一个真$(c,p)$ -非退化顶点$D$ -染色，其中$p=(c^3+8c^2+19c+6)(c+1).$在初步证明中，得到了一些有趣的推论.
2008-12-01 cs.DM math.CO
Brooks-type theorem for $r$-hued coloring of graphs
简单图$G$的$r$ -着色是其顶点的适当着色，使得每个顶点$v$至少与$\min\{r, °(v)\}$不同着色的顶点相邻.图$G$的$r$色调着色所需的最小颜色数，即$r$色调色数，记为$χ_{r}(G)$ .本文证明了对于每个简单图$G$和每个$r \geq 2$，当$r < Δ(G)$改进了目前已知的基于$Δ(G)$的$χ_r(G)$上界，即$r Δ(G) + 1$时，都有$$χ_r(G) \leq (r - 1)(Δ(G) + 1) + 2,$$.我们还讨论了$r$ -色数与$(r-1)(Δ+ 1 ) + 2$接近的图的存在性，证明了对于任何$r \in \{2, \dots, 9\}$和$Δ\geq r + 2$的无穷多个值，存在一个最大度$Δ$的二部图，其$r$ -色数为$(r-1)Δ+ 1$;我们认为$(r-1)Δ(G) + 1$是任何二部图$G$的$r$ -色数的最佳上界.
2022-11-02 math.CO
Brooks's theorem for measurable colorings
推广了Brooks定理，证明了如果$G$是标准Borel空间$X$上的Borel图，且$X$的度以$d \geq 3$为界，且$G$不含$(d+1)$ -团，则$G$关于$X$上的任意Borel概率测度$μ$允许一个$μ$ -可测$d$-染色，并且关于$X$上的任意相容波兰拓扑允许一个Baire可测$d$ -染色.这个定理的证明使用了一种新的技术来构造Borel图的单端生成子森林，以及列表着色研究的想法。我们应用该定理所产生的群作用的图，以获得因子IID $d$ -染色度$d$的凯莱图，除了在两个例外的情况下。
2016-06-01 math.CO math.LO math.PR
Measurable Brooks's Theorem for Directed Graphs
本文证明了有向图的可测布罗克斯定理，显示在特定条件下，有向图可被测色，且在波兰拓扑下也具有可测着色性质。同时证明了关于有向图列表着色的加拉伊定理的可定义版本。
2026-04-08 math.CO math.LO
Brooks Type Results for Conflict-Free Colorings and {a, b}-factors in graphs
一个超图的顶点染色是无冲突的，如果每一条边都包含一个顶点，该顶点的颜色在该边的任何其他顶点上都不重复。设$f(r, Δ)$是最小整数$k$，使得每个顶点度最大的$r$ -均匀超图$Δ$具有最多$k$颜色的无冲突染色.如Tardos和Pach所示，类似于超图的经典Brooks型定理，$f(r, Δ)\leq Δ+1$。与Brooks定理相比，根据Brooks定理，只有一对图/超图达到了$Δ+1$界，我们证明了有几个无限类的一致超图达到了上界.我们给出了大$Δ$的$f(r, Δ)$的上界，并建立了$r$ -正则图中无冲突着色与所谓的$\{t, r-t\}$ -因子之间的联系.这里，$\{t, r-t\}$因子是其中每个度是$t$或$r-t$的因子。其中，我们证明了Akbari和Kano~[Graphs and Combinatorics 30（4）：821- 826，2014]的一个猜想：对于奇$r$和任何奇$t<\frac{r}{3}$，在每个$r$ -正则图中存在一个$\{t,r-t\}$ -因子.
2016-12-05 math.CO
Brooks' type theorems for coloring parameters of locally finite graphs and Konig's Lemma
本文研究了无限局部有限连通图着色参数的Brooks型定理，证明其在ZF中不可证但可由Konig引理推导，并提出了与Konig引理等价的新着色参数存在条件，同时给出了ZFC下无限图列表可辨别色数的上界。
2025-02-23 math.CO math.LO
Brooks-type theorems for relaxations of square colorings
本研究改进了图的正常h-无冲突着色的Brooks型猜想相关结果，给出更紧的色数上界，证明猜想对弦图成立，也改进了h-动态着色的相关结论。
2024-04-17 math.CO
A Brooks-type theorem for the k-choosability of graphs with maximum local edge-connectivity k
School of Mathematics；Statistics Victoria University of Wellington New Zealand
研究图的最大局部边连通度k下的k-可染色性，证明2连通图k-可染色当且仅当不在H_k类中，且限制在最大局部边连通度k的图上k-可染色性判定为Π_2-完全。
2026-03-17 cs.DM math.CO
Brooks-type colourings of digraphs in linear time
提出有向图的可变双退化度概念，定义F-dicolouring并证明Brooks定理的推广，给出线性时间算法计算此类染色或证明不存在，统一了多种中间推广。
2025-03-27 cs.DS math.CO
Brooks' theorem for signed graphs with $Δ=3$
本文研究最大度为3的符号图的圆形色数上界，证明除 $(K_4,-)$ 分量外均满足 $χ_c\leq 10/3$，并通过 Petersen 图证明该界紧。
2025-10-18 math.CO
A Brooks-like result for graph powers
图$G$的着色在于找到颜色的分配$c: V(G)\to\{1,\ldots,p\}$，使得任何一对相邻顶点接收不同的颜色。使着色存在的最小整数$p$称为$G$的色数，用$χ(G)$表示。研究了图的幂的色数，即由图$G$通过在距离至多为$k$的每对顶点之间增加一条边而得到的图.对于$k=1$，Brooks定理指出，除了$Δ+1$顶点上的团之外，每个最大度$Δ\geqslant 3$的连通图都可以用$Δ$颜色着色（即比朴素上限少一种颜色）。对于$k\geqslant 2$，一个类似的结果成立：除了摩尔图，天真的上限可以降低2。我们证明，对于$k\geqslant 3$和每个$Δ$，我们实际上可以备用$k-2$颜色，除了有限数量的图。然后我们将此值改进为$Θ((Δ-1)^{\frac{k}{12}})$。
2019-12-24 cs.DM math.CO
Characterizing 4-Critical Graphs of Ore-Degree at most Seven
狄拉克引入了k-临界图的概念，即不是（k-1）-可着色的图，但其每个真子图都是（k-1）-可着色的。布鲁克定理指出，每个最大度为k的图都是k-可着色的，除非它包含一个同构于K_{k+1}的子图（或k = 2的奇圈）。等价地，对于所有k>= 4，唯一的最大度为k-1的k-临界图是K_k。布鲁克定理的一个自然推广是考虑图的Ore度，它是d（u）+d（v）在所有边uv上的最大值。Kierstead和Kostochka证明了对所有k>= 6，Ore度不超过2k-1的k-临界图只有K_k. Kostochka，Rabern和Steibitz证明了Ore度不超过9的5-临界图只有K_5和一个他们称之为O_5的图。Brook定理的另一个推广是Gallai关于k-临界图的最小密度的极限。最近，Kostochka和Yancey证明了Gallai猜想。他们对k>= 5的证明包含了上述关于Ore度的结果。然而，k = 4的情况仍然是开放的，这是本文的主题。Kostochka和Yancey对k = 4的情况的简短但漂亮的证明说，如果$G$是$4$-临界图，则|E（G）|>=（5| V（G）|-2）/3.我们证明了当存在一个大的三度独立集时，下面的界是更好的：如果G是4-临界图G，则|E（G）|>= 1.6| V（G）|+.2 α（D_3（G））-.6，其中D_3（G）是G的度3顶点诱导的图.作为推论，我们…
2014-09-17 math.CO
Uniquely 2-List Colorable Graphs
一个图称为唯一列表可着色的，如果它允许一个列表分配，导致一个唯一的列表着色。我们研究唯一列表可着色图的颜色使用的数量上的限制。在这种方法中，我们推广了一个定理，唯一的2-列表着色图的特点。本文引入了图的唯一色数表，并对它作了一个猜想，它是著名的Brooks定理的推广。
2008-01-02 math.CO
Upper bounds for the list-distinguishing chromatic number
本文针对简单有限连通图，证明了Brooks定理在列表可区分色数上的类比，并利用着色数和列表色数给出两个上界，同时确定了书图等多种图族的列表可区分色数。
2025-02-23 math.CO
Beyond Degree Choosability
设$G$是一个度为$Δ$的连通图. Brooks定理指出，除非$G$是完全图或奇圈，否则$G$具有$Δ$ -染色。一个图$G$是\emph{degree-choosable}，如果$G$可以从它的列表中适当地着色，每当每个顶点$v$得到一个$d(v)$颜色的列表。在列表着色的背景下，布鲁克斯定理可以被加强为以下内容。每个连通图$G$都是度可选的，除非$G$的每个块都是完全图或奇圈;这样的图$G$是\emph{Gallai tree}。这个度选择性的结果进一步加强到Alon-Tarsi方向;这些是$G$的方向，其中具有偶数条边的生成欧拉子图的数量不同于具有奇数条边的生成欧拉子图的数量。一个图$G$是\emph{degree-AT}，如果$G$有一个Alon-Tarsi方向，其中每个顶点的入度至少为1。Alon和Tarsi证明，如果$G$是度-AT，那么$G$也是度-可选的。Hladky、Kral和Schauz证明了一个连通图是度-AT当且仅当它不是Gallai树。本文考虑了图对$(G,x)$，其中$G$是一个连通图，$x$是$V(G)$中的某个指定顶点.我们的特点对，使$G$没有Alon-Tarsi方向，其中每个顶点的入度至少为1和$x$入度至少为2。当$G$是2-连通时，特征描述很简单。
2015-11-02 math.CO
Strengthening the Directed Brooks' Theorem for oriented graphs and consequences on digraph redicolouring
本文加强了有向图的定向 Brooks 定理，刻画了二色数达到上界时的极值结构，并给出了有向图重着色距离的多个上界，推广了已有无向图结果。
2023-05-25 cs.DM math.CO
Colouring Digraphs
本论文研究有向图结构与二色数的关系，证明有向版 Gyárfás-Sumner 猜想的子情形，并将 Shannon 与 Vizing 的边着色结果推广到 d 边缺陷着色。
2023-07-17 math.CO
When removing an independent set is optimal for reducing the chromatic number
本文研究在何种色数阈值下移除独立集成为减少色数的最优方法，通过归约到Brooks定理的稳定性形式，精确确定了足够大最大度图的阈值范围。
2023-07-13 math.CO
Graphs with $χ=Δ$ have big cliques
Brooks定理指出，如果一个图有$Δ\ge 3$和$ω\le Δ$，则有$χ\le Δ$。Borodin和Kostochka证明，如果$Δ\ge 9$和$ω\le Δ-1$，那么$χ\le Δ-1$。我们表明，如果$Δ\ge 13$和$ω\le Δ-4$，那么$χ\le Δ-1$。对于图$G$，设$\mathcal{H}$表示由度为$Δ$的顶点导出的$G$的子图。我们还表明，如果$ω\le Δ-1$和$ω(\mathcal{H})\le Δ-6$，那么$χ\le Δ-1$。
2015-08-05 math.CO
A short proof that $χ$ can be bounded $ε$ away from $Δ+1$ towards $ω$
1998年第二作者证明了存在一个$ε>0$使得每个图都满足$χ\leq \lceil (1-ε)(Δ+1)+εω\rceil$。第一作者最近证明了任何满足$ω> \frac 23(Δ+1)$的图都包含一个与每个最大团相交的稳定集。本文利用后一个结果对前一个结果给出一个更短、更简单的证明。我们包括，作为简单的证明，一个附录，证明了所有的中间结果，除了霍尔定理，布鲁克斯定理，洛瓦兹局部引理和塔拉格兰德不等式。
2012-11-06 cs.DM math.CO
An improvement of the Beck-Fiala theorem
在1981年贝克和Fiala证明了一个上界的差异集系统的程度d是独立的大小地面设置。在此期间的几年中，边界已从2d-2下降到2d-4。我们改进了2d-log* d的约束。
2015-03-18 math.CO
Independent sets near the lower bound in bounded degree graphs
根据Brook定理，每个最大度不超过Delta = 3且团数不超过Delta的n-顶点图都是Delta-可染的，因而它有一个大小至少为n/Delta的独立集.我们给出了独立数接近这个界的图的一个近似刻画，并利用它证明了判定这样一个图是否有一个大小至少为n/Delta+k的独立集的问题有一个大小为O（k）的核.
2016-10-03 cs.DM math.CO
List packing number of bounded degree graphs
本文研究有界度图的列表填装数，探讨最大度为 $Δ$ 的图是否总有列表填装数至多 $Δ+1$，并揭示建立 Brooks 型定理的障碍。
2023-03-02 math.CO
A Slight Improvement to the Colored Bárány's Theorem
假设给出了$\mathbb{R}^d$上的$d+1$绝对连续概率测度$m_0, \ldots, m_d$.本文证明了$\mathbb{R}^d$中存在一个点以至少$\frac{2d}{(d+1)!(d+1)}$的概率属于$d+1$点的凸包$v_0, \ldots, v_d$，其中每个点$v_i$按照概率测度$m_i$独立采样.
2014-12-10 math.CO
A Catlin-type Theorem for Graph Partitioning Avoiding Prescribed Subgraphs
作为Brooks定理的一个推广，Catlin在1979年证明了如果$H$既不是奇圈也不是具有最大度$Δ(H)$的完全图，则$H$有一个点$Δ(H)$ -染色使得其中一个色类是最大独立集。设$G$是阶至少为$2$的连通图.图$H$的$G$ -free $k$ -染色是将图$H$的顶点集划分为$V_1,\ldots,V_k$，使得在图$V_i$上导出的子图$H[V_i]$不包含与图$G$同构的子图.作为Catlin定理的一个推广，我们证明了一个图$H$有一个$G$ -free $\lceil{Δ(H)\over δ(G)}\rceil$ -染色，其中一个色类是$V(H)$的一个最大$G$ -free子集，如果$H$满足下列条件;（1）如果$G$是正则的，则$H$不同构于$G$，（2）如果$G \simeq K_{δ(G)+1}$，则$H$不同构于$K_{kδ(G)+1}$，（3）若$G$同构于$K_2$，则$H$不是奇圈.事实上，我们证明了更多，通过证明，如果$G_1,\ldots,G_k$是连通图与最小度$d_1,\ldots,d_k$，分别，和$Δ(H)=\sum_{i=1}^{k}d_k$，则存在$H$到$V_1,\ldots,V_k$的顶点的划分，使得每个$H[V_i]$是无$G_i$的，并且此外可以以$H[V_i]$是最大$G_i$的方式来选择$V_i$中的一个。除了$k=1…
2020-02-11 math.CO
Extracting list colorings from large independent sets
我们将Kostochka和Yancey的核引理应用于其逻辑结论。其结果是一种神奇的方法，可以从一个独立集的存在性中得出关于列表着色（和在线列表着色）的结论。我们用它来证明在线列表着色的布鲁克斯定理的Ore度版本。图$G$中边$xy$的Ore度为$θ(xy) = d_G(x) + d_G(y)$。$G$的矿石级为$θ(G) = \max_{xy\in E(G)}θ(xy)$。我们证明了每个具有$θ\ge18$和$ω\le\fracθ{2}$的图都是在线$\left\lfloor \fracθ{2}\right\rfloor $可选择的。此外，我们还证明了在线列表着色无三角形图的一个上界：$χ_{OL}\leΔ+1-\lfloor\frac{1}{4}\lg(Δ)\rfloor$。最后，我们把Gallai树刻画为连通图$G$，它至少有$|G|$边没有独立集。
2015-12-26 math.CO
Weak degeneracy of graphs
受图着色贪婪算法研究的启发，我们引入了一个新的图参数，我们称之为弱退化度。根据定义，每个$d$ -退化图也是弱$d$ -退化图.另一方面，如果$G$是弱$d$ -退化的，则是$χ(G) \leq d + 1$（而且，对于$G$的列表色数甚至DP-色数也有相同的界）。图着色理论中的几个上界可以用弱退化来表述。例如，我们证明了平面图是弱$4$ -退化的，这就意味着平面图是$5$ -列表可着色的。我们还证明了Brooks弱退化定理的一个版本：连通图$G$的最大程度$d \geq 3$是弱$(d-1)$ -退化，除非$G \cong K_{d + 1}$。(By相反，所有$d$ -正则图都有退化$d$。）我们实际上证明了一个更强的结果，即对于每一个$d \geq 3$，有$ε> 0$，使得如果$G$是一个弱退化至少$d$的图，那么要么$G$包含一个$(d+1)$ -团，要么$G$的最大平均度至少是$d + ε$。最后，我们证明了最大度$d$和围长至少$5$或有界色数的图是弱$(d - Ω(\sqrt{d}))$ -退化的，这是最好的可能的隐含常数的值。
2022-11-24 math.CO
Partitioning into degenerate graphs in linear time
设$G$是一个连通图，其最大度$Δ\geq 3$不同于$K_{Δ+ 1}$ .推广Brooks定理，Borodin，Kostochka和Toft证明了如果$p_1, \dots, p_s$是非负整数，使得$p_1 + \dots + p_s \geq Δ- s$，那么$G$允许顶点划分为部分$A_1, \dots, A_s$，使得对于$1 \leq i \leq s$，$G[A_i]$是$p_i$ -退化的.在这里，我们表明，这样的分区可以在线性时间内进行。这推广了Abu-Khzam，Feghali和Heggernes~ \cite{abu2020partitioning}的猜想的子情形，我们的结果完全解决了这个问题.
2023-03-22 cs.DS math.CO
A quantitative improvement on the hypergraph Balog-Szemerédi-Gowers theorem
本文对超图 Balog-Szemerédi-Gowers 定理给出了定量改进，并证明了其“几乎全部”版本，提升了相关组合数论结果的精度。
2025-03-26 math.CO math.NT
A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions
本文改进了三项等差数列的Roth定理的定量估计，证明了若$A\subset\{1,\ldots,N\}$不含非平凡三项等差数列，则$\lvert A\rvert\ll N(\log\log N)^4/\log N$ .用同样的方法，我们也改进了$\mathbb{F}_q[t]$上类似问题的界，以及在和集中求长等差数列的界。
2014-06-18 math.CO math.NT
Bounding $χ$ by a fraction of $Δ$ for graphs without large cliques
贪婪着色算法表明，最大度至多为$Δ$的图的色数至多为$Δ+ 1$，这对团是紧的。许多注意力一直致力于改善这种“贪婪界”的图没有大的团。Brooks著名地证明了这个界限可以改进一个，如果$Δ\geq 3$和图包含没有大小为$Δ+ 1$的团。里德猜想指出，如果图不包含大小为$Δ+ 1 - 2k$的团，则$k$可以改进“贪婪界”。Johansson证明了对于没有三角形或没有任何固定大小的团的图，“贪婪界”可以分别提高$Ω(\ln(Δ)^{-1})$或$Ω\left(\frac{\ln(\ln(Δ))}{\ln(Δ)}\right)$的因子。值得注意的是，缺少的是一个$\textit{linear}$改进的“贪婪界”的图没有大集团。本文证明了：对于充分大的$Δ$，如果$G$是一个最大度至多为$Δ$且没有团大小为$ω$的图，则$$χ(G) \leq 72Δ\sqrt{\frac{\ln(ω)}{\ln(Δ)}}.$$.这意味着对于充分大的$Δ$，如果$ω^{(72c)^2} \leq Δ$，则$χ(G) \leq Δ/c$ .这个界限实际上对列表色数和对应色数（也称为DP色数）都成立。事实上，我们证明了我们所谓的“本地版本”，结果意味着存在的着色时，每个顶点的可用颜色的数量取决于本地参数，如度和集团数的邻居。我们的结果同时意味着“贪婪界”和Johansson的两个上述结果的线性改进。
2018-03-02 math.CO
Colouring graphs with constraints on connectivity
如果每对不同顶点$x$和$y$之间的边不相交路径的最大数量至多为$k$，则图$G$具有最大局部边连通度$k$。我们证明了具有最大局部边连通度的$k$ -连通图的Brooks型定理$k$，以及任何具有最大局部边连通度的图的Brooks型定理。我们还考虑了几个相关的图类定义的约束连接。特别是，我们表明，有一个多项式时间算法，给定一个3-连通图$G$与最大的本地连接3，输出一个最佳的着色$G$。另一方面，我们证明了，对于$k \ge 3$，$k$ -着色性是NP-完全的，当限制到最小$k$ -连通图，和3-着色性是NP-完全的，当限制到$(k-1)$ -连通图与最大的局部连通度$k$。最后，我们考虑$k$ -着色度的顶点数至少$k+1$的基础上的参数化，并证明，即使当$k$是输入的一部分，相应的参数化问题是FPT。
2016-10-14 cs.CC math.CO
Small H-coloring problems for bounded degree digraphs
一个NP-完全染色或同态问题在限制于度被一个小的数所限制的图时可能成为多项式时间可解的，但如果界更大则保持NP-完全。例如，度为3的图的3-可染性可以由Brooks定理来判定，而度为4的图的3-可染性问题是NP-完全的。我们研究了有向图的一个类似的现象，重点是三个最小的有向图H的NP-完全H-可染性问题。结果表明，在所有三种情况下的H-染色问题是多项式时间可解的有向图的度界$Δ^{+} \leq 1$，$Δ^{-} \leq 2$（或$Δ^{+} \leq 2$，$Δ^{-} \leq 1$）。另一方面，对于度界$Δ^{+} \leq 2$，$Δ^{-} \leq 2$，这三个问题都是NP完全的。Feder，Hell和Huang对图H提出的一个猜想指出，如果度界足够高，那么任何不带度约束的$H$ -着色问题的变形都是NP-完全的.我们的研究是第一次证实，猜想也可能适用于有向图。
2012-11-27 cs.DM math.CO
Improvement of generalization of Larman-Rogers-Seidel's theorem
在$d$维欧氏空间中的有限集$X$称为$s$距离集，如果$X$中任意两个不同点之间的距离集的大小为$s$ . 1977年，Larman-Rogers-Seidel证明了：如果一个二距离集的基数足够大，则存在一个整数$k$使得两个距离$α$，$β$ $(α< β)$满足整数条件，即$\frac{α^2}{β^2}=\frac{k-1}{k}$。在2011年，Nozaki将Larman-Rogers-Seidel定理推广到$s$ -距离集的情况，即如果$s$ -距离集$|X|\geqslant 2N$的基数具有距离$α_1,α_2,\cdots,α_s$，其中$N=\binom{d+s-1}{s-1}+\binom{d+s-2}{s-2}$，则数字$k_i=\prod_{j=1,2,\cdots,s,\text{ }j\neq i}\frac{α_{j}^{2}}{α_{j}^{2}-α_{i}^{2}}$是整数。本文降低了$\mathbb{R}^d$中$s$ -距离集的整数条件要求的下界.此外，我们可以证明，在具有$|X|\geqslant 2\binom{d+s-1}{s-1}.$的$\mathbb{R}^d$中，只有1/2个$s$ -距离集$X$
2021-06-17 math.CO math.MG
A Single Set Improvement to the $3k-4$ Theorem
$3k-4$定理是一个经典的结果，它断言，如果$A,\,B\subseteq \mathbb Z$是有限的，非空子集，具有\begin{equation}\label{hyp}|A+B|=|A|+|B|+r\leq |A|+|B|+\min\{|A|,\,|B|\}-3-δ,\end{equation}，其中$δ=1$如果$A$和$B$是彼此的平移，否则$δ=0$，则存在具有公差的算术级数$P_A$和$P_B$，使得$A\subseteq P_A$，$B\subseteq P_B$，$|B|\leq |P_B|+r+1$和$|P_A|\leq |A|+r+1$。这是少数情况下，在弗赖曼定理的确切界限的大小的进展是已知的。上面的假设是最好的可能性，因为有一些和集$A+B$的基数只是多一个，但$A$和$B$不能都包含在短长度的算术级数中。在本文中，我们表明，上述假设可以显着减弱，仍然产生相同的结论，为$A$和$B$的集合之一。具体地说，如果$|B|\geq 3$，$s\geq 1$是唯一的整数与$$(s-1)s\left(\frac{|B|}{2}-1\right)+s-1<|A|\leq s(s+1)\left(\frac{|B|}{2}-1\right)+s,$$和\begin{equation}\label{hyp2} |A+B|=|A|+|B|+r< (\frac{|A|}{s…
2019-11-28 math.CO math.NT
Improvement of effective Erdos-Wintner theorem for Zeckendorf expansions
本文改进了Zeckendorf展开的有效Erdos-Wintner定理，通过成对分组转移矩阵并提取主方向线性相位，移除了绝对收敛假设，仅需平方可和条件即可得到二次或分裂尾部误差界。
2025-11-02 math.CO math.NT math.PR
Some remarks on the Balog-Wooley decomposition theorem and quantities D^+, D^\times
本文研究了集合A的两个特征D^+（A），D^ \times（A），这两个特征在和积现象的最新结果中起着重要作用.此外，我们得到了Balog-Wooley分解定理的几个变种和改进。特别地，我们证明了实数的任何有限子集都可以分裂成两个具有少量D^+和D^ \times的集合。
2016-05-01 math.CO math.NT
