On calculating the slice genera of 11- and 12-crossing knots
本文通过计算机搜索亏格一协边、代数亏格、Seifert形式新阻碍及Donaldson对角化定理，确定了绝大多数11和12交叉纽结的切片亏格，仅剩少数情况未知。
2023-08-08 math.GT
Prime knots with arc index up to 11 and an upper bound of arc index for non-alternating knots
每个节点都可以嵌入到具有公共边界线的多个半平面的并集中，使得节点在每个半平面中的部分是适当嵌入的弧。这种半平面的最小数目称为纽结的弧指数。我们已经确定了弧指数高达11的所有素数结。我们还证明了交叉数是非交错纽结弧指数的一个上界。因此，弧指数是确定为总理节多达12个交叉。
2010-10-14 math.GT
On Crossing Ball Structure in Knot and Link Complements
我们开发了一个字的机制，适用于结和链接图的图解性质的说明。我们还给出了一个必要条件，确定不可压缩和成对的不可压缩曲面，嵌入纽结或链接补充。最后给出了这类曲面的有限性定理和欧拉示性数的上界。
2021-04-15 math.GT
On the crossing number of knots and links on surface in 3-manifolds
Department of Mathematics, Kyoto University（京都大学数学系）
利用基本群的秩，给出三维流形中双侧曲面上纽结和链环投影的交叉数下界。
2026-07-07 math.GT
Arc index of spatial graphs
Bae和Park在最小交叉数方面发现了素链路的弧指数的上界。本文将弧表示的定义推广到空间图，得到了任意空间图$G$的弧指数$α(G)$的上界为$$α(G) \leq c(G)+e+b,$$，其中$c(G)$是$G$的最小交叉数，$e$是边数，$b$是花束割分量数.这个上界是可能的最低值。
2017-11-22 math.GT
The Ropelengths of Knots Are Almost Linear in Terms of Their Crossing Numbers
对于纽结或链环K，设L（K）为K的绳长，Cr（K）为K的交叉数。在本文中，我们证明了存在一个常数a>0，使得对于任意纽结K，L（K）上界为a Cr（K）ln ^5（Cr（K））。这一结果表明，任何纽结的绳长的上界几乎与其最小交叉数成线性关系。
2009-12-16 math.GT
Crossing number of links formed by edges of a triangulation
本文研究了具有n个四面体的3-球面的三角剖分T的边所形成的链环的交叉数。我们证明了交叉数由n^2的一个指数函数自上而下有界。一般来说，这个界不能用次指数界来代替。然而，如果T是polytopal（resp.有一个二次函数（resp.双二次的）n中交叉数的上界。在我们的证明中，我们使用了一个数值不变量p（T），称为多面体，我们已经在数学中引入。GT/0009216。
2001-10-17 math.GT
On two crossing numbers of algebraic knots under Hopf fibration
本文回答了菲尔德在[1]中提出的一个问题，即关于Hopf纤维化下的代数纽结$K$的交叉数的两个概念，一个是拓扑的，记为$h(K)$，另一个来自于这种纽结在复奇点周围的实现，记为$C_{alg}(K)$.我们证明了$C_{alg}(K)-h(K)$可以是任意大的。我们还给出了一些纽结族的$h$的上界，如环面纽结$T(2,n)$，扭纽结及其镜像。
2020-06-29 math.GT
Stick numbers of $2$-bridge knots and links
Negami发现了一个上界的坚持数$s(K)$的一个非平凡的结$K$的最小交叉数$c(K)$的结是$s(K) \leq 2 c(K)$。此外，麦凯布证明了$s(K) \leq c(K) + 3$的$2$桥结或链接，除了在情况下的unlink和霍普夫链接。本文仅用$c(K)+2$直杆构造了至少六个交叉点的任何$2$ -桥结或连接$K$。这给出了一个新的上界的坚持数的$2$桥结和链接的交叉数。
2014-11-07 math.GT
Triple Crossing Number of Knots and Links
三重交叉是一个结或连接的投影中的交叉，其中有三个结的链直接穿过它。三重交叉投影是一个投影，所有的交叉都是三重交叉。本文证明了每个纽结和链环都有一个三重交叉投影，并研究了在K的一个投影中三重交叉的最小数目c_3（K）。利用传统的交叉数得到了c_3（K）的上界和下界，并证明了这两个上界和下界都是可实现的.我们还将三重交叉数与括号多项式的跨度联系起来，并利用它来确定各种纽结和链环的c_3（K）。然后，我们使用c_3（K）得到的双曲结或链接的体积上的界限。我们还考虑了c_n（K）的扩张.
2012-09-04 math.GT
New Upper Bounds for Stick Numbers
University of Georgia（佐治亚大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Colorado State University（科罗拉多州立大学）
本研究利用带纽结类型保持移动的模拟退火方法寻找低杆数多边形纽结，改进了10交叉内素纽结的杆数上界，首次给出13交叉内所有纽结的杆数界表，并确定了19种未知杆数纽结的精确值。
2025-08-25 math.GT
Multi-crossing Number for Knots and the Kauffman Bracket Polynomial
多交叉（或n交叉）是投影中的奇点，在该点处n条链交叉，使得每条链平分交叉。我们将Kauffman，Murasugi和Thistlethwaite的经典结果推广到n-交叉数：对于所有不小于3的整数n，k的括号多项式的跨度的上<K>界为（[n^2/2] +4 n-8）c_n（K）.我们还探讨了n-交叉的可加性下的组合，并发现，对于n至少为4，有这样的节点的例子，使n-交叉数是次加性。此外，我们提出了第一个广泛的列表计算的n-交叉数的结。最后，我们探讨的单调性序列的n-交叉的一个结，我们称之为交叉谱。
2014-07-16 math.GT
Crossing Number Bound in Knot Mosaics
纽结镶嵌用于模拟物理量子态。结的马赛克数是最小整数$m$，使得结可以表示为结$m$ -马赛克。本文利用镶嵌数建立了纽结交叉数的一个上界。给定一个$m$ -马赛克和在该马赛克上表示的任何结$K$，如果$m$是奇数，则其交叉数$c$上界为$(m - 2)^{2} - 2$，如果$m$是偶数，则其交叉数$c$上界为$(m - 2)^{2} - (m - 3)$。
2018-05-26 math.GT
All Prime Knots Through 10 Crossings Have Superbridge Index $\leq 5$
本文给出了纽结$9_{18}$，$10_{18}$，$10_{58}$，$10_{66}$，$10_{68}$，$10_{80}$，$10_{82}$，$10_{84}$，$10_{93}$，$10_{100}$，$10_{152}$的粘数的新的上界，以及$10_{79}$的等边粘数的新的上界.这些界限意味着纽结$10_{58}$、$10_{66}$和$10_{80}$具有超桥指数$\leq 5$，完成了表明通过10次交叉的素数纽结的超桥指数不大于5的项目。附录A中给出了通过10个交叉点的素数节的棒数和超桥指数的当前最佳界。
2021-12-20 math.GT
Non-triviality of the Jones polynomial and the crossing numbers of amphicheiral knots
利用琼斯多项式的研究，我们确定，作为我们的主要结果，交叉数（素）amphicheiral结。作为进一步的应用，我们证明了几类链接，包括半充分链接和半充分结的Whitehead双打，具有非平凡的琼斯多项式。我们还证明了有无穷多个没有正的最小交叉图的正纽结。给出了链环的扭数、Mahler测度和双曲体积之间的一些关系，例如Montesinos和3-braid链环的体积用Jones多项式表示的明确的上界.
2007-07-03 math.GT
On the bridge number of knot diagrams with minimal crossings
给定一个节点$K$的图$D$，我们考虑交叉口的数量$c(D)$和$D$的立交桥的数量$b(D)$。我们表明，如果$D$是一个图的非平凡结$K$的交叉数$c(D)$是最小的，那么$1+\sqrt{1+c(D)} \leq b(D)\leq c(D)$。这些不等式的形式是，$b(D)$的上界是通过交替结实现的，而$b(D)$的下界是通过环面结实现的。第二个不等式只有在纽结是交错纽结时才成为等式。我们证明了第一个不等式只有当纽结是环面纽结时才成为等式。
2003-01-28 math.GT
Bisected vertex leveling of plane graphs: braid index, arc index and delta diagrams
本文引入了一个平面图的二等分顶点拉平。使用这种平面嵌入，我们提出了著名的上界的最小交叉数的辫子指数$b(L)$和弧指数$α(L)$的任何结或非分裂链接$L$，这是$b(L) \leq \frac{1}{2} c(L) + 1$和$α(L) \leq c(L) + 2$的初等证明。我们还找到了$L$的delta图的最小交叉数的一个二次上界。
2018-06-25 math.GT
Equivariant crossing numbers for two-bridge knots
本文为二桥结定义了等变交叉数 $c_2(K)$，提供了 $c_t(K)$ 的上界，并给出计算算法，通过计算机计算至14个交叉数，展示了20个至10个交叉数的结例，其对称性可在不增加交叉数下改善。
2023-04-02 math.GT
An upper bound on stick numbers of knots
1991年，Negami发现了一个关于非平凡纽结$K$的棒数$s(K)$的上界，它是关于纽结的最小交叉数$c(K)$，即$s(K) \leq 2 c(K)$。本文将这个上界改进为$s(K) \leq \frac{3}{2} (c(K)+1)$。此外，如果$K$是一个非交替素结，则$s(K) \leq \frac{3}{2} c(K)$。
2015-12-11 math.GT
A New Bound on Odd Multicrossing Numbers of Knots and Links
链接$L$的$n$交叉投影是$L$在平面上的投影，使得$L$上的$n$点在每个交叉处彼此叠加。证明了对所有$k \in \mathbb{N}$和所有链$L$，不等式$$c_{2k+1}(L) \geq \frac{2g(L) + r(L)-1}{k^2}$$成立，其中$c_{2k+1}(L)$，$g(L)$和$r(L)$分别是$L$的$(2k+1)$ -交叉数，$3$ -亏格和分支数.利用这个结果证明了环面纽结奇交叉数的一个新的界，推广了Jablonowski的一个结果。我们还证明了一个新的上界的$5$交叉数的2-环面纽结和链接。此外，我们还改进了$79$纽结的$5$ -交叉数的下界，并给出了$5$-交叉数为$ \leq 12$的情形.最后，我们用$2$-交叉数$\leq 12$改进了$5$纽结的$7$ -交叉数的下界.
2020-10-29 math.GT
Equilateral stick number of knots
将结$K$的等边棒数$s_{=}(K)$定义为构造由等长棒组成的$K$多边形结所需的最小棒数。Rawdon和Scharein [12]通过使用软件KnotPlot中的算法，发现了所有素数结通过10次交叉的等边棒数的上界。本文利用最小交叉数$c(K)$得到了非平凡纽结K的等边棍数的一个上界，即$s_{=}(K) \le 2c(K) + 2$ .此外，如果$K$是一个非交替素结，则$s_{=}(K) \le 2c(K) - 2$。此外，我们发现了另一个上界的等边棒数的复合结，这是$s_{=}(K_1 \# K_2) \le 2c(K_1) + 2c(K_2)$。
2014-01-29 math.GT
A relation between the crossing number and the height of a knotoid
结子是开放式的结图，被认为是Reidemeister移动和同位素。这个概念是由V.~引入的。2012年，图拉耶夫。结节的两个最重要的数字特征是交叉数和高度。后者是图和连接其端点的弧之间的最少交叉点数量，其中最小值是在所有代表性图上取的，并且所有这样的弧与交叉点不相交。本文回答了这样一个问题：交点数与纽结线的高度是否有关系？证明了拟结点的交叉数大于或等于拟结点高度的两倍。将该不等式与已知的高度下界相结合，利用纽结线的扩张括号多项式、仿射指数多项式和箭头多项式，得到了纽结线交叉数的一个下界.作为我们的结果的应用，我们证明了一个上界的桥的长度在一个最小图的一个经典的纽结：在一个最小图的纽结的交叉数是大于或等于三倍的长度最长的桥在图中。
2020-09-06 math.GT
Average signature and 4-genus of 2-bridge knots
State University of New York at New Paltz（纽约州立大学新帕尔茨分校）；Vassar College（瓦萨学院）；York University（约克大学）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文证明交叉数为c的双桥纽结签名绝对值的平均值趋近于√(2c/π)，并给出平均4-亏格的上界9.75c/log c。
2026-06-15 math.GT
A geometric characterization of the upper bound for the span of the Jones polynomial
设D是n个交叉点的链路图，s_A和s_B是其极值状态，|s_AD|（分别为. |s_BD|）当根据s_A平滑D时出现的简单闭曲线的数量（分别为s_B）。本文给出了k-几乎交错图D的和|s_AD| + |s_BD|的一般公式，对任意的k，将这个和刻画为一个有边界的适当曲面的适当三角剖分中的面数.当D是去交机连接时，三角剖分特别简单，产生|s_AD| + |s_BD| =n+2-2k。这给出了一个简单的几何证明的跨度的琼斯多项式的上界的dealter连接图，结果首先得到的朱在1997年。作为推论，得到了Adams等人在1992年首次发现的去极连通图和去极简化图的Jones多项式的跨度的另一个上界。作为一个新的应用，我们证明了Turaev亏格等于任何除极连通图的除极交叉数k。
2010-11-04 math.GT
An Unknotting Index for Virtual Links
给定一个虚拟链路图$D$，定义其解结指数$U(D)$为$(m, n)$元组中的最小值，其中$m$代表虚拟化的交叉点数目，$n$代表经典交叉点改变的数目，从而得到平凡链路图.利用图的跨度和图的环绕数，给出了虚环圈解结索引的一个下界。然后利用图的翘曲度，得到了一个上界上界。这两个界限被应用到寻找unknotting指数的虚拟链接从椒盐卷饼链接虚拟一些交叉点
2018-11-02 math.GT
Upper bound on lattice stick number of knots
结$K$的格棒数$s_L(K)$被定义为在立方格中构造$K$的棒表示所需的直线段的最小数目。本文利用最小交叉数$c(K)$，即$s_L(K) \leq 3 c(K) +2$，给出了除三叶结以外的非平凡结$K$的格棒数的一个上界.此外，如果$K$是一个非交替素结，则$s_L(K) \leq 3 c(K) - 4$。
2012-09-01 math.GT
The Ropelength of Complex Knots
结的绳长是在三维空间中描绘出结而没有自重叠的单位半径的管的最小轮廓长度，通俗地说，系给定结所需的最小绳量。理论上的上限和下界已经建立了交叉数和ropelength之间的渐近关系和更强的界限已经被证明，但数值界只计算了详尽的节点和链接多达11个交叉，这是不够复杂，以测试这些假设。现有的ropelength测量也没有建立所需的复杂性，以达到渐近缩放与交叉数。在这里，我们调查ropelength的结和链接超出测试的交叉数的范围，过去的11个交叉限制，以及16个交叉限制的标准结目录。我们调查环面结1023交叉，建立一个更强的上界T（p，2）结和链接，并证明幂律缩放T（p，p+1）低于已证明的限制。我们调查卫星结42交叉，以确定系统的交叉增加操作ropelength的效果，发现一个卫星结通常有三倍的ropelength的同伴。我们发现ropelength是很好地描述了一个模型的重复霍普夫链接，其中每个组件采用最小的凸包周围的横截面的其他，并推导公式，预测crossing-ropelength关系的节点和链接没有自由参数。
2021-08-04 cond-mat.stat-mech math.GT
Linear Upper Bounds on the Ribbonlength of Knots and Links
Korea University（韩国大学）；Kyonggi University（京畿大学）；Sunchon National University（顺天国立大学）
本文通过二进制网格图和双倍顶点分级技术，证明了结和链的 ribbonlength 与交叉数之间存在线性上界关系。
2024-09-20 math.GT
Tri-plane diagrams for simple surfaces in $S^4$
Meier和Zupan证明了$S^4$中的可定向曲面$\mathcal{K}$允许有零交叉的三平面图当且仅当$\mathcal{K}$是无结的，使得$\mathcal{K}$的交叉数为零.本文确定了$S^4$中不可定向非纽结曲面的最小交叉数，证明了$c(\mathcal{P}^{n,m}) = \max\{1,|n-m|\}$，其中$\mathcal{P}^{n,m}$表示$n$中具有正规欧拉数的非纽结射影平面$+2$与$m$中具有正规欧拉数的非纽结射影平面$-2$的连通和.此外，我们转换吉川的打结表面CH-图的三平面图的表，找到表中的每个表面的最小桥数，并提供上界的交叉数。
2023-02-16 math.GT
New Upper Bounds on the Ribbonlength of Alternating Links with Bipartite Dual Graphs
Department of Mathematics Education, Sunchon National University（顺天国立大学数学教育系）
本文证明了具有二分图双图的交替链的带长上界，并确定了霍普夫链的精确带长。
2026-01-15 math.GT
How many crossing changes or Delta-moves does it take to get to a homotopy trivial link?
本文利用Habegger-Lin链环同伦分类和极值图论，改进了同伦平凡化数的上界，证明其接近最优，并确定了所有4分量链环的同伦平凡化数，同时给出Delta同伦平凡化数的三次上界。
2025-06-20 math.GT
New Superbridge Index Calculations from Non-Minimal Realizations
以前的工作使用多边形实现的结，以减少问题的实现的超桥数计算的线性规划问题，导致新的尖锐的上界的超桥指数的一些结。目前的工作扩展这种技术多边形实现的边缘的奇数，并确定了确切的超桥指数的许多新的结，包括大多数的9交叉结，它是以前未知的，第一次，几个12交叉结。有趣的是，至少有一半的这些超桥最小化多边形实现没有最小化结的棒数;这些似乎是第一个这样的例子。附录A给出了目前已知的关于通过10个交叉点的主要节点的超桥指数的完整总结，附录B给出了已知的通过16个交叉点的所有节点的超桥指数。
2022-06-14 math.GT
A Sharp Upper Bound for Region Unknotting Number of Torus Knots
结或适当链接的区域交叉变化是一种解结操作。本文给出了一大类环面纽结和真环的区域解纽结数的精确上界。此外，我们还讨论了环链是适当的条件。
2012-11-29 math.GN math.GT
A polynomial upper bound on Reidemeister moves for each link type
University of Oxford（牛津大学）
本文研究了每个结类型的Reidemeister移动的多项式上界，并展示了如何通过显式计算多项式来确定结的识别问题复杂性。
2026-02-10 math.GT
Integer inequalities between knot invariants, skein tree depth and delta-crossing numbers
University of Gdańsk（格但斯克大学）
本文研究了结不变量、skein树深度和delta交叉数之间的整数不等式，通过理论和计算结果证明了新的上界，并给出了新的下界，同时提供了未确定的结和链的skein树深度表。
2025-09-06 math.GT
Crossing numbers of dense graphs on surfaces
研究曲面上稠密图的交叉数，证明任意画法的 Ω(m²/g log² g) 下界，并构造双曲曲面随机最短路径画法给出同阶期望上界。
2025-06-11 cs.CG cs.DM math.CO
The unknotting number, hard unknot diagrams, and reinforcement learning
Google DeepMind, London, UK（谷歌深思（DeepMind），伦敦，英国）；Mathematical Institute, University of Oxford, Andrew Wiles Building, Radcliffe Observatory Quarter, Woodstock Road, Oxford, OX2 6GG, UK（牛津大学数学研究所）
本文利用强化学习智能体寻找纽结图的最短解结交叉变换序列，确定了大量纽结的解结数，证明了连通和图示中单次解结变换可产生素纽结，并构建了260万困难解结图数据集。
2025-07-19 cs.AI cs.LG math.GT
