由三角测量的边形成的交叉连接数

离散Riemann Surfaces上的有界外度和极值长度

Bounded Outdegree and Extremal Length on Discrete Riemann Surfaces

设$T$是黎曼曲面的三角剖分。我们证明了$T$的1-骨架可以定向，使得顶点的出度有一个全局界。我们的应用是构造极值度量三角形形成的$T$附加新的边缘和顶点，细分其面。这样的改进提供了一个机制的离散三角收敛到经典的表面。我们将证明在加细过程下$T$上的离散极值长度的失真的一个界。我们的界将仅取决于细化而不取决于$T$。特别地，该结果不需要有界度。

Computing a Link Diagram from its Exterior

A knot is a circle piecewise-linearly embedded into the 3-sphere. The topology of a knot is intimately related to that of its exterior, which is the complement of an open regular neighborhood of the knot. Knots are typically encoded by planar diagrams, whereas their exteriors, which are compact 3-manifolds with torus boundary, are encoded by triangulations. Here, we give the first practical algorithm for finding a diagram of a knot given a triangulation of its exterior. Our method applies to links as well as knots, allows us to recover links with hundreds of crossings. We use it to find the fi…

三维流形的框架链表示及其$O(n^2)$算法I：gems及其构造

Framed link presentations of 3-manifolds by an $O(n^2)$ algorithm, I: gems and their duals

给定一种特殊类型的三角剖分$T$，对于一个有向的闭3-流形$M^3$，我们在$S^3$中产生一个框架链接，它通过一个复杂度为$O(n^2)$的算法导出相同的$M^3$，其中$n$是$T$中四面体的个数。特殊类由{ \em可解gems}的可解性构成。这些在实践中计算上容易从$M^3$的任何三角测量中获得。证明了可解gem诱导的闭定向三维流形的猜想对于由少顶点gem诱导的流形是可穷尽的。我们的算法产生帧链接介绍众所周知的3流形，迄今没有一个明确的已知。这项工作的一个后果是，目前只计算手术介绍（如维滕-Reshetkhin-Turaev不变量）的3-流形不变量也成为可计算的三角剖分。这似乎是一个新的和有用的结果。我们的论述分为三篇。这第一篇文章提供了我们的动机，一些历史上介绍的3流形和回忆的事实，我们需要的宝石。

伪纽结理论

The Theory of Pseudoknots

$\mathbb{R}^3$中的经典节点可以用平面图表示。这些图由具有有限数量的横向交叉的曲线形成，其中每个交叉被装饰以指示结的哪一股在该点通过。伪图是一个纽结图，它可能在某些交叉点处缺少交叉信息。在这些交叉点，无法确定哪条线通过。伪图由Ryo Hanaki在2010年首次提出。在这里，我们介绍了一个伪结的概念，即一个等价类的伪图下适当的选择Reidemeister移动。为了开始分类的pseudoknots，我们引入的概念加权决议集，不变的pseudoknots。我们计算几个伪结家庭的加权分辨率集，并讨论交叉数，同伦和手征伪结的概念。

三维流形中链环的复杂性

Complexity of links in 3-manifolds

我们对X=（M，L）引入了一个自然值复杂度c（X），其中M是一个闭可定向3-流形，L是包含在M中的一个环.定义采用简单的刺，但对于行为良好的X的，我们表明，c（X）等于三角形的M包含L在其1-骨架的四面体的最小数量。稍微适应马特维耶夫最近的理论根的图形，我们仔细分析的行为C下连接和远离和沿链接。我们特别表明，c几乎总是添加剂，详细描述的情况下，它不是。为了做到这一点，我们引入了一个特定的（0，2）-根对X，我们表明，它是定义良好的，我们证明了X具有相同的复杂性，因为它的（0，2）-根。然后，我们考虑，在3-球的链接，与交叉数和与双曲体积的外部，建立各种上限和下界的c的关系。我们还专门我们的分析，以某些无限家庭的链接，提供相当准确的渐近估计。