Superspecial rank of supersingular abelian varieties and Jacobians
定义在具有正特征的代数闭域k上的阿贝尔簇是超奇异的，如果它与超奇椭圆曲线的乘积同构，并且是超特殊的，如果它同构于超奇椭圆曲线的乘积。本文通过定义阿贝尔簇的超特殊秩，推广了超特殊条件，超特殊秩是其p-挠的不变量。本文的主要结果是关于曲线的超奇异阿贝尔簇和Jacobian的超特殊秩。例如，它原来的superspecial秩确定信息分解的超奇异阿贝尔簇同构，即它是一个界的最大数目的超奇椭圆曲线出现在这样的分解。
2015-10-18 math.AG math.NT
Plus/minus Heegner points and Iwasawa theory of elliptic curves at supersingular primes
设$E$是$\mathbb Q$上的椭圆曲线，$p\geq5$是$E$的优良超奇异约化的素数.设$K$是一个虚二次域，满足一个修正的“Heegner假设”，其中$p$分裂，将$K$的反分圆$\mathbb Z_p$ -扩张记为$K_\infty$，并令$Λ$表示$K_\infty/K$的Iwasawa代数。本文将Bertolini在一般情形下提出的$Λ$ -adic Kolyvagin方法推广到超奇异情形，证明了Kobayashi的正/负$p$ -准素Selmer群在$K_\infty$上有corank $1$在$Λ$上.作为一个应用，当所有的素数划分导体的$E$分裂在$K$，我们结合我们的主要定理与结果的Ekiperiani和Iovita-Pollack和获得的“大O”公式的$\mathbb Z_p$ -corank的$E$的$p$ -primary Selmer群在有限层的$K_\infty/K$，它代表了超奇异对应的一个著名的结果，为普通的素数.
2015-03-26 math.AG math.NT
Lifts of supersingular abelian varieties with small Mumford-Tate groups
本文研究了在小的Mumford-Tate群下，有限域上的阿贝尔簇在特征零点上可以提升到什么程度。我们证明了超奇异阿贝尔曲面，分别三倍，可以提升到一个同构的平方，分别产品，椭圆曲线。另一方面，我们表明，超奇异阿贝尔三重不能被提升到一个isogenous到一个椭圆曲线的立方的维特向量。
2022-08-16 math.AG math.NT
Rational curves in the moduli of supersingular K3 surfaces
我们展示了如何使用Artin-Tate同构的相对形式和Bridgeland在椭圆曲面上稳定层的模空间上的结果的扭曲类似物来构造有理曲线上的超奇异K3曲面的非等平凡族。因此，我们表明，每一个点的阿丁不变10标记超奇异K3表面的Ogus空间在于无限多对不同的有理曲线规范相关的椭圆结构的基础K3表面。
2015-07-30 math.AG math.NT
Explicit formula of a supersingular polynomial for rank-2 Drinfeld modules and applications
秩2 Drinfeld模是椭圆曲线的函数域模拟，本文的目的是研究秩2 Drinfeld模与椭圆曲线在超奇异性方面的异同.特别地，我们给出了秩为2的Drinfeld模的超奇异多项式的一个显式公式，并证明了几个基本性质。作为应用，我们给出了Drinfeld模曲线的渐近最优塔的一个数值例子.
2017-05-12 math.AG math.NT
Griffiths groups of supersingular abelian varieties
定义代数闭域上光滑投射簇$X$的Griffiths群$\Gr^r(X)$为$X$上余维$r$模代数平凡代数圈子群的同调平凡代数圈群.本文的主要结果是：有限特征域$p$的代数闭包上的超奇异交换簇$A_\kbar$的Griffiths群$\Gr^2(A_\kbar)$至多是$p$ -准素扭群.作为推论，同样的结论对超奇异费马三重成立。与此相反，使用C. Schoen证明了，若Tate猜想对特征$p>2$的有限基域$k$的所有光滑射影曲面和所有有限扩张成立，则$k$的代数闭包上的任意普通三重交换$A_\kbar$的Griffiths群是非平凡的.
2001-10-09 math.AG
Perfect points on genus one curves and consequences for supersingular K3 surfaces
我们描述了一种方法来表明，某些椭圆形表面不承认纯粹不可分的多节（相当于，在函数域上的一种曲线不承认在基域的完美闭包上的点），并用它来表明，任何非雅可比椭圆结构在一个非常一般的超奇异K3表面上没有纯粹不可分的多节。我们还描述了这种纤维化的具体例子，没有纯粹不可分割的多节。最后，我们讨论的后果，声称证明的阿廷猜想的unirationality的超奇异K3曲面。
2021-12-03 math.AG math.NT
The existence of supersingular curves of genus 4 in arbitrary characteristic
证明了在任意特征$p$中存在亏格$4$的超奇异非奇异曲线.对于$p>3$，我们将证明在两条超奇椭圆曲线的$\mathbb{P}^1$上的某种纤维积的去奇异化是超奇异的.
2019-03-19 math.AG math.NT
A singular property of the supersingular elliptic curve in characteristic 2
设E是定义在k上的超奇椭圆曲线，它是二元有限域的代数闭包，在k-同构下是唯一的.用0表示它的单位元，设C是E-{0}在群Isom（E）（它是非阿贝尔的，阶数为24）作用下的商。本文的主要结果是：集合C（k）自然地参数化Lamé覆盖的k-同构类，Lamé覆盖是在具有特定分歧基准的三点之外未分歧的射影线的平凡分歧覆盖.这一事实是令人惊讶的原因有两个：首先，它是第一个非平凡的例子，一个家庭的覆盖的射影线unramified以外的三个点，这是参数化的几何点的曲线。此外，当考虑任意特征时，Lamé覆盖的显式构造非常复杂，并且它们的算术性质仍然神秘。当结合从正特性到特性0的提升技术时，特性2中的问题的简单性具有许多深刻的后果。作为一个例子，我们得到了一些关于（局部）伽罗瓦作用的尖锐陈述，例如，在一个固定数域上定义的Lamé覆盖的同构类的数量上的界，仅取决于在2处的剩余扩张的程度。最后，在附录中我们给出了这些结果的部分推广，证明了对任意正整数g，亏格g超椭圆曲线的适当商的k-有理点点参数化了在三点外未分歧的射影线的tamely分歧覆盖的k-同构类。
2010-04-24 math.AG
On the Kodaira types of elliptic curves with potentially good supersingular reduction
本文研究了在扩张 $L/K$ 为度为 $2$ 的野分歧且曲线 $E/K$ 具有潜在良好超奇异约化时，对椭圆曲线 Kodaira 类型施加的限制，并分析了同源椭圆曲线的可能约化类型。
2024-06-04 math.AG math.NT
Edwards curve point counting method and supersingular Edwards and Montgomery curves
我们考虑有限域$\text{F}_{p^n}$上Edwards \cite{E, SkOdProj}的代数仿射和射影曲线。现代密码学中的大多数密码体制\cite{SkBlock}都可以自然地转化为椭圆曲线\cite{Kob}。我们研究有限域上的Edwards代数曲线，它是目前最有前途的支持点集，用于快速群运算\cite{Bir}。构造了一种计算有限域上Edwards曲线阶数的新方法.由于椭圆曲线与Edwards曲线之间的双有理等价，它可以应用于椭圆曲线的阶。我们不仅找到了一组特定的系数与相应的领域的特点，这些曲线是超奇异的，但也是一个通用的公式，它可以确定是否曲线$E_d[\mathbb{F}_{p^n}]$是超奇异在这个领域或没有。研究了有限域上$\mathbb{F}_{p^n}$上Edwards超奇异曲线的嵌入度，找到了嵌入度最小的域特征，并得到了$\mathbb{F}_{p^n}$上Edwards曲线超奇异性的判据.并给出了椭圆曲线上周期具有确定性下估计的密码稳定序列的生成器。
2020-04-21 math.AG math.NT
Automorphisms of elliptic $K3$ surfaces and Salem numbers of maximal degree
使用椭圆结构，我们表明，任何超奇异K3表面的阿丁不变的$1$在特征$p \not= 5$，$7$，$13$有一个自同构的熵是自然对数的塞勒姆数的程度$22$。
2014-11-17 math.AG
Desingularized fiber products of semi-stable elliptic surfaces with vanishing third Betti number
对第三贝蒂数为零的半稳定非等平凡Jacobi椭圆曲面的去奇异纤维积进行了分类.这类簇在超奇异三重簇、平凡典范丛簇的变形理论以及刚性卡-丘三重簇的算术退化等方面的研究中可能发挥作用。
2008-04-07 math.AG
Fully maximal and fully minimal abelian varieties
我们引入并研究了一种新的方法，通过将定义在有限域上的超奇异阿贝尔簇分类为完全极大、混合或完全极小。$A$的类型取决于$A$及其扭曲的归一化Weil数。我们分析这些类型的超奇异阿贝尔簇和曲线的条件下的自同构群。特别是，我们对任意特征的超奇椭圆曲线和超奇异阿贝尔曲面以及特征为$2$的属$3$的一维超奇异曲线族的这些性质进行了完整的分析。
2017-11-03 math.AG math.NT
Supersingular reduction and strongly special intersections in powers of the modular curve
Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文基于Daworrpap和Dawpap的工作，在假设弱化Lang-Trotter猜想下，证明了Y(1)^n中的两个Zilber-Pink型陈述。
2026-06-25 math.AG math.NT
An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two
Utrecht University（乌得勒支大学）
本文构造了一族在特征二中的奇异五 genus 曲线，其具有特定的维数、非超椭圆性及双覆盖结构，并提供了显式参数化。
2026-01-23 math.AG math.NT
Congruence formulae for Legendre modular polynomials
设$p\geq 5$为素数。推广了E. de Shalit关于超奇异的$j$ -特征$p$中的不变量。我们考虑超奇异椭圆曲线的基础上的$2$ -扭转$\overline{\mathbf{F}}_p$，或等价的超奇异勒让德$λ$ -不变量。设$F_p(X,Y) \in \mathbf{Z}[X,Y]$是$λ$ -不变量的第$p$次模多项式. Kronecker经典同余的一个简单推广证明了$R(X):=\frac{F_p(X,X^{p})}{p}$在$\mathbf{Z}[X]$中.当$λ$是超奇异时，我们给出了$R(λ)$的一个计算公式.这个公式与在模曲线$X(Γ_0(p)\cap Γ(2))$的$p$ -adic均匀化中使用的Manin-Drinfeld配对有关.这种配对计算明确模的主要单位在以前的工作，两位作者。此外，如果$λ$是超奇异的，生活在$\mathbf{F}_p$，那么我们也表示$R(λ)$的CM升降机（这是存在的）的勒让德椭圆曲线与$λ$。
2017-04-23 math.AG math.NT
Supersingular locus of Hilbert modular varieties, arithmetic level raising and Selmer groups
本文有三个目标。首先，我们将Deuring和Serre关于模曲线超奇异轨迹的刻画的结果推广到全实数域上的全不定四元数代数的所有Shimura簇.其次，我们推广Ribet的算术水平提升的结果，在惰性的情况下，这样的Shimura品种。第三，作为数论的应用，我们利用前面的结果研究了在Bloch-Kato猜想的背景下，椭圆曲线的某些三重积动机的Selmer群。
2018-03-11 math.AG math.NT
Supersingular genus-two curves over fields of characteristic three
设C是特征为3的代数闭域上的超奇异亏格2曲线。我们证明了如果C不同构于曲线y^2 = x^5 + 1，那么直到同构，从C到椭圆曲线E的j-不变0的3次映射正好有20个。我们研究粗模空间的三元组（C，E，φ），特别注意的合理性问题。我们得到的结果使我们能够确定，对于每一个有限域k的特征3，多项式出现的Weil多项式的超奇异亏格-2曲线在k。
2006-04-19 math.AG math.NT
On anticyclotomic Selmer groups of elliptic curves
本文在温和假设下证明超奇异椭圆曲线反cyclotomic扩张上符号Selmer群对偶无有限子模，推广Bertolini结果并改进Hatley-Lei-Vigni定理。
2025-10-15 math.AG math.NT
$Λ$-submodules of finite index of anticyclotomic plus and minus Selmer groups of elliptic curves
设$p$是奇素数，$K$是$p$分裂的虚二次域.在适当的假设下，Bertolini证明了在$K$的反分圆$\mathbb Z_p$ -扩张上的$p$ -正常椭圆曲线的Selmer群不允许任何真的有限指数$Λ$ -子模，其中$Λ$是一个合适的Iwasawa代数.我们将这个结果推广到$p$ -超奇椭圆曲线的正、负Selmer群（Kobayashi意义下）.特别地，在我们的设置中，正/负Selmer群具有$Λ$ -余秩1，因此它们不是$Λ$ -余挠。作为我们的主要定理的应用，我们证明了Greenberg-Vatsal关于$p$ -全等椭圆曲线的Iwasawa不变量的结果，并推广到Hatley-Lei关于$p$ -正常椭圆曲线的超奇异情形的结果.
2020-10-22 math.AG math.NT
The supersingular Endomorphism Ring and One Endomorphism problems are equivalent
本文证明超奇异自同态环问题与单自同态问题在概率多项式时间归约下等价，并推导出哈希函数抗碰撞、协议可靠、任意同源计算等价及无条件O~(sqrt(p))算法等推论。
2023-10-16 cs.CR math.AG math.NT
Zero-cycles on a product of elliptic curves over a $p$-adic field
我们考虑椭圆曲线在$\mathbb{Q}_p$的有限扩张$K$上的乘积$X=E_1\times\cdots\times E_d$，它具有良好的或分裂的乘性约化的组合.我们假设至多有一条椭圆曲线具有超奇异约化。在这些假设下，我们证明了$X$的Albanese内核是一个有限群和一个可分群的直和，扩展工作的Raskind和Spiess的情况下，包括超奇异现象。我们的方法包括研究循环图$CH_0(X)/p^n\rightarrow H^{2d}_{\text{ét}}(X, μ_{p^n}^{\otimes d})$的核。我们给出了具体的标准，保证这个地图是单射的每一个$n\geq 1$。当所有曲线有良好的普通减少，我们表明，它足以扩展到一个特定的有限扩展$L$的$K$，这些标准得到满足。这扩展了山崎和平之内以前的工作。
2021-03-26 math.AG math.NT
p-Adic distribution of CM points and Hecke orbits. II: Linnik equidistribution on the supersingular locus
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso（智利天主教瓦帕拉索大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教大学）；University of Rochester（罗切斯特大学）
本文研究$p$-adic椭圆曲线模空间上CM点的渐近分布，将其转化为$p$-adic Linnik问题，利用Fourier系数界确定所有累积测度及任意Hecke轨道的累积测度。
2026-09-15 math.AG math.DS math.NT
Anticyclotomic Iwasawa theory of CM elliptic curves II
研究CM椭圆曲线$E$在CM域$K$的反分圆$\mathbf{Z}_p$ -扩张$D_\infty$中的Iwasawa理论，其中$p$是$E$的好的超超奇约化.我们的主要结果给出了$E$的$p$ -准素Selmer群沿扩张$D_\infty/K$的余秩的一个渐近公式.
2005-03-30 math.AG math.NT
The elliptic modular surface of level 4 and its reduction modulo 3
第四层的椭圆模曲面是一个Picard数为20的复K3曲面。这个曲面有一个数域上的模型，使得它的模3约简产生一个与特征为3的费马四次曲面同构的曲面，这是超奇异的。特殊化导致了Néron-Severi格的嵌入。利用这种嵌入，我们确定了特征为3的剩余域的混合特征的离散赋值环上的K3曲面的自同构群。第4级的椭圆模曲面具有不动点自由对合，这在Nikulin-Kondo-Martin对具有有限自同构群的恩里克斯曲面的分类中产生了IV型恩里克斯曲面。我们研究这个对合的特化特征3。
2019-09-11 math.AG
On the number of Frobenius periodic vector bundles on elliptic curves
School of Mathematical Sciences, Key Laboratory of Intelligent Computing and Applications (Tongji University), Ministry of Education（同济大学智能计算与应用重点实验室数学科学学院）
研究特征p>0代数闭域上椭圆曲线上弗罗贝尼乌斯周期向量丛数量，通过转化为平展基本群的连续表示，得出显式生成函数和精确周期公式，分普通和超奇异情形处理。
2026-07-07 math.AG math.RT
A simple construction of indecomposable higher Chow cycles in elliptic surfaces
在满足一定条件的椭圆曲面上构造了调节子不可分解的高阶Chow圈。作为应用，给出了Gordon和Lewis定理的另一种证明，该定理断言在一般椭圆曲线的乘积中存在一个实调节器不可分解的圈.
2014-02-12 math.AG
Frobenius distribution for pairs of elliptic curves and exceptional isogenies
设E和E'是数域上的两条椭圆曲线。我们证明了E和E'在有限位置p的约化对无穷多个p是几何同构的，并得出了超奇异素数存在的结论。这个结果是一个类似的分布Frobenius迹的已知结果的密度的Noether-Lefschetz轨迹在霍奇理论。证明依赖于模曲线上Hecke对应的动力学性质。
2014-11-11 math.AG math.NT
Ordinary elliptic curves of high rank over $\bar F_p(x)$ with constant j-invariant II
证明了对所有奇素数$p$，存在$\bar{\mathbb{F}}_p(x)$上的正常椭圆曲线，它具有任意高的秩和常数$j$ -不变量.这表明，特别是有椭圆曲线与任意高的秩在这些领域，相应的椭圆表面是不是超奇异的。这个结果是由一个定理得出的，该定理指出，对于所有奇素数$p$和$\ell$，在亏格为$(\ell-1)/2$的$\bar{\mathbb{F}}_p$上存在一条超椭圆曲线，其雅可比矩阵与一条普通椭圆曲线的幂同构。
2006-07-18 math.AG math.NT
On Davenport-Stothers inequalities and elliptic surfaces in positive characteristic
证明了特征为0的Davenport-Stothers不等式在任何特征p>3时都不成立。证明使用椭圆曲面上的投影线和不可分的基地变化。然后，我们提出调整的不平等。这些结果来自Pesenti-Szpiro的结果。对于特征2和特征3，我们得到了关于射影直线上椭圆曲面的极大奇异纤维的类似结果。我们的想法也与超奇异表面（在Shioda的意义）。
2007-11-26 math.AG math.NT
On the de Rham and p-adic realizations of the Elliptic Polylogarithm for CM elliptic curves
本文利用Kronecker θ函数给出了椭圆曲线的de Rham多项式和p-adic多项式的显式描述。特别证明了当椭圆曲线在p点有复乘和好约化时，p-adic椭圆多对数的扭点的特化与p-adic Eisenstein-Kronecker数有关，证明了Beilinson和Levin用Eisenstein-Kronecker-Lerch级数表示复椭圆多对数的结果的p-adic类似.即使椭圆曲线在p点有超奇约化，我们的结果也是有效的。
2008-10-13 math.AG math.NT
Algebraic theta functions and p-adic interpolation of Eisenstein-Kronecker numbers
研究了与虚二次域的Hecke $L$ -函数的特殊值有关的Eisenstein-Kronecker数的性质.我们证明了这些数的生成函数是一个约化的（在某些文献中是规范的或正则的）θ函数，它与椭圆曲线的Poincare丛有关。介绍了CM阿贝尔簇约化θ函数的代数性质和$p$ -adic性质的一般研究方法.作为推论，当素数$p$是普通的时，我们给出了二元$p$ -adic测度的一个新的构造，该测度插值于由Manin-Vishik和Katz构造的虚二次域的Hecke $L$ -函数的特殊值.我们的方法通过θ函数也给洞察的情况下，当$p$是超奇异的。本文的方法将在以后的论文中被用来研究超奇异$p$的二次虚域的Hecke特征相关的Hecke $L$ -函数的临界值的精确$p$整除性，以及CM椭圆曲线的$p$ -adic椭圆多对数的二元显式计算。
2007-12-11 math.AG math.NT
The p-torsion subgroup scheme of an elliptic curve
设$k$是具有正特征$p$的域。问题：$μ_p$在$k$上的每一个扭曲形式都作为$k$上的椭圆曲线的子群概型出现吗？我们表明，这是真实的大多数有限域，局部领域和领域的特点$p\leq11$。然而，对于特征为$p\geq13$的域，它通常是错误的，这意味着在这些域上也存在高度为1的$p$ -可整除的形式群，它们不是由椭圆曲线产生的。这也意味着Hasse不变量不遵守Hasse原则。此外，我们还分析了正常椭圆曲线的$p$ -扭子群格式的扭形式以及超奇异曲线的类似问题。
2011-07-12 math.AG math.NT
On the Ramanujan Vector Field modulo $p$
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯数学与应用数学研究所）
本文研究了模p下拉马努金向量场的p次幂，并验证了一个关于该向量场的猜想，同时描述了奇数椭圆曲线的位移并证明了向量场的相切性。
2026-02-23 math.AG math.NT
Tate-Shafarevich results for quartic twists in characteristic $2$
本文研究偶特征函数域上的椭圆曲线，通过具4阶自同构的极大曲线的函数域构造$\u211d_2$上超奇异椭圆曲线的四次扭转，给出由相关曲线亏格表示的Mordell-Weil秩公式，以得到任意大秩的椭圆曲线。
2024-05-22 math.AG math.NT
Abelian Varieties with $p$-rank Zero
有一个著名的定理，由杜林，它给出了一个标准时，减少椭圆曲线与复乘（CM）的整数环的虚二次域有普通或超奇约化。我们推广了这一定理和Goren在2维空间中的一个类似定理，并通过循环六次CM域的整数环对CM约化3维阿贝尔簇的$p$ -扭群方案进行了分类.我们还证明了一个定理，在任意维$g$区分普通和超特殊约化的交换品种CM度$2g$循环CM领域。作为应用，我们给出了构造2维（曲面）和3维超奇异非超特殊和超特殊阿贝尔簇的算法，并证明了所有这类簇都有小度的非整数自同态.
2022-03-16 math.AG math.NT
