Extremal cross $t$-intersecting families under $t$-covering number constraints for vector spaces
Beijing Normal University（北京师范大学）
本文针对有限域上向量空间的交叉t-相交族，在两族各自交空间维数均小于t的约束下，确定了使两族大小乘积取最大值的极值结构。
2026-08-04 math.CO
Intersecting extremal constructions in Ryser's Conjecture for r-partite hypergraphs
Ryser猜想指出，对于任何$r$ -部$r$ -一致超图，顶点覆盖数至多是匹配数的$r-1$倍。这个猜想只对$r\leq 3$成立。对于交超图，Ryser猜想归结为：每个$r$ -部交超图的边都能被$r-1$顶点覆盖。这个猜想的特殊情况只在$r \leq 5$中得到了证明。研究在Ryser猜想中是极值的超图，即顶点覆盖数恰好是匹配数的$r-1$倍的超图是一个有趣的问题。很少有已知的结构这样的图。对于大$r$，唯一已知的构造来自投影平面，并且仅当$r-1$是素数幂时才存在。Mansour、Song和Yuster研究了一个超图的边数是如何满足Ryser猜想的极值的。他们定义$f(r)$为最小整数，使得存在一个$r$ -部交超图$\mathcal{H}$，它有$τ({\mathcal{H}}) = r -1$和$f(r)$边.结果显示，$f(3) = 3, f(4) = 6$、$f(5) = 9$和$12\leq f(6)\leq 15$。在本文中，我们专注于$r=6$和7。我们表明，$f(6)=13$改善以前的界限。我们还表明，$f(7)\leq 22$，给出了第一个已知的极端超图的$r=7$情况下的Ryser猜想。这些结果是由Aharoni、Barat和Wanless独立获得的。
2014-09-17 math.CO
An upper bound for the size of a $k$-uniform intersecting family with covering number $k$
令$r(k)$表示具有覆盖数$k$的$k$ -均匀相交族中的最大边数. Erdos和Lovász证明了$ \lfloor k! (e-1) \rfloor \leq r(k) \leq k^k.$ Frankl、Ota和Tokushige将下界改进为$r(k) \geq \left( k/2 \right)^{k-1}$，Tuza将上界改进为$r(k) \leq (1-e^{-1}+o(1))k^k$。我们确定$ r(k) \leq (1 + o(1)) k^{k-1}$。
2016-04-16 math.CO
Spectral extremal graphs for intersecting cliques
$(k,r)$ -fan是由完全图$K_r$的$k$个副本组成的图，这些副本相交于单个顶点，并且由$F_{k,r}$表示。Erdans，Füredi，Gould and Gunderson [J. Combin.理论系列B 64（1995）89- 100]确定了不包含$F_{k,3}$作为子图的$n$顶点图中的最大边数。此外，Chen，Gould，Pfender和Wei [J. Combin. Theory Ser. B 89（2003）159- 171]证明了在一般情况下关于$r\ge 3$的类似结果.本文证明了对于足够大的$n$，不含$F_{k,r}$拷贝且达到最大谱半径的$n$阶图也是边极值图.也就是说，这样的图必须有$\mathrm{ex}(n, F_{k,r})$边。
2021-09-02 math.CO
On Cross-intersecting Sperner Families
如果对于所有$X\in\mathscr{A}$和$Y\in\mathscr{B}$都有$X\cap Y\neq\emptyset$，则两个集合$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$称为交叉。给定$\mathbb{N}_n$的两个交叉Sperner家族（或反链）$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$，我们证明如果$n$是奇数，则为$|\mathscr{A}|+|\mathscr{B}|\le 2{{n}\choose{\lceil{n/2}\rceil}}$，如果$n$是偶数，则为$|\mathscr{A}|+|\mathscr{B}|\le {{n}\choose{n/2}}+{{n}\choose{(n/2)+1}}$。进而确定了$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$的所有极值族和几乎极值族。
2022-04-30 math.CO
A note on extremal intersecting linear Ryser systems
Ryser的一个著名猜想指出，任何$r$ -partite集系统的横截数至多为$r-1$乘以它们的匹配数。这个猜想只在一般情况下对$r\leq3$成立，如果集合系统是相交的，对$r\leq5$成立，如果相交的集合系统是线性的，对$r\leq9$成立。本文讨论相交$r$ -部线性系统的Ryser猜想，即如果$τ$是相交$r$ -部线性系统的横截数，则Ryser猜想表明$τ\leq r-1$ .如果这个猜想是真的，这是已知的$r$是尖锐的，其中存在一个投影平面的顺序$r-1$。也有相当大的努力，以找到交叉$r$ -partite集系统的横截数是$r-1$。本文证明了：若$r\geq4$是偶数，则有$f_l(r)\geq3(r-2)+1$，其中$f_l(r)$是横截数为$r-1$的相交$r$ -部线性系统的最小线数.对于$r$的一些小值，该下限给出了$f_l(r)$的精确值。证明了任何$r$ -particular线性系统满足$τ\leq r-1$，如果$ν_2\leq r$对所有$r\geq3$奇整数，$ν_2\leq r-1$对所有$r\geq4$偶整数，其中$ν_2$是线的子集$R\subseteq\mathcal{L}$的最大基数，使得$R$的每个不同元素的三元组没有公共点.
2021-08-02 math.CO
Extremal $t$-intersecting Families of Permutations for Large $t$
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
研究大 $t$ 下最大 $t$-相交置换族的分类，通过改进 Kupavskii 的 spread 近似技术，将结论适用范围扩展到 $t\leq n-n^{5/7+\varepsilon}$。
2026-05-25 math.CO
Intersecting and $2$-intersecting hypergraphs with maximal covering number: the Erdős-Lovász theme revisited
Erdés和Lovász注意到具有最大覆盖数的$r$ -一致相交超图$H$，即$τ(H)=r$，必须至少有$\frac{8}{3}r-3$条边. 45年来，这个下限没有任何改善。我们试图通过研究一些小的案例来理解原因，看看真相是否非常接近这个简单的界限。用$q(r)$表示交$r$ -一致超图的最小边数.已知$q(3)=6$和$q(4)=9$。我们得到了以下新结果：一致性4的极值例子是唯一的。有点令人惊讶的是，它无论如何都不是对称的。对于均匀性5，$q(5)=13$，我们发现了3个例子，它们都不是已知的图。我们同时使用理论论证和计算机搜索。在埃尔德什和洛瓦什的足迹，我们还考虑了特殊情况下，当超图是一个有限的射影平面的一部分。我们确定了$r\in \{3,4,5,6\}$的确切答案。对于均匀性6，存在唯一的极值示例。在一个相关的问题中，我们试图寻找具有最大覆盖数的$2$ -交$r$ -一致超图，即$τ(H)=r-1$ .一个无限族的例子是取一个$(2r-2)$ -顶点集的所有可能的$r$ -集。还有一个几何候选者：双平面。这些是使用$λ=2$的对称2-设计。我们确定，只有3个双平面的18个已知的例子是极值。
2020-11-09 math.CO
Extremal structure in dense arrangements of $k$-intersecting curves
University of California at San Diego（加州大学圣迭戈分校）
该研究探讨了在排除完全局部 incidences 模式的情况下，稠密k-相交曲线集的交数上限，并证明了在特定条件下可以改进Pach和Sharir的上界。
2026-05-20 math.CO
The maximum size of a non-trivial intersecting uniform family that is not a subfamily of the Hilton--Milner family
著名的Erdens-Ko-Rado定理确定了$k$ -一致相交族的最大尺寸。Hilton-Milner定理确定了一个$k$ -一致相交族的最大尺寸，该族不是所谓的Erdens-Ko-Rado族的子族。反过来，很自然地会问，既不是Erdens-Ko-Rado族的子族也不是Hilton-Milner族的相交$k$ -均匀族的最大尺寸是多少。对于$k\ge 4$，这个问题在1967年由Hilton-Milner的同一篇论文中（隐含地）解决了。我们给出了一个不同的和更简单的证明，基于移位方法，这使我们能够解决所有的情况下$k\ge 3$和表征所有极值家庭实现极值。
2016-07-30 math.CO
Intersecting families with covering number three
本文研究顶点交族的k-图上界问题，针对覆盖数至少为3的交k-图，在k≥7、n≥2k的条件下证明了一个最优基数上界，改进了此前需指数约束n>n₀(k)的结果。
2024-12-10 math.CO
Coloring cross-intersecting families
相交和交叉相交的家庭通常出现在极值组合的静脉埃尔德{ \H o} s-Ko-Rado定理。另一方面，P。Erd{ \H o}s和L.~ Lov{á}sz在著名的论文~ \cite{EL}中提出了交叉族的着色问题，作为对一类特殊超图的经典超图着色问题的限制。本文讨论了交叉相交族的着色问题。
2017-07-14 math.CO
Structure and properties of large cross-intersecting families
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）
本文通过引入新的移位方法，建立了大交叉相交对的结构定理，推广了Kupavskii定理，并得到了多个经典定理的交叉相交版本。
2026-06-19 math.CO
Structure and Supersaturation for Intersecting Families
关于各种组合对象相交族的最大可能规模的极值问题已被广泛研究。在本文中，我们研究过饱和扩展，在这种情况下，要求最小数量的不相交对，必须出现在家庭大于极值阈值。本文研究了置换族和$k$ -一致集族中不交对的最小数目，并确定了最优族的结构。我们的主要工具是不相交对的移除引理。我们还确定了当$n \ge 2sk + 38s^4$时，$k$ -一致集族的典型结构，并证明了当$n\ge (2+o(1))k$时，顶点集$[n]$上几乎所有的$k$ -一致相交族都是平凡的.
2019-06-08 math.CO
Spectral extremal graphs without intersecting triangles as a minor
令$F_s$是通过共享公共顶点而从$s$三角形获得的友谊图。对于固定的$s\ge 2$和足够大的$n$，达到最大谱半径的$n$阶的无$F_s$图首先由Cioabelo，Feng，Tait和Zhang [Electron. J. Combin. 27（4）（2020）]，后来由Zhai，Liu和Xue [Electron. J. Combin. 29（3）（2022）]。近年来，不含$H$的图的谱极值问题得到了广泛的研究。例如，Tait [J. Combin. Theory Ser. A 166（2019）]，Zhai and Lin [J. Combin.理论系列B 157（2022）]分别解决了$H=K_r$和$H=K_{s,t}$的情况。受这些结果的启发，我们考虑了$H=F_s$情形下的谱极值问题。证明了$K_s \vee I_{n-s}$是所有$n$ -顶点$F_s$ -无子图中唯一的达到最大谱半径的图.此外，令$Q_t$是通过共享公共顶点从长度为$4$的圈的$t$副本获得的图。我们还确定了唯一的$Q_t$ -minor-free图达到最大的谱半径。即，$K_t \vee M_{n-t}$，其中$M_{n-t}$是通过嵌入由$\lfloor \frac{n-t}{2}\rfloor$边组成的匹配从阶$n-t$的独立集合获得的图。
2023-01-15 math.CO
On extremal cross $t$-intersecting families with $t$-covering number conditions
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）
本文研究了在 t- 覆盖数条件下的极值 cross t- 相交家族的结构，并描述了具有 t- 覆盖数 t+1 的最大 t- 相交家族。
2026-05-19 math.CO
Intersecting families with covering number three II
Rényi Institute（雷尼研究所）；Sichuan University（四川大学）
本文研究了覆盖数为三的交集族，通过不同方法证明了对于n≥2k且k≥7的情况，交集族的大小满足特定不等式，并补充了剩余情况的证明。
2026-05-09 math.CO
On the order of intersecting hypergraphs
本文研究了极值组合学中相交超图最大阶的顶点类似问题，系统填补了该领域关于最大边数研究的空白。
2025-04-07 math.CO
A Sharp Product Bound for Disjoint Cross-Intersecting 3-Graphs with Covering Number Three
Microsoft（微软）；Centro de Informática, Universidade Federal de Pernambuco（巴西联邦伯南布哥大学计算机中心）
本文证明了Lin、Frankl和Wu提出的猜想：两个不相交的交叉相交3-一致超图（覆盖数为三）的大小乘积尖锐界为100，并通过穷举计算和独立验证给出了具体见证。
2026-09-23 math.CO
A comment on Intersecting Families of Permutations
Ellis，Friedgut和Pilpel证明了对于足够大的$n$，一个$t$ -相交的置换族至多包含$(n-t)!$置换.他们的主要定理还指出，等式只对$t$ -陪集成立。我们表明，他们的证明极值家庭的特征是错误的。然而，表征来自埃利斯的一篇论文，正如埃利斯，弗里德古特和皮尔佩尔已经提到的那样。
2017-06-30 math.CO
Non-trivial $d$-wise Intersecting families
对于整数$d \geq 2$，如果对于任何不同的集合$A_1,A_2,\dots,A_d \in \mathcal{F}$、$A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_d \neq \emptyset$和$\textit{non-trivial}$，如果$\bigcap \mathcal{F} = \emptyset$，则集合族$\mathcal{F}$是$\textit{$ d $-wise intersecting}$。Hilton和Milner证明了对于$k \geq d \geq 2$和足够大的$n$，$[n]$的$k$ -元素子集的极值非平凡$d$ -方式相交族是以下两个族之一：\begin{align*} &\mathcal{H}(k,d) = \{A \in \binom{[n]}{k} : [d-1] \subset A, A \cap [d,k+1] \neq \emptyset\} \cup \{[k+1] \setminus \{i \} : i \in [d - 1]\} \\ &\mathcal{A}(k,d) = \{ A \in \binom{[n]}{k} : |A \cap [d+1]| \geq d \}. \end{align*}著名的Hilton-Milner定理指出，$\mathcal{H}(k,2)$是$k>3$的唯一…
2019-11-04 math.CO
Intersecting families with covering number $3$
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Saint-Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Innopolis University（伊诺波利斯大学）
本文研究了覆盖数为3的相交族，确定了当k≥100且n>2k时，相同族在最大相交族问题中的极值性。
2025-11-25 cs.DM math.CO
Intersecting families of extended balls in the Hamming spaces
集合$X$的子集的族$\mathcal{F}$是$t$-相交的，如果对于每个$A_i, \; A_j \in \mathcal{F}$都有$\vert A_i \cap A_j \vert \geq t$。我们在汉明几何中研究相交族。给定$X=\mathbb{F}_q^3$一个有限域$\mathbb{F}_q$上的向量空间，考虑一个族，其中每个$A_i$是一个扩展球，即$A_i$是所有以向量的标量倍数为中心的球的并集。讨论了扩展球的几何行为。作为主要结果，我们研究了一个“大”的安排向量的扩展球是“高度相交”。考虑下面的覆盖问题：$\mathbb{F}_q^3$的子集$\mathcal{H}$是短覆盖，如果所有以$\mathcal{H}$的元素为中心的扩展球的并集是整个空间。作为该工作的一个应用，对$q$的一些实例的短覆盖的最小基数进行了改进。
2014-04-01 math.CO
Cross-intersecting families with covering number constraints
Xi’an-Budapest Joint Research Center for Combinatorics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学西安-布达佩斯组合学联合研究中心）
本文研究了在一般覆盖数约束下交叉交集族的最大大小问题，并给出了极值配置的刻画。
2026-01-12 math.CO
A new intersection condition in extremal set theory
University, Budapest, Hungary
本文研究了极值集合论中(3,2,ℓ)-交集族的最大规模问题，给出了均匀和非均匀情况下的上界及构造方法。
2025-11-24 math.CO
Intersecting families of discrete structures are typically trivial
交叉结构的研究是极值组合学的核心。如果$\mathcal{F}$中的任何两个排列在某些$t$索引上一致，则排列族$\mathcal{F} \subset S_n$是\emph{$t$-intersecting}，如果$\mathcal{F}$中的所有排列在相同的$t$索引上一致，则排列族是\emph{trivial}。一个$k$ -一致超图是\emph{$t$-intersecting}，如果它的任意两条边有共同的$t$顶点，如果它的所有边共享相同的$t$顶点，则它是\emph{trivial}.基本问题是确定相交族可以有多大。Ellis，Friedgut和Pilpel证明了对于$n$相对于$t$足够大，在$S_n$中最大的$t$相交族是平凡族.经典的Erdens-Ko-Rado定理表明，当$n$较大时，最大的$t$ -相交$k$ -一致超图也是平凡的.我们确定的\emph{typical}结构的$t$ -相交的家庭，扩展这些结果表明，几乎所有的相交家庭是平凡的。我们还获得了这些极值结果的稀疏类似物，表明它们在随机设置中成立。我们的证明使用Bollobás集对不等式来限制最大相交族的数量，然后可以将其与已知的稳定性定理相结合。对于向量空间，我们也得到了类似的结果。
2015-01-09 math.CO
Turán number and decomposition number of intersecting odd cycles
给定图$H$的极图是在$n$顶点上具有最大边数且不包含$H$作为子图的图。设$s,t$是整数，$H_{s,t}$是由$s$三角形和$t$圈组成的图，$s$三角形和$t$圈的长度至少为5，它们恰好相交于一个公共顶点。Erdlys等人（1995）确定了$H_{s,0}$的极值图。最近，Hou等人（2016）确定了$H_{0,t}$的极值图，其中$t$循环具有与$q\ge 5$相同的奇数长度$q$。本文进一步确定了$H_{s,t}$与$s\ge 0$和$t\ge 1$的极图.设$ϕ(n,H)$是最大整数，使得对于$n$顶点上的所有图$G$，边集$E(G)$最多可划分为$ϕ(n, H)$部分，其中每个部分或者是单条边，或者形成与$H$同构的图. Pikhurko和Sousa证明了$χ(H)\geqs3$和所有足够大的$n$的$ϕ(n,H)=\ex(n,H)$。Liu和Sousa（2015）验证了$H_{s,0}$的猜想。本文用$s\ge 0$和$t\ge 1$进一步证明了Pikhurko和Sousa关于$H_{s,t}$的猜想.
2016-10-04 math.CO
Stabilities for non-uniform $t$-intersecting families
本文在极值组合学的集合相交问题领域，进一步拓展$s$-并族的极值结果，确定了既不包含于Katona族也不包含于Frankl族的$s$-并族的最大规模，并刻画了所有达到上界的极值族。
2024-10-07 math.CO
On an extremal problem connected with simplices
本文研究了欧氏$n$ -空间中两个同余相交单形的凸包所能具有的体积的性质。我们证明了一些有用的等式和不等式在这卷。对于正则单形，我们确定了当两个单形通过在与它们相交的超平面上的反射而彼此相关时的最大可能体积。
2013-05-13 math.CO math.MG
On the product of cross-intersecting families with maximal covering number
Shanghai Center for Mathematical Sciences（上海数学中心）；Fudan University（复旦大学）；Rényi Institute（雷尼研究所）
本文研究了交叉相交族对的最大乘积，其中一族是覆盖数为ℓ的k-图，另一族是覆盖数为k的ℓ-图，并给出了精确值及渐近行为。
2026-06-01 math.CO
Exact extremal non-trivial cross-intersecting families
本文研究两个交叉相交的k元与ℓ元子集族乘积规模的第二极值问题，在排除已知极值族后给出两种精确上界及唯一极值结构，并建立尺寸敏感不等式，同时恢复Frankl和Kupavskii的主要结果。
2024-11-25 math.CO
Intersecting Families of Spanning Trees of $K_{n,n}$
University of Memphis（孟菲斯大学）
针对平衡完全二部图$K_{n,n}$，研究生成树的$t$-相交族，给出了极值族的近乎完整刻画：$t=1$时精确界和极值结构，$t\geq2$时紧至低阶项，并证明极值族由包含固定$t$-匹配的所有树及少量例外树构成。
2026-06-23 math.CO
Intersecting families of sets and permutations: a survey
如果$\mathcal{A}$中的任何两个集合至少有$t$公共元素，则集合族$\mathcal{A}$称为\emph{$t$-intersecting}。极值集合论中的一个中心问题是确定给定族$\mathcal{F}$的最大$t$相交子族的大小或结构。本文综述了各种重要的$\mathcal{F}$族$\mathcal{F}$，即幂集、幂集水平、遗传族、符号集族、标号集族和置换族的已知结果、结构和未解决的问题。我们还提供了一些已知结果的扩展和后果。
2011-06-30 math.CO
The $α$-index of graphs without intersecting triangles/quadrangles as a minor
本文推广已有邻接谱极值结果，刻画任意 $0<α<1$ 时不含相交三角形或四边形作为 minor 的充分高阶图中的最大 $α$-指数极值图，并得到无符号 Laplacian 半径极值图。
2023-08-15 math.CO
A family of extremal hypergraphs for Ryser's conjecture
Ryser猜想指出，对于任何$r$ -部$r$ -一致超图，顶点覆盖数至多是匹配数的$r{-}1$倍.这个猜想只对一般的$r\leq 3$成立，对$r\leq 5$在超图相交时成立。也有相当大的努力，寻找超图是极端的Ryser猜想，即$r$ -部超图的覆盖数是$r-1$倍，其匹配数。除了一些零星的例子，一组一致性$r$，其中Ryser的猜想是已知的紧是有限的，这些整数的顺序$r-1$的射影平面存在。本文构造了一类新的无穷族$r$ -一致超图，它是Ryser猜想的极值，只要有$r-2$阶的射影平面，它就存在.我们的构造是灵活的，足以产生大量的非同构的极值超图。特别地，我们定义了极交$r$ -部$r$ -一致超图的{ \em Ryser偏序集}，并证明了$\sqrt{r}$中极大和极小元的个数是指数的.这进一步证明了Ryser猜想的困难性。
2018-07-12 math.CO
On the product of cross-intersecting families with small covering number
Rényi Institute（雷尼研究所）
研究交叉相交k-图族对乘积的最大值，证明当覆盖数至少为3且n足够大时，该乘积严格大于单个族最大值的平方，并给出精确值。
2026-06-01 math.CO
Matching criticality in intersecting hypergraphs
超图$H$中的一个匹配是$H$中的一组成对顶点不相交的边，$H$的匹配数是$H$中一个匹配的最大基数。$H$中的断面是$H$中顶点的子集，它与$H$的每条边都有非空交集。$H$的断面数$τ(H)$是$H$中断面的最小基数。一个超图$H$是一个交超图，如果$H$的每两个不同的边有一个非空的交集。等价地，$H$是相交超图当且仅当它有匹配数1。本文研究了匹配临界交超图的极值性态。部分解决了Henning和Yeo提出的临界交超图匹配问题。对于相交的$r$ -一致超图，我们也证明了这个结果的一个加强.
2015-12-09 math.CO
Connected-Intersecting Families of Graphs
对于图的性质$\mathcal{P}$和公共顶点集$V = \{1, 2, \ldots, n\}$，$V$上的图族是\emph{$\mathcal{P}$-intersecting}当且仅当对$G \cap H$中的所有$G,H$都满足$\mathcal{P}$.解决一个问题的钟，格雷厄姆，弗兰克尔和希勒，我们探讨-各种$\mathcal{P}$-最大的基数之间的所有$\mathcal{P}$相交的图形家庭。在连通相交的情况下，我们完全解决了这个问题，通过一个简短的线性代数证明，表明这个最大值是通过所有包含固定生成树的图来实现的（尽管我们也展示了其他极值结构）。我们还提出了一个新的下界包含一个固定子图的并。
2019-01-06 math.CO
The maximum product of sizes of cross-\(t\)-intersecting families
本文研究了极值集合论中交叉-\\(t\\)-相交族大小的最大乘积问题，验证了交叉-\\(t\\)-相交版本的Erdős-Ko-Rado定理，刻画了极值族，并证实了Tokushige对于\\(t \geq 3\\)的猜想。
2025-10-07 math.CO
Erdős-Ko-Rado-type problem for hypergraph matchings
School of Mathematics and Statistics, Beijing Jiaotong University（北京交通大学数学与统计学院）；Hebei Provincial Key Laboratory of Mathematical Theory and Analysis for Network and Data Science, Beijing Jiaotong University（北京交通大学网络与数据科学数学理论与分析河北省重点实验室）；School of Mathematics and Statistics, Ningbo University（宁波大学数学与统计学院）；Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）
研究完全\(r\)部\(r\)均匀超图中\(k\)匹配的\(t\)相交族问题，用两种方法确定其最大规模并刻画极值族，一种借助排列的\(t\)相交族结果得定理，另一种基于\(t\)覆盖法进行补充刻画。
2026-07-17 math.CO
The covering lemma and $q$-analogues of extremal set theory problems
我们证明了一个一般引理（灵感来自Holroyd和Talbot的引理）关于满足某些遗传性质的结构和满足相同遗传性质的子结构的最大基数（或权重）的连接.我们用它来说明如何禁止子偏序集问题的布尔偏序集的结果意味着类似的结果在偏序集的子空间的有限向量空间。我们还研究了子空间偏序集上的广义禁止子偏序集问题。
2019-05-28 math.CO
Extremal graphs with local covering conditions
本文系统地研究了极值图论中的一个自然问题，即在满足一定的局部条件下，使一个顶点数固定的图中的边数最小化：每个顶点必须在一个固定图$H$的一个副本中.我们完全解决了这个问题时，$H$是一个团，以及更一般地当$H$是任何正则图的度至少约一半的顶点数。当$H$是Erdens-Rényi随机图时，我们也刻画了极图的特征.极值结构的形式与局部约束的极值结构类似，但又是一个复杂的问题：在所有度都有固定上界的图中，最大化固定团的副本数。
2020-03-06 math.CO
The number of k-intersections of an intersecting family of r-sets
Erdos-Ko-Rado定理告诉我们从一个n-集合中的r-集合的相交族可以有多大，而Lovasz和Tuza的结果给出了从这样一个族中的集合的成对相交可以出现的单例数的界限。我们认为这些问题的一个自然的概括。给定一个n-集的r-集的相交族和1个\leq k \leq r，有多少个k-集可以作为该族中的集的两两相交出现？对于k=r和k=1，这简化为上述问题。当n足够大时，我们对k和r的所有值都能准确地回答这个问题。我们还刻画了极值族。
2003-06-06 math.CO
Stability for Intersecting Families of Perfect Matchings
$K_{2n}$的完美匹配族是$intersecting$，如果它的任何两个成员有一个共同的边。已知如果$\mathcal{F}$是$K_{2n}$的相交完美匹配族，则$|\mathcal{F}| \leq (2n-3)!!$，如果等式成立，则$\mathcal{F} = \mathcal{F}_{ij}$，其中$ \mathcal{F}_{ij}$是包含某些固定边$ij$的$K_{2n}$的所有完美匹配族。本文证明了极值族是稳定的，即对任何$ε\in (0,1/\sqrt{e})$和$n > n(ε)$，任何大于$(1 - 1/\sqrt{e} + ε)(2n-3)!!$的完美匹配的相交族都包含在$\mathcal{F}_{ij}$中.证明使用Gelfand对$(S_{2n},S_2 \wr S_n)$以及Ellis的等周方法。
2018-08-10 math.CO
Intersecting families of sets are typically trivial
本文改进Frankl-Kupavskii等人的结果，证明当n≥2k+100 ln k时几乎所有k-均匀相交族都是星形族，将阈值从c√(k ln k)优化为100 ln k。
2024-10-22 math.CO
On $s$-extremal singly even self-dual $[24k+8,12k+4,4k+2]$ codes
建立了覆盖半径满足Delsarte界的$s$ -极值单偶自对偶$[24k+8,12k+4,4k+2]$码与极值双偶自对偶$[24k+8,12k+4,4k+4]$码之间的关系.作为这种关系的一个例子，首次构造了$s$ -极值单偶自对偶$[56,28,10]$码.此外，我们还证明了不存在覆盖半径满足$k \ge 137$的Delsarte界的长度为$24k+8$的极值双偶自对偶码。同样，我们证明了没有极端的双偶自对偶码的长度$24k+16$覆盖半径满足Delsarte界$k \ge 148$。
2017-07-21 math.CO
The signless Laplacian spectral radius of graphs without intersecting odd cycles
设$F_{a_1,\dots,a_k}$是由$k$个奇数长$2a_1+1,\dots, 2a_k+1$圈组成的图，它们分别相交于一个公共顶点，其中$k\geq1$和$a_1\ge a_2\ge \cdots\ge a_k\ge 1$ .本文给出了所有$F_{a_1,\dots,a_k}$ -free图的无符号Laplacian谱半径的一个精确上界，并刻画了达到这个上界的所有极图.与特征值相关的图的稳定性方法和结构适用于证明。
2021-08-09 math.CO
Disjoint Cross Intersecting Families
对于正整数$n$和$r$使得$r \leq \lfloor n/2\rfloor$，令$X$是$n$元素的集合，令$\binom{X}{r}$是$X$的所有$r$子集的族。如果所有$A \in \mathcal{A}$和$B \in \mathcal{B}$的$A \cap B \neq \emptyset$是$\binom{X}{r}$的两个亚族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$，则称为交叉交叉。压缩运算是极集理论，特别是交交族研究的主要工具之一。本文给出了一个交叉族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$的例子，当$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$不相交时，压缩运算是不适用的.我们发展了新的技术来证明，对于$\binom{X}{r}$的不相交交叉族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$，$|\mathcal{A}| + |\mathcal{B}| \leq \binom{n}{r} - \binom{l}{p}$，其中$n = 2r + l$和$p = min\{r, \lceil \frac{l}{2}\rceil\}$。这个界是渐近尖锐的。
2021-08-20 math.CO
More on $r$-cross $t$-intersecting families for vector spaces
本文研究了有限域上有限维向量空间中 $k$-子空间的 $r$-交叉 $t$-相交族，确定了在各族交集维数小于 $t$ 的条件下，族大小乘积取最大值时的极值结构。
2024-04-30 math.CO
On cross-2-intersecting families
本文在$n\u22653.38\u2113$且$\u2113\u2265k\u22652$的条件下，确定了交叉2相交族的规模乘积上界及极值族结构，推广了Tokushige的相关结果，为非平凡情形极值结构的推导提供了便利。
2025-03-20 math.CO
Upper Bounds on Turán Densities via Extremal Set Theory
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
本文系统展示了超图 Turán 问题与极值集合论之间的联系，通过构造一致超图族，将其 Turán 密度的上界归结为极值集合论中的经典问题。
2026-06-01 math.CO
A preliminary result for generalized intersecting families
相交族和阻塞集在极值组合学中占有重要地位。我们研究了以下由Hajnal，Rothschild和其他人研究的交叉族的推广。如果$s \geq 1$、$k \geq 2$和$u \geq 1$是整数，则如果对于所有$A_1, A_2, \cdots, A_k \in \mathcal{F}$，对于某些$1 \leq i < j \leq k$，$|A_i \cap A_j| \geq u$，则说$s$ -统一族$\mathcal{F}$是$(k,u)$ -相交的。在本文中，我们研究了以下参数。如果$s$、$k$、$u$、$\ell$是满足$s \geq 1$、$k \geq 2$、$1 \leq u \leq s$和$2 \leq \ell < k$的整数，则令$N^{(u)}_{k,\ell}(s)$表示最小整数$r$（如果存在），使得任何与$(k,u)$相交的$s$ -均匀族是与$(\ell,u)$相交的至多$r$族的并集.使用向日葵引理类型的参数，我们证明了$N^{(u)}_{k,\ell}(s)$总是存在的，并且下面的不等式总是成立：$$N^{(u)}_{k,\ell}(s) \; \leq \; \bigg{\lceil} \dfrac{ k - 1 }{\ell - 1} \cdot {s \choose u} \bigg{\rceil}$$
2021-01-05 math.CO
Typical intersecting families are trivial
Research and Development Institute of Northwestern Polytechnical University in Shenzhen（西北工业大学深圳研究院）
本文研究非均匀相交族的计数问题，证明当n≥2k+2+2√(k log k)且k→∞时，几乎所有大小为至多k的相交族共享一个公共固定元素。
2026-06-17 math.CO
A degree version of the Hilton--Milner theorem
一个相交的集合族是平凡的，如果它的所有成员共享一个公共元素。Hilton和Milner证明了著名的Erdens-Ko-Rado定理的一个强稳定性结果：当$n> 2k$时，$n> 2k$的每个非平凡相交的$k$ -子集族至多有$\binom{n-1}{k-1}-\binom{n-k-1}{k-1}+1$成员.一个极值族$\mathcal{HM}_{n, k}$由一个$k$ -集合$S$和包含一个固定元素$x\not\in S$和至少一个$S$元素的$[n]$的所有$k$ -子集组成.我们证明了希尔顿-米尔纳定理的一个度版本：如果$n=Ω(k^2)$和$\mathcal{F}$是$[n]$的$k$ -子集的非平凡相交族，则$δ(\mathcal{F})\le δ(\mathcal{HM}_{n.k})$，其中$δ(\mathcal{F})$表示$\mathcal{F}$的最小（顶点）度。我们的证明使用极值集理论的几个基本结果，核的概念，和一个新的变种的Erdens-Ko-Rado定理。
2017-05-29 math.CO
