Elliptic curves of large rank and small conductor
对于r= 6，7，.，[11]我们发现一条椭圆曲线E/Q的秩至少为r，是已知的最小导体，比以前的记录提高了1.0136（r=6）到100以上（r=10和r=11）。我们描述了我们的搜索法，并列表，对于每个r= 5，6，.，11，最低导体的五条曲线，以及（除了r=11）我们发现的最低绝对判别式的五条曲线。
2004-05-11 math.NT
Explicit lower bounds on the conductors of elliptic curves and abelian varieties over number fields
本文通过Weil公式，研究了数域上椭圆曲线和阿贝尔簇导数的显式下界，并证明了特定数域中不存在处处良好约减的阿贝尔簇。
2026-01-13 math.NT
Elliptic curves with a rational 2-torsion point ordered by conductor and the boundedness of average rank
本文改进了按导子计数椭圆曲线的方法，将其应用于具有有理2-挠点的小族椭圆曲线，为无平方因子指标和有界Szpiro比率的曲线证明了计数定理，且假设条件比朴素推广更宽松。
2024-04-25 math.NT
Resultant and conductor of geometrically semi-stable self maps of the projective line over a number field or function field
研究数域或函数域上射影线的自映射的最小结式因子及其与导体的关系。指导的重点是探索的动力学模拟定理1.1，它的范围内的最小判别式的椭圆曲面的导体的程度。我们研究极小性和半稳定性，考虑什么条件意味着极小性（定理4.4）和半稳定模型和表示是否是极小的，证明结果的程度2的情况下（定理4.6，4.7）。我们证明了半稳定表示的奇异约化与坏约化是一致的（定理3.1）。给定函数域上的椭圆曲线具有半稳定的坏约化，我们证明了相应的Lattes映射具有不稳定的坏约化（定理3.6）.利用具有半稳定坏约化的规范型的2次映射构造定理1.1的自然动力学模拟的反例（定理2.1）。最后，我们考虑了“临界坏约化”的概念，并证明了利用临界坏约化的轨迹来定义导体（定理4.10，定理4.13），与定理1.1的动力学模拟仍然是可能的。
2012-04-18 math.AG math.DS math.NT
On Elliptic Curves of prime power conductor over imaginary quadratic fields with class number one
本文的主要结果是将Serre（1987）和Mestre-Oesterlé（1989）的一个结果，即如果$E$是素导体的椭圆曲线，则$E$或$2$ -，$3$ -或$5$ -等生曲线有素判别式，从$\Q$推广到九个第一类虚二次域中的每一个.对于九个域中的四个域，定理保持不变，而对于其余五个域，具有素导体的曲线的判别式是素数或素数的平方。证明是有条件的两种方式：第一，曲线是模块化的，所以与合适的比安奇新形式;第二，一定的水平降低猜想比安奇新形式成立。我们还分类所有椭圆曲线的总理电力导体和非平凡扭转的九个领域：在$2$ -扭转的情况下，我们发现，这样的曲线要么有CM或与一个小的有限数量的例外出现从一个家庭类似的Setzer-Neumann家庭在$\Q$。
2018-11-02 math.NT
On Heegner points of large conductors
给定Q上椭圆曲线的参数化为Shimura曲线，我们证明了几乎所有Heegner点的象都是无限级的.对于参数化的椭圆曲线的模曲线这是证明较早的Nekovar和Schappacher通过不同的方法。
2000-12-11 math.NT
On Bhargava's heuristics for $\mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_p)$-number fields and the number of elliptic curves of bounded conductor
我们提出了一个新的模型，用于计数$\mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_p)$-数域具有相同的本地属性的模$p$-伽罗瓦表示的分裂字段与椭圆曲线上的有理数。我们解释了这个新的模型和Bhargava的局部到全局算法如何计算$\mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_p)$-数域都揭示了估计平方自由导体$N < X.$的有理数上的椭圆曲线的数目的问题。新的模型预测了比局部到全局算法明显更多的具有所需局部性质的$\mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_p)$-数域的存在。当$N$具有大量不同的素因子时，由于Atkin-Lehner对合引起的退化，全局模型。我们描述了支持新模型的计算证据。
2016-10-29 math.NT
Supersingular zeros of divisor polynomials of elliptic curves of prime conductor
对于素数$p$，研究了导体$p$的有理椭圆曲线$E$的因子多项式模$p$的零点.小野观察到，这些零点往往是超奇异椭圆曲线在$\overline{\mathbb{F}_p}$的$j$ -不变量。我们证明了这些超奇异零点是双射的零模$p$的相关四元数模形式$v_E$。这使我们能够证明，如果根数的$E$是$-1$然后所有超奇异的$j$ -不变量的椭圆曲线定义在$\mathbb{F}_{p}$是零的相应的除数多项式。如果根数是$1$，我们研究秩$0$和更高秩的椭圆曲线之间的差异，因为在后一种情况下，$\mathbb{F}_p$中的超奇异零的数量似乎更大。为了部分地解释这一现象，我们猜想当$E$具有正秩时，定义在$\mathbb{F}_p$上的超奇异椭圆曲线所对应的$v_E$的系数值是偶数.我们证明了这个猜想的情况下，判别式的$E$是积极的，并获得了其他几个结果是独立的利益。
2016-11-17 math.NT
A bound for the conductor of an open subgroup of GL2 associated to an elliptic curve
给定一条定义在数域$K$上的没有复乘的椭圆曲线$E$，考虑通过让伽罗瓦作用于$E$的挠率而定义的伽罗瓦表示的图像。塞尔的开像定理意味着存在一个正整数$m$，它的伽罗瓦像完全由它的约简模$m$决定。在本文中，我们证明了一个最小的$m$的标准不变量与$E$。边界是尖锐的，并改进了以前的结果。
2020-05-03 math.NT
$L$-values for conductor $32$
近年来，Rogers和Zudilin开发了一种方法，将附加在椭圆曲线上的$L$值写成周期。为了将这种方法应用于更广泛的$L$ -值集合，我们研究了Eisenstein级数，并确定了它们在尖点处的傅里叶级数。随后，我们将导体32的椭圆曲线的$L$ -值写为爱森斯坦级数的积分，并将$k>1$处的值明确地评估为周期。作为一个副结果，我们给出了当偶（或奇）$k$遍历正整数时$L(E,k)$的生成函数的简单整式。
2021-10-29 math.NT
Broken bracelets, Molien series, paraffin wax and an elliptic curve of conductor 48
本文引入了项链二项式系数的概念，它是由一类特殊序列的计数所引起的。这些系数的几个属性进行了描述，包括它们的根和椭圆曲线之间的连接。进一步的链接是从量子力学超对称性的物理模型以及化学中烷烃分子的性质。
2011-06-23 math.CO math.NT
Mod p representations on elliptic curves
当p = 2，3，5时，由椭圆曲线得到GL_2（F_p）的分圆行列式模伽罗瓦表示.我们表明（通过构建明确的例子），这样的椭圆曲线不能选择有导体尽可能小，在所有素数以外的P。我们的证明涉及到找到所有椭圆曲线的导体85779，一个自定义的计算为我们进行克雷莫纳。这导致一个反例的猜想拉里奥和里约。当p > 5时，我们构造了不产生于Q上任何椭圆曲线的分圆行列式的不可约表示.
2004-06-11 math.NT
Lower Order Terms for the One-Level Density of Elliptic Curve L-Functions
我们认为，在导体趋于无穷大的极限下，族内平均的椭圆曲线$L$ -函数的零点之间的相关性遵循从正交群中抽取的随机矩阵的特征值的分布规律。对于检验函数与限制支持，这是已知的是真正的一级和二级密度的零内的家庭研究的日期。然而，对于有限导体，米勒的实验数据揭示了与这些限制结果的有趣差异。本文利用L函数的比值图计算了有限大导体中椭圆曲线L函数偶二次扭转族的一能级密度。这给出了一个公式的领导和较低的订单项，直到一个错误的条款，这是被证明是显着较小。低阶项解释了相对较小导体的零统计的许多特征，并模拟了向无限导体极限的非常缓慢的收敛。然而，我们的主要观察是，他们不捕捉的行为非常接近临界点的重要区域的零，所以不解释米勒的差异。因此，这意味着需要为接近这一点的统计数据开发一个更准确的模型。
2008-11-14 math.NT
Moments of Dirichlet $L$-functions with prime conductors over function fields
我们计算了$\mathbb{F}_q[x]$上具有素导体的二次Dirichlet $L$ -函数族的二阶矩，当判别式的阶数趋于无穷大时，得到其中一个低阶项.我们还得到了一个渐近公式与首阶项的$L$ -函数的导数的平均值相关联的二次扭曲的固定椭圆曲线在$\mathbb{F}_q(t)$由一元不可约多项式，这使我们能够证明，存在一元不可约多项式，使相应的扭曲椭圆曲线的解析秩等于$1$。
2019-09-02 math.NT
Elliptic curves of conductor $2^m p$, quadratic twists, and Watkins' conjecture
本文针对在2处加性约化、至多两个奇素数外良好约化且含二阶有理点的椭圆曲线，证明了 Watkins 猜想的新情形，揭示模次数与 Mordell--Weil 秩之间的整除关系。
2025-07-17 math.NT
Elliptic dilogarithms and parallel lines
本文证明了当椭圆曲线的导体为14时，关于椭圆曲线的L-函数的Mahler测度和值的Boyd定理。
2012-07-19 math.NT
Modular Parametrizations of Neumann-Setzer Elliptic Curves
假设$p$是一个素数，其形式为$u^2+64$，对于某个整数$u$，我们取其为3 mod 4。然后，给出了素导体$p$的两条Neumann-Setzer椭圆曲线$E_0$和$E_1$，它们都具有Mordell-Weil群$\Z/2\Z$ .存在不通过任何其他椭圆曲线（即，$π$是最优的），其中$X_0(p)$是水平$p$的模数曲线。我们的主要结果是：$π$的次数是奇的当且仅当$u \con 3\pmod{8}$ .我们还证明了Glenn Stevens的一个猜想的素导体情形，即如果$E$是素导体$p$的椭圆曲线，则$X_1(p)$在$E$的等距类中的最优商是具有最小Faltings高度的曲线.最后讨论了Neumann-Setzer曲线的Shafarevich-Tate群的模次数和模阶的一些结构和数据。
2004-04-19 math.NT
Computing $L$-functions with large conductor
给出了在临界带的有限范围内有效计算大导体的$L$ -函数的算法。例子包括约21000二面角伽罗瓦表示导体附近$10^7$。数据显示出良好的协议与辛随机矩阵模型。还包括一个椭圆曲线$L$ -函数和一个二次狄利克雷字符。
2006-05-05 math.NT
Gross vectors modulo 2 and elliptic curves of prime conductor
University of Zagreb（萨格勒布大学）
该研究证明了模2的格罗斯向量张成F_2^{S_p}，由此证明Kazalicki与Kohen的猜想，还得出素导体、根数为+1的正秩椭圆曲线的模次数被4整除、Watkins猜想对秩2此类曲线成立的结论。
2026-08-14 math.NT
Elliptic mod \ell Galois representations which are not minimally elliptic
在最近的预印本中，F。Calegari已经表明，对于$\ell = 2, 3, 5$和7，存在$\Gal(\bar{\Q}/\Q)$的二维满射表示$ρ$，其中$\F_\ell$中的值来自在$\Q$上定义的椭圆曲线的$\ell$ -扭点，但不是最小的，即，使得产生$ρ$的任何椭圆曲线具有比$ρ$的（素数到$\ell$）导体大的素数到$\ell$导体。在这篇简短的笔记中，我们将证明对于任何素数$\ell >7$也是如此，具体地说，我们将证明对于任何这样的$\ell$，椭圆曲线$$E^\ell: \qquad Y^2 = X (X- 3^\ell ) (X - 3^\ell - 1) $$是半稳定的，在3处有坏的约化，相关的$\mod \ell$伽罗瓦表示$ρ$是满射的，在3处未分歧，并且没有相关的$\mod \ell$表示与$ρ$同构的在3处有好约化的椭圆曲线。
2005-02-01 math.NT
Numerical modular symbols for elliptic curves
我们提出了一个详细的分析，如何实现计算的模符号为一个给定的椭圆曲线，通过使用数值逼近。随着曲线导体的增加，这种方法比当前的实施方式更有效。
2017-03-23 math.NT
Elementary Matrix Decomposition and The Computation of Darmon Points with Higher Conductor
本文将计算椭圆曲线上p-adic Darmon点的Darmon-Green和Darmon-Pollack算法推广到复合导体的情形。我们还将计算ATR Darmon点的Darmon-Logan算法推广到处理非平凡导体的曲线。这两种情况都涉及到对某些S-整数环中的理想N，在同余子群Γ（N）中的初等矩阵的算法分解。我们使用这些扩展来提供额外的证据来支持关于达蒙点合理性的猜想。
2012-09-20 math.NT
Anticyclotomic $p$-adic $L$-functions for elliptic curves at some additive reduction primes
设$E$是有理椭圆曲线，$p$是加性约化的奇素数.设$K$是虚二次域，并固定一个正整数$c$与$E$的导体互素。本文的主要目的是定义一个反割圆的$p$-adic $L$-函数$Ł$，当$E/\QQ_p$在阿贝尔扩张上达到半稳定约化时，该函数附在$E/K$上.我们证明，$Ł$满足预期的插值性质，即，我们表明，如果$χ$是一个anticyclotomic字符的导体$cp^n$然后$χ(Ł)$等于（明确常数）$L(E,χ,1)$或$L'(E,χ,1)$。
2018-09-24 math.NT
Further explorations of Boyd's conjectures and a conductor 21 elliptic curve
我们证明了$P(x,y)=x+1/x+y+1/y+3$的（对数）马勒测度$m(P)$等于附着在导体21的椭圆曲线$E:P(x,y)=0$上的$L$值$2L'(E,0)$。为了做到这一点，我们调查的措施，一个更一般的洛朗多项式$P_{a,b,c}(x,y)=a(x+1/x)+b(y+1/y)+c$和显示，想要的数量$m(P)$有关的“半马勒”措施的$\tilde P(x,y)=P_{\sqrt{7},1,3}(x,y)$。在最后，我们使用的模块参数化的椭圆曲线$\tilde P(x,y)=0$，再次导体21，由于Ramanujan和Mellit-Brunault公式的调节器的模块化单位。
2015-12-16 math.AG math.CA math.KT
On the torsion growth in quadratic number fields for elliptic curves defined over the rationals
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
本文研究了在二次数域中椭圆曲线 torsion 子群的增长问题，通过分析导数与素数之间的关系，揭示了有理数域上椭圆曲线的 torsion 增长特性。
2026-03-09 math.NT
Computing the Mazur and Swinnerton-Dyer critical subgroup of elliptic curves
设$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的最优椭圆曲线。$E$的临界子群是由Mazur和Swinnerton-Dyer定义的，它是$E(\mathbb{Q})$在$E$的模参数化下由分支点迹生成的子群.我们证明了对于所有导体数小于1000的秩为二的椭圆曲线，临界子群是挠的。首先，我们定义了一个家庭的关键多项式附加到$E$和描述两个算法来计算这样的多项式。然后利用临界多项式的因式分解给出了临界子群是挠子群的一个充分条件。最后，对导体小于1000的所有二阶椭圆曲线，给出了临界多项式表，并由此导出了我们的结果.
2015-01-16 math.NT
From $L$-series of elliptic curves to Mahler measures
本文证明了导体20和24的椭圆曲线的Mahler测度与$L$值之间的关系。我们还提出了新的超几何表达式的$L$值的CM椭圆曲线的导体27和36。进一步证明了多项式族$(1+X)(1+Y)(X+Y)-αXY$，$α\in\mathbb R$的Mahler测度的一个新的函数方程.
2011-09-30 math.CA math.NT
On the 2-divisibility of certain Heenger points
设E是定义在有理数上的椭圆曲线，N是它的导体。假设N是质数。本文给出了数值证据，提出了关于判别式D除4 N的E上的某些Heenger点之和的2-可除性的一些猜想。其中一个证明指出了本征值a_A（2）的奇偶性与某些方形导体的椭圆曲线A的Shafarevich-Tate群的奇偶性之间的可能联系。
2005-12-28 math.NT
On periods of Elliptic curves
Universidad de Santiago de Chile（智利圣地亚哥大学）；University of Ottawa（渥太华大学）
研究在素数p处具有分裂乘性约化的椭圆曲线E的L-不变量，通过Darmon引入的自守p-adic周期描述其驯顺部分，并利用改进的例外零点猜想的扭曲版本证明改进L-不变量的等式，在导子恰好为p且自守周期与导子1的最优嵌入相关时，借助de-Shalit的工作无条件证明该等式。
2026-06-04 math.NT
On The $j$-Invariants of CM-Elliptic Curves Defined Over $\mathbb{Z}_p$
我们的特点可能减少的$j$ -椭圆曲线的不变量，承认复乘由一个顺序$\mathcal{O}$曲线本身定义在$\mathbb{Z}_p$。特别是，我们表明，这些$j$ -不变量的分布取决于哪些素数划分的判别式和导体的顺序。
2016-07-11 math.NT
Finding rational points on elliptic curves using 6-descent and 12-descent
我们解释了如何最近的工作3-下降和4-下降的椭圆曲线在Q可以结合起来寻找发电机的Mordell-Weil组的大高度。作为应用，我们证明了Stein-Watkins数据库中每一条素导体的椭圆曲线的秩至少与Birch和Swinnerton-Dyer猜想的秩一样大.
2007-11-23 math.NT
L-functions for GSp(4)xGL(2)in the case of high GL(2) conductor
Furusawa给出了GSp（4）× GL（2）的8次L-函数的一个整表示，并进行了非分歧计算.在我们以前的工作中，局部p-adic zeta积分是在假设GSp（4）表示π是非分歧的，GL（2）表示τ有导体p的情况下计算的。在本工作中，我们推广到GL（2）表示有任意高导体的情况。结果是zeta积分表示所有情况下的局部欧拉因子L（s，π \times τ）。作为整体应用，我们得到了一个GSp（4）× GL（2）整体L-函数的特殊值结果，该函数来自于椭圆模形式的具有任意高水平的经典全纯尖点形式.
2008-08-11 math.NT
Strong Weil curves over F_q(T) with small conductor
我们继续工作的Gekeler和其他椭圆曲线上的${\mathbb F}_q(T)$与导体$\infty\cdot{\mathfrak n}$其中${\mathfrak n}\in{\mathbb F}_q[T]$的程度3。由于Frobenius issues有无限多的曲线在每个issues类，我们讨论特别是这些曲线是强Weil曲线相对于均匀化的Drinfeld模曲线$X_0({\mathfrak n})$。作为推论，我们得到强Weil曲线$E/{\mathbb F}_q(T)$总是给出$\bar{{\mathbb F}_q}$上的有理椭圆曲面.
2010-10-22 math.AG math.NT
Proving the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for specific elliptic curves of analytic rank zero and one
我们描述了一个算法来证明Birch和Swinnerton-Dyer代数公式的任何给定的椭圆曲线定义在有理数的解析秩为零或一。在16725条小于小于5000度的导线曲线中，我们用计算机辅助证明了16714条的公式。
2011-12-21 math.NT
Elliptic Curves of Odd Modular Degree
椭圆曲线E/Q的模次数m_E是任意满射射X_0（N）-> E的最小次数，其中N是E的导子。给出了m_E为奇的一组必要判据.专门为N素数，我们的结果意味着马克沃特金斯的猜想。作为一个技术工具，我们还证明了一定的多重性，一个结果，p=2，可能是独立的利益。
2005-03-17 math.NT
A bound for the image conductor of a principally polarized abelian variety with open Galois image
设$A$是数域$K$上维数$g$的主极化阿贝尔簇.假设$A$的阿德拉伽罗瓦表示的象是$\operatorname{GSp}_{2g}(\hat{\mathbb{Z}})$的开子群。则存在正整数$m$，使得$A$的伽罗瓦像是其约简模$m$的全原像.具有此性质的最小$m$，记为$m_A$，称为$A$的镜像导体（也称为能级）。Jones最近在$A$是没有复乘的椭圆曲线的情况下，根据$A$的标准不变量建立了$m_A$的上限。在本文中，我们推广了上述结果，以提供一个类似的限制在任意维。
2023-01-10 math.NT
Strong minimality and the j-function
我们证明了解析$j$ -函数所满足的${\mathbb Q}$上的三阶代数微分方程定义了一个非$\aleph_0$ -范畴的强极小集，它具有相对于特征零的微分闭域理论的平凡分叉几何，回答了一个关于这类集的存在性的长期悬而未决的问题.该定理是从皮拉的模Ax-Lindemann-Weierstrass与导数定理使用Seidenberg的嵌入定理和定理西冈的自守函数满足的微分方程。作为一个产品的这种分析，我们得到一个更一般的版本的模块化的Ax-Lindemann-Weierstrass定理，其中，特别是适用于自守函数的任意算术子群的$SL_2 ({\mathbb Z})$。然后，我们将结果证明有效的有限性结果的交集的子品种的产品的模曲线与isbranch类。例如，我们证明了如果$ψ:{\mathbb P}^1 \to {\mathbb P}^1$是射影直线和$t \in {\mathbb A}^1({\mathbb C}) \smallsetminus {\mathbb A}^1({\mathbb Q}^\text{alg})$的任意非恒等自同构，然后集合的$s \in {\mathbb A}^1({\mathbb C})$，其中椭圆曲线与$j$不变的$s$是同构的椭圆曲线与$j$不变的$j$具有$j$不变$ψ(s)$的椭圆曲线与具有$j$不变$ψ(t)$的椭圆曲线是同构的MW具有至多$…
2014-09-29 math.AG math.LO math.NT
On the rank of quadratic twists of elliptic curvers over function fields
我们证明了一个给定的椭圆曲线$E/\Fp_q(C)$在一个函数域上的有限域，有秩$\geq 2$的二次扭曲的数量的定量上界，并为他们的平均秩。主要工具是结构和结果的卡茨和统一版本的Chebotarev密度定理品种在有限域。此外，我们有条件地推导出在某些情况下，导体的程度是无界的一个界。
2005-03-31 math.NT
Modular Abelian Varieties of Odd Modular Degree
本文通过考察$J_0(N)$的尖子群，研究了具有奇同余数的模阿贝尔簇。我们将表明，这种阿贝尔簇的导体必须是一个特殊的类型。例如，如果$N$是一个具有奇同余数的绝对单模阿贝尔簇的导子，则$N$最多有两个素因子，如果$N$是奇的，则对于某个素$p$和$q$，有$N=p^α$或$N=pq$。在本文的后半部分，我们将重点研究具有奇模度的模椭圆曲线。结合Agashe，Ribet和Stein的工作，我们得到了椭圆曲线具有奇模次数的必要条件.在这个过程中，我们证明了沃特金斯猜想的椭圆曲线与奇模次数和一个非平凡的有理扭点。
2009-10-03 math.NT
A Database of Elliptic Curves over Q(sqrt(5)) - First Report
我们描述了一个列表的（几何上）模块椭圆曲线在域Q（sqrt（5））的第一条曲线的秩2。使用Lassina Dembele的算法的有效实现，我们计算了Q（sqrt（5））上的权（2，2）的希尔伯特模形式的表，并通过各种方法构造了相应的椭圆曲线，包括（再次，从理论上）Q（sqrt（5））上的所有椭圆曲线，其导体的范数小于或等于1831。
2012-07-09 math.NT
On $2$-Selmer groups and quadratic twists of elliptic curves
设$K$是数域，$E/K$是没有$2$ -扭点的椭圆曲线.本文利用$K$的某个三次扩张与$E$相连的窄类群的$2$ -挠，给出了$E$的$2$ -Selmer秩的上下上界.作为应用，我们证明了（在温和的假设下），正比例的素导体二次扭转的$E$具有相同的$2$ -Selmer群。
2020-09-17 math.NT
Consequences of the functional equation of the $p$-adic $L$-function of an elliptic curve
证明了在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的$p$ -adic $L$ -函数的$s=1$附近的级数展开式中的前两个系数由包含曲线的导体的公式关联。这类似于Wuthrich最近对经典$L$函数的一个结果，它利用了函数方程。我们提出了其他一些后果的$p$ -进$L$ -功能和推广的基础变化的阿贝尔数域。
2016-11-09 math.NT
Explicit isogeny descent on elliptic curves
本文考虑Q上一对椭圆曲线的l-等距下降。我们假设l > 3是素数。主要结果是将相关的Selmer群表示为有限维F_l-向量空间之间简单显式映射的核，该空间是由两个同构的核的分裂域定义的。给出了小导体某些曲线的Birch和Swinnerton-Dyer拓扑公式的l部分的证明实例。
2011-12-21 math.NT
CM elliptic curves and vertically entangled 2-adic groups
考虑由Weierstrass方程$y^2 = x^3 - 11x - 14$给出的椭圆曲线$E$，其在$\mathbb{Z}[i]$内具有导体$2$阶的复乘。最近在Daniels和Lozano-Robledo的论文中观察到，对于每个$n \geq 2$，$\mathbb{Q}(μ_{2^{n+1}}) \subseteq \mathbb{Q}(E[2^n])$。在这篇文章中，我们证明了这个（先验的令人惊讶的）"垂直纠缠之塔“实际上更多的是一个功能而不是一个错误：它适用于任何椭圆曲线$E$在$\mathbb{Q}$与复乘的任何顺序，甚至判别。
2023-01-03 math.NT
Heegner points and Mordell-Weil groups of elliptic curves over large fields
设$E/\bbq$是定义在$\bbq$上的椭圆曲线，导体为$N$，$\gq$是$\bbq$的代数闭包$\bar{\bbq}$的绝对伽罗瓦群。证明了对任意的$σ\in \gq$，在$σ$下，在$\bar{\bbq}$的固定子域上的$E$的Mordell-Weil群$E(\oqs)$具有无穷秩.我们的方法使用$E/\bbq$的模块性和$E$上的代数点的集合-所谓的{ \em Heegner点} -从复数乘法理论中产生。
2004-11-25 math.NT
Equivariant Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for the base change of elliptic curves: An example
设E是定义在$\Q$上的椭圆曲线，$K/\Q$是具有伽罗瓦群G的有限伽罗瓦扩张.对于系数在$\Q[G]$中的$h^1(E\times_{\Q} K)(1)$的等变Birch-Swinnerton-Dyer猜想被看作是对$\Q$的动机，它将与E相关的扭曲L值与E的算术不变量联系起来。在本文中，我们规定了一种方法来验证这一猜想为一个给定的数据。利用这种方法，我们验证了导体11的椭圆曲线和$\Q$的S_3-扩张的猜想.
2007-08-01 math.NT
Integral points on elliptic curves and 3-torsion in class groups
给出了椭圆曲线上整点个数的新界。该方法可以说是通过丢番图技术（[BP]，[HBR]）和基于Mordell-Weil晶格中的准正交性的方法（[Sil 6]，[GS]，[He]）之间的方法插值。我们应用我们的结果打破了以前的界限上的数量椭圆曲线的给定导体和大小的3-挠部分的类群的二次域。同样的思想也可以用来计算高亏格曲线上的有理点。
2005-11-04 math.NT
Ranks of elliptic curves and deep neural networks
确定椭圆曲线E/Q的秩是一个困难的问题，在某些应用中（例如当搜索高秩曲线时），人们必须依赖于旨在估计分析秩（等于Birch和Swinnerton-Dyer猜想下的秩）的数学方法。在本文中，我们开发了由深度卷积神经网络（CNN）建模的秩分类算法。类似于广泛使用的Mestre-Nagao和，它将E的导体和在一定范围内（p<10 ^k，k= 3，4，5）的归一化a_p-s序列（其中a_p=p+1-#E（F_p），如果p是好约化的素数）作为输入，并试图预测秩（或检测"高“秩的曲线）。该模型已经在两个数据集上进行了训练和测试：LMFDB和一个由具有平凡挠率的椭圆曲线组成的自定义数据集，导体高达10^30，秩高达10。为了比较，还开发了Mestre-Nagao和的八个简单的神经网络模型。实验表明，CNN在LMFDB数据集上的表现优于Mestre-Nagao和（有趣的是，神经网络将所有Mestre-Nagao和作为输入，其表现远远优于单独的每个和），而它们在定制数据集上大致相等。
2022-09-26 math.NT
Murmurations for elliptic curves ordered by height
本文研究按朴素高度排序的椭圆曲线 L 函数系数平均形成的群鸣密度，提出由 Bessel 函数显式表示的猜想并经高度至 2^28 的数据验证。
2025-10-20 math.NT
Rational torsion in elliptic curves and the cuspidal subgroup
设$A$是正方形自由导体$N$的$\Q$上的椭圆曲线。证明了若$A$有一个素数阶有理扭点，使得$r$不整除$6N$，则$r$整除$J_0(N)$的尖子群的阶.
2008-10-29 math.AG math.NT
Factorization of measures and applications to the weak Goldfeld conjecture
推广Gross的结果，我们证明了测度的某种因式分解对任何导体的所有$p$和任何有限偶Dirichlet特征标$χ$都成立，而不仅仅是对分裂的$p$和导体的幂为$p$的$χ$成立.使用这种推广，我们发现的比例上的下界虚二次域$K$的椭圆曲线（在某些假设下）选择二次扭曲的椭圆曲线$E$超过$K$有秩$1$。当我们改变$D$（我们扭曲的因子）时，我们还发现了秩为$1$的二次扭曲比例的上下界，假设$ω$（素因子计数函数）足够接近高斯分布，如Erdös-Kac所描述的。我们采用类似的方法，三次扭曲，然后推导出类似的下界的比例虚二次域的六次扭曲的秩$1$。最后，对于满足一定假设的$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，我们得到了秩为$0$和秩为$1$的二次扭曲（在$\mathbb{Q}$上）的比例的正下界，从而得到了满足弱Goldfeld猜想的椭圆曲线的例子.
2021-08-13 math.NT
Ramification of Tate modules for rank $2$ Drinfeld modules
本文研究秩2 Drinfeld模分点生成的函数域扩张的分歧，定义其导子作为椭圆曲线导子的类似物，通过导子计算在特定受限情形下证明了Szpiro猜想的类似结论。
2024-09-14 math.NT
Parametrizing elliptic curves by modular units
本文证明有理数域上只有有限多条椭圆曲线可由模单位参数化，回答了祖迪林的问题，并列出导子不超过1000的所有此类曲线，最后提出开放问题。
2015-04-04 math.NT
Elliptic curves with good reduction outside of the first six primes
我们提出了一个有理椭圆曲线的数据库，直到Q-同构，具有好约化外{2，3，5，7，11，13}。我们提供了一个启发式涉及的ABC和BSD架构，数据库很可能是完整的一组这样的曲线。此外，证明完备性可能只需要更多的计算时间就可以得出结论。我们目前的数据分布的各种数量相关的曲线在一组。我们还讨论了与S-单位方程的关系以及具有极大导体的有理椭圆曲线的存在性。
2020-07-21 math.NT
