Connectivity Oracles Under Vertex Failures via a Simple and Fast Low-Degree Steiner Forest Decomposition
University of Warwick（华威大学）；University of Michigan（密歇根大学）；Peking University（北京大学）
该研究提出一种简单快速的低度数Steiner森林分解算法，构建出性能更优的顶点失效下确定性连通性预言机，消除了现有算法的$n^{o(1)}$因子。
2026-09-03 cs.DS
Connectivity Oracles for Graphs Subject to Vertex Failures
我们引入了新的数据结构，以回答连接查询的图形批量顶点故障。确定性结构在$\tilde{O}(d^3)$时间内处理一批$d\leq d_{\star}$故障顶点，然后在$O(d)$时间内回答连接性查询。它占用空间$O(d_{\star} m\log n)$。我们开发了一个随机蒙特卡罗版本的数据结构与更新时间$\tilde{O}(d^2)$，查询时间$O(d)$，和空间$\tilde{O}(m)$的任何故障绑定$d\le n$。这是第一个连通性预言一般图，可以有效地处理无限数量的顶点故障。我们还开发了一个更有效的蒙特卡罗边缘故障连接预言机。使用空间$O(n\log^2 n)$，$d$边缘故障处理在$O(d\log d\log\log n)$的时间，此后，连接查询回答在$O(\log\log n)$的时间，这是正确的w.h.p.我们的数据结构是基于一个新的无向图$G=(V,E)$，这是独立的利益的分解定理。它指出，对于任何终端集$U\subseteq V$，我们可以删除一个集$B$的$|U|/(s-2)$顶点，使剩余的图包含一个施泰纳森林$U-B$与最大程度$s$。
2017-09-06 cs.DM cs.DS math.CO
An Optimal $3$-Fault-Tolerant Connectivity Oracle
本文提出一个最优的 3-故障容错连通性预言机，基于 DFS 框架，在 O(n+m) 预处理和 O(n) 空间下常数时间回答连通性查询，并支持顶点割及连通分量数量查询。
2025-04-24 cs.DS
$2$-Fault-Tolerant Strong Connectivity Oracles
本文研究双顶点故障下的强连通性查询，提出基于分解树的数据结构，在常数树宽图、平面图和一般有向图上分别实现近线性、亚线性空间与查询时间，并通过实验验证其实际性能。
2023-12-02 cs.DS
Parameterized algorithms for node connectivity augmentation problems
一个图$G$是$k$ -从它的节点$s$向外连接的，如果它包含到每个节点$v$的$k$内部不相交的$sv$ -路径; $G$是$k$ -连接的，如果它是$k$ -从每个节点向外连接的。连通性扩充问题的目标是通过最小代价边集$J$扩充图$G_0=(V,E_0)$，使得$G_0 \cup J$具有比$G_0$更高的连通性。在$k$ -外连接增强（$k$ -OCA）问题中，$G_0$是$(k-1)$ -从$s$外连接的，而$G_0 \cup J$应该是$k$ -从$s$外连接的;在$k$ -连接增强（$k$ -CA）问题中，$G_0$是$(k-1)$ -连接的，而$G_0 \cup J$应该是$k$ -连接的.这些问题的参数化复杂性状态甚至对于$k=3$和单位成本也是开放的。我们将证明$k$ -OCA和$3$ -CA可以在时间上求解$9^p \cdot n^{O(1)}$，其中$p$是最优解的大小。我们的论文是第一个，显示固定参数的易处理的$k$ -节点连接增强问题的$k$高值。我们还将考虑$(2,k)$ -连接增强问题，其中$G_0$是$(k-1)$ -边连接的，并且$G_0 \cup J$应该是$k$ -边连接的和$2$ -连接的。我们将证明，这个问题可以解决的时间$9^p \cdot n^{O(1)}$，单位成本近似在$1.892$。
2022-09-14 cs.DS
Query Complexity of Hypergraph Connectivity and Learnability using CUT Oracles
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Palo Alto Networks（帕洛阿尔托网络）
研究使用CUT查询揭示超图结构的问题，提出零错误随机算法在O(n)期望查询内识别加权超图的连通分量，并针对偶校验超图和线性超图给出高效确定性算法。
2026-07-02 cs.DM cs.DS
Graph Reconstruction with a Connected Components Oracle
本文研究利用返回连通分量集合的预言机进行图重构，提出自适应随机算法，其查询复杂度依赖于图的边数、最大度、树宽或退化度，并证明相应的下界。
2025-09-12 cs.DS
Incremental Strong Connectivity and 2-Connectivity in Directed Graphs
在本文中，我们提出了新的增量算法，用于维护数据结构，表示所有连接削减的大小为一个有向图（有向图），和强连接的组件，结果删除这些削减。我们给出了一个条件下界，提供证据表明，我们的算法可能是紧子多项式的因素。作为一个额外的结果，与我们的方法，我们也可以保持动态的$2$ -顶点连接组件的有向图在任何序列的边缘插入在总的$O(mn)$时间。这与有向图的$2$ -边连通分量的增量维护的界限相匹配。
2018-02-27 cs.DS
$2$-node-connectivity network design
我们考虑网络设计问题，我们给出了一个图，并寻求一个最小的$2$连接的子图，满足规定的属性。$\bullet$在1-连通性扩充问题中，目标是通过指定边集的最小边子集来扩充连通图，使得扩充后的图是$2$ -连通的.我们打破了自然比率的$2$为这个问题，也为更一般的交叉家庭覆盖问题。$\bullet$在$2$ -连通支配集问题中，我们寻找支配所有节点的最小尺寸的$2$ -连通子图.我们给出了这个问题的第一个非平凡的近似算法，期望比$O(σ\log^3 n)$，其中$σ=O(\log n \cdot\log\log n\cdot(\log\log\log n)^{3})$。这两个结果的统一技术是一个减少子集Steiner连接支配集问题。这样的减少是已知的边缘连接，我们将其扩展到$2$节点连接问题。我们表明，同样的方法可以用来很容易地获得多对数近似比，是不是太远，从最好的已知的其他几个问题。
2022-08-18 cs.DS
9/7-Approximation for Two-Edge-Connectivity and Two-Vertex-Connectivity
针对最小二边连通和二顶点连通生成子图问题，提出近似比为9/7的算法，改进了此前二边连通性近似比略小于4/3、二顶点连通性近似比为4/3的算法。
2026-07-22 cs.DS
Approximation Schemes for Planar Graph Connectivity Problems
CNRS & DIENS, ENS Paris - PSL Research University（法国国家科学研究中心与高等师范学院巴黎文理研究大学）；London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）；Department of Computer Science, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院计算机系）；Department of Mathematics, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院数学系）
本文提出了一种新的分解技术，为平面图的连通性问题提供了PTAS，解决了平面图中k边连通性和k顶点连通性增强的问题。
2025-12-24 cs.DS
Connectivity Oracles for Predictable Vertex Failures
Max Planck Institute of Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）；University of Ioannina（约阿尼纳大学）；UC San Diego（加州大学圣迭戈分校）；ISTA（ISTA（奥地利科学技术研究所））；Bocconi University（博科尼大学）
在带预测的算法范式下，设计支持顶点故障的连通性预言机数据结构，利用预测与实际故障的对称差实现O(η)查询时间，并证明其条件最优。
2024-09-20 cs.DS cs.LG
Node Connectivity Augmentation of Highly Connected Graphs
本文完整刻画了节点连通性增强问题的计算复杂性，并针对 NP-困难的最大情形 k=n-4，分别提出加权3/2近似算法和无权4/3近似算法，改进了已知近似界。
2023-11-28 cs.DS
A simple certifying algorithm for 3-edge-connectivity
提出了一种3边连通性的线性时间证明算法。给定一个无向图G，如果G是3-边连通的，该算法生成一个构造序列作为G的一个正证书。另外，该算法将G分解为3-边连通分支，同时生成每个连通分支的构造序列以及G中的桥和割对的仙人掌表示。所有这些都是通过使用创新的图收缩技术在G上进行一次传递来完成的。此外，图不需要是2-边连通的。
2022-01-29 cs.DS
Approximation Algorithms for Vertex-Connectivity Augmentation on the Cycle
给定一个$k$ -顶点连通图$G$和一个额外边（链接）的集合$S$，$k$ -顶点连通性扩充问题的目标是找到一个最小大小的集合$S' \subseteq S$，使得将$S'$添加到$G$使其$(k+1)$ -顶点连通。与边连通性增强问题不同，对顶点连通性版本的研究很少。在这项工作中，我们提出了第一个多项式时间近似算法，提高了已知的比率为2 $2$顶点连接增强，在这种情况下，$G$是一个周期。这是攻击扩充$2$ -连通图的更一般问题的第一步。我们的算法是基于局部搜索，并达到了$1.8704$的近似比。为了得到它，我们证明了新的结果的最小解的结构。
2021-11-03 cs.DS
2-Edge Connectivity in Directed Graphs
边连通度和点连通度是图论中的基本概念。虽然它们在无向图的情况下已经得到了深入的研究，但令人惊讶的是，对于有向图的研究并不多。在本文中，我们研究了有向图中的$2$ -边连通性问题，特别是，我们考虑了以下自然关系的计算：我们说两个顶点$v$和$w$是$2$ -边连通的，如果有两个边不相交的路径从$v$到$w$和两个边不相交的路径从$w$到$v$。该关系将顶点划分为块，使得同一块中的所有顶点都是$2$边连通的。与无向情况相应，这些块不对应于图的$2$ -边连通分量。我们展示了如何在线性时间内计算这种关系，这样我们就可以在恒定时间内报告两个顶点是否是$2$边连通的。我们还展示了如何在线性时间内计算这种关系的稀疏证书，即，所述输入图的子图，其具有$O(n)$边并且保持与所述输入图相同的$2$边连接块。
2014-07-31 cs.DS
Approximating the Smallest Spanning Subgraph for 2-Edge-Connectivity in Directed Graphs
设$G$是一个强连通有向图.我们考虑以下三个问题，我们希望计算$G$的最小强连通生成子图，分别保持：$2$-$G$的边连通块（\textsf{2EC-B}）; $2$-$G$的边连通分量（\textsf{2EC-C}）; $2$-边连通块和$2$-$G$的边连通分量（\textsf{2EC-B-C}）。这三个问题都是NP难的，因此我们对有效的近似算法感兴趣。对于\textsf{2EC-C}，我们可以得到一个$3/2$-近似结合以前已知的结果。对于\textsf{2EC-B}和\textsf{2EC-B-C}，我们提出了新的$4$-近似算法，运行在线性时间。我们还提出了各种算法来提高实际计算子图的大小，并进行了彻底的实验研究，以评估其在实际场景中的优点。
2015-09-09 cs.DS
Incremental $2$-Edge-Connectivity in Directed Graphs
本文研究了有向图中$2$ -边连通关系的动态维护问题。我们提出了一个算法，可以更新$2$ -边连接块的有向图的$n$顶点通过一系列的$m$边插入在总的$O(mn)$时间。在每次插入之后，我们可以在渐近最优时间内回答以下查询：（i）在恒定时间内测试两个查询顶点$v$和$w$是否是$2$ -边连接的。此外，如果$v$和$w$不是$2$边连接的，我们可以通过展示包含在从$v$到$w$的所有路径中或从$w$到$v$的所有路径中的边，在恒定时间内产生该属性的“见证”。(ii)在$O(n)$中报告所有$G$的$2$ -边缘连接块。据我们所知，这是有向图上的$2$ -连通性问题的第一个动态算法，并且它与较简单问题（如增量传递闭包）的最佳已知边界相匹配。
2016-07-24 cs.DS
Approximating subset $k$-connectivity problems
终端的子集$T \subseteq V$是$k$ -连接到有向/无向图$J$中的根$s$，如果$J$对于每个$v \in T$具有$k$内部不相交的$vs$ -路径; $T$是$k$ -连接在$J$中，如果$T$是$k$ -连接到每个$s \in T$。我们考虑{ \sf子集$k$ -连通性扩充}问题：给定一个图$G=(V,E)$，其边/节点代价为$T \subseteq V$，节点子集$T \subseteq V$，以及$G$的子图$J=(V,E_J)$，使得$T$在$J$中是$k$ -连通的，找到一个最小代价扩充边集$F \subseteq E \setminus E_J$，使得$T$在$J \cup F$中是$(k+1)$ -连通的。这个问题允许平凡比$O(|T|^2)$。我们考虑$|T|>k$的情形，证明了对于有向/无向图和边/节点代价，{ \sf有根子集$k$ -连通性增强}的$ρ$ -近似隐含了{ \sf子集$k$ -连通性增强}的以下比率：（i）$b(ρ+k) + {(\frac{3|T|}{|T|-k})}^2 H(\frac{3|T|}{|T|-k})$ ;（ii）$ρ\cdot O(\frac{|T|}{|T|-k} \log k)$，其中对于无向图b=1，对于有向图b=2，并且$H(k)$是$k$次谐波数。无向图上最著名的$ρ$值是边代价的$\min\{|T|…
2011-05-21 cs.DS
Connectivity Algorithm
在这项工作中，对于给定的邻接矩阵的一个图，我们提出了一个算法，检查一个图的连通性，并计算其所有的连通组件。此外，它是数学证明，该算法提出了所有期望的结果。
2015-07-22 cs.DS
2-Vertex Connectivity in Directed Graphs
我们通过考虑以下2-顶点连通性关系的计算来补充我们对有向图中2-连通性的研究：我们说两个顶点v和w是2-顶点连通的，如果有两个从v到w的内部顶点不相交的路径和两个从w到v的内部顶点不相交的路径。弹性的，如果去除任何不同于v和w的顶点，使v和w处于相同的强连通分量中。我们展示了如何在线性时间内计算上述关系，以便我们可以在恒定时间内报告两个顶点是否是2-顶点连接的或是否是顶点弹性的。我们还展示了如何在线性时间内计算这些关系的稀疏证书，即，输入图的一个子图，它有O（n）条边，并保持与输入图相同的2-顶点连通性和顶点弹性关系，其中n是顶点数。
2015-02-19 cs.DS
Certifying 3-Edge-Connectivity
我们提出了一个证明算法，测试图的3边连通性，该算法的工作在线性时间。如果输入图不是3-边连接的，则算法返回2-边切割。如果它是3-边连通的，则它返回一个构造序列，该序列仅使用（显然）保持3-边连通性的操作从具有两个顶点和三个平行边的图构造输入图。此外，我们展示了如何计算和证明3-边连接的组件和仙人掌表示的2-削减在线性时间。对于3-点连通性，我们展示了如何计算2-连通图的3-点连通分支。
2015-10-07 cs.DM cs.DS
Strong Connectivity in Directed Graphs under Failures, with Application
本文研究了有向图中的一些基本连通性问题。设$G$是一个有$m$边和$n$顶点的有向图，$G\setminus e$是从$G$中删除边$e$后得到的有向图.作为第一个结果，我们展示了如何计算在$O(m+n)$最坏情况下的时间：$(i)$强连接组件的总数在$G\setminus e$，所有边缘$e$在$G$。$(ii)$对于$G$中的所有边$e$，$G\setminus e$中最大和最小强连通分支的大小。设$G$是强连通的。如果$x$和$y$在$G\setminus e$中不再是强连通的，我们称边$e$分隔两个顶点$x$和$y$。作为第二组结果，我们将展示如何建立在$O(m+n)$时间$O(n)$-空间数据结构，可以回答在最佳时间以下基本连接查询有向图：$(i)$报告在$O(n)$最坏情况下的时间所有强连接组件的$G\setminus e$，查询边$e$。$(ii)$测试边是否在$O(1)$最差情况时间内分隔两个查询顶点。$(iii)$报告在最佳最坏情况时间内分离两个查询顶点的所有边，即，在时间上为$O(k)$，其中$k$是分离边缘的数量。(For $k=0$，时间为$O(1)$）。上述结果都可以推广到顶点失效的情形。我们所有的边界都是紧的，并且是用一个通用的算法框架获得的，基于由$1$-连通性引起的分解的一种新的紧凑表示（即，$1$-边和$1$-顶点）割，这可能是独立的兴趣。借助我们…
2019-05-06 cs.DS
Monotone edge flips to an orientation of maximum edge-connectivity à la Nash-Williams
我们通过$k$的边翻转研究了无向图的边连通定向。证明了在无向$2k$ -边连通图的每个方向上，都存在一个边序列，使得逐个翻转它们的方向不会降低边连通度，并且最终的方向是$k$ -边连通的.这产生了纳什-威廉姆斯定理的一个“基于边翻转”的新证明：无向图$G$具有$k$ -边连通定向当且仅当$G$是$2k$ -边连通的。作为定理的另一个推论，我们证明了无向图$G$的$k$ -边连通定向的边翻转图是连通的，如果$G$是$(2k+2)$ -边连通的.只有当$k=1$。
2021-10-22 cs.DM cs.DS math.CO
Minimum Connected Transversals in Graphs: New Hardness Results and Tractable Cases Using the Price of Connectivity
本文系统地研究了三个相关的横截问题：顶点覆盖、反馈顶点集和奇圈横截的连通变体的计算复杂性。就像它们的原始对应物一样，这些变体对于一般图是NP完全的。一个图$G$对某个图$H$是无$H$的，如果$G$不包含与$H$同构的导出子图.如果$H$包含爪或圈，则即使对于无$H$的图，连通点覆盖也是NP-完全的.我们表明，其他两个连接的变种也保持NP完全，如果$H$包含一个周期或爪。在其余情况下，$H$是线性森林。我们证明了对于每个常数$s\geq 1$，$sP_2$ -free图的连通顶点覆盖，连通反馈顶点集和连通奇循环translation是多项式时间可解的。为了证明这些结果，我们使用已知的顶点覆盖，反馈顶点集，奇循环断面的连通性的价格的结果。这是第一个应用程序的价格连接，导致多项式时间算法。
2017-09-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Rainbow Connectivity of Sparse Random Graphs
一个边着色图$G$是彩虹边连通的，如果任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路相连。连通图$G$的彩虹连通性，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文研究了二项随机图在连通度阈值$p=\frac{\log n+\om}{n}$下的彩虹连通性，其中$\om=\om(n)\to\infty$和${\om}=o(\log{n})$是连通图，以及随机$r$ -正则图在连通度阈值下的彩虹连通性，其中$r \geq 3$是固定整数.具体地说，我们证明了彩虹连接$G=G(n,p)$ $rc(G)$满足$rc(G) \sim \max\set{Z_1,diameter(G)}$与高概率（\whp）。这里$Z_1$是$G$中度等于1的顶点数，并且$G$的直径渐近等于$\diam$ \whp。最后证明了随机$r$ -正则图$G=G(n,r)$的彩虹连通度$rc(G)$满足$rc(G) =O(\log^2{n})$ \whp .
2012-10-02 cs.DM cs.DS math.CO
Contractions, Removals and How to Certify 3-Connectivity in Linear Time
已知的一个存在性结果是：每个顶点数大于4的3-连通图G=（V，E）对K_4允许一个收缩序列和一个移除序列，使得每个中间图都是3-连通的。我们证明了这两个序列都可以在最佳时间内计算，将以前已知的最佳运行时间O（|V| ^2）提高到O（|V| + |E|）。这也解决了一个悬而未决的问题，找到一个线性时间3-连接性测试，证明和扩展到一个证明3-边连接性测试在同一时间。所使用的证书很容易在时间O（|E|）内验证。
2010-11-29 cs.DM cs.DS
Branch-width of connectivity functions is fixed-parameter tractable
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院离散数学组）；Department of Mathematical Sciences, KAIST（韩国科学技术院数理科学系）
本文证明了连接函数的分支宽度问题在固定参数可处理范围内，并改进了相关算法的运行时间。
2026-02-09 cs.DM cs.DS math.CO
Fast exact algorithms for some connectivity problems parametrized by clique-width
给定一个图$G$的candle-width $k$ -表达式，我们提供了$2^{O(k)}\cdot n$时间算法，用于局部可检查属性上的连通性约束，例如节点加权Steiner树，连通支配集或连通顶点覆盖。我们还提出了一个反馈顶点集的$2^{O(k)}\cdot n$时间算法。对于所有考虑的情况，最佳运行时间为$2^{O(k\cdot \log(k))}\cdot n^{O(1)}$或更差。
2018-08-18 cs.CC cs.DM cs.DS
On Efficient Connectivity-Preserving Transformations in a Grid
University of Liverpool（利物浦大学）
我们考虑一个离散系统的$n$设备躺在一个2维正方形网格，并形成一个初始连接的形状$S_I$。每个设备都配备了一个线性强度机制，使其能够在一个单一的时间步长移动一整行连续的设备。我们研究了通过有限序列的\emph{line moves}，将$S_I$转化为给定的相同数目的设备的连通目标形状$S_F$的问题。我们的重点是设计\emph{centralised}的转换，旨在\emph{minimising the total number of moves}的约束下，\emph{preserving connectivity}的形状在整个过程中的转换。我们首先给出了非常快速的保持连通性的转换的情况下，其中的\emph{associated graphs}的$ S_I $和$ S_F $是同构的哈密顿线。特别地，我们的变换使$ O(n \log n $）移动，这是渐近等于最好的已知的连接性破坏变换的运行时间。我们最一般的结果是保持连接性的\emph{universal transformation}，它可以通过一系列$O(n\sqrt{n})$移动将任何初始连接形状$ S_I $转换为任何目标连接形状$ S_F $。最后，我们建立了两个限制变换集的$Ω(n \log n)$下界。这些是该模型的第一个下限，并且与最知名的$ O(n \log n) $上限相匹配。
2020-05-17 cs.CG cs.DS cs.RO
A New Perspective on Vertex Connectivity
边连通度和点连通度是图论中的两个基本概念。虽然到目前为止，基于图的边连通性对图的结构有了很好的理解，但我们在顶点连通性方面的知识要有限得多。在捕捉边连接的一个重要工具是边不相交的生成树。Tutte和Nash-Williams的著名结果表明，边连通的图$λ$包含$\floor{λ/2}$边不交生成树.我们提出了连接支配集（CDS）的划分和包装的工具，类似于边不相交的生成树，并帮助我们更好地掌握基于其顶点连通图的结构。CDS划分问题的目标是将图的节点划分为尽可能多的连通支配集。CDS包装问题是相应的分数松弛，其中CDS被允许重叠，只要通过分配适当的权重来补偿。CDS划分和CDS包装可以被看作是边不相交生成树的对应物，重点是顶点不相交而不是边不相交。我们构造性地证明了每一个具有$n$节点的$k$ -顶点连通图都有一个大小为$Ω(k/\log n)$的CDS填充和一个大小为$Ω(k/\log^5 n)$的CDS划分.我们证明了$Ω(k/\log n)$ CDS packing界是存在最优的。利用CDS填充，证明了如果$k$ -点连通图的顶点以概率$p$独立采样，则由采样点导出的图具有点连通性$\tildeΩ(kp^2)$ .此外，使用我们的$Ω(k/\log n)$ CDS包装，我们得到了一个存储和转发广播算法的最佳吞吐量的网络模型中，在每一轮，每个节点可以发送一个有限大小的消息到所有的邻…
2013-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
