关于$e^{-}Z^{2+}e^{-}$氦原子中周期轨道的变分方法
A variational approach to periodic orbits in the $e^{-}Z^{2+}e^{-}$ Helium
AI总结：
本文通过变分方法研究氦原子在$e^{-}Z^{2+}e^{-}$配置下的周期轨道，建立广义解的拉格朗日和哈密顿形式，并发现周期轨道与正有理数存在一一对应关系。
摘要：
在本文中，我们使用变分方法来描述氦原子在$e^{-}Z^{2+}e^{-}$配置下的广义解$(q_1,q_2)$和临界点$(z_1,z_2)$，其中$(q_1,q_2)$和$(z_1,z_2)$通过Barutello, Ortega和Verzini引入的非局部Levi-Civita正则化相关联。此外，我们按照Cieliebak, Frauenfelder和Volkov构建的框架，给出了广义解$(q_1,q_2)$的拉格朗日和哈密顿形式。最后，我们统计了周期轨道$(z_1,z_2)\in \mathscr{C}_{\mathscr{B}_{av}}$的数量，并发现它们与正有理数$\mathbb{Q}_{+}$之间存在1:1的对应关系。
英文摘要：
In this article, we use variational approaches to describe generalized solutions $(q_1,q_2)$ and critical points $(z_1,z_2)$ of the action functional $\mathscr{B}_{av}$ for the Helium atom in the $e^{-}Z^{2+}e^{-}$ configuration with mean interaction, where $(q_1,q_2)$ and $(z_1,z_2)$ are related by a non-local Levi-Civita regularization introduced by Barutello, Ortega and Verzini. Additionally, we give the Lagrangian and the Hamiltonian formulations of the generalized solutions $(q_1,q_2)$ following the framework constructed by Cieliebak, Frauenfelder and Volkov. Finally, we count the number of periodic orbits $(z_1,z_2)\in \mathscr{C}_{\mathscr{B}_{av}}$ and find the 1-to-1 correspondence between them and positive rational numbers $\mathbb{Q}_{+}$. \rm
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