某一类椭圆曲线秩的完整分类
Classification of the rank of a certain family of elliptic curves
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中文总结 AI 辅助
本文对特定类椭圆曲线的秩进行了完整分类，根据素数参数 $p$ 的余数类，确定其秩为 1 或 3，或 0。
中文摘要 AI 辅助
本文研究了椭圆曲线族 $E_{p}: y^{2}=x^{3}-6px $ 的秩，其中 $p \neq 3$ 是奇素数。我们证明，如果 $p \equiv 1 \pmod{24}$，则 $E_{p}$ 的秩为 1 或 3，而对于其他奇素数 $p$ 的余数类，$E_{p}$ 的秩恰好为 1。此外，我们还证明了椭圆曲线 $E_{3}: y^{2}=x^{3}-18x$ 的秩为 0。因此，我们的结果根据素数参数 $p$ 的余数类对这一族曲线的秩进行了完整分类。
英文摘要
In this article, we study the family of elliptic curves $E_{-2pq}: y^2=x^3-2pqx$, where $p$ and $q$ are distinct odd primes. Using a $2$-isogeny methods and some elementary techniques, we obtain explicit possibilities for the Mordell--Weil ranks, conditional on the Parity Conjecture. Moreover, in the rank-one case, we are also able to derive explicit conditions that are independent of the parity conjecture. Moreover, the main results depend only on the residue classes of $(p,q)$ modulo $8$ and the Legendre symbols $\legendre{p}{q}$.
