Irreducibility of geometric Galois representations and the Tate conjecture for a family of elliptic surfaces
利用Calegari关于Fontaine-Mazur猜想的结果，研究了纯正则秩3弱相容自对偶l-adic表示系统的不可约性.因此，我们证明了Tate猜想对于定义在Q上且几何亏格大于1的椭圆曲面族成立。
2020-08-26 math.AG math.NT
Genus two curves with full $\sqrt{3}$-level structure and Tate-Shafarevich groups
本文显式参数化具有完整 $\sqrt{3}$-层结构的亏格 2 曲线参数曲面，并据此构造 Abel 曲面，证明其几乎所有二次扭曲的 3-Selmer/Tate-Shafarevich 非平凡，同时给出平均秩与有理点数统计。
2023-04-21 math.AG math.NT
On genus-change in algebraic curves over nonperfect fields
该研究以概形理论为工具，给出了特征p>0的非完美域上正规几何整曲线亏格差值整除性结论的新证明，推进了相关代数几何结果的论证。
2007-03-05 math.AG math.NT
Periods of generalized Tate curves
广义Tate曲线是一类具有固定亏格和退化数据的泛曲线族，通过特殊化模和变形参数，它可以成为Schottky均匀化Riemann曲面和Mumford曲线。将广义Tate曲线看作一类退化Riemann曲面，给出了广义Tate曲线的de Rham和Betti上同调群之间的周期同构以及相关对象：Gauss-Manin联络、Hodge结构的变分和单值权滤子的显式表达式.一个值得注意的事实是，类似的公式也适用于芒福德曲线族。进一步证明了对于具有最大退化闭纤维的广义Tate，其局部幂幺周期可表示为系数为多重对数函数的形变参数的幂级数.也给出了这个p-adic版本。
2020-06-01 math.AG math.NT
On the $p$-adic distance between a point of finite order and a curve of genus higher or equal to two
设$A$是${\bf C}_p$（$p$是素数）上的阿贝尔簇，$V\hookrightarrow A$是闭子簇. Tate-Voloch猜想预言从扭点$T\not\in V({\bf C}_p)$到簇$V$的$p$ -adic距离被一个严格的正常数下界。当$A$在$\bar{\bf C}_p$上有一个模型时，Hrushovski和Scanlon证明了这个猜想。在$V$是嵌入其雅可比矩阵的曲线且$V$具有数域上的模型的情况下，我们给出了该常数的显式公式。这个明确的公式包括曲线的解析和阿拉克洛夫不变量。
2008-05-08 math.AG
On the Tate conjecture for divisors on varieties with $h^{2,0} = 1$ in positive characteristics
本文证明了在温和模假设下 $h^{2,0}=1$ 复射影簇模 p 约化的除子 Tate 猜想一般成立，并由此推出全局函数域上 BSD 猜想的新情形及一类一般型曲面的 Tate 猜想。
2025-05-30 math.AG math.NT
An explicit algebraic family of genus-one curves violating the Hasse principle
证明了对Q中的任意t，P^2中的曲线5x^3 + 9y^3 + 10z^3 + 12（（t^12-t^4-1）/（t^12-t^8-1））^3（x+y+z）^3 = 0是亏格1曲线，违反了Hasse原理.给出了其Jacobian E_t的显式Weierstrass模型。每个E_t的Shafarevich-Tate群包含一个同构于Z/3 x Z/3的子群。
1999-10-25 math.AG math.NT
Syntomic cohomology and Beilinson's Tate conjecture for $K_2$
本文研究椭圆曲面上分裂乘法纤维的补U的$K_2$的Tate猜想的一个类似.主要结果是给出了标准上同调$H^2(\bar{U},Q_p(2))$的Galois不动部分的秩的一个上界。作为应用，我们给出了p-adic域上的椭圆K3曲面$X$，其中0-圈的Chow群$CH_0(X)$的挠部分是有限的.这将是第一个例子的表面$X$在一个p-adic域的几何亏格是非零的，其中的扭转部分$CH_0(X)$是有限的。
2010-09-06 math.AG math.NT
Reduction Types of Genus 2 Curves
University College London（伦敦大学学院）；University of Manchester（曼彻斯特大学）
研究亏格2曲线的约化类型，通过类比泰特对椭圆曲线的做法，给出了亏格2曲线相关不变量的表格集，涉及极小正则模型约化类型等多种不变量。
2026-09-16 math.AG math.NT
Hasse principle violation for algebraic families of del Pezzo surfaces of degree 4 and hyperelliptic curves of genus congruent to 1 modulo 4
本文构造了无限多个显式单参数代数族，包含次数为4的del Pezzo曲面和亏格模4余1的超椭圆曲线，证明其每个K成员都违反Hasse原则，并由Brauer-Manin障碍解释。
2025-06-02 math.AG math.NT
Period, index and potential sha
本文提出了O 'Neil周期指数阻塞映射的理论，并导出了全局域上亏格为1的曲线的算法。我们的第一个结果意味着对每一对正整数（P，I），其中P整除I，I整除P^2，存在数域K和K上的亏格为1的曲线C，其周期为P，指数为I.其次，设E是整体域K上的任意椭圆曲线，P > 1是被K的特征线整除的任意整数。我们在K上构造了无限多个亏格为1的曲线C，其周期为P，指数为P^2，雅可比矩阵为E。我们推导出域扩张下Sharevich-Tate群结构的强结果。
2008-11-18 math.AG math.NT
F-theory on Genus-One Fibrations
我们认为，M-理论紧化的任意genus-one纤维化，也就是说，一个椭圆纤维化，不需要有一个部分，总是有一个F-理论极限时，genus-one纤维的面积接近零。这样的一类纤维化可以很容易地构造为复曲面超曲面，并给出了各种$SU(5)\times U(1)^n$和$E_6$模型作为例子。对于每个属一纤维化，可以将碱基上的$τ$函数以及$SL(2,\mathbb{Z})$表示联系起来，它们一起定义了该理论的IIB轴膨胀子和7膜内容。具有相同$τ$ -函数和$SL(2,\mathbb{Z})$表示的一类纤维化，称为Tate-Shafarevich群，在相应的F-理论模型中提供了一个重要的自由度，直到现在还没有仔细研究过。六维反常抵消以及威滕在包裹膜上的零模计数都意味着对其中一些模型的通常F理论字典的修正。特别是，中性超多重态，这是本地化的余维2纤维可以出现。(All以前已知的定域超多重态的例子在理论的规范群下带电。最后，在没有一节的情况下，允许Kodaira纤维的一些新的monodromies，这导致非阿贝尔规范群的新的断裂模式。
2014-03-26 hep-th math.AG
Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields
目前，定义在有限域F_q上的亏格为g的绝对不可约、光滑、射影的代数曲线上的有理点个数的最佳上界要么来自于Serre对Weil界的精化（如果亏格比q小），要么来自于Oesterle对显式方法的优化（如果亏格大）。本文提出了三种方法来改善这些界限。使用的参数是曲线的θ因子的不可分解性，伽罗瓦下降，和本田泰特理论。改进边界的例子包括当q=2^3，2^5，2^{13}，3^3，3^5，5^3，5^7时，以及当q=2^{2s}，s>1时，降低它们的小亏格范围。对于大的亏格，q= 3，8，9时得到了孤立的改进.
2001-04-25 math.AG math.NT
On genus one fibered Calabi-Yau threefolds with 5-sections
椭圆型和亏格单纤维的Calabi-Yau空间在弦论和数学中起着重要的作用。本文从不同的角度讨论了一类单亏格纤维Calabi-Yau三重五段图。在代数几何中，这样的卡拉比-雅乌斯可以被构造为格拉斯曼纤维化的完全相交和普夫兰簇。这些构造自然地适合于同调投射对偶的框架，并导致对偶对的卡拉比-姚斯。从物理学的角度来看，这些空间可以被实现为具有非阿贝尔规范群的规范线性西格玛模型（GLSM）的低能配置（“相”），其中对偶几何作为相同GLSM的相出现。利用拓扑弦论的模自举方法，可以计算这些Calabi-Yaus的所有亏格Gopakumar-Vafa不变量。我们观察到同调投射对偶作为拓扑弦配分函数上的$Γ_0(5)$的一个元素，对偶几何的配分函数相互转化。此外，我们从M-/F-理论的角度研究的几何形状。我们计算的F-理论谱，并显示如何属单纤维Calabi-Yaus连接到某些Calabi-Yaus在环面品种通过一系列的希格斯转换。基于F-理论物理，我们猜想对偶几何是同一个Tate-Shafarevich群的元素。我们的分析还导致了5节几何的分类，以及建设的F理论模型与收费5超多重态。
2021-07-12 hep-th math.AG
Nontrivial elements of Sha explained through K3 surfaces
本文给出了亏格为2的曲线的雅可比矩阵的主齐性空间非平凡的一种新的证明方法。这个想法是展示一个Brauer-Manin障碍的存在有理点在这个主齐性空间的商。在一个显式的例子中，我们应用该方法表明，一个特定的曲线有无穷多个二次扭曲的雅可比矩阵有非平凡的Tate-Shafarevich群。
2007-06-04 math.AG math.NT
GV-Spectroscopy for F-theory on genus-one fibrations
我们提出了一种新的技术，以获得基地独立的表达的纤维化的物质轨迹的完全相交的卡-丘单倍在环面周围空间。这些可以用来系统地构造椭圆和亏格的单纤维Calabi-Yau $d$ -折叠，从而得到F-理论中所需的规范群和谱。该技术，我们称之为GV-光谱，是基于计算的纤维Gopakumar-Vafa不变量使用的Batyrev-Borisov建设的反射镜对和应用程序的所谓的Frobenius方法的数据的参数化辅助多面体。特别是对于一般导致多个部分，只有多个部分或在更高的余维完全相交的纤维，我们的技术是大大比经典的方法更有效。作为一个应用，我们研究了两个希格斯链的六维超引力工程的余维两个完整的交叉纤维的纤维化。两条链都在真空上终止，其中$G=\mathbb{Z}_4$是通过$\mathbb{P}^3$中的双二次曲面的纤维化而设计的。我们使用的详细知识，我们从GV光谱得到的可还原纤维的结构来评论相应的泰特-Shafarevich组。我们还表明，对于所有纤维的六维超重力异常，包括离散异常一般取消。
2019-12-23 hep-th math.AG
Five-dimensional compatible systems and the Tate conjecture for elliptic surfaces
Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学高等研究院）；Department of Mathematics, The Ohio State University（俄亥俄州立大学数学系）；Department of Mathematics, Trinity College（三一学院数学系）
本文研究五维兼容系统与椭圆面的塔特猜想，证明了在特定条件下兼容系统的不可约性，并应用这些结果验证了塔特猜想对有限多个素数。
2026-09-25 math.AG math.NT
Intersections de deux quadriques et pinceaux de courbes de genre 1
本研究专着着重于数域上曲面在射影直线上的亏格为1的曲线的算法，以及射影空间中两个二次曲面的交点的算法。前半部分采用并进一步发展了由Swinnerton-Dyer于1993年提出的技术，后来由Colliot-Thélène，Skorobogatov和Swinnerton-Dyer推广，用于研究亏格1曲线束上的有理点。下半年，建立在第一，是致力于四次del Pezzo表面和高维相交的两个二次曲面。在两个著名的命题（Schinzel假设和椭圆曲线的Tate-Shafarevich群的有限性）的基础上，它建立了两个n>2的二次曲面的所有光滑n维交点以及一大类4次del Pezzo曲面的Hasse原理。
2015-02-16 math.AG math.NT
Topology of the Vakil--Zinger moduli space
University of Cambridge（剑桥大学）
本文研究了Vakil-Zinger构造的光滑一型映射空间的拓扑结构，推导其有理同调生成元并验证Hodge和Tate猜想，同时描述其Picard群并恢复奇同调消失结果。
2026-02-18 math.AG math.AT
Exact verification of the strong BSD conjecture for some absolutely simple abelian surfaces
Universität Bayreuth（拜罗伊特大学）
本文验证了某些亏格为2且雅可比簇绝对简单的Atkin-Lehner商曲线的强BSD猜想，通过证明其Shafarevich-Tate群平凡。
2021-07-01 math.AG math.NT
Complete verification of strong BSD for many modular abelian surfaces over $\mathbf{Q}$
Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）；Universität Bayreuth（拜罗伊特大学）
本文发展理论与算法，无条件精确验证了Q上绝对简单模阿贝尔簇的强BSD猜想，涵盖28个亏格2的Atkin-Lehner商、97条LMFDB曲线及6条Wang曲线，首次确认维数≥2的绝对简单阿贝尔簇的强BSD，并验证Tate-Shafarevich群阶为7²。
2024-09-13 math.AG math.NT
