Finite Interpretation of the Hyper-Catalan Series Zero and its Powers
本文将单变量几何多项式形式级数零的超卡塔兰数生成级数解释为各层级上的有限恒等式，并探讨了其幂$\mathbf{S}^r$系数的组合推导。
2025-08-08 math.CO
A new interpretation of Catalan numbers
为了研究柏原B（无穷）晶体，引入了满足一定边界条件的无序分拆的等价类所给出的函数集H^t.这里证明了H^t是一个t阶Catalan集，也就是说H^t的基数是第t个Catalan数C（t）。这是一个新的描述加泰罗尼亚集，而且承认一些显着的特点。因此，对于H^t，存在一个相关联的标号图G_t，它被证明具有到（t-1）的标准分解！每个子图有2^{t-1}个顶点。这些子图被称为S-图，具有研究B（无穷大）所需的一些紧性质。它们被描述为标记的超立方体，其连接具有相等标签的顶点的边缺失。证明了这样得到的不同超立方体的个数又是一个Catalan数，即C（t-1）。它们定义依赖于非负整数的系数集的函数。当后者是非零的和两两不同的，S-图的顶点描述不同的功能。此外，如果删除某些边并识别某些顶点，则保留此属性。特别是当这些系数都是相等的和非零的，它表明，每个超立方体退化到一个单纯形，导致确切的t个不同的功能，例如，正是那些需要在B（无穷大）的描述类型A。
2015-12-01 math.CO math.RT
Proof of Sun's supercongruence involving Catalan numbers
我们确认了一个包含Catalan数的代数超同余，它是Sun的100个同余公开证明之一。利用超几何级数恒等式和符号求和方法证明了该定理。
2020-01-12 math.CO math.NT
The freeness of Shi-Catalan arrangements
设$W$为有限外尔群，$\A$为相应的Weyl排列. $\A$的变形是通过将$H$的几个平行移动通过垂直于$H$的正根（及其整数倍）添加到每个超平面$H\in\A$而获得的仿射布置。如果每个超平面$H\in \A$的平行超平面的数目仅取决于$H$的$W$ -轨道，则我们说变形是$W$ -等变的.证明了$W$ -等变变形的锥环在Shi-Catalan条件下是自由排列的，并给出了腔室个数的计算公式.这推广了Edelman-Reiner的Yoshinaga定理。
2010-12-29 math.CO
The Catalan-Qi number of the second kind and a related integral
Li等人给出了第二类Catalan-Qi数的一个积分公式。他们表明，这个积分可以写为一个与双因子的总和。本文将积分化为Catalan数与一个超几何函数的乘积。这个超几何函数可以写为第一类相关的勒让德多项式。也有联系的不完全β函数和盖根鲍尔多项式。在最后一节中，计算了相关的积分。
2022-10-25 math.CA math.CO
Enumeration of Flats of the Extended Catalan and Shi Arrangements with Species
超平面排列的平面数是Bell数和第二类Stirling数的推广。罗伯特吉尔给了指数母函数的单位数的扩展加泰罗尼亚安排，使用物种。本文引入了推广的Catalan和Shi排列的平坦类，它们是通过集合和列表的迭代替换而给出的。此外，我们列举了单位的这些安排的无限矩阵。
2021-09-29 math.CO
A q-analogue of Catalan Hankel determinants
在本文中，我们将调查的各种方法，评估汉克尔行列式，并作为一个例子，我们评估一些汉克尔行列式的q-类似的Catalan数。这里我们考虑$\frac{(aq;q)_{n}}{(abq^{2};q)_{n}}$作为加泰罗尼亚数$C_{n}=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}$的q-模拟，它被称为小q-雅可比多项式的矩。我们也给出了这个q-模拟的几个证明，其中我们使用格路径，正交多项式，或基本的超几何级数。我们还考虑了Schröder Hankel行列式的一个q-模拟，并利用${}_2F_{1}$的加法公式给出了Moztkin Hankel行列式的一个新证明.
2010-10-13 math.CO
Refinements of the braid arrangement and two parameter Fuss-Catalan numbers
本文研究了 $\mathbb{R}^n$ 中辫排列的细化排列 $\mathcal{A}_n^{(m)}$，证明其区域数为双参数 Fuss-Catalan 数，并建立了区域与 decorated Dyck paths 的双射，同时计算了特征多项式。
2022-02-24 math.CO
A self-dual poset on objects counted by the Catalan numbers and a type-B analogue
我们引入了两个偏序集，$P^A_n$和$P^B_n$，与类型A和类型B的非交叉分划格具有相同的基数。$P^A_n$和$P^B_n$的基集是对称和超八面体群的子集，由避免某些模式的排列组成。顺序关系由下降集的（严格）包含给出。在每种情况下，通过一个显式的保序双射，我们证明了限制置换的偏序集是非交叉划分上加细序的扩展。这些置换偏序集的几个结构性质如下，包括自对偶和强Sperner性质。我们还讨论了偏序集$Q^A_n$和$Q^B_n$同样与非交叉分区，定义的对称和超八面体群的适当的模式避免子集的过剩集。
1999-04-21 math.CO
On the enumeration of positive cells in generalized cluster complexes and Catalan hyperplane arrangements
设$Φ$是一个由Weyl群$W$和coroot格$\check{Q}$构成的不可约晶体学根系，它的根是一个欧氏空间$V$ .令$m$是正整数，$\aA^m_Φ$是$V$中的超平面的排列，其形式为$α\in Φ$和$k = 0, 1,...,m$的$(α, x) = k$。已知$\aA^m_Φ$的有界优势区的数目$N^+ (Φ, m)$等于通过S与对$(Φ, m)$缔合的广义簇复合物的正部分$Δ^m_+ (Φ)$的刻面数目。Fomin和N.阅读我们定义了一个统计上的一组有界的优势区域的$\aA^m_Φ$和猜想，相应的细化$N^+ (Φ, m)$符合的$h$ -矢量的$Δ^m_+ (Φ)$。我们计算这些细化的数字为经典的根系，以及为所有的根系时$m=1$和验证的猜想时，$Φ$有类型$A$，$B$或$C$和$m=1$。我们给出了几个组合的解释，这些数字在链的顺序理想的根偏序集的$Φ$，轨道的行动$W$上的商$\check{Q} / (mh-1) \check{Q}$和coroot格点内一定的单纯形，类似于第一作者的情况下，所有的优势区域的集合的$\aA^m_Φ$。我们还提供了一个双重的解释，在$Φ$的根偏序集中的顺序过滤器在特殊情况下$m=1$。
2006-05-26 math.CO
Multidimensional Catalan and related numbers as Hausdorff moments
研究了由$[\prod_{p=0}^{d-1} \frac{p!}{(n+p)!}] (d n)!$，$d = 2, 3, ...$，$n=0, 1, ...$定义的所谓$d$维Catalan数$C_{d}(n)$的积分表示.证明了$C_{d}(n)$是定义在$x\in[0, d^d]$上的正函数$W_{d}(x)$的$n$次Hausdorff幂矩.我们构造了$W_{d}(x)$的精确和明确的形式，并证明了它们可以表示为参数$x/d^d$的$_{d-1}F_{d-2}$型$d-1$超几何函数的组合。这些解决方案是独一无二的。我们用分析和图解的方法来分析它们。沿着相同的路线分析了$C_{d}(n)$的组合相关的、针对$d$的特定扩展，即使是以$D_{d}(n)=[\prod_{p = 0}^{d-1} \frac{p!}{(n+p)!}] [\prod_{q = 0}^{d/2 - 1} \frac{(2 n + 2 q)!}{(2 q)!}]$的形式。
2013-06-17 math.CO
Bijections for faces of the Shi and Catalan arrangements
在1986年，施导得了著名的公式$(n+1)^{n-1}$的区域数的施安排，超平面安排在$\mathbb{R}^n$。这个公式至少有两种不同的双射解释，一种是Pak和Stanley，另一种是Athanasiadis和Linusson。在1996年，Athanasiadis使用有限域方法推导出了一个公式的数量$k$维面的施安排，任何$k$。直到现在，Athanasiadis的公式还没有一个双射解释。在本文中，我们扩展了由Bernardi定义的区域的双射，以获得一个双射之间的$k$维面的施安排的任何$k$和一组装饰二叉树。此外，我们将展示如何将这些树可以转换为一个简单的一组功能的形式$f: [n-1] \to [n+1]$连同一个标记的子集$\text{Im}(f)$。这一对应给出了第一双射证明公式的Athanasiadis。在这个过程中，我们还得到了一个双射和计数公式的面的加泰罗尼亚安排。我们所有的结果推广到这两个扩展安排。
2020-08-05 math.CO
Bogoyavlensky lattices and generalized Catalan numbers
本文研究 Bogoyavlensky 格单位阶跃初始数据衰减问题，利用半直线终止的可线性化性质、广义 Catalan 数及其 Hankel 行列式，以及非自治对称性约化，给出精确解并推广到有限参数初值族。
2022-02-05 math.CO nlin.SI
Enumeration and Asymptotic Formulas for Rectangular Partitions of the Hypercube
本文研究了超立方体划分的枚举问题，通过正交划分和满$p$-ary树的双射，推导了卡特兰数的广义渐进行为公式。
2025-12-02 math.CO math.KT math.RA
Analytic and combinatorial approaches to a weighted Catalan sum
CEA（法国原子能和替代能源委员会）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）
本文研究加权Catalan数的卷积，通过解析、组合和概率方法推导出闭式表达式，并探讨其与随机游走返回概率的关系。
2026-04-07 math.CO
Mixed volumes of hypersimplices
本文考虑超单形组合的混合体积。这些数被称为“混合欧拉数”，是由A. Postnikov和证明了它们满足与欧拉数、Catalan数、二项式系数等有关的许多性质.我们给出了混合欧拉数的一般组合解释，并组合地证明了上述性质.特别是，我们表明，每个混合欧拉数列举了一组特定的排列在$S_n$。我们还证明了几个新的性质的混合欧拉数使用我们的方法。最后，我们考虑混合欧拉数的$B$型模拟，并给出了这些数的类似组合解释。
2015-10-18 math.CO
Signed Generalized Stirling Polynomials, Nested Sums, and Hyperbolic Secant Integral Identities
University of Vienna（维也纳大学）
本文通过有符号广义斯特林多项式研究嵌套和与双曲正割积分序列，得到递推关系、反射公式和显式恒等式，并给出Catalan常数、zeta值和多伽玛值的显式求值。
2026-10-06 math.CO
Dirichlet series and series with Stirling numbers
给出了狄利克雷级数与第一类Stirling数级数的若干恒等式。作为系数的狄利克雷级数，我们使用柯西数的第一和第二类，超调和数，错位数，二项式系数，中心二项式系数，和卡塔兰数。
2023-01-18 math.CO math.NT
Invariants of polynomials mod Frobenius powers
Lewis，Reiner和Stanton利用$(q,t)$ -二项式系数证明了有限一般线性群作用下的不变量空间的Hilbert级数。本文给出了将各种Catalan数与有理Cherednik代数的表示论联系起来的定理的正特性的类比。他们把有限一般线性群看作是一个反射群，它作用在Frobenius映射下的多项式环上的无关理想的迭代幂的商上。我们证明了他们的猜想在当地的情况下，当组代理固定的反射超平面的一个变种。
2020-04-18 math.AC math.CO math.RT
Characteristic drops for high-order vanishing on the hypercube
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文确定了布尔立方体上满足高阶消失条件（非零顶点至少k阶、原点恰好l阶）的多项式最小次数，给出了显式基并精确刻画了各特征下的特征下降。
2026-09-17 math.CO
Generalized threshold arrangements
超平面的排列是实欧几里得空间中超平面的有限集合。对于这样的集合，人们将编码超平面的交叉的组合学的特征多项式关联起来。在Stanley的问题列表[1]中，寻找Shi阈值和Catalan阈值安排的特征多项式是一个公开问题。Seunhyun Seo在[3，4]中使用有限域方法通过巧妙的论证解决了这两个问题。然而，在他的论文中，他留下了开放的问题，计算的特征多项式更广泛的一类阈值安排，所谓的“广义阈值”安排的定义集的超平面是由$x_i + x_j = -l,-l+1,...,m-1,m$的$1 \le i < j \le n$其中$l,m \in \mathbb{N}$。在本文中，我们提出了一种方法来计算这个家庭的安排的特征多项式。
2019-04-18 cs.DM math.CO
Double sums associated with binomial transforms
本文针对内层为不完整二项式和的二重和展开研究，证明其与二项式变换对相关的新结果，推导了多类特殊数、多项式族相关的二重和恒等式及含双曲函数的新二重和。
2025-11-17 math.CO
