Determinants concerning Legendre symbols
有限域上具有勒让德符号元的行列式的计算与特征和有着密切的关系。最近，Sun就这个话题提出了一些建议。本文证明了Sun的几个定理，并研究了其几个变式。例如，我们证明了以下结果：设$p=a^2+4b^2$是素数，其中$a,b$是整数，而$a\equiv1\pmod4$是素数。则对于行列式$$S(1,p):={\rm det}\bigg[\left(\frac{i^2+j^2}{p}\right)\bigg]_{1\le i,j\le \frac{p-1}{2}},$$，数$S(1,p)/a$是整数平方，这证实了Cohen，Sun和Vsemirnov提出的一个猜想.
2020-12-01 math.NT
Some Conjectures on the Number of Primes in Certain Intervals
本文对素数作了一些比现有文献中更尖锐的分析。首先，我们描述了我们的研究勒让德的猜想，这仍然是未解决的。接下来，我们表明，布罗卡猜想可以证明假设我们的改进版本的勒让德猜想。最后，我们锐化了素数的Bertrand公设。我们的研究结果得到了广泛的实证研究的支持。
2009-05-30 math.NT
The Legendre Approximation and Arithmetic Bias
一个有趣的插曲历史上的素数定理涉及一个公式提出的勒让德计数素数低于一个给定的界限。我们指出，算术偏差可能在得出该公式以及随后数十年的广泛认可中发挥了重要作用。我们还表明，勒让德常数1.08366满足一定的简单和自然的标准，并猜测，这一标准是如何勒让德到达他的公式中的错误常数。
2022-07-29 math.NT
On the $p$-adic valuations of values of Legendre polynomials
本文研究 Legendre 多项式在素数处取值的 $p$-进赋值，给出显式公式，推广相关旧猜想并解决 Cigler 于 2017 年提出的问题。
2025-05-13 math.NT
Two determinant evaluations in Sun's conjectures involving Legendre symbols
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
通过约简四元行列式到相邻余子式的四元逆包，证明了Sun关于Legendre符号矩阵猜想中的第一个行列式求值，并给出了第二个行列式模p的一致精确同余式。
2026-05-27 math.NT
Elliptic curves over $\mathbb{F}_p$ and determinants of Legendre matrices
本文研究以 Legendre 符号为元素的行列式与有限域椭圆曲线的关系，证实了 Sun 提出的若干猜想，并证明了存在无穷多个奇素数使得特定矩阵的行列式为零。
2021-08-10 math.NT
K3 mirror symmetry, Legendre family and Deligne's conjecture for Fermat quartic
本文研究了K3曲面的镜像对称性与Legendre族椭圆曲线几何之间的关系。我们将证明Dwork族的镜像映射等于Legendre族的周期映射。这一结果从镜像对称的角度对K3曲面的计数函数的模性提供了一个有趣的解释。我们还将讨论费马束的光滑纤维的算术几何之间的关系（Dwork族）和Legendre族光滑纤维的性质，如Shioda-Inose结构，zeta函数等。特别地，我们将研究具有权-3模形式$η(4z)^6$的模的Fermat四次曲线与Legendre族的$λ=2$上的椭圆曲线之间的关系，其权重为2的新形式在LMFDB中被标记为\textbf{32.2.a.a}。我们还将计算费马四次曲线的德利涅周期，它由θ函数$θ_3$的特殊值给出。然后，我们将数值验证，他们满足Deligne的猜测的特殊值的$L$ -功能的关键动机。
2020-04-02 hep-th math.AG math.NT
Surviving Eratosthenes sieve I: quadratic density and Legendre's conjecture
本文研究了埃拉托色尼筛法中二次密度的概念，探讨了素数间隙在不同阶段的生存情况及Legendre猜想的预测能力。
2026-03-26 math.CO math.NT
Legendre compressions and an integrality conjecture for the Hörmander--Bernhardsson extremal function
Morningside Center of Mathematics, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文证明了关于Hörmander-Bernhardsson极值函数的三阶递推关系的整数性猜想，通过Legendre基的确定性比较，推导出相关系数的整数性及某些数的无理数性。
2026-03-25 math.CV math.NT
On a determinant involving linear combinations of Legendre symbols
School of Mathematics and Physics, Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西安利物浦大学数学与物理学院）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；School of Physical and Mathematical Sciences, Nanjing Tech University（南京工业大学物理与数学科学学院）
研究关于涉及勒让德符号线性组合的行列式，通过计算特定行列式证明猜想，得出当\(p\equiv 3\pmod{4}\)时行列式等于\(x\)的结论。
2026-10-14 math.NT
Evaluation of a determinant involving Legendre symbols
本文研究由 Legendre 符号构造的参数矩阵 A_p(x)，在 Sun 猜想及 Zaimi 已有结果基础上，完整给出其行列式 det A_p(x) 的求值。
2025-07-24 math.NT
The standard sign conjecture on algebraic cycles: the case of Shimura varieties
我们展示了如何推导出标准符号猜想（一个削弱的Künneth标准猜想）志村品种从一些声明离散自守表示（阿瑟的手稿加多一点）。我们还指出了（我们）对这些声明的了解。
2014-09-17 math.AG math.NT
Legendre symbols related to $D_p(b,1)$
本文研究了Z.-W. Sun引入的新型行列式$D_p(b,c)$的算术性质，证明了在特定条件下$D_p(b,1)$的Legendre符号等于$(\frac{2b}{p})$，并据此证实了Sun的几个猜想。
2024-05-31 math.NT
2-Selmer Groups and the Birch-Swinnerton-Dyer Conjecture for the Congruent Number Curve
本文对曲线E_n：y^2=x^3-n^2x具有给定大小的2-Selmer群的n个数进行了计数。这个问题也在一对Invent中讨论过。罗杰·希斯-布朗的数学论文我们讨论了计算这些Selmer群的大小和验证Birch和Swinnerton-Dyer猜想的情况之间的联系。渐近公式的关键成分是勒让德符号的“独立性”，该符号在具有恰好k个素因子的整数的素除子处求值。
2007-06-29 math.NT
Strong version of Andrica's conjecture
本文提出Andrica猜想的强形式，并证明在第81个最大素数间隙以下的所有素数（即$p<2^{64}$）中该猜想及Oppermann、Legendre等猜想均无条件成立。
2019-05-09 math.NT
On Proving of Diophantine Inequalities with Prime Numbers by Evaluations of the Difference between Consecutive Primes
作为工作假设的评价之间的差异素数$p_{n+1} - p_n = O(\sqrt{p_n})$，我们代表了勒让德和Oppermann的代数的详细证明。
2015-07-24 math.NT
Legendre pairs of lengths $\ell\equiv0$ (mod 5)
本文利用平衡性假设与乘子群子群找到长度85和87的Legendre对，研究5m长度LP的m-压缩PSD并提出可缩减搜索与存储的猜想，将200以内未决存在性情形由12个降至10个。
2024-04-08 math.CO math.NT
Classification of the rank of a certain family of elliptic curves
SRM University-AP（SRM大学安得拉邦分校）；Indian Institute of Technology Tirupati（印度理工学院蒂鲁帕蒂分校）；Jamia Milia Islamia University（贾米娅米利亚伊斯兰大学）
本文对特定类椭圆曲线的秩进行了完整分类，根据素数参数 $p$ 的余数类，确定其秩为 1 或 3，或 0。
2026-07-22 math.NT
Two Legendre-symbol determinants of Sun and Bernoulli numbers
School of Mathematical Sciences, Shenzhen University（深圳大学数学科学学院）
本文给出Sun定义的两个Legendre符号行列式模p的显式公式（用Bernoulli数表示），并利用Reinhart的反例找到使行列式模p为零的素数，否定回答了Sun的一个问题。
2026-09-22 math.CO math.NT
On Petersson's partition limit formula
对于每个素数$p\equiv 1\pmod{4}$，考虑Legendre字符$χ=(\frac{\cdot}{p})$。令$p_\pm(n)$为将$n$划分为部分$λ>0$的数目，使得$χ(λ)=\pm 1$。彼得森证明了一个美丽的极限公式的比例$p_+(n)$ $p_-(n)$作为$n\to\infty$表示的重要不变量的真正的二次领域$\mathbb{Q}(\sqrt{p})$。但他的证明并不具有启发性，Grosswald使用Stolz-Cesàro定理的Tauberian逆证明了一个更自然的证明。在本文中，我们提出了一种方法来解决Grosswald猜想。我们讨论的单调性猜想，这看起来很自然的上下文中的单调性定理的贝特曼-Erdés。
2020-11-30 math.NT
Real exponential sums over primes and prime gaps
IFSP（圣保罗州联邦理工学院）；IME - USP（圣保罗大学数学与计算学院）
研究证明在短区间内存在素数，解决了长期存在的问题，并验证了关于素数分布的旧猜想。
2026-05-07 math.NT
Explicit arithmetic of Jacobians of generalized Legendre curves over global function fields
研究了函数域$\mathbb{F}_p(t)$上仿射模型$y^r = x^{r-1}(x + 1)(x + t)$的亏格为$r-1$的光滑投影曲线$C$的Jacobian $J$，当$p$是素数且$r\ge 2$是与$p$互素的整数时.当$q$是$p$的幂，$d$是正整数时，我们计算了$\mathbb{F}_q(t^{1/d})$上的$J$的$L$ -函数，并证明了Birch和Swinnerton-Dyer猜想对$\mathbb{F}_q(t^{1/d})$上的$J$成立.当$d$可被$r$整除且形式为$p^ν+1$和$K_d := \mathbb{F}_p(μ_d,t^{1/d})$时，我们在$J(K_d)$中写下显式点，证明它们生成秩为$(r-1)(d-2)$的子群$V$，其在$J(K_d)$中的索引是有限的，并且是$p$的幂，并证明$J$在$K_d$上的Tate-Shafarevich群的阶是$[J(K_d):V]^2$。当$r>2$时，我们证明了$J$的“新”部分在$\overline{\mathbb{F}_p(t)}$上同构于维数为$ϕ(r)/2$的单交换簇的平方，该簇具有自同态代数$\mathbb{Z}[μ_r]^+$ .对于一个素数$\ell$与$\ell \nmid pr$，我们证明了对于$\overline{\mathbb{F}}_p(t)$的任意阿贝尔扩张$L$…
2017-05-11 math.AG math.NT
New observations on primitive roots modulo primes
我们对原根模素数作了许多新的观察。对于奇素数$p$和整数$c$，我们建立了一个关于$\sum_g(\frac{g+c}p)$的定理，其中$g$遍历$1,\ldots,p-1$中所有模$p$的原根，$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号.在数值计算的基础上，我们给出了35个涉及原根模素数的代数式。例如，我们猜想，对于任何素数$p$，都有一个原根$g<p$模$p$，$g-1$是平方，对于任何素数$p>3$，都有一个素数$q<p$，伯努利数$B_{q-1}$是原根模$p$。我们还对一些组合序列的模素数和本原素因子的二次非剩余作了相关的观察。例如，基于启发式的论点，我们推测，对于任何素数$p>3$存在一个斐波那契数$F_k<p/2$，这是一个二次非剩余模$p$ ;这意味着有一个确定性的多项式时间算法来找到平方根的二次剩余模一个素数$p>3$。
2020-02-28 math.NT
Primes Between Squares -- Commentary on Appendix 8 of Laws Of Form
本文评注《形式法则》附录8中斯宾塞-布朗对“相邻平方数之间至少有两个素数”这一勒让德猜想的原创证明，并阐释其数论观点与意义。
2025-11-06 math.NT
Estimates of the bounds of $π(x)$ and $π((x+1)^{2})-π(x^{2})$
我们使用解析数论中的原理给出了素数计数函数$π(x)$的以下界限，并给出了一个估计：对于所有足够大的$x$，$$2 \log 2 \geq \limsup_{x \rightarrow \infty} \frac{π(x)}{x / \log x} \geq \liminf_{x \rightarrow \infty} \frac{π(x)}{x / \log x} \geq \log 2$$。我们还推测了$π((x+1)^{2}) - π(x^{2})$的边界，这与Legendre关于在上述区间中素数个数的猜想有关，使得：$$ \left \lfloor\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+1\right)^{2}}{\log\left(x+1\right)}-\frac{x^{2}}{\log x}\right)-\frac{\left(\log x\right)^{2}}{\log\left(\log x\right)}\right \rfloor \leq π((x+1)^{2}) - π(x^{2}) \leq $$ $$ \left \lfloor\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+1\right)^{2}}{\log\left(x+1\right)}-\frac{x^{2}}{\log x}\right) + \log…
2020-12-02 math.NT
Proof of some conjectures involving quadratic residues
我们确认了几个涉及二次剩余模奇素数的Sun图。对任意素数$p\equiv 1\pmod 4$和整数$a\not\equiv0\pmod p$，证明了\begin{align*}&(-1)^{|\{1\le k<\frac p4:\ (\frac kp)=-1\}|}\prod_{1\le j<k\le(p-1)/2}(e^{2πiaj^2/p}+e^{2πiak^2/p}) \\=&\begin{cases}1&\text{if}\ p\equiv1\pmod 8,\\\left(\frac ap\right)\varepsilon_p^{-(\frac ap)h(p)}&\text{if}\ p\equiv5\pmod8,\end{cases} \end{align*}和\begin{align*}&\left|\left\{(j,k):\ 1\le j<k\le\frac{p-1}2\ \&\ \{aj^2\}_p>\{ak^2\}_p\right\}\right| \\&+\left|\left\{(j,k):\ 1\le j<k\le\frac{p-1}2\ \&\ \{ak^2-aj^2\}_p>\frac p2\right\}\right| \\\equiv&\left|\left\{1\le k<\frac p4:\ \left(\frac kp\right)=\le…
2020-03-12 math.NT
Minimal zero-free regions for results on primes between consecutive perfect $k$th powers
University of the West of England（西英格兰大学）
该研究计算了确保连续完美k次幂间存在素数的最小无零区域，并证明了在连续86次幂间总存在素数，同时识别了一个特定整数序列在连续70次幂间也总存在素数。
2026-03-03 math.NT
Hecke orbits and the Mordell-Lang conjecture in distinguished categories
本文在杰出范畴框架中引入$Σ$-轨道概念，统一了Shimura簇中的Hecke轨道与半阿贝尔簇中的有限秩子群，并借此证明Mordell-Lang型一般命题及Legendre族和$\mathcal{A}_g$中的无条件不太可能相交结果。
2025-02-09 math.AG math.NT
Two statements that are equivalent to a conjecture related to the distribution of prime numbers
让$n\in\mathbb{Z}^+$。在[8]中，我们提出了一个问题，即任何大于$n^2$且小于$(n+1)^2$的$n$连续整数序列是否至少包含一个素数，并且我们证明了对于每个$n\leq 1,193,806,023$实际上都是这种情况。此外，我们证明了一个肯定的答案，前一个问题的所有$n$将意味着勒让德的，Brocard的，Andrica的，和Oppermann的布局，以及假设，对于每一个$n$总是有一个素数的间隔$[n,n+2\lfloor\sqrt{n}\rfloor-1]$。令$π[n+g(n),n+f(n)+g(n)]$表示区间$[n+g(n),n+f(n)+g(n)]$中素数的数量。本文证明了[8]中的猜想等价于$$π[n+g(n),n+f(n)+g(n)]\ge 1\text{, }\forall n\in\mathbb{Z}^+\text{,}$$的陈述，其中$$f(n)=\left(\frac{n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor^2-\lfloor\sqrt{n}\rfloor-β}{|n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor^2-\lfloor\sqrt{n}\rfloor-β|}\right)(1-\lfloor\sqrt{n}\rfloor)\text{, }g(n)=\left\lfloor1-\sqrt{n}+\lfloor\s…
2014-06-19 math.NT
Notes on certain binomial harmonic sums of Sun's type
Princeton University（普林斯顿大学）
本文证明并推广了Sun关于包含调和数和二项式系数乘积的无穷级数的猜想，通过自守对象方法求得闭合形式。
2026-02-12 hep-th math.CA math.NT
Maximal gaps between prime k-tuples: a statistical approach
结合Hardy-Littlewood k元组猜想和极值统计的启发式应用，我们提出了一个估计公式族用于预测素数k元组之间的最大间隙。计算表明，估计量a（log（x/a）-b）令人满意地预测了x以下的最大间隙，其中a是相同类型的k元组之间的期望平均间隙，a=O（log^kx）。启发式表明，在x附近的素数k元组之间的最大间隙大约是a*log（x/a），因此具有O（log^{k+1}x）的阶。趋势曲线a*log（x/a）周围的最大间隙分布接近于Gumbel分布。我们探索了这个间隙模型的两个含义：记录素数和素数k元组的Legendre类型猜想之间的间隙。
2013-04-14 math.NT math.PR math.ST
